diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf index 2b4f64c..ea26b4f 100644 Binary files a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf and b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex index b08436e..08052fd 100644 --- a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex +++ b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex @@ -1054,10 +1054,19 @@ Quindi $\varphi(\rho_W(\vv 1), \rho_W(\vv 2)) = \varphi(\ww 1, \ww 2) + \varphi(\ww 1', \ww 2) + \varphi(\ww 1, \ww 2') + \varphi(\ww 1', \ww 2') = \varphi(\vv 1, \vv 2)$. \end{remark} + % TODO: dimostrare sia il lemma che il teorema + + \begin{lemma} + Siano $\U$, $\w \in V$. Se $\norm{\U} = \norm{\w}$, allora esiste un sottospazio $W$ di dimensione + $n-1$ per cui la riflessione $\rho_W$ è tale che $\rho_W(\U) = \w$. + \end{lemma} + \begin{theorem} Ogni isometria è prodotto di al più $n+1$ riflessioni. \end{theorem} + \setcounter{lemma}{0} + \hr \begin{lemma} @@ -1176,4 +1185,145 @@ e quello di nullità è la molteplicità algebrica di $0$ come autovalore (ossia esattamente la dimensione di $V^\perp_\varphi = \Ker a_\varphi$). \end{remark} + + \begin{theorem} [di triangolazione con base ortonormale] + Sia $f \in \End(V)$, dove $(V, \varphi)$ è uno spazio euclideo su $\KK$. Allora, + se $p_f$ è completamente riducibile in $\KK$, esiste una base ortonormale $\basis$ + tale per cui $M_\basis(f)$ è triangolare superiore (ossia esiste una base ortonormale + a bandiera per $f$). + \end{theorem} + + \begin{proof} + Per il teorema di triangolazione, esiste una base $\basis$ a bandiera per $f$. Allora, + applicando l'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, si può ottenere da $\basis$ + una nuova base $\basis'$ ortonormale e che mantenga le stesse bandiere. Allora, + se $\basis' = \{ \vv1, \ldots, \vv n \}$ è ordinata, dacché $\Span(\vv 1, \ldots, \vv i)$ è $f$-invariante, + $f(\vv i) \in \Span(\vv 1, \ldots, \vv i)$, e quindi $M_{\basis'}(f)$ è triangolare superiore, da cui la tesi. + \end{proof} + + \begin{corollary} + Sia $A \in M(n, \RR)$ (o $M(n, \CC)$) tale per cui $p_A$ è completamente riducibile. + Allora $\exists P \in O_n$ (o $U_n$) tale per cui + $P\inv A P = P^\top A P$ (o $P\inv A P = P^* A P$) è triangolare superiore. + \end{corollary} + + \begin{proof} + Si consideri l'operatore $f_A$ indotto da $A$ in $\RR^n$ (o $\CC^n$). Sia $\basis$ la base canonica di $\RR^n$ (o di $\CC^n$). Allora, per il teorema + di triangolazione con base ortonormale, esiste una base ortonormale $\basis' = \{ \vv1, \ldots, \vv n \}$ di $\RR^n$ (o di $\CC^n$) + tale per cui $T = M_{\basis'}(f_A)$ è triangolare superiore. Si osserva inoltre che $M_{\basis}(f_A) = A$ e che $P = M_{\basis}^{\basis'} (f_A) = \Matrix{\vv 1 & \rvline & \cdots & \rvline & \vv n}$ è ortogonale (o unitaria), dacché le sue colonne + formano una base ortonormale. Allora, dalla formula del cambiamento di base per la applicazioni lineari, + si ricava che: + + \[ A = P T P\inv \implies T = P\inv T P, \] + + da cui, osservando che $P\inv = P^\top$ (o $P\inv = P^*$), si ricava la tesi. + \end{proof} + + \begin{definition} [operatore normale] + Sia $(V, \varphi)$ uno spazio euclideo reale. Allora $f \in \End(V)$ si dice \textbf{normale} + se commuta con il suo trasposto (i.e.~se $f f^\top = f^\top f$). Analogamente, + se $(V, \varphi)$ è uno spazio euclideo complesso, allora $f$ si dice normale se commuta con il suo + aggiunto (i.e.~se $f f^* = f^* f$). + \end{definition} + + \begin{definition} [matrice normale] + Una matrice $A \in M(n, \RR)$ (o $M(n, \CC)$) si dice \textbf{normale} se $A A^\top = A^\top A$ (o $A A^* = A^* A$). + \end{definition} + + \begin{remark}\nl + \li Se $A \in M(n, \RR)$ e $A$ è simmetrica ($A = A^\top$), antisimmetrica ($A = -A^\top$) o + ortogonale ($A A^\top = A^\top A = I_n$), sicuramente $A$ è normale. \\ + \li Se $A \in M(n, \CC)$ e $A$ è hermitiana ($A = A^*$), antihermitiana ($A = -A^*$) o + unitaria ($A A^* = A^* A = I_n$), sicuramente $A$ è normale. \\ + \li $f$ è normale $\iff$ $M_\basis(f)$ è normale, con $\basis$ ortonormale di $V$. \\ + \li $A$ è normale $\iff$ $f_A$ è normale, considerando che la base canonica di $\CC^n$ è già + ortonormale rispetto al prodotto hermitiano standard. \\ + \li Se $V$ è euclideo reale, $f$ è normale $\iff$ $f_\CC$ è normale. Infatti, se $f$ è normale, $f$ e $f^\top$ + commutano. Allora anche $f_\CC$ e $(f^\top)_\CC = (f_\CC)^*$ commutano, e quindi $f_\CC$ è normale. + Ripercorrendo i passaggi al contrario, si osserva infine che vale anche il viceversa. + \end{remark} + + \setcounter{lemma}{0} + + \begin{lemma} + Sia $A \in M(n, \CC)$ triangolare superiore e normale (i.e.~$A A^* = A^* A$). Allora + $A$ è diagonale. + \end{lemma} + + \begin{proof} + Se $A$ è normale, allora $(A^*)_i A^i = \conj{A}\,^i A^i$ deve essere uguale a + $A_i (A^*)^i = A_i \conj{A}_i$ $\forall 1 \leq i \leq n$. Si dimostra per induzione + su $i$ da $1$ a $n$ che tutti gli elementi, eccetto per quelli diagonali, delle + righe $A_1$, ..., $A_i$ sono nulli. \\ + + \basestep Si osserva che valgono le seguenti identità: + + \begin{gather*} + \conj{A}\,^1 A^1 = \abs{a_{11}}^2, \\ + A_1 \conj{A}_1 = \abs{a_{11}}^2 + \abs{a_{12}}^2 + \ldots + \abs{a_{1n}}^2. + \end{gather*} + + Dovendo vale l'uguaglianza, si ricava che $\abs{a_{12}}^2 \ldots + \abs{a_{1n}}^2$, + e quindi che $\abs{a_{1i}}^2 = 0 \implies a_{1i} = 0$ \, $\forall 2 \leq i \leq n$, + dimostrando il passo base\footnote{Gli altri elementi sono infatti già nulli per ipotesi, essendo + $A$ triangolare superiore}. \\ + + \inductivestep Analogamente a prima, si considerano le seguenti identità: + + \begin{gather*} + \conj{A}\,^i A^i = \abs{a_{1i}}^2 + \ldots + \abs{a_{ii}}^2 = \abs{a_{ii}}^2, \\ + A_i \conj{A}_i = \abs{a_{ii}}^2 + \abs{a_{i(i+1)}}^2 + \ldots + \abs{a_{in}}^2, + \end{gather*} + + dove si è usato che, per il passo induttivo, tutti gli elementi, eccetto per quelli diagonali, delle + righe $A_1$, ..., $A_{i-1}$ sono nulli. Allora, analogamente a prima, si ricava che + $a_{ij} = 0$ \, $\forall i < j \leq n$, dimostrando il passo induttivo, e quindi la tesi. + \end{proof} + + \begin{remark} + Chiaramente vale anche il viceversa del precedente lemma: se infatti $A \in M(n, \CC)$ è diagonale, + $A$ è anche normale, dal momento che commuta con $A^*$. + \end{remark} + + \begin{theorem} + Sia $(V, \varphi)$ uno spazio euclideo complesso. Allora $f$ è un operatore normale $\iff$ esiste + una base ortonormale $\basis$ di autovettori per $f$. + \end{theorem} + + \begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\ + + \rightproof Poiché $\CC$ è algebricamente chiuso, $p_f$ è sicuramente riducibile. Pertanto, + per il teorema di triangolazione con base ortonormale, esiste una base ortonormale $\basis$ + a bandiera per $f$. In particolare, $M_\basis(f)$ è sia normale che triangolare superiore. + Allora, per il \textit{Lemma 1}, $M_\basis(f)$ è diagonale, e dunque $\basis$ è anche una + base di autovettori per $f$. \\ + + \leftproof Se esiste una base ortonormale $\basis$ di autovettori per $f$, $M_\basis(f)$ è + diagonale, e dunque anche normale. Allora, poiché $\basis$ è ortonormale, anche $f$ + è normale. + \end{proof} + + \begin{corollary} + Sia $A \in M(n, \CC)$. Allora $A$ è normale $\iff$ $\exists U \in U_n$ tale che $U\inv A U = U^* A U$ + è diagonale. + \end{corollary} + + \begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\ + + \rightproof Sia $\basis$ la base canonica di $\CC^n$. + Si consideri l'applicazione lineare $f_A$ indotta da $A$ su $\CC^n$. Se $A$ è normale, allora + anche $f_A$ lo è. Pertanto, per il precedente teorema, esiste una base ortonormale $\basis' = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ di + autovettori per $f_A$. In particolare, $U = M_{\basis}^{\basis'}(\Id) = \Matrix{\vv 1 & \rvline & \cdots & \rvline & \vv n}$ è unitaria ($U \in U_n$), dacché le colonne di $U$ sono ortonormali. Si osserva inoltre che + $M_{\basis}(f_A) = A$ e che $D = M_{\basis'}(f_A)$ è diagonale. Allora, per la formula del cambiamento di base per le applicazioni lineari, + si conclude che: + + \[ A = U D U\inv \implies D = U\inv A U = U^* A U, \] + + ossia che $U^* A U$ è diagonale. \\ + + \leftproof Sia $D = U^* A U$. Dacché $D$ è diagonale, $D$ è anche normale. Pertanto $D D^* = D^* D$. + Sostituendo, si ottiene che $U^* A U U^* A^* U = U^* A^* U U^* A U$. Ricordando che $U^* U = I_n$ e + che $U \in U_n$ è sempre invertibile, si conclude che $A A^* = A^* A$, ossia che $A$ è normale a + sua volta, da cui la tesi. + \end{proof} \end{document} \ No newline at end of file diff --git a/tex/latex/style/personal_commands.sty b/tex/latex/style/personal_commands.sty index b93bed5..120f0ac 100644 --- a/tex/latex/style/personal_commands.sty +++ b/tex/latex/style/personal_commands.sty @@ -50,8 +50,8 @@ \setlength\parindent{0pt} % Principio di induzione e setup dimostrativi. -\newcommand{\basestep}{(\textit{passo base})\;} -\newcommand{\inductivestep}{(\textit{passo induttivo})\;} +\newcommand{\basestep}{\mbox{(\textit{passo base})}\;} +\newcommand{\inductivestep}{\mbox{(\textit{passo induttivo})}\;} \newcommand{\rightproof}{\mbox{($\implies$)}\;} \newcommand{\leftproof}{\mbox{($\impliedby$)}\;}