\item$O_n$ agisce naturalmente su $\RR^n$ e l'orbita di $\vec x \in\RR^n$ è la sfera di raggio $\norm{\vec x}$ secondo il prodotto scalare standard di $\RR^n$.
\end{enumerate}
Vale il teorema di orbita-stabilizzare: l'applicazione $f:G/\Stab_G(x)\rightarrow\Orb(x)$ tale che $g \Stab_G(x)\mapsto g \cdot x$ è una bigezione tra
Vale il teorema di orbita-stabilizzatore: l'applicazione $f:G/\Stab_G(x)\rightarrow\Orb(x)$ tale che $g \Stab_G(x)\mapsto g \cdot x$ è una bigezione tra
$G/\Stab_G(x)$ e $\Orb(x)$ (tale teorema è un analogo del primo teorema di
omomorfismo per i gruppi). Se $G$ è finito, vale allora che $\abs{G}=\abs{\Stab_G(x)}\cdot\abs{\Orb(x)}$.
@ -2178,7 +2178,7 @@
che $g = e$ per la fedeltà dell'azione).
\subsection{Proprietà generali di uno spazio affine}
Si dice spazio affine $E$ un qualcune insieme $V$-omogeneo principale, dove
Si dice spazio affine $E$ un qualunque insieme $V$-omogeneo principale, dove
$V$ è uno spazio vettoriale, inteso in tal senso come il gruppo abeliano
$(V, +)$. Si scrive in tal caso l'azione $\v\cdot P$ come $P +\v$. Equivalentemente $E$ è uno spazio affine se $\forall P$, $Q \in E$, $\exists!\,\v\in V$ t.c. $P +\v= Q$. In particolar modo, ci si riferisce a $\v\mid P +\v= Q$ come $Q - P$ o
$\overrightarrow{PQ}$.
@ -2187,7 +2187,7 @@
\begin{itemize}
\item fissato $\v\in V$, l'applicazione da $E$ in $E$ tale che $P \mapsto P+\v$ è una bigezione,
\item fissato $O \in E$, l'applicazione da $V$ in $E$ tale che $\v\mapsto O+\v$ è una bigezione,
\item fissato $O \in E$, l'applicazione da $E$ in $V$ tale che $P \rightarrow P-O$ è una bigezione ed è l'inversa della bigezione presentata nello scorso punto.
\item fissato $O \in E$, l'applicazione da $E$ in $V$ tale che $P \mapsto P-O$ è una bigezione ed è l'inversa della bigezione presentata nello scorso punto.
\end{itemize}
Siano $P_1$, ..., $P_k \in E$ e $\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in\KK$. Siano inoltre
@ -2201,10 +2201,128 @@
Un sottoinsieme $D\subseteq E$ si dice \textit{sottospazio affine} se è chiuso per combinazioni affini. Il sottospazio affine $D \subseteq E$ generato da un sottoinsieme $S \subseteq E$ è l'insieme delle combinazioni affini (finite) dei punti di $S$;
si denota tale sottospazio affine $D$ come $\Aff(S)$. Vale inoltre che $\Aff(S)$ è il
più piccolo sottospazio affine contenente $S$.
Partendo da $V$ spazio vettoriale su $\KK$ possiamo associare uno spazio affine $E=V$ con azione $\v\cdot\w=\v+\w=\w+\v$.
In questo caso una combinazione affine diventa un caso particolare di combinazione lineare.
Chiamiamo lo spazio affine associato in questo modo a $V=\KK^n$$\mathcal{A}_n(\KK)$%A maiuscola corsiva?
Se $E$ è affine su $V$ di dimensione $n$ su $\KK$ allora ogni scelta di un punto $O\in E$ e di una base $\mathcal{B}$ di $V$ induce la bigezione naturale
$\varphi_{O,\mathcal{B}}:E\rightarrow\mathcal{A}_n(\KK)$ tale che $\varphi_{O,\mathcal{B}}(O+\v)=[\v]_\basis$
Un sottoinsieme $D\subseteq E$ è un sottospazio affine $\iff\forall P_0\in D$
$D_0=\{P-P_0\mid P\in D\}\subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$.
Segue che $D=P_0+D_0$ ossia che $D$ è il traslato di $D_0$ per $P_0-O$%O ??
Chiamiamo $D_0$\textit{direzione} del sottospazio affine $D$.
Inoltre $D_0$ è unico e possiamo scriverlo anche come $D_0=\{Q-P\mid P,Q\in D\}$.
In generale i sottospazi affini corrispondo ai traslati di sottospazi vettoriali di $V$
Chiamiamo \textit{dimensione} di un sottospazio affine $D$ la dimensione dello spazio vettoriale $D_0$. In particolare dim$E$=dim$V$.
Quindi così come per gli spazi vettoriali i sottospazi affini di dimensione 0 sono i punti di $E$, quelli di dimensione 1 sono le rette di $E$, quelli di dimensione 2 sono i piani di $E$ e quelli di codimensione 1 sono gli iperpiani affini.
Due sottospazi affini con la stessa direzione si diranno paralleli, coincidono o hanno intersezione vuota e si ottengono l'uno dall'altro mediante traslazione.
Diciamo che i punti $P_1,\ldots,P_k\in E$ sono \textit{affinemente indipendenti} se l'espressione $P=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i P_i\in\Aff(\{P_1,\ldots,P_k\})$ è unica.
Un sottoinsieme $S\subseteq E$ si dice affinemente indipendente se ogni suo sottoinsieme finito è affinemente indipendente.
$P_1,\ldots,P_k$ sono affinemente indipendenti se e solo se $\forall i=1,\ldots,k$ i vettori $P_j-P_i$ con $j\neq i$ sono linearmente indipendenti $\iff\forall i$$P_i\notin\Aff(\{P_1,\ldots,\hat{P}_i,\ldots,P_k\})$%?
Sia $E=\mathcal{A}_n(\KK)$ allora $\w_1,\ldots,\w_n \in E$ sono affinemente indipendenti se e solo se i vettori $\hat{\w}_1,\ldots,\hat{\w}_n$ con $\hat{w_i}=\begin{pmatrix}
\w_i \\ 1
\end{pmatrix}\in\KK^{n+1}$ sono linearmente indipendenti.
Segue che ci sono al massimo $n+1$ vettori affinemente indipendenti.
Se scegliamo $n+1$ punti $P_0,\ldots,P_n\in E$$\Aff(\{P_0,\ldots,P_n\}=E$.
Dunque per ogni punto $P \in E$$P=\sum_{i=0}^{n}\lambda_i P_i$ con $\sum_{i=0}^{n}\lambda_i=1$.
Chiamiamo i $\lambda_i$ le \textit{coordinate affini} del punto $P$ sul riferimento affine $P_0,\ldots,P_n$
Diciamo che $P=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i P_i$ è una \textit{combinazione convessa} di $P_1,\ldots,P_k$ se $\sum_{i=0}^{n}\lambda_i=1$ e $\lambda_i\ge0$$\forall i$
Diremo che l'\textit{inviluppo convesso}$IC(S)$ di un insieme $S\subseteq E$ è l'insieme delle combinazioni convesse finite di $S$.
$\forall S\subseteq E$, $IC(S)$ è convesso.
Chiamiamo \textit{baricentro geometrico} di $P_1,\ldots,P_n\in E$ come $G=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}P_i$
Se $A\subseteq E$ è finito, chiamiamo $G_A$ il baricentro geometrico dei punti di $A$.
Allora se $A=B\sqcup C$$(A=B\cup C \wedge B\cap C=\emptyset)$
$$G_A=\frac{|B|}{|A|}G_B+\frac{|C|}{|A|}G_C$$
\subsection{Applicazioni affini e affinità}
Siano $E$ spazio affine su $V$, $E'$ spazio affine su $V'$ sullo stesso campo $\KK$.
Un'applicazione $f:E\rightarrow E'$ si dice \textit{applicazione affine} se conserva le combinazioni affini.
Sia $f:E \rightarrow E'$ un'applicazione affine. Allore esiste ed è unica l'applicazione lineare $g:V\rightarrow V'$ tale che $f(O+\v)=f(O)+g(\v)$ per ogni scelta di $O\in E$ e $\v\in V$.
Viceversa se $g:V\rightarrow V'$ è lineare, si trova $f:E\rightarrow E'$ affine per ogni scelta di punti $O\in E$, $O'\in E'$$f(P)=O'+g(P-O)$
Nel caso $E=\mathcal{A}_n(\KK)$, $E'=\mathcal{A}_m(\KK)$ si trova $f(\x)=f(\Vec{0})+g(\x)=A\x+\Vec{b}$ con $A\in M(m,n,\KK)$ e $\Vec{b}\in A_m(\KK)$
Sia $E''$ un altro spazio affine associato a $V''$ e $f':E'\rightarrow E''$ è affine con applicazione lineare associata $g':V' \rightarrow V''$, allora $f'\circ f:E\rightarrow E''$ è affine e vale $f'(f(O+\v)=f'(f(O))+g'(g(\v))$ e l'applicazione lineare associata a $f'\circ f$ è $g'\circ g$
Diremo che $f:E\rightarrow E$ è un'\textit{affinità} di $E$ se $f$ è un'applicazione affine bigettiva.
$f$ affinità di $E$ implica che l'applicazione lineare associata $g:V\rightarrow V$ sia invertibile.
Chiamiamo il gruppo affine di $E$$A(E)$ il gruppo delle affinità di $E$.
L'applicazione $\pi:A(E)\rightarrow GL(V) : f\mapsto g$ è un omomorfismo surgettivo. Il nucleo è dato dalle traslazioni le quali formano un sottogruppo normale.
$f:E\rightarrow E$ affinità manda $x$ in $A\x+\vec{b}$ e dato che f bigettiva $A\in GL_n(\KK)$. Segue che $f^{-1}:\x\mapsto A^{-1}\x-A^{-1}\Vec{b}$
è un isomorfismo affine tra $\mathcal{A}_n(\KK)$ e l'iperpiano $H_{n+1}=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{n+1}=1\}\subset\mathcal{A}_{n+1}(\KK)$
Sia $f$ un'affinità di $\mathcal{A}_n(\KK)$ data da $f(\x)=A\x+\Vec{b}$.
Allora tramite $\iota$ abbiamo l'affinità di $H_{n+1}$$f'(\hat{\x})=\hat{f(\x)}=\begin{pmatrix}
f(\x) \\ 1
\end{pmatrix}$
e ci associamo l'applicazione lineare invertibile $\hat{f}:\KK^{n+1}\rightarrow\KK^{n+1}$ data dalla matrice $\hat{A}=\Matrix{A &\vec b \\0&1}$
Le matrici di questa forma formano un sottogruppo di $GL_{n+1}(\KK)$ isomorfo ad $A_n(\KK)$ che corrisponde agli endomorfismi che preservano $H_{n+1}$%?
$f$ automorfismo di $\KK^n$, $E\subseteq\KK^n$ sottospazio affine, se $f(E)\subseteq E$ allora $f|_E:E\rightarrow E$ è affine.
Sia $E$ spazio affine di dimensione $n$.
\begin{enumerate}
\item Se $f\in A(E)$ e $P_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti allora $f(P_0),\ldots,f(P_n)$ sono affinemente indipendenti.
\item Se $P_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti e $Q_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti esiste ed è unica l'affinità $f:E \rightarrow E$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1,\ldots,n$
\item$f\in A(E)$, $D\subseteq E$ sottospazio affine $\implies f(D)$ è sottospazio affine della stessa dimensione
\end{enumerate}
$A_n(\KK)$ dipende da $n^2+n=n(n+1)$ parametri.
Dato $D$ sottospazio affine di dimensione $k$ di $\mathcal{A}_n(\KK)$, $\{f\in A_n(\KK)\mid f(D)=D\}$ è un sottogruppo di $A_n(\KK)$ che dipende da $(n+1)k+(n-k)n$ parametri.
\subsection{Spazio proiettivo}
Chiamiamo l'insieme dei sottospazi di dimensione 1 in $\KK^{n+1}$\textit{spazio proiettivo} (associato a $\KK^{n+1})$ e lo denotiamo con $\PP(\KK^{n+1})=\PP^n(\KK)$
Ogni punto $\begin{pmatrix}
\x\\ 1
\end{pmatrix}\in H_{n+1}$ individua un unico sottospazio $l=Span(\begin{pmatrix}
\x\\ 1
\end{pmatrix})\in\KK^{n+1}$ di dimensione 1.
La differenza $\PP^n(\KK)\setminus\mathcal{A}_n(\KK)$ corrisponde ai sottogruppi $l\in\KK^{n+1}$ tali che $l\subset\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{n+1}=0\}\cong\KK^n$, cioè corrisponde a un $\PP(\KK^n)=\PP^{n-1}(\KK)$%??
Tali rette si dicono \textit{punti all'infinito} di $\mathcal{A}_n(\KK)$, intituivamente un punto all'infinito è il limite di un punto $P\in\mathcal{A}_n(\KK)$ che si allontana verso l'infinito di direzione $l$%??
Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con gli iperpiani $H_i=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{i}=1\}$.
Ogni 1-sottospazio $l\in\KK^{n+1}$ interseca almeno uno degli $H_i$ in un punto.
\subsection{Complementi sugli spazi affini}
\begin{itemize}
Alcuni esempi visti a lezione: %da tenere ?
\begin{itemize}
\item$A_1(\KK)$ agisce transitivamente su $\mathcal{A}_1(\KK)$. Non agisce liberamente se $x_0\in\mathcal{A}_1(\KK)$
\item$\mathcal{A}_1(\KK)$ agisce in maniera semplicemente transitiva sulle coppie di punti $(P_1,P_2), P_1\neq P_2$
\item Siano $P_1,P_2,P_3$, $Q_1,Q_2,Q_3$ due terne di punti distinti, allora esiste ed è unica $f\in\mathcal{A}_1(\KK)$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1,2,3\iff\lambda(P_1,P_2,P_3)=\lambda(Q_1,Q_2,Q_3)$ dove $\lambda(P_1,P_2,P_3)$ è definito dal \textit{rapporto semplice}$P_3-P_1=\lambda(P_2-P_1)$ ($\iff P_3=(1-\lambda)P_1+\lambda P_2$)
%vari esempi di posizione tra rette e numero di parametri di dipendenza. da inserire (?)
\item$A,B$ sottospazi affini $\implies D\cap D'=\emptyset$ oppure $D\cap D'$ è un sottospazio affine.
\item se $A \cap B \neq\emptyset$, vale la formula di Grassmann,
\item se $A \cap B =\emptyset$, $\dim(A + B)=\dim A +\dim B -\dim(A_0\cap B_0)+1$,
\item ogni affinità $f(\x)= M \x+\vec t$ può scriversi in forma matriciale
@ -2213,15 +2331,73 @@
\[\Matrix{M &\vec t \\0&1}. \]
\end{itemize}
La matrice $\MM(p \circ f)$, con $f(\x)= M\x+\vec t$, varia nel seguente
\subsection{Coniche}%problema di notazione, come fare A maiuscola corsiva da sostituire a \matchal{A} (?)
Una conica in $\mathcal{A}_2(\KK)$ è il luogo delle soluzioni di un polinomio di secondo grado $p(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$.
(Notare che il polinomio può non avere soluzioni ed è invariante per la moltiplicazione per uno scalare diverso da 0).
Più in generale chiamiamo \textit{quadrica} in $\mathcal{A}_n(\KK)$ il luogo degli zeri di un polinomio di secondo grado in n variabili $p(x_1,\ldots,x_n)$
\[p(\x)=\x^\top\AA\x+2\Vec{b}^\top\x+c\]
dove $\AA$ è la matrice dei coefficienti dei fattori di grado 2, $\Vec{b}$ è il vettore dei coefficienti dei fattori lineari e $c$ è il termine noto del polinomio.
Definiamo inoltre la matrice $\MM(p)=\begin{pmatrix}
\AA(p) &\mathcal{L}(p) \\
\mathcal{L}(p)^\top& c
\end{pmatrix}$
Nel caso di una conica determinata dal polinomio $p(x,y)=a_{1,1}x^2+a_{1,2}xy+a_{2,2}y^2+a_{1,3}x+a_{2,3}y+a_{3,3}$ abbiamo che:
$\AA(p)=\begin{pmatrix}
a_{1,1}&\frac{a_{1,2}}{2}\\
\frac{a_{1,2}}{2}& a_{2,2}
\end{pmatrix}$
$\Vec{b}=\mathcal{L}(p)=\begin{pmatrix}
\frac{a_{1,3}}{2}\\
\frac{a_{2,3}}{2}
\end{pmatrix}$
$c=a_{3,3}$
$\MM(p)=\begin{pmatrix}
a_{1,1}&\frac{a_{1,2}}{2}&\frac{a_{1,3}}{2}\\
\frac{a_{1,2}}{2}& a_{2,2}&\frac{a_{2,3}}{2}\\
\frac{a_{1,3}}{2}&\frac{a_{2,3}}{2}& a_{3,3,}\\
\end{pmatrix}$
Sia $f\in A_n(\KK)$, $f(\x')=M\x'+\Vec{t}$, $M\in GL_n(\KK), t\in\KK^n$.
ponendo $\x=M\x'+\Vec{t}$ troviamo:
\[p'(\x')=\x'^{\top} A'\x'+2\Vec{b'}^\top\x'+c'\]
con $\AA'=M^\top\AA M$, $\Vec{b}'=M^\top(\AA\Vec{t}+\Vec{b})$, $c'=p(\Vec{t})$.
La matrice $\MM(p \circ f)$, varia nel seguente
modo:
\begin{gather*}
\tiny
\MM(p \circ f) = {\hat M}^\top\MM(p) \hat M = \\\Matrix{M^\top\AA(p) M &\rvline& M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p)) \,\\\hline\,\left(M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p))\right)^\top&\rvline& p(\vec t)},
\end{gather*}
Una conica è a centro se e solo se è risolvibile il sistema $\AA(p)\vec t +\Ll(p)=\vec0$.
Sia $C=\{\x\in\mathcal{A}_n(\KK)\mid p(\x)=0\}$.
$C$ si dice \textit{a centro} se $\exists\x_0\in\mathcal{A}_n(\KK)$ t.c. $p(\x_0+\x)=p(x_0-\x)\forall\x\in\KK^n$
Si dirà che $\x_0$ è un centro di simmetria.
Alternativamente $C$ è a centro $\x_0\iff\MM(p \circ f)=\begin{pmatrix}
\AA& 0 \\
0 & c
\end{pmatrix}$
Oppure ancora una conica è a centro se e solo se è risolvibile il sistema $\AA(p)\vec t +\Ll(p)=\vec0$.
I centri della quadriche (quando ci sono) formano un sottospazio affine di dimensione $n-rg(\AA)$
Diremo che la conica $C$ è \textit{non degenere} quando $rg(\MM(p))=3$
\subsection{Classificazione delle coniche}
Classificazione \textit{affine}: si trova una forma canonica nelle orbite del gruppo affine $A_n(\KK)$.
se $V$ è euclideo su $\RR$, si può introdurre la distanza $d(P,Q)=\norm{Q-P}$.
Le isometrie di $E$ sono quelle affinità che preservano la distanza e formano il gruppo $ISO(E)$.
Classificazione \textit{isometrica}: Si trovano forme canoniche nelle orbite rispetto a $ISO(E)$%???
Sia $\KK=\CC$. Allora ogni conica è affinemente equivalente ad
un'equazione canonica della seguente tabella, unicamente
determinata dagli invarianti $\rg(\MM(p))$ e $\rg(\AA(p))$.
@ -2268,4 +2444,4 @@
Gabriel Antonio Videtta, \url{https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/}
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