\author{A cura di Gabriel Antonio Videtta\footnote{Basato su un layout di \underline{Luca Lombardo} e di \underline{Francesco Sorce}.}\\\href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{\texttt{g.videtta1@studenti.unipi.it}}\\[0.3in] Testo basato sul contenuto del corso del prof. Maurelli e del prof. Trevisan.}
\author{A cura di Gabriel Antonio Videtta\footnote{Basato su un layout di \underline{Luca Lombardo} e di \underline{Francesco Sorce}.}\\\href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{\texttt{g.videtta1@studenti.unipi.it}}\\[0.3in] Testo basato sul contenuto del corso del prof. Maurelli \\e del prof. Trevisan tenutosi presso l'Università di Pisa.}
\item$f(A_i)\goesup x$ -- la successione $(f(A_i))_{i \in\NN}$ a valori
in $\RR$ è crescente al crescere di $i$ e ha come limite $x$.
@ -65,6 +69,8 @@
\end{itemize}
\section*{Combinatoria}
\addcontentsline{toc}{section}{Combinatoria}
\begin{itemize}
\item$D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}$ -- numero di disposizioni ottenute prendendo
$k$ elementi tra $n$ oggetti.
@ -78,9 +84,12 @@
\end{itemize}
\section*{Teoria degli insiemi}
\addcontentsline{toc}{section}{Teoria degli insiemia}
\begin{itemize}
\item$\PP(\Omega)$ -- insieme delle parti di $\Omega$, ossia insieme
dei sottoinsiemi di $\Omega$.
\item$\restr{f}{A}$ -- restrizione della funzione al dominio $A$.
\item$A \cupdot B$ -- unione disgiunta di $A$ e $B$, ovverosia $A \cup B$ con
l'ipotesi che $A \cap B =\emptyset$ (la notazione si estende naturalmente a
una famiglia di insiemi a due a due disgiunti).
@ -120,21 +129,37 @@
\item$\groupto$ -- simbolo utilizzato al posto $\to$ quando si elencano
più funzioni che condividono o lo stesso dominio o lo stesso codominio (e.g.~$f$, $g : A$, $B \groupto C$ elenca una funzione $f : A \to C$ e una $g : B \to C$; $f$, $g : A \groupto B$, $C$ elenca una funzione
\item$\tau(X)$ -- dato $X$ spazio metrico, insieme degli aperti di $X$, ossia topologia di $X$.
\item spazio separabile -- spazio topologico contenente un denso, ossia un insieme la cui chiusura è tutto lo spazio (e.g.~$\QQ$ per $\RR$).
\item spazio II-numerabile -- spazio topologico che ammette una base numerabile.
\end{itemize}
\section*{Probabilità e teoria della misura}
\addcontentsline{toc}{section}{Probabilità e teoria della misura}
\begin{itemize}
\item$\Omega$ -- spazio campionario, l'insieme di tutti i possibili esiti dell'esperimento aleatorio considerato.
\item$\sigma(\tau)$ -- $\sigma$-algebra generata dalla famiglia $\tau\subseteq\PP(\Omega)$.
\item$\sigma\{A_1, \ldots, A_n\}$ -- $\sigma$-algebra generata dalla famiglia
$\tau=\{A_1, \ldots, A_n\}\subseteq\PP(\Omega)$.
\item$\BB(X)$ -- $\sigma$-algebra dei boreliani, ossia $\sigma$-algebra generata dagli aperti di $X$ spazio metrico separabile.
\item$\FF$ -- $\sigma$-algebra relativa a $\Omega$, ossia l'insieme dei possibili eventi.
\item$(\Omega, \FF)$ -- spazio misurabile.
\item$\pi$-sistema -- insieme $I \subseteq\FF$, $I \neq\emptyset$ con $(\Omega, \FF)$ spazio misurabile, $\sigma(I)=\FF$ e $I$ chiuso per intersezioni.
\item$\mu$ -- misura su uno spazio misurabile.
\item$m$ -- misura di Lebesgue sullo spazio misurabile $(\RR, \BB(\RR))$.
\item$P$ -- misura di probabilità su uno spazio misurabile.
\item$(\Omega, \FF, P)$ -- spazio di probabilità.
\item\qc -- quasi certo/quasi certamente.
\item$p$ -- per $\Omega$ discreto, funzione di densità discreta.
\item f.d.r.~-- funzione di ripartizione, rispetto a una probabilità reale.
\item$F$, $F_P$ -- per una probabilità reale, funzione di ripartizione.
\item\va -- variabile aleatoria.
\item$P^X$ -- legge della v.a.~$X$ rispetto a $P$.
\item$p_X$ -- densità della legge della v.a.~$X$, rispetto a $P$.
\chapter*{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} di una normale standard}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} di una normale standard}
\chapter*{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} della normale standard \texorpdfstring{$N(0, 1)$}{N(0, 1)}}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} della normale standard \texorpdfstring{$N(0, 1)$}{N(0, 1)}}
Per $a \in\RR$ si definisce la funzione $\Phi(a)=\int_{-\infty}^a e^{-\nicefrac{x^2}{2}}\dx$. L'integrale $\Phi(\infty)\defeq\int_{-\infty}^a e^{-\nicefrac{x^2}{2}}\dx$ vale
esattamente $1$, mentre $\Phi(-\infty)\defeq0$. Per la parità di $e^{-\nicefrac{x^2}{2}}$ vale che $\Phi(a)=1-\Phi(-a)$ (\textbf{simmetria}). A partire da questa funzione si può calcolare
