diff --git a/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.pdf b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.pdf index cd33bbc..1fee830 100644 Binary files a/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.pdf and b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.pdf differ diff --git a/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex index 2d77d64..7047c43 100644 --- a/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex +++ b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex @@ -318,8 +318,10 @@ Vi sono chiaramente alcuni collegamenti tra la continuità destra e sinistra e la continuità classica, così come ve ne sono tra il limite destro e sinistro ed il limite classico. \\ + \li $\xbar$ punto di accumulazione destro o sinistro di $X$ $\iff$ $\xbar$ punto di accumulazione di $X$, \\ \li $\xbar$ punto di accumulazione destro e sinistro di $X$ $\implies$ $\xbar$ punto di accumulazione di $X$ (non - è però per forza vero il contrario, è sufficiente considerare $0$ in $(0, \infty)$), \\ + è però per forza vero il contrario, è sufficiente considerare $(0, \infty)$, dove $0$ è solo un punto di + accumulazione destro), \\ \li $f$ è continua in $\xbar$ $\iff$ $f$ è continua sinistra e destra in $\xbar$, \\ \li se $\xbar$ è un punto di accumulazione destro e sinistro, $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L \iff \lim_{x \to \xbar^+} f(x) = L$ e $\lim_{x \to \xbar^-} f(x) = L$, \\ \li se $\xbar$ è un punto di accumulazione solo destro, $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L \iff \lim_{x \to \xbar^+} f(x) = L$, \\ @@ -354,17 +356,36 @@ \vskip 0.05in - ossia la funzione indicatrice dell'insieme $\QQ$ in $\RR$. - - %TODO: aggiungere dimostrazione. + ossia la funzione indicatrice dell'insieme $\QQ$ in $\RR$. Si dimostra che $f$ non è continua + in nessun punto di $\RR$. Sia infatti $\xbar \in \RR \setminus \QQ$. Dal momento che $\QQ$ è denso + in $\RR$, $\xbar$ è un punto di accumulazione di $\QQ$, e quindi esiste una successione $(x_n) \subseteq \QQ$ + tale che $x_n \tendston \xbar$. Se $f$ fosse continua in $\xbar$, $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = 0$, + ma per l'intorno $I = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ non esiste alcun $n_k$ tale per cui $f(x_n) \in I$ $\forall n + \geq n_k$, dal momento che, per definizione di $f$, $f(x_n) = 1$ $\forall n \in \NN$. Quindi $f$ non è continua + in nessun $\xbar \in \RR \setminus \QQ$. \\ + + Sia ora $\xbar \in \QQ$. $\xbar$ è un punto di accumulazione di $\RR \setminus \QQ$ (si può infatti + considerare la successione $(x_n) \subseteq \RR \setminus \QQ$ definita da $x_n = \xbar + \frac{\sqrt{2}}{n}$, + che è tale che $x_n \tendston \xbar$). Analogamente a come visto prima, allora, per l'intorno $I = [\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$, $f(x_n) \notin I$ $\forall n \in \NN$, e quindi $f$ non è continua neanche su $\xbar \in \QQ$. \end{example} \begin{exercise} - Mostrare che l'insieme dei punti di discontinuità di una funzione $f : X \to \RR$ monotona è al più - numerabile. + Mostrare che l'insieme dei punti di discontinuità di una funzione $f : I \to \RR$ monotona è al più + numerabile, dove $I$ è un intervallo. \end{exercise} - %TODO: aggiungere risoluzione + \begin{solution} + Si assuma $f$ crescente, senza perdita di generalità (altrimenti è sufficiente considerare $g(x) = -f(x)$). + Sia $E$ l'insieme dei punti di discontinuità di $f$. $\forall \xbar \in E$, $\xbar$ è un punto di accumulazione + destro e sinistro di $I$ (infatti $I$ è un intervallo), ed in particolare esistono sempre il limite destro $L^-(\xbar)$ + ed il limite sinistro $L^+(\xbar)$ in $\xbar$ (dal momento che $f$ è monotona), e sono tali che $L^+(\xbar) > L^-(\xbar)$ (sicuramente + sono diversi, altrimenti + $f$ sarebbe continua in $\xbar$; inoltre $f$ è crescente). Allora sia $f : E \to \QQ$ tale che $\xbar \mapsto c$, dove $c \in \QQ$ è + un punto razionale in $(L^-(\xbar), L^+(\xbar))$ (tale $c$ esiste sempre, per la densità di $\QQ$ in $\RR$). + Inoltre, $x < y \implies L^+(x) \leq L^-(y)$, e quindi ogni intervallo da cui è preso $c$ è distinto al variare + di $\xbar \in E$. Quindi $f$ è iniettiva, e vale $\abs{E} \leq \abs{\QQ} = \abs{\NN}$. Si conclude allora + che $E$ è al più numerabile. + \end{solution} \begin{theorem} (della permanenza del segno) Data $(x_n) \subseteq \RR$ tale che $x_n \tendston L > 0$, allora @@ -414,7 +435,21 @@ la tesi. \end{proof} - %TODO: aggiungere dimostrazione alternativa con il metodo della bisezione. + \begin{proof}[Dimostrazione alternativa] (metodo di bisezione per la ricerca degli zeri) + Come prima, senza alcuna perdita di generalità, si pone $f(a) < 0 < f(b)$. Si ponga $x_0 = \frac{a+b}{2}$, + $I_0 = (a, b)$. + Se $f(x_0) = 0$, allora il teorema è dimostrato. Altrimenti, $f(x_0) > 0$ o $f(x_0) < 0$. Nel primo caso, + si consideri $I_1 = (a, x_0)$, altrimenti si ponga $I_1 = (x_0, b)$. Si riapplichi allora l'algoritmo con $a := \inf I_1$ e $b := \sup I_1$, definendo la successione $(x_n)$ e gli intervalli $I_n$ per ogni passo $n$ dell'algoritmo. \\ + + Se la successione $(x_n)$ è finita, allora $\exists n \mid f(x_n) = 0$, e quindi il teorema è dimostrato. Altrimenti, + si osservi che la successione degli intervalli è decrescente, e che $\abs{I_n} = \frac{b-a}{2^n} \tendston 0$: + allora, poiché $x_n \in I_n$ $\forall n \in \NN$, $(x_n)$ ammette limite. In particolare, $I_n \tendston \{c\}$, + e quindi $x_n \tendston c \in I_0$. Siano $a_n$, $b_n$ le successioni tali che $I_n = (a_n, b_n)$ $\forall n \in \NN$. + Vale in particolare che $a_n, b_n \tendston c$. Allora, per la continuità di $f$ su $(a, b)$, vale che + $\lim_{n \to \infty} f(a_n) = f(c)$ e che $\lim_{n \to \infty} f(b_n) = f(c)$: poiché ogni elemento di $(a_n)$ è + per costruzione tale che $f(a_n) < 0$, deve valere che $f(x) \leq 0$ per il teorema della permanenza del segno; analogamente deve valere per costruzione di $(b_n)$ che $f(c) \geq 0$. Si conclude allora che $f(c) = 0$, da cui + la tesi. + \end{proof} \begin{corollary} (dei valori intermedi) Dati $I = (a, b)$ e $f : I \to \RRbar$ continua, allora $y_1$, $y_2 \in f(I) \implies