Siano $f : X \to\RR$ e $\xbar$ punto di accumulazione di $X$.
Siano $L \in\RRbar$ e $\tilde{f} : X \cup\{\xbar\}\to\RRbar$ tale
che:
che\footnote{Tale costruzione si chiama \textbf{estensione continua} di $f$, nel caso in cui $L$ sia proprio
$\lim_{x \to\xbar} f(x)$.}:
\[\tilde{f}(x)=\begin{cases}
L &\text{se } x = \xbar, \\
@ -454,7 +455,7 @@
\begin{corollary} (dei valori intermedi) Dati $I =(a, b)$ e
$f : I \to\RRbar$ continua, allora $y_1$, $y_2\in f(I)\implies
[y_1, y_2] \subseteq f(I)$(ossia $f$ assume tutti i valori
compresi tra $y_1$ e $y_2$).
compresi tra $y_1$ e $y_2$; e quindi $f(I)$ è un insieme convesso di $\RR$).
\end{corollary}
\begin{proof}
@ -464,15 +465,38 @@
$y \in f(I)$, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{proposition}
Gli unici insiemi convessi di $\RR$ sono gli intervalli.
\end{proposition}
\begin{proof}
La dimostrazione del fatto che gli intervalli siano convessi è banale. Si dimostra piuttosto
che ogni insieme convesso di $\RR$ è un intervallo. Sia $A$ dunque un insieme convesso di $\RR$,
e si considerino $a :=\inf A$ e $b :=\sup A$. Sia $x \in(a, b)$. Se non esistesse un punto $c \in A$
tale che $a < c < x$, $x$ sarebbe un estremo inferiore di $A$, \Lightning. Pertanto tale punto $c$ esiste.
Analogamente si può dire per un punto $d \in A$ tale che $x < d < b$. Allora, poiché $A$ è convesso,
$[c, d]\subseteq A$, e in particolare $x \in A$. Pertanto vale che $(a, b)\subseteq A$. Poiché
$a$ e $b$ sono, rispettivamente, estremo inferiore e superiore di $A$, non possono esistere altri punti
non appartenenti a $[a, b]$, ma appartenenti ad $A$. Quindi $A$ può variare a seconda dell'appartenenza
o meno di questi estremi tra questi insiemi:
\begin{enumerate}[(i)]
\item$A =(a, b)$, se $a$, $b \notin A$,
\item$A =[a, b)$, se $a \in A$, ma $b \notin A$,
\item$A =(a, b]$, se $b \in A$, ma $a \notin A$,
\item$A =[a, b]$, se $a$, $b \in A$.
\end{enumerate}
In ognuno di questi casi $A$ è un intervallo, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{remark}
In realtà, la dimostrazione del teorema dei valori intermedi
si basa sul fatto che gli unici insiemi convessi di $\RR$ sono
gli intervalli (da sopra segue infatti che $f(I)$ è un intervallo).
%TODO: dimostrare.
Una delle principali conseguenze del teorema dei valori intermedi è allora che $f(I)$ stesso è un intervallo,
dal momento che è un insieme convesso di $\RR$.
\end{remark}
\begin{theorem} (di Weierstrass) Sia $I$ un intervallo chiuso\footnote{In realtà è sufficiente che $I$ sia chiuso, ossia che contenga i suoi punti
di accumulazione} e sia
di accumulazione.} e sia
$f : I \to\RRbar$ continua. Allora esistono $x_m$ e $x_M$ punti
di massimo e minimo assoluti.
\end{theorem}
@ -492,12 +516,20 @@
$m \in f(I)$, da cui si ricava che $f(I)$ ammette un minimo,
ovvverosia la tesi.
\end{proof}
\begin{remark}
In particolare, una conseguenza del teorema di Weierstrass è che, nel caso di $I$ chiuso,
considerando $f : I \to\RRbar$ continua, non solo $f(I)$ è un intervallo, ma è anche un
intervallo chiuso.
\end{remark}
\begin{remark} (algoritmo max. e min.) Si consideri $\tilde{f} : \tilde{I}\to\RRbar$. Allora, poiché $\tilde{f}$ è continua ed è definita su
\begin{remark} (algoritmo di ricerca dei massimi e dei minimi) Sia $f : I \to\RRbar$ la funzione continua di cui si
ricerca i massimi e i minimi. Si ipotizzi\footnote{Non è infatti sempre possibile considerarne un'estensione continua (e.g.~$\sin(\frac1{x})$, il seno del topologo); ciò accade qualora non esista almeno uno dei limiti negli estremi dell'intervallo di $I$.} di poter considerare $\tilde{f} : \overline{I}\to\RRbar$, ossia l'estensione
continua di $f$. Allora, poiché $\tilde{f}$ è continua ed è definita su
un intervallo chiuso, per Weierstrass ammette un massimo e un
minimo. Preso per esempio il minimo, esso potrebbe essere un
estremo di $\tilde{I}$, oppure è un punto derivabile (e quindi è
stazionario), oppure non è derivabile.
estremo di $\tilde{I}$, oppure un punto stazionario di $f$, o infine un punto dell'intervallo $I$ in cui
la funzione $f$ non è derivabile. Analogamente l'algoritmo di ricerca funziona per i massimi di $f$.
