feat(eps): considerazione sulla continuità sinistra di un f.d.r.

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/main.tex

@@ -12,7 +12,7 @@
 
 \title{\Huge{Schede riassuntive di \\ \textit{Elementi di Probabilità e Statistica}}}
 \date{A.A. 2023-2024 \\[0.6in] Ultimo aggiornamento: \today \\[1in] \href{https://eps.hearot.it}{\texttt{https://eps.hearot.it}}}
-\author{A cura di Gabriel Antonio Videtta\footnote{Basato su un layout di \underline{Luca Lombardo} e di \underline{Francesco Sorce}.} \\ \href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{\texttt{g.videtta1@studenti.unipi.it}} \\[0.3in] Testo basato sul contenuto del corso del prof. Maurelli e del prof. Trevisan.}
+\author{A cura di Gabriel Antonio Videtta\footnote{Basato su un layout di \underline{Luca Lombardo} e di \underline{Francesco Sorce}.} \\ \href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{\texttt{g.videtta1@studenti.unipi.it}} \\[0.3in] Testo basato sul contenuto del corso del prof. Maurelli \\ e del prof. Trevisan tenutosi presso l'Università di Pisa.}
 
 \begin{document}
 \maketitle

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/preamble.tex

@@ -73,6 +73,7 @@
 \newcommand{\PP}{\mathcal{P}}
 \newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
 \newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
 
 \newcommand{\pp}{\text{p\hspace{-0.7em}\raisebox{-3.4pt}{--}}\,\,}
 \newcommand{\pbern}{\pp}

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-notazioni.tex

@@ -5,6 +5,8 @@
 
 \begin{multicols*}{2}
     \section*{Algebra lineare}
+    \addcontentsline{toc}{section}{Teoria della misura}
+
     \begin{itemize}
         \item $q_\varphi$ -- dato uno spazio vettoriale $V$ equipaggiato con un
         prodotto scalare $\varphi$, $q_\varphi$ è la forma quadratica associatogli, ovverosia
@@ -33,6 +35,8 @@
     \end{itemize}
 
     \section*{Analisi matematica}
+    \addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}
+
     \begin{itemize}
         \item $f(A_i) \goesup x$ -- la successione $(f(A_i))_{i \in \NN}$ a valori
         in $\RR$ è crescente al crescere di $i$ e ha come limite $x$.
@@ -65,6 +69,8 @@
     \end{itemize}
 
     \section*{Combinatoria}
+    \addcontentsline{toc}{section}{Combinatoria}
+
     \begin{itemize}
         \item $D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$ -- numero di disposizioni ottenute prendendo
         $k$ elementi tra $n$ oggetti.
@@ -78,9 +84,12 @@
     \end{itemize}
 
     \section*{Teoria degli insiemi}
+    \addcontentsline{toc}{section}{Teoria degli insiemia}
+
     \begin{itemize}
         \item $\PP(\Omega)$ -- insieme delle parti di $\Omega$, ossia insieme
         dei sottoinsiemi di $\Omega$.
+        \item $\restr{f}{A}$ -- restrizione della funzione al dominio $A$.
         \item $A \cupdot B$ -- unione disgiunta di $A$ e $B$, ovverosia $A \cup B$ con
         l'ipotesi che $A \cap B = \emptyset$ (la notazione si estende naturalmente a
         una famiglia di insiemi a due a due disgiunti).
@@ -120,21 +129,37 @@
         \item $\groupto$ -- simbolo utilizzato al posto $\to$ quando si elencano
         più funzioni che condividono o lo stesso dominio o lo stesso codominio (e.g.~$f$, $g : A$, $B \groupto C$ elenca una funzione $f : A \to C$ e una $g : B \to C$; $f$, $g : A \groupto B$, $C$ elenca una funzione
         $f : A \to B$ e una $g : A \to C$).
-        
+    \end{itemize}
+
+    \section*{Topologia generale}
+    \addcontentsline{toc}{section}{Topologia generale}
+
+    \begin{itemize}
+        \item $\tau(X)$ -- dato $X$ spazio metrico, insieme degli aperti di $X$, ossia topologia di $X$.
+        \item spazio separabile -- spazio topologico contenente un denso, ossia un insieme la cui chiusura è tutto lo spazio (e.g.~$\QQ$ per $\RR$).
+        \item spazio II-numerabile -- spazio topologico che ammette una base numerabile.
     \end{itemize}
 
     \section*{Probabilità e teoria della misura}
+    \addcontentsline{toc}{section}{Probabilità e teoria della misura}
+
     \begin{itemize}
         \item $\Omega$ -- spazio campionario, l'insieme di tutti i possibili esiti dell'esperimento aleatorio considerato.
         \item $\sigma(\tau)$ -- $\sigma$-algebra generata dalla famiglia $\tau \subseteq \PP(\Omega)$.
         \item $\sigma\{A_1, \ldots, A_n\}$ -- $\sigma$-algebra generata dalla famiglia
         $\tau = \{A_1, \ldots, A_n\} \subseteq \PP(\Omega)$.
+        \item $\BB(X)$ -- $\sigma$-algebra dei boreliani, ossia $\sigma$-algebra generata dagli aperti di $X$ spazio metrico separabile.
         \item $\FF$ -- $\sigma$-algebra relativa a $\Omega$, ossia l'insieme dei possibili eventi.
         \item $(\Omega, \FF)$ -- spazio misurabile.
+        \item $\pi$-sistema -- insieme $I \subseteq \FF$, $I \neq \emptyset$ con $(\Omega, \FF)$ spazio misurabile, $\sigma(I) = \FF$ e $I$ chiuso per intersezioni.
+        \item $\mu$ -- misura su uno spazio misurabile.
+        \item $m$ -- misura di Lebesgue sullo spazio misurabile $(\RR, \BB(\RR))$.
         \item $P$ -- misura di probabilità su uno spazio misurabile.
         \item $(\Omega, \FF, P)$ -- spazio di probabilità.
         \item \qc -- quasi certo/quasi certamente.
         \item $p$ -- per $\Omega$ discreto, funzione di densità discreta.
+        \item f.d.r.~-- funzione di ripartizione, rispetto a una probabilità reale.
+        \item $F$, $F_P$ -- per una probabilità reale, funzione di ripartizione.
         \item \va -- variabile aleatoria.
         \item $P^X$ -- legge della v.a.~$X$ rispetto a $P$.
         \item $p_X$ -- densità della legge della v.a.~$X$, rispetto a $P$.

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/3-probabilità-reale.tex

@@ -134,10 +134,10 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
     Tutte le affermazioni seguono immediatamente dalla prima.
 \end{proposition}
 
-\begin{definition}[Insiemi $\mu$-trascurabili e proprietà che accadono $\mu$-quasi sempre]
+\begin{definition}[Insiemi $\mu$-trascurabili e proprietà che accadono $\mu$-quasi certamente]
     Un insieme $A \in \FF$ si dice \textbf{$\mu$-trascurabile} se
     $\mu(A) = 0$. Una proprietà $M$ si dice che accade
-    $\mu$-quasi sempre ($\mu$-q.a.) se esiste $A \in \FF$ $\mu$-trascurabile per cui
+    $\mu$-quasi certamente ($\mu$-q.c.) se esiste $A \in \FF$ $\mu$-trascurabile per cui
     $M$ accade per $A^c$.
 \end{definition}
 

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/tabella-phi.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 %--------------------------------------------------------------------
-\chapter*{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} di una normale standard}
-\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} di una normale standard}
+\chapter*{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} della normale standard \texorpdfstring{$N(0, 1)$}{N(0, 1)}}
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} della normale standard \texorpdfstring{$N(0, 1)$}{N(0, 1)}}
 
 Per $a \in \RR$ si definisce la funzione $\Phi(a) = \int_{-\infty}^a e^{-\nicefrac{x^2}{2}} \dx$. L'integrale $\Phi(\infty) \defeq \int_{-\infty}^a e^{-\nicefrac{x^2}{2}} \dx$ vale
 esattamente $1$, mentre $\Phi(-\infty) \defeq 0$. Per la parità di $e^{-\nicefrac{x^2}{2}}$ vale che $\Phi(a) = 1 - \Phi(-a)$ (\textbf{simmetria}). A partire da questa funzione si può calcolare
@@ -16,7 +16,7 @@ $a > 0$, allora $\int_{-a}^a e^{-\nicefrac{x^2}{2}} \dx = \Phi(a) - \Phi(-a) = 2
 
 \endhead
 
-\hline \multicolumn{3}{|r|}{{Continued on next page}} \\ \hline
+\hline \multicolumn{3}{|r|}{{Continua nella prossima pagina}} \\ \hline
 \endfoot
 
 \hline