diff --git a/.gitignore b/.gitignore index 740d2f4..d3392c9 100644 --- a/.gitignore +++ b/.gitignore @@ -11,3 +11,4 @@ *.bcf *.blg *.run.xml +*-eps-converted-to.pdf diff --git a/Analisi I/LaTeX/2023-03-17, Successioni per ricorsione/personal_commands.sty b/Analisi I/LaTeX/2023-03-17, Successioni per ricorsione/personal_commands.sty deleted file mode 100644 index 74be1e0..0000000 --- a/Analisi I/LaTeX/2023-03-17, Successioni per ricorsione/personal_commands.sty +++ /dev/null @@ -1,181 +0,0 @@ -\ProvidesPackage{personal_commands} - -\usepackage{amsmath,amssymb} -\usepackage{amsfonts} -\usepackage{amsthm} -\usepackage{amssymb} -\usepackage{amsopn} -\usepackage{mathtools} -\usepackage{marvosym} -\usepackage{floatflt} -\usepackage{graphicx} -\usepackage{float} - -\hfuzz=\maxdimen -\tolerance=10000 -\hbadness=10000 - -\newcommand{\cororef}[1]{\textit{Corollario \ref{#1}}} -\newcommand{\exref}[1]{\textit{Esercizio \ref{#1}}} -\newcommand{\propref}[1]{\textit{Proposizione \ref{#1}}} -\newcommand{\lemmaref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}} -\newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}} -\newcommand{\li}[0]{$\blacktriangleright\;\;$} - 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\Large \textbf{Successioni per ricorsione} + \Large \textbf{Successioni per ricorrenza} \end{center} \begin{remark} diff --git a/Analisi I/PDF/Parte teorica/2023-03-22, Limiti di funzioni e funzioni continue/main.pdf b/Analisi I/PDF/Parte teorica/2023-03-22, Limiti di funzioni e funzioni continue/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..912d509 Binary files /dev/null and b/Analisi I/PDF/Parte teorica/2023-03-22, Limiti di funzioni e funzioni continue/main.pdf differ diff --git a/Analisi I/PDF/Parte teorica/2023-03-22, Limiti di funzioni e funzioni continue/main.tex b/Analisi I/PDF/Parte teorica/2023-03-22, Limiti di funzioni e funzioni continue/main.tex new file mode 100644 index 0000000..e896c66 --- /dev/null +++ b/Analisi I/PDF/Parte teorica/2023-03-22, Limiti di funzioni e funzioni continue/main.tex @@ -0,0 +1,137 @@ +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage{personal_commands} +\usepackage[italian]{babel} + +\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}} +\author{Gabriel Antonio Videtta} +\date{21 marzo 2023} + +\begin{document} + + \maketitle + + \begin{center} + \Large \textbf{Limiti di funzioni e funzioni continue} + \end{center} + + \begin{note} Nel corso del documento, per un insieme $X$, qualora non + specificato, si intenderà sempre un sottoinsieme generico dell'insieme + dei numeri reali esteso $\RRbar$. Analogamente per $f$ si intenderà + sempre una funzione $f : X \to \RRbar$. + \end{note} + + \begin{definition} (continuità in un punto) Sia + $\xbar \in X$. Allora $f$ si dice \textit{continua} su $\xbar$ se e solo + se $\forall I$ intorno di $f(\xbar)$ $\exists J$ intorno di $\xbar$ tale + che $f(J \cap X) \subseteq I$. Conseguentemente $f$ si dirà \textit{discontinua} + su $\xbar$ se non è continua su $\xbar$. + \end{definition} + + \begin{definition} (continuità di una funzione) Si dice che $f$ è una \textit{funzione + continua} se e solo se $f$ è continua su $\xbar$ $\forall \xbar \in X$. + \end{definition} + + \begin{definition} (punti di accumulazione e punti isolati) Si dice che $\xbar \in \RRbar$ è un \textit{punto + di accumulazione} di $X$ se $\forall I$ intorno di $x$ $\exists x \in X$, $x \neq \xbar \mid + x \in I$, o equivalentemente se $I \cap X \setminus \{\xbar\} \neq \emptyset$. Analogamente + un punto che non è di accumulazione e che appartiene a $X$ si dice \textit{punto isolato}. + \end{definition} + + \begin{definition} + (derivato di un insieme) Si definisce derivato di $X$ l'insieme dei punti di + accumulazione di $X$, e si denota con $D(X)$. + \end{definition} + + \begin{definition} + (chiusura di un insieme) Si definisce chiusura di $X$ l'unione di $X$ ai suoi + punti di accumulazione, ossia $\bar{X} = X \cup D(X)$. + \end{definition} + + \begin{proposition} + Sono equivalenti i seguenti fatti: + + \begin{enumerate} + \item $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$, + \item esiste una successione $(x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ tale + che $x_n \tendston \xbar$. + \end{enumerate} + \end{proposition} + + \begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\ + + \rightproof Se $\xbar \in \RR$, per ogni $n$ si consideri l'intorno $I_n = [\xbar - \frac{1}{n}, \xbar + \frac{1}{n}]$, e si estragga un elemento $k \in I_n \cap X \setminus \{\xbar\}$ (che per ipotesi esiste, dacché + $\xbar$ è un punto di accumulazione). Si ponga dunque $x_n = k$. Poiché $\liminftyn \xbar - \frac{1}{n} = \liminftyn \xbar + \frac{1}{n} = \xbar$ e $x_n \in I_n$ $\forall n \in \NN$, allora $x_n \tendston \xbar$. \\ + + Altrimenti, se $\xbar$ non è finito, si consideri il caso $\xbar = +\infty$. Per ogni $n$ si consideri allora l'intorno $I_n = [n, \infty]$, e si + estragga, come prima, $k \in I_n \cap X \setminus \{\xbar\}$, ponendo infine $x_n = k$. Poiché $I_n \tendston \{\infty\}$, $x_n \tendston \xbar$. Analogamente si dimostra il caso $\xbar = -\infty$. \\ + + \leftproof Se esiste una tale successione, allora $\forall I$ intorno di $\xbar$ $\exists n_k \in \NN \mid n \geq n_k \implies x_n \in I$, ed in particolare, poiché per ipotesi + $x_n \neq \xbar$, $x_n \in X \forall n \in \NN$, $I$ contiene sempre un punto diverso + da $\xbar$ ed appartenente ad $X$, ossia $I \cap X \setminus \{\xbar\}$. + \end{proof} + + \begin{remark} Negando la definizione di punto di accumulazione, si ricava che $\xbar \in X$ è un + punto isolato $\iff$ $\exists I$ intorno di $\xbar$ $\mid I \cap X = \{\xbar\}$. + \end{remark} + + \begin{definition} (limite di una funzione) Sia $\xbar \in D(X)$. Allora $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L + \defiff \forall I$ intorno di $L$, $\exists J$ intorno di $\xbar$ $\mid f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) + \subseteq I$. + \end{definition} + + \begin{remark} La definizione di limite di una funzione richiede che $\xbar$ sia un punto di + accumulazione di $X$ per due principali motivi, uno teorico e uno strettamente pratico: + + \begin{enumerate} + \item se $\xbar$ fosse un punto isolato, allora esisterebbe sicuramente un suo intorno $J$ tale + che $J \cap X \setminus \{\xbar\} = \emptyset$, e quindi $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) = f(\emptyset) = \emptyset \in I$, per qualsiasi intorno $I$ scelto, a prescindere da $L$; si + perderebbe dunque una proprietà fondamentale del limite, ovverosia la sua unicità. + \item se $\xbar$ fosse un punto isolato, non vi sarebbe alcun modo di ``predirre'' il + comportamento di $f$ nel momento in cui tende a $\xbar$, dacché non si potrebbero + computare valori per $x$ ``vicine'' a $\xbar$. + \end{enumerate} + + \end{remark} + + \begin{proposition} + Se $\xbar \in D(X)$, sono equivalenti i seguenti fatti: + + \begin{enumerate} + \item $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L$, + \item $\forall$ successione $(x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ tale che + $x_n \tendston \xbar$, $f(x_n) \tendston L$. + \end{enumerate} + \end{proposition} + + \begin{proof} + Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\ + + \rightproof Sia $(x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ una successione tale che + $x_n \tendston \xbar$. Poiché $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L$, $\forall I$ intorno di + $L$, $\exists J$ intorno di $\xbar$ tale che $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$. + Allo stesso tempo, poiché $x_n \tendston \xbar$ e $J$ è un intorno di $\xbar$, esiste un $n_k \in \NN$ + tale che $n \geq n_k \implies x_n \in J \implies f(x_n) \in I$ (infatti $x_n$ per definizione + appartiene a $X$ ed è sempre diverso da $\xbar$). Allora $\forall I$ intorno di $L$, $\exists n_k$ + tale che $n \geq n_k \implies f(x_n) \in I$, ossia $f(x_n) \tendston L$. \\ + + \leftproof Si ponga per assurdo che $\lim_{x \to \xbar} f(x) \neq L$. Allora esiste almeno + un intorno $I$ di $L$ tale per cui non esista alcun intorno $J$ di $\xbar \mid f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$. Si consideri adesso il caso $\xbar \in \RR$ ed il suo intorno $J_n = [\xbar - \frac{1}{n}, \xbar + \frac{1}{n}]$: per ogni $n$ si può estrarre $J_n$ un $k \in X \setminus \{\xbar\}$ + (infatti $\xbar$ è un punto di accumulazione), tale che $f(k) \notin I$. Si ponga allora $x_n = k$. + Dal momento che $J_n \tendston \{\xbar\}$, $x_n \tendston \xbar$. Allo stesso tempo, per $n \to \infty$, $f(x_n)$ non può tendere a $L$, dacché per costruzione $f(x_n)$ non appartiene all'intorno + $I$. Tuttavia ciò contraddice l'ipotesi, e quindi $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L$. \\ + + Altrimenti, se $\xbar = \infty$, si consideri per ogni $n$ l'intorno $J_n = [n, \infty]$, e se ne + estragga $k \in X \setminus \{\xbar\}$ tale che $f(k) \notin I$ (come prima, questo deve esistere + dacché $\xbar$ è un punto di accumulazione). Si ponga dunque $x_n = k$. Poiché $J_n \tendston \{\infty\}$, $x_n \tendston \xbar$. Tuttavia $f(x_n)$ non può tendere a $L$ per $n \to \infty$, + dal momento che $f(x_n)$ per costruzione non appartiene mai all'intorno $I$. Questo contraddice + nuovamente l'ipotesi, e quindi $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L$. + \end{proof} + + \begin{exercise} Si dimostri che $\overline{\overline{X}} = \overline{X}$. + \end{exercise} + + \begin{exercise} Si mostri che l'ipotesi che la successione $(x_n)$ non abbia elementi uguali + a $\xbar$ sia necessaria, riportando un controesempio. + \end{exercise} + +\end{document} diff --git a/Geometria I/PDF/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Es. Algoritmi per la ricerca del polinomio minimo.pdf b/Geometria I/PDF/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Es. Algoritmi per la ricerca del polinomio minimo/main.pdf similarity index 75% rename from Geometria I/PDF/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Es. Algoritmi per la ricerca del polinomio minimo.pdf rename to Geometria I/PDF/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Es. Algoritmi per la ricerca del polinomio minimo/main.pdf index dff6a20..0730c78 100644 Binary files a/Geometria I/PDF/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Es. Algoritmi per la ricerca del polinomio minimo.pdf and b/Geometria I/PDF/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Es. Algoritmi per la ricerca del polinomio minimo/main.pdf differ diff --git a/Geometria I/LaTeX/2023-03-20, Es. Algoritmi per la ricerca del polinomio minimo/main.tex b/Geometria I/PDF/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Es. Algoritmi per la ricerca del polinomio minimo/main.tex similarity index 100% rename from Geometria I/LaTeX/2023-03-20, Es. Algoritmi per la ricerca del polinomio minimo/main.tex rename to Geometria I/PDF/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Es. 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Algoritmi per la ricerca del polinomio minimo/personal_commands.sty +++ b/tex/latex/style/personal_commands.sty @@ -6,20 +6,22 @@ \usepackage{amssymb} \usepackage{amsopn} \usepackage{mathtools} +\usepackage{stmaryrd} \usepackage{marvosym} -\usepackage{floatflt} -\usepackage{graphicx} \usepackage{float} \hfuzz=\maxdimen \tolerance=10000 \hbadness=10000 -\newcommand{\cororef}[1]{\textit{Corollario \ref{#1}}} -\newcommand{\exref}[1]{\textit{Esercizio \ref{#1}}} -\newcommand{\propref}[1]{\textit{Proposizione \ref{#1}}} +\newcommand{\system}[1]{\begin{cases} #1 \end{cases}} + +% Modalità matematica/fisica +\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}} + \newcommand{\lemmaref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}} \newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}} + \newcommand{\li}[0]{$\blacktriangleright\;\;$} \newcommand{\tendsto}[1]{\xrightarrow[\text{$x \to #1$}]{}} @@ -27,67 +29,105 @@ \setlength\parindent{0pt} -% Personal commands +% Principio di induzione e setup dimostrativi. +\newcommand{\basestep}{(\textit{passo base})\;} +\newcommand{\inductivestep}{(\textit{passo induttivo})\;} + +\newcommand{\rightproof}{($\,\implies$)\;} +\newcommand{\leftproof}{($\impliedby$)\;} + +% Spesso utilizzati al corso di Fisica 1. +\newcommand{\dx}{\dot{x}} +\newcommand{\ddx}{\ddot{x}} +\newcommand{\dv}{\dot{v}} + +\newcommand{\tendstot}[0]{\xrightarrow[\text{$t \to \infty$}]{}} + +% Spesso utilizzati al corso di Analisi 1. +%\newcommand{\liminf}{\lim_{x \to \infty}} +\newcommand{\liminfty}{\lim_{x \to \infty}} +\newcommand{\liminftym}{\lim_{x \to -\infty}} +\newcommand{\liminftyn}{\lim_{n \to \infty}} +\newcommand{\limzero}{\lim_{x \to 0}} +\newcommand{\limzerop}{\lim_{x \to 0^+}} +\newcommand{\limzerom}{\lim_{x \to 0^-}} + +\newcommand{\xbar}{\overline{x}} +\newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}} + +% Spesso utilizzati al corso di Geometria 1. +\DeclareMathOperator{\val}{val} +\DeclareMathOperator{\Span}{Span} +\newcommand{\charpoly}[1]{p_{#1}} +\newcommand{\minpoly}[1]{\varphi_{#1}} +\newcommand{\valf}{\val_f} +\newcommand{\valfv}{\val_{f,\V}} +\newcommand{\e}[1]{\vec{e_{#1}}} +\newcommand{\V}{\vec{v}} +\newcommand{\VV}[1]{\vec{v_{#1}}} +\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}} +\newcommand{\Vector}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}} + +\let\v\undefined +\newcommand{\v}{\vec{v}} +\newcommand{\vv}[1]{\vec{v_{#1}}} + +\newcommand{\mapstoby}[1]{\xmapsto{#1}} + +% Comandi personali. + \newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\nsqrt}[2]{\!\sqrt[#1]{#2}\,} \newcommand{\zeroset}{\{0\}} \newcommand{\setminuszero}{\setminus \{0\}} -\newenvironment{solution} - {\begin{proof}[Soluzione]} - {\end{proof}} - \theoremstyle{definition} \let\abstract\undefined +\let\endabstract\undefined \newtheorem*{abstract}{Abstract} \newtheorem{corollary}{Corollario} \newtheorem*{definition}{Definizione} \newtheorem*{example}{Esempio} \newtheorem{exercise}{Esercizio} -\newtheorem*{goal}{Obiettivo} \newtheorem{lemma}{Lemma} +\newtheorem*{note}{Nota} \newtheorem*{remark}{Osservazione} \newtheorem*{proposition}{Proposizione} -\newtheorem{theorem}{Teorema} +\newtheorem*{summary}{Sommario} +\newtheorem*{theorem}{Teorema} +\newcommand{\basis}{\mathcal{B}} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} + \newcommand{\HH}{\mathbb{H}} -\newcommand{\KK}{\mathbb{K}} -\newcommand{\ZZp}{\mathbb{Z}_p} + +\newcommand{\FFp}[1]{\mathbb{F}_p} +\newcommand{\FFpx}[1]{\mathbb{F}_p[x]} \newcommand{\CCx}{\mathbb{C}[x]} -\newcommand{\FFpp}{\mathbb{F}_p} -\newcommand{\FFpd}{\mathbb{F}_{p^d}} -\newcommand{\FFpm}{\mathbb{F}_{p^m}} -\newcommand{\FFpn}{\mathbb{F}_{p^n}} -\newcommand{\FFp}[1]{\mathbb{F}_{p^{#1}}} + +\newcommand{\KK}{\mathbb{K}} \newcommand{\KKx}{\mathbb{K}[x]} + \newcommand{\QQx}{\mathbb{Q}[x]} \newcommand{\RRx}{\mathbb{R}[x]} + \newcommand{\ZZi}{\mathbb{Z}[i]} -\newcommand{\ZZom}{\mathbb{Z}[\omega]} +\newcommand{\ZZp}{\mathbb{Z}_p} \newcommand{\ZZpx}{\mathbb{Z}_p[x]} -\newcommand{\ZZsqrt}[1]{\mathbb{Z}[\sqrt{#1}]} \newcommand{\ZZx}{\mathbb{Z}[x]} \newcommand{\ii}{\mathbf{i}} \newcommand{\jj}{\mathbf{j}} \newcommand{\kk}{\mathbf{k}} -\newcommand{\valalpha}{\varphi_\alpha} -\newcommand{\Frob}{\mathcal{F}} -\newcommand{\Frobexp}{\mathcal{F}{\mkern 1.5mu}} - +\newcommand{\bidual}[1]{#1^{**}} \newcommand{\dual}[1]{#1^{*}} -\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)} -\newcommand{\M}[1]{\mathcal{M}_{#1}\left(\KK\right)} -\newcommand{\nsg}{\mathrel{\unlhd}} -\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}} +\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)} % L(V, W) -\newcommand{\hatpi}{\hat{\pi}} -\newcommand{\hatpip}{\hat{\pi}_p} +\newcommand{\nsg}{\mathrel{\unlhd}} % sottogruppo normale % evan.sty original commands \newcommand{\cbrt}[1]{\sqrt[3]{#1}} @@ -111,12 +151,10 @@ \DeclareMathOperator{\Inn}{Inn} \DeclareMathOperator{\Syl}{Syl} \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} -\DeclareMathOperator{\val}{val} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} - -%From Kiran Kedlaya's "Geometry Unbound" +% From Kiran Kedlaya's "Geometry Unbound" \newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert} \newcommand{\dang}{\measuredangle} %% Directed angle @@ -124,6 +162,7 @@ \newcommand{\seg}[1]{\overline{#1}} % From M275 "Topology" at SJSU +\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\taking}[1]{\xrightarrow{#1}} \newcommand{\inv}{^{-1}} @@ -140,12 +179,14 @@ \newcommand{\opname}{\operatorname} \newcommand{\surjto}{\twoheadrightarrow} \newcommand{\injto}{\hookrightarrow} + +% Alcuni degli operatori più comunemente utilizzati. + \DeclareMathOperator{\Char}{char} \DeclareMathOperator{\Dom}{Dom} \DeclareMathOperator{\Fix}{\textit{Fix}\,} \DeclareMathOperator{\End}{End} \DeclareMathOperator{\existsone}{\exists !} -\DeclareMathOperator{\Span}{Span} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \DeclareMathOperator{\Imm}{Imm} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} @@ -154,12 +195,16 @@ \DeclareMathOperator{\Mor}{Mor} \DeclareMathOperator{\mcm}{mcm} \DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} -\newcommand{\basis}{\mathcal{B}} \DeclareMathOperator{\tr}{tr} +% Reimposta alcuni simboli presenti di default in LaTeX con degli analoghi +% più comuni. + \let\oldemptyset\emptyset \let\emptyset\varnothing +% Trasforma alcuni simboli in operatori matematici. + \let\oldcirc\circ \let\circ\undefined \DeclareMathOperator{\circ}{\oldcirc}