feat(analisi): aggiorna gli appunti del 28/03/2023

Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, 28, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex

@@ -98,7 +98,8 @@
 	\begin{proposition}
 		Siano $f : X \to \RR$  e $\xbar$ punto di accumulazione di $X$.
 		Siano $L \in \RRbar$ e $\tilde{f} : X \cup \{\xbar\} \to \RRbar$ tale
-		che:
+		che\footnote{Tale costruzione si chiama \textbf{estensione continua} di $f$, nel caso in cui $L$ sia proprio
+			$\lim_{x \to \xbar} f(x)$.}:
 		
 		\[ \tilde{f}(x) = \begin{cases}
 			L & \text{se } x = \xbar, \\
@@ -454,7 +455,7 @@
 	\begin{corollary} (dei valori intermedi) Dati $I = (a, b)$ e
 		$f : I \to \RRbar$ continua, allora $y_1$, $y_2 \in f(I) \implies
 		[y_1, y_2] \subseteq f(I)$ (ossia $f$ assume tutti i valori
-		compresi tra $y_1$ e $y_2$).
+		compresi tra $y_1$ e $y_2$; e quindi $f(I)$ è un insieme convesso di $\RR$).
 	\end{corollary}
 
 	\begin{proof}
@@ -464,15 +465,38 @@
 		$y \in f(I)$, da cui la tesi. 
 	\end{proof}
 
+	\begin{proposition}
+		Gli unici insiemi convessi di $\RR$ sono gli intervalli.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		La dimostrazione del fatto che gli intervalli siano convessi è banale. Si dimostra piuttosto
+		che ogni insieme convesso di $\RR$ è un intervallo. Sia $A$ dunque un insieme convesso di $\RR$,
+		e si considerino $a := \inf A$ e $b := \sup A$. Sia $x \in (a, b)$. Se non esistesse un punto $c \in A$
+		tale che $a < c < x$, $x$ sarebbe un estremo inferiore di $A$, \Lightning. Pertanto tale punto $c$ esiste.
+		Analogamente si può dire per un punto $d \in A$ tale che $x < d < b$. Allora, poiché $A$ è convesso,
+		$[c, d] \subseteq A$, e in particolare $x \in A$. Pertanto vale che $(a, b) \subseteq A$. Poiché
+		$a$ e $b$ sono, rispettivamente, estremo inferiore e superiore di $A$, non possono esistere altri punti
+		non appartenenti a $[a, b]$, ma appartenenti ad $A$. Quindi $A$ può variare a seconda dell'appartenenza
+		o meno di questi estremi tra questi insiemi:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $A = (a, b)$, se $a$, $b \notin A$,
+			\item $A = [a, b)$, se $a \in A$, ma $b \notin A$,
+			\item $A = (a, b]$, se $b \in A$, ma $a \notin A$,
+			\item $A = [a, b]$, se $a$, $b \in A$.
+		\end{enumerate}
+	
+		In ognuno di questi casi $A$ è un intervallo, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
 	\begin{remark}
-		In realtà, la dimostrazione del teorema dei valori intermedi
-		si basa sul fatto che gli unici insiemi convessi di $\RR$ sono
-		gli intervalli (da sopra segue infatti che $f(I)$ è un intervallo).
-		%TODO: dimostrare.
+		Una delle principali conseguenze del teorema dei valori intermedi è allora che $f(I)$ stesso è un intervallo,
+		dal momento che è un insieme convesso di $\RR$.
 	\end{remark}
 
 	\begin{theorem} (di Weierstrass) Sia $I$ un intervallo chiuso\footnote{In realtà è sufficiente che $I$ sia chiuso, ossia che contenga i suoi punti
-	di accumulazione} e sia
+	di accumulazione.} e sia
 		$f : I \to \RRbar$ continua. Allora esistono $x_m$ e $x_M$ punti
 		di massimo e minimo assoluti.
 	\end{theorem}
@@ -492,12 +516,20 @@
 		$m \in f(I)$, da cui si ricava che $f(I)$ ammette un minimo,
 		ovvverosia la tesi.
 	\end{proof}
+
+	\begin{remark}
+		In particolare, una conseguenza del teorema di Weierstrass è che, nel caso di $I$ chiuso,
+		considerando $f : I \to \RRbar$ continua, non solo $f(I)$ è un intervallo, ma è anche un
+		intervallo chiuso.
+	\end{remark}
 	
-	\begin{remark} (algoritmo max. e min.) Si consideri $\tilde{f} : \tilde{I} \to \RRbar$. Allora, poiché $\tilde{f}$ è continua ed è definita su
+	\begin{remark} (algoritmo di ricerca dei massimi e dei minimi) Sia $f : I \to \RRbar$ la funzione continua di cui si
+		ricerca i massimi e i minimi. Si ipotizzi\footnote{Non è infatti sempre possibile considerarne un'estensione continua (e.g.~$\sin(\frac1{x})$, il seno del topologo); ciò accade qualora non esista almeno uno dei limiti negli estremi dell'intervallo di $I$.} di poter considerare $\tilde{f} : \overline{I} \to \RRbar$, ossia l'estensione
+		continua di $f$. Allora, poiché $\tilde{f}$ è continua ed è definita su
 		un intervallo chiuso, per Weierstrass ammette un massimo e un
 		minimo. Preso per esempio il minimo, esso potrebbe essere un
-		estremo di $\tilde{I}$, oppure è un punto derivabile (e quindi è
-			stazionario), oppure non è derivabile.
+		estremo di $\tilde{I}$, oppure un punto stazionario di $f$, o infine un punto dell'intervallo $I$ in cui
+		la funzione $f$ non è derivabile. Analogamente l'algoritmo di ricerca funziona per i massimi di $f$.
 	\end{remark}
 	
 \end{document}