diff --git a/Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-31, Teoria sulle derivate/main.pdf b/Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-31, 04, Teoria sulle derivate/main.pdf similarity index 54% rename from Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-31, Teoria sulle derivate/main.pdf rename to Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-31, 04, Teoria sulle derivate/main.pdf index 42d61cb..6ed60c9 100644 Binary files a/Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-31, Teoria sulle derivate/main.pdf and b/Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-31, 04, Teoria sulle derivate/main.pdf differ diff --git a/Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-31, Teoria sulle derivate/main.tex b/Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-31, 04, Teoria sulle derivate/main.tex similarity index 62% rename from Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-31, Teoria sulle derivate/main.tex rename to Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-31, 04, Teoria sulle derivate/main.tex index ee445cc..8588c27 100644 --- a/Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-31, Teoria sulle derivate/main.tex +++ b/Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-31, 04, Teoria sulle derivate/main.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}} \author{Gabriel Antonio Videtta} -\date{\today} +\date{4 aprile 2023} \begin{document} @@ -16,35 +16,61 @@ \Large \textbf{Teoria sulle derivate} \end{center} - \begin{definition} + \begin{definition} (derivata) Sia $f : X \subseteq \RR \to \RR$. Si definisce allora \textbf{derivata} di $f$ in $\xbar \in X$ punto di accumulazione, se esiste, il seguente limite: - \[f'(\xbar) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} = \lim_{x \to \xbar} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x - \xbar}.\] + \[Df(\xbar) = f'(\xbar) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} = \lim_{x \to \xbar} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x - \xbar}.\] + + \vskip 0.05in - Si definisce anche $f' : D \subseteq X \to \RR$ come la funzione derivata, - la quale associa ogni punto in cui la derivata di $f$ esiste a - tale derivata, dove $D$ è proprio l'insieme dei punti in cui questa esiste. + Qualora tale limite non esista, si dirà che non esiste la derivata + di $f$ in $\xbar$. Si definisce anche $f' : D \subseteq X \to \RRbar$ come la funzione derivata, + la quale associa ogni punto $\xbar$ in cui la derivata di $f$ esiste al + valore del limite computato in $\xbar$. \end{definition} - - %TODO: spiegare il perché dei domini \begin{definition} - $\xbar \in X$ si dice \textbf{derivabile} se e solo se $f'(\xbar)$ esiste ed è finito. + $\xbar \in X$ si dice \textbf{derivabile} se e solo se esiste la + derivata di $f$ in $\xbar$ e $f'(\xbar)$ è finito. \end{definition} \begin{remark}\nl \li L'insieme $D$ può essere vuoto. \\ \li Si definisce $f^{(n)}(\xbar)$ come la derivata $n$-esima di $f$ in $\xbar$. \\ - \li Si definisce $f^{(0)}(x) = f(x)$. \\ + \li Si definisce per convenzione $f^{(0)}(x) = f(x)$. \\ \li L'operazione di derivata è un operatore lineare. \\ - \li Si può definire la derivata sinistra e destra. + \end{remark} + + \begin{definition} (derivata destra e sinistra) + Dato $\xbar$ punto di accumulazione destro di $X$, si definisce + allora \textbf{derivata destra} di $f$ in $\xbar \in X$, se + esiste, il seguente limite: + + \[D_+ f(\xbar) = f_+'(\xbar) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} = \lim_{x \to \xbar^+} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x - \xbar}.\] + + \vskip 0.05in + + Qualora tale limite non esista, si dirà che non esiste la derivata destra di $f$ in $\xbar$. Analogamente, per un punto di accumulazione sinistro $\xbar \in X$, si definisce + la \textbf{derivata sinistra} di $f$ in $\xbar \in X$, se esiste, il seguente + limite: + + \[D_- f(\xbar) = f_-'(\xbar) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} = \lim_{x \to \xbar^-} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x - \xbar}.\] + \end{definition} + + \begin{remark}\nl + \li Se esistono sia la derivata sinistra che destra di $f$ in $\xbar$ + e coincidono, allora la derivata di $f$ in $\xbar$ esiste e + coincide con il valore di entrambe le due derivate. \\ + \li Vale anche il viceversa, se $\xbar$ è un punto di accumulazione + sia destro che sinistro: se esiste la derivata di $f$ in $\xbar$, + allora sia la derivata sinistra che destra esistono e coincidono + con la derivata. \end{remark} \begin{definition} - Si dice che $f : X \to \RR$ è derivabile se è derivabile in ogni - suo punto. + Si dice che $f : X \to \RR$ è derivabile se è derivabile $\forall x \in X$. \end{definition} \begin{definition} @@ -66,55 +92,62 @@ \end{proposition} \begin{proof} - Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar) - f'(\xbar) h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} - f'(\xbar) = 0$, da cui la prima tesi. \\ + Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar) - f'(\xbar) h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} - f'(\xbar) = f'(\xbar) - f'(\xbar) = 0$, da cui la prima tesi. \\ - Inoltre, se esiste $a$ come nelle ipotesi, $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{ah + o(h)}{h} = 0$, quindi $f$ è derivabile in $\xbar$ e $f'(\xbar) = a$. + Inoltre, se esiste $a$ come nelle ipotesi, $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{ah + o(h)}{h} = a + \lim_{h \to 0} \frac{o(h)}{h} = a + 0 = a$, quindi $f$ è derivabile in $\xbar$ e $f'(\xbar) = a$. \end{proof} \begin{corollary} - Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora è anche continua in $\xbar$. + Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora $f$ è anche continua in $\xbar$. \end{corollary} \begin{proof} Infatti, poiché $f(x) = f(\xbar) + f'(\xbar) (x - \xbar) + o(x-\xbar)$, - $\lim_{x \to \xbar} f(x) = f(\xbar)$, e quindi $f$ è continua in $\xbar$. %TODO: trovare esempio di derivabilità infinita e non continuità + $\lim_{x \to \xbar} f(x) = \lim_{x \to \xbar} f(\xbar) + \lim_{x \to \xbar} f'(\xbar)(x-\xbar) + \lim_{x \to \xbar} o(x - \xbar) = \lim_{x \to \xbar} f(\xbar) = f(\xbar)$, e quindi $f$ è continua in $\xbar$. \end{proof} + %TODO: trovare esempio di derivabilità infinita e non continuità + \begin{proposition} Siano $f_1$, $f_2 : X \to \RR$ entrambe derivabili in $\xbar$. Allora: \begin{enumerate}[(i)] \item $(f_1 + f_2)'(\xbar) = f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar)$, - \item $(f_1f_2)'(\xbar) f_1(\xbar) f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)$. + \item $(f_1f_2)'(\xbar)= f_1(\xbar) f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)$. \end{enumerate} \end{proposition} - \begin{proof} + \begin{proof}Poiché $f_1$ ed $f_2$ sono derivabili in $\xbar$, vale + che: + + \[ f_1(\xbar + h) = f_1(\xbar) + f_1'(\xbar) h + o(h), \qquad f_2(\xbar + h) = f_2(\xbar) + f_2'(\xbar) h + o(h). \] + \begin{enumerate}[(i)] - \item $\lim_{h \to 0} \frac{(f_1 + f_2)'(\xbar + h) - (f_1 + f_2)'(\xbar)(\xbar)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f_1(x+h) - f_1(x)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f_2(x+h) - f_2(x)}{h} = + \item $(f_1 + f_2)(\xbar + h) = (f_1 + f_2)(\xbar) + + (f_1' + f_2')(\xbar) h + o(h)$. Quindi, per la proposizione precedente, $(f_1 + f_2)'(\xbar) = (f_1' + f_2')(\xbar) = f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar)$. - \item Poiché $f_1$ ed $f_2$ sono derivabili in $\xbar$, - $f_1(\xbar + h) = f_1(\xbar) + f_1'(\xbar) h + o(h)$ e - $f_2(\xbar + h) = f_2(\xbar) + f_2'(\xbar) h + o(h)$, - da cui $(f_1 f_2)(\xbar + h) = (f_1f_2)(\xbar) + (f_1f_2'(\xbar) + - f_1'(\xbar) f_2(\xbar))h + o(h) \implies (f_1 f_2)'(\xbar) = (f_1f_2'(\xbar) + - f_1'(\xbar) f_2(\xbar)$. + \item $(f_1 f_2)(\xbar + h) = (f_1 f_2)(\xbar) + (f_1(\xbar)f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)) h + \underbrace{(f_1(\xbar) + f_2(\xbar)) o(h) + (f_1'f_2')(\xbar) h^2 + (f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar))h \cdot o(h) + o^2(h))}_{=o(h)} = + (f_1 f_2)(\xbar) + (f_1(\xbar)f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)) h + o(h)$. Quindi, per la proposizione precedente, $(f_1 f_2)'(\xbar) = f_1(\xbar)f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)$. \end{enumerate} \end{proof} \begin{proposition} - Siano $f : X \to Y$ e $g : Y \to \RR$, con $f$ derivabile in $\xbar$ e $g$ tale che - sia derivabile in $\ybar = f(\xbar)$. Allora $g \circ f$ è + Siano $f : X \to Y$ e $g : Y \to \RR$, con $f$ derivabile in $\xbar$ e $g$ derivabile in $\ybar := f(\xbar)$. Allora $g \circ f$ è derivabile in $\xbar$ e $(g \circ f)'(\xbar) = f'(\xbar) g'(\ybar)$. \end{proposition} \begin{proof} - Vale che $f(\xbar + h) = \ybar + f'(\xbar) h + o(h)$, e quindi - che $g(f(\xbar + h)) = g(\ybar + f'(\xbar) h + o(h))$. In particolare, - $g(\ybar + h) = g(\ybar) + g'(\ybar) h + o(h)$, e quindi - $g(f(\xbar + h)) = g(\ybar) + g'(\ybar) (f'(\xbar)h + o(h)) + - o(f'(\xbar) h + o(h)) = g(\ybar) + g'(\ybar) + g'(\ybar) f'(\xbar) h + o(h) \implies (g \circ f)'(\xbar) = g'(\ybar) f'(\xbar)$. + Poiché $f'(\xbar)$ è finito, $f(\xbar + h) = \ybar + f'(\xbar) h + o(h)$. Analogamente, $g(\ybar + h) = g(\ybar) + g'(\ybar) h + o(h)$. + Allora $g(f(\xbar + h)) = g(\ybar + (f'(\xbar) h + o(h))) = + g(\ybar) + g'(\ybar) (f'(\xbar) h + o(h)) + o(f'(\xbar) h + o(h)) = + g(\ybar) + g'(\ybar) f'(\xbar) h + o(h) + o(f'(\xbar) h + o(h))$. \\ + + Si osserva che $\lim_{h \to 0} \frac{o(f'(\xbar) h + o(h))}{h} = + \lim_{h \to 0} \frac{o(f'(\xbar) h + o(h))}{f'(\xbar) h + o(h)} \frac{f'(\xbar) h + o(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{o(f'(\xbar) h + o(h))}{f'(\xbar) h + o(h)} \lim_{h \to 0} \frac{f'(\xbar) h + o(h)}{h} = + 0 \cdot f'(\xbar) = 0$, e quindi che $o(f'(\xbar) h + o(h)) = o(h)$. + Allora $g(f(\xbar + h)) = g(\ybar) + g'(\ybar) f'(\xbar) h + o(h)$, + da cui si conclude che $(g \circ f)'(\xbar) = g'(\ybar) f'(\xbar)$. \end{proof} \begin{proposition} @@ -132,16 +165,20 @@ \begin{enumerate}[(i)] \item Poichè $f$ è derivabile in $\xbar$, $f$ è continua in $\xbar$. Quindi per ogni intorno $I$ di $\ybar$, esiste - un intorno $J$ di $\xbar$ tale per cui $f(I \cap X \setminus \{ \xbar \}) \subseteq J$, e poiché $I \cap X \setminus \{\xbar\}$ non - è mai vuoto perché $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$ a causa della derivabilità di $f$ in $\xbar$, $J$ contiene in particolare un immagine di $f$ in esso, e quindi un punto di $Y$; - inoltre, tale punto è diverso da $\ybar$ dacché $f$ è - iniettiva. Quindi $\ybar$ è un punto di accumulazione. - \item e (iii) Vale\footnote{Nel dire che $h \to 0$, si è usato che $g$ è - continua in $\ybar$.} che $\ybar + k = f(g(\ybar + k)) = f(g(\ybar) + (\underbrace{g(\ybar + k) - g(\ybar)}_h)) = f(\xbar + h) = - f(\xbar) + f'(\xbar) h + o(h) = \ybar + f'(\xbar) h + o(h)$. Quindi $k = f'(\xbar) h + o(h)$. Dal momento che $f'(\xbar) \neq 0$ - per ipotesi, $h \sim \frac{k}{f'(\xbar)}$. Quindi - $\lim_{k \to 0} \frac{g(\ybar + k) - g(\ybar)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{h}{k} = \frac{1}{f'(\xbar)}$. Quindi la derivata esiste - ed è proprio come desiderata nella tesi. + un intorno $J$ di $\xbar$ tale per cui $f(I \cap X \setminus \{ \xbar \}) \subseteq J$. Inoltre, $I \cap X \setminus \{\xbar\}$ non + è mai vuoto, dacché, essendo $f$ derivabile in $\xbar$, $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$. Quindi $J$ contiene in particolare un immagine di $f$ in esso, e quindi un punto di $Y$; + inoltre, tale punto è diverso da $\ybar$ dal momento che $f$ è + iniettiva, essendo bigettiva. Quindi $\ybar$ è un punto di accumulazione. + \item e \!(iii) Poiché $f$ è derivabile in $g(\ybar)$, + $\ybar + h = f(g(\ybar + h)) = f(g(\ybar) + (\underbrace{g(\ybar + h) - g(\ybar)}_k)) = \ybar + f'(\xbar) k + + o(k)$, ossia vale che: + + \[ h = f'(\xbar) k + o(k). \] + + Dal momento che $g$ è continua in $\ybar$, $k \tends{h \to 0} 0$, e + quindi $o(k) \tends{h \to 0} 0$. Quindi, per $h \to 0$, $k \sim \frac{h}{f'(\xbar)}$. Si conclude + dunque che $\lim_{h \to 0} \frac{g(\ybar + h) - g(\ybar)}{h} = + \lim_{h \to 0} \frac{k}{h} = \frac{1}{f'(\xbar)}$. \end{enumerate} \end{proof} @@ -152,7 +189,7 @@ \[ f(x) = \system{x & \se x \geq 0, \\ -(x+2) & \se -2 < x \leq -1.} \] dove $f'(0) = 1$, $f$ è invertibile, ma la derivata di $g$ in $0$ non - esiste ($D_+ g(0) = 1)$, ma $D_- g(0) = +\infty$). + esiste ($D_+ g(0) = 1$, ma $D_- g(0) = +\infty$). \end{example} \begin{theorem} (di Fermat)