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8de3e2f0cd
commit
4bc806acf2
@ -0,0 +1,195 @@
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\chapter{Introduzione al prodotto scalare}
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\begin{note}
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Nel corso del documento, per $V$, qualora non specificato, si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione
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finita $n$.
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\end{note}
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\begin{definition}
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Un \textbf{prodotto scalare} su $V$ è una forma bilineare simmetrica $\varphi$ con argomenti in $V$.
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\end{definition}
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\begin{example}
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Sia $\varphi : M(n, \KK)^2 \to \KK$ tale che $\varphi(A, B) = \tr(AB)$. \\
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\li $\varphi(A + A', B) = \tr((A + A')B) = \tr(AB + A'B) = \tr(AB) + \tr(A'B) = \varphi(A, B) + \varphi(A', B)$ (linearità
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nel primo argomento), \\
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\li $\varphi(\alpha A, B) = \tr(\alpha A B) = \alpha \tr(AB) = \alpha \varphi(A, B)$ (omogeneità nel secondo argomento), \\
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\li $\varphi(A, B) = \tr(AB) = \tr(BA) = \varphi(B, A)$ (simmetria), \\
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\li poiché $\varphi$ è simmetrica, $\varphi$ è lineare e omogenea anche nel secondo argomento, e quindi è una
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forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $M(n, \KK)$.
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\end{example}
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\begin{definition}
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Si definisce prodotto scalare \textit{canonico} di $\KK^n$ la forma bilineare simmetrica $\varphi$ con
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argomenti in $\KK^n$ tale che:
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\[ \varphi((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) = \sum_{i=1}^n x_i y_i. \]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Si può facilmente osservare che il prodotto scalare canonico di $\KK^n$ è effettivamente un prodotto
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scalare. \\
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\li $\varphi((x_1, ..., x_n) + (x_1', ..., x_n'), (y_1, ..., y_n)) = \sum_{i=1}^n (x_i + x_i') y_i =
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\sum_{i=1}^n \left[x_iy_i + x_i' y_i\right] = \sum_{i=1}^n x_i y_i + \sum_{i=1}^n x_i' y_i =
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\varphi((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) + \varphi((x_1', ..., x_n'), (y_1, ..., y_n))$ (linearità nel
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primo argomento), \\
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\li $\varphi(\alpha(x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) = \sum_{i=1}^n \alpha x_i y_i = \alpha \sum_{i=1}^n x_i y_i =
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\alpha \varphi((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n))$ (omogeneità nel primo argomento), \\
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\li $\varphi((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) = \sum_{i=1}^n x_i y_i = \sum_{i=1}^n y_i x_i = \varphi((y_1, ..., y_n), (x_1, ..., x_n))$ (simmetria), \\
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\li poiché $\varphi$ è simmetrica, $\varphi$ è lineare e omogenea anche nel secondo argomento, e quindi è una
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forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $\KK^n$.
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\end{remark}
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\begin{example}
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Altri esempi di prodotto scalare sono i seguenti: \\
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\li $\varphi(A, B) = \tr(A^\top B)$ per $M(n, \KK)$, \\
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\li $\varphi(p(x), q(x)) = p(a) q(a)$ per $\KK[x]$, con $a \in \KK$, \\
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\li $\varphi(p(x), q(x)) = \sum_{i=1}^n p(x_i) q(x_i)$ per $\KK[x]$, con $x_1$, ..., $x_n$ distinti, \\
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\li $\varphi(p(x), q(x)) = \int_a^b p(x)q(x) dx$ per lo spazio delle funzioni integrabili su $\RR$, con $a$, $b$ in $\RR$, \\
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\li $\varphi(\vec{x}, \vec{y}) = \vec{x}^\top A \vec{y}$ per $\KK^n$, con $A \in M(n, \KK)$ simmetrica.
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\end{example}
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\begin{definition}
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Sia\footnote{In realtà, la definizione è facilmente estendibile a qualsiasi campo, purché esso
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sia ordinato.} $\KK = \RR$. Allora un prodotto scalare $\varphi$ si dice \textbf{definito positivo} se $\v \in V$, $\vec{v} \neq \vec{0} \implies
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\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$. Analogamente $\varphi$ è \textbf{definito negativo} se $\vec{v} \neq \vec 0 \implies \varphi(\v, \v) < 0$. \\
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Infine, $\varphi$ è \textbf{semidefinito positivo} se $\varphi(\v, \v) \geq 0$ $\forall \v \in V$ (o
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\textbf{semidefinito negativo} se invece $\varphi(\v, \v) \leq 0$ $\forall \v \in V$).
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\end{definition}
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\begin{example}
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Il prodotto scalare canonico di $\RR^n$ è definito positivo: infatti $\varphi((x_1, ..., x_n), (x_1, ..., x_n)) =
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\sum_{i=1}^n x_i^2 = 0 \iff x_i = 0$, $\forall 1 \leq i \leq n$ $\iff (x_1, ..., x_n) = \vec{0}$. \\
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Al contrario, il prodotto scalare $\varphi : \RR^2 \to \RR$ tale che $\varphi((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = x_1 y_1 - x_2 y_2$ non è definito positivo: $\varphi((x, y), (x, y)) = 0$, $\forall$ $(x, y) \mid x^2 = y^2$, ossia se
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$y = x$ o $y = -x$.
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\end{example}
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\begin{definition}
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Dato un prodotto scalare $\varphi$ di $V$, ad ogni vettore $\vec{v} \in V$ si associa una \textbf{forma quadratica}
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$q : V \to \KK$ tale che $q(\vec{v}) = \varphi(\vec{v}, \vec{v})$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Si osserva che $q$ non è lineare in generale: infatti $q(\vec{v} + \vec{w}) \neq q(\vec{v}) + q(\vec{w})$ in
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$\RR^n$.
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Un vettore $\vec{v} \in V$ si dice \textbf{isotropo} rispetto al prodotto scalare $\varphi$ se $q(\vec{v}) =
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\varphi(\vec{v}, \vec{v}) = 0$.
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\end{definition}
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\begin{example}
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Rispetto al prodotto scalare $\varphi : \RR^3 \to \RR$ tale che $\varphi((x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3)) =
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x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$, i vettori isotropi $(x, y, z)$ sono quelli tali che $x^2 + y^2 = z^2$, ossia
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i vettori stanti sul cono di eq.~$x^2 + y^2 = z^2$.
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\end{example}
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\begin{remark}
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Come già osservato in generale per le app.~multilineari, il prodotto scalare è univocamente determinato
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dai valori che assume nelle coppie $\vv{i}, \vv{j}$ estraibili da una base $\basis$. Infatti, se
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$\basis = (\vv1, ..., \vv{k})$, $\vec{v} = \sum_{i=1}^k \alpha_i \vv{i}$ e $\vec{w} = \sum_{i=1}^k \beta_i \vv{i}$,
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allora:
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\[ \varphi(\vec{v}, \vec{w}) = \sum_{1 \leq i \leq j \leq k} \alpha_i \beta_j \, \varphi(\vv{i}, \vv{j}). \]
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Sia $\varphi$ un prodotto scalare di $V$ e sia $\basis = (\vv1, ..., \vv{n})$ una base ordinata di $V$. Allora si denota con \textbf{matrice associata}
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a $\varphi$ la matrice:
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\[ M_\basis(\varphi) = (\varphi(\vv{i}, \vv{j}))_{i,\,j = 1\text{---}n} \in M(n, \KK). \]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Si possono fare alcune osservazioni riguardo $M_\basis(\varphi)$. \\
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\li $M_\basis(\varphi)$ è simmetrica, infatti $\varphi(\vv{i}, \vv{j}) = \varphi(\vv{j}, \vv{i})$ per
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definizione di prodotto scalare, \\
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\li $\varphi(\vec{v}, \vec{w}) = [\vec{v}]_\basis^\top M_\basis(\varphi) [\vec{w}]_\basis$.
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\end{remark}
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\begin{theorem} (di cambiamento di base per matrici di prodotti scalari) Siano $\basis$, $\basis'$ due
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basi ordinate di $V$. Allora, se $\varphi$ è un prodotto scalare di $V$ e $P = M^{\basis'}_{\basis}(\Id_V)$, vale la seguente identità:
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\[ \underbrace{M_{\basis'}(\varphi)}_{A'} = P^\top \underbrace{M_{\basis}}_{A} P. \]
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\end{theorem}
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\begin{proof} Siano $\basis = (\vv{1}, ..., \vv{n})$ e $\basis' = (\vec{w}_1, ..., \vec{w}_n)$. Allora
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$A'_{ij} = \varphi(\vec{w}_i, \vec{w}_j) = [\vec{w}_i]_{\basis}^\top A [\vec{w}_j]_{\basis} =
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(P^i)^\top A P^j = P_i^\top (AP)^j = (P^\top AP)_{ij}$, da cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{definition}
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Si definisce \textbf{congruenza} la relazione di equivalenza $\cong$ definita nel seguente
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modo su $A, B \in M(n, \KK)$:
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\[ A \cong B \iff \exists P \in GL(n, \KK) \mid A = P^\top A P. \]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Si può facilmente osservare che la congruenza è in effetti una relazione di equivalenza. \\
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\li $A = I^\top A I \implies A \cong A$ (riflessione), \\
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\li $A \cong B \implies A = P^\top B P \implies B = (P^\top)\inv A P\inv = (P\inv)^\top A P\inv \implies B \cong A$ (simmetria), \\
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\li $A \cong B \implies A = P^\top B P$, $B \cong C \implies B = Q^\top C Q$, quindi $A = P^\top Q^\top C Q P =
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(QP)^\top C (QP) \implies A \cong C$ (transitività).
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Si osservano alcune proprietà della congruenza. \\
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\li Per il teorema di cambiamento di base del prodotto scalare, due matrici associate a uno stesso
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prodotto scalare sono sempre congruenti (esattamente come due matrici associate a uno stesso
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endomorfismo sono sempre simili).
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\li Se $A$ e $B$ sono congruenti, $A = P^\top B P \implies \rg(A) = \rg(P^\top B P) = \rg(BP) = \rg(B)$,
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dal momento che $P$ e $P^\top$ sono invertibili; quindi il rango è un invariante per congruenza. Allora
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è ben definito il rango $\rg(\varphi)$ di un prodotto scalare come il rango di una sua qualsiasi matrice
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associata.
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\li Se $A$ e $B$ sono congruenti, $A = P^\top B P \implies \det(A) = \det(P^\top B P) = \det(P^\top) \det(B) \det(P)=
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\det(P)^2 \det(B)$. Quindi, per $\KK = \RR$, il segno del determinante è invariante per congruenza.
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Si dice \textbf{radicale} di un prodotto scalare $\varphi$ lo spazio:
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\[ V^\perp = \{ \vec{v} \in V \mid \varphi(\vec{v}, \vec{w}) = 0 \, \forall \vec{w} \in V \} \]
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\vskip 0.05in
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Il radicale di $\RR^n$ con il prodotto scalare canonico ha dimensione nulla, dal momento che $\forall \vec{v} \in \RR^n \setminus \{\vec{0}\}$, $q(\vec{v}) = \varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$.
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Un prodotto scalare si dice \textbf{degenere} se il radicale dello spazio su tale prodotto scalare ha
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dimensione non nulla.
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\end{definition}
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%TODO: spiegare perché \alpha_\varphi è lineare e aggiungere esempi nella parte precedente.
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%TODO: aggiungere osservazioni sul radicale (i.e. che è uno spazio, che ogni suo vettore è isotropo, ...).
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\begin{remark}
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Si definisce l'applicazione lineare $\alpha_\varphi : V \to \dual{V}$ in modo tale che
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$\alpha_\varphi(\vec{v}) = p$, dove $p(\vec{w}) = \varphi(\vec{v}, \vec{w})$. \\
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Allora $V^\perp$ altro non è che $\Ker \alpha_\varphi$. Se $V$ ha dimensione finita, $\dim V = \dim \dual{V}$,
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e si può allora concludere che $\dim V^\perp > 0 \iff \Ker \alpha_\varphi \neq \{\vec{0}\} \iff \alpha_\varphi$ non è
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invertibile (infatti lo spazio di partenza e di arrivo di $\alpha_\varphi$ hanno la stessa dimensione). In
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particolare, $\alpha_\varphi$ non è invertibile se e solo se $\det(\alpha_\varphi) = 0$. \\
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Sia $\basis = (\vv{1}, ..., \vv{n})$ una base ordinata di $V$. Si consideri allora la base ordinata del
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duale costruita su $\basis$, ossia $\dual{\basis} = (\vecdual{v_1}, ..., \vecdual{v_n})$. Allora
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$M_{\basisdual}^\basis(\alpha_\varphi)^i = [\alpha_\varphi(\vv{i})]_{\basisdual} = \Matrix{\varphi(\vec{v_i}, \vec{v_1}) \\ \vdots \\ \varphi(\vec{v_i}, \vec{v_n})} \underbrace{=}_{\varphi \text{ è simmetrica}}
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\Matrix{\varphi(\vec{v_1}, \vec{v_i}) \\ \vdots \\ \varphi(\vec{v_n}, \vec{v_i})} = M_\basis(\varphi)^i$. Quindi
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$M_{\basisdual}^\basis(\alpha_\varphi) = M_\basis(\varphi)$. \\
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Si conclude allora che $\varphi$ è degenere se e solo se $\det (M_\basis(\varphi)) = 0$ e che
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$V^\perp \cong \Ker M_\basis(\varphi)$ con l'isomorfismo è il passaggio alle coordinate.
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\end{remark}
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@ -0,0 +1,430 @@
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\chapter{Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare}
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\begin{note}
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Nel corso del documento, per $V$ si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione
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finita $n$ e per $\varphi$ un suo prodotto scalare. Analogamente si intenderà lo stesso
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per $V'$ e $\varphi'$.
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\end{note}
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\begin{proposition} (formula delle dimensioni del prodotto scalare)
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Sia $W \subseteq V$ un sottospazio di $V$. Allora vale la seguente identità:
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\[ \dim W + \dim W^\perp = \dim V + \dim (W \cap V^\perp). \]
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Si consideri l'applicazione lineare $f : V \to \dual W$ tale che $f(\vec v)$ è un funzionale di $\dual W$ tale che
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$f(\vec v)(\vec w) = \varphi(\vec v, \vec w)$ $\forall \vec w \in W$. Si osserva che $W^\perp = \Ker f$, da cui,
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per la formula delle dimensioni, $\dim V = \dim W^\perp + \rg f$. Inoltre, si osserva anche che
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$f = i^\top \circ a_\varphi$, dove $i : W \to V$ è tale che $i(\vec w) = \vec w$, infatti $f(\vec v) = a_\varphi(\vec v) \circ i$ è un funzionale di $\dual W$ tale che $f(\vec v)(\vec w) = \varphi(\vec v, \vec w)$. Pertanto
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$\rg f = \rg (i^\top \circ a_\varphi)$. \\
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Si consideri ora l'applicazione $g = a_\varphi \circ i : W \to \dual W$. Sia ora $\basis_W$ una base di $W$ e
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$\basis_V$ una base di $V$. Allora le matrice associate di $f$ e di $g$ sono le seguenti:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $M_{\dual \basis_W}^{\basis_V}(f) = M_{\dual \basis_W}^{\basis_V}(i^\top \circ a_\varphi) =
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\underbrace{M_{\dual \basis_W}^{\dual \basis_V}(i^\top)}_A \underbrace{M_{\dual \basis_V}^{\basis_V}(a_\varphi)}_B = AB$,
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||||
\item $M_{\dual \basis_V}^{\basis_W}(g) = M_{\dual \basis_V}^{\basis_W}(a_\varphi \circ i) =
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||||
\underbrace{M_{\dual \basis_V}^{\basis_V}(a_\varphi)}_B \underbrace{M_{\basis_V}^{\basis_W}(i)}_{A^\top} = BA^\top \overbrace{=}^{B^\top = B} (AB)^\top$.
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\end{enumerate}
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Poiché $\rg(A) = \rg(A^\top)$, si deduce che $\rg(f) = \rg(g) \implies \rg(i^\top \circ a_\varphi) = \rg(a_\varphi \circ i) = \rg(\restr{a_\varphi}{W}) = \dim W - \dim \Ker \restr{a_\varphi}{W} = \dim W - \dim (W \cap \underbrace{\Ker a_\varphi}_{V^\perp}) = \dim W - \dim (W \cap V^\perp)$. Si conclude allora, sostituendo quest'ultima
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identità nell'identità ricavata a inizio dimostrazione che $\dim V = \dim W^\top + \dim W - \dim (W \cap V^\perp)$,
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ossia la tesi.
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\end{proof}
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\begin{remark}
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Si possono fare alcune osservazioni sul radicale di un solo elemento $\vec w$ e su quello del suo sottospazio
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generato $W = \Span(\vec w)$: \\
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\li $\vec w ^\perp = W^\perp$, \\
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\li $\vec w \notin W^\perp \iff \Rad (\restr{\varphi}{W}) = W \cap W^\perp \iff \vec w \text{ non è isotropo } = \zerovecset \iff
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V = W \oplus W^\perp$.
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Si definisce \textbf{base ortogonale} di $V$ una base $\vv 1$, ..., $\vv n$ tale per cui $\varphi(\vv i, \vv j) = 0
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\impliedby i \neq j$, ossia per cui la matrice associata del prodotto scalare è diagonale.
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\end{definition}
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\begin{proposition} (formula di polarizzazione)
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Se $\Char \KK \neq 2$, un prodotto scalare è univocamente determinato dalla sua forma quadratica $q$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Si nota infatti che $q(\vec v + \vec w) - q(\vec v) - q(\vec w) = 2 \varphi(\vec v, \vec w)$, e quindi,
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poiché $2$ è invertibile per ipotesi, che $\varphi(\vec v, \vec w) = 2\inv (q(\vec v + \vec w) - q(\vec v) - q(\vec w))$.
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\end{proof}
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\begin{theorem}(di Lagrange)
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Ogni spazio vettoriale $V$ su $\KK$ tale per cui $\Char \KK \neq 2$ ammette una base ortogonale.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Sia dimostra il teorema per induzione su $n := \dim V$. Per $n \leq 1$, la dimostrazione è triviale. Sia
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allora il teorema vero per $i \leq n$. Se $V$ ammette un vettore non isotropo $\vec w$, sia $W = \Span(\vec w)$ e si consideri la decomposizione $V = W \oplus W^\perp$. Poiché $W^\perp$ ha dimensione $n-1$, per ipotesi induttiva
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ammette una base ortogonale. Inoltre, tale base è anche ortogonale a $W$, e quindi l'aggiunta di $\vec w$ a
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||||
questa base ne fa una base ortogonale di $V$. Se invece $V$ non ammette vettori non isotropi, ogni forma quadratica
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è nulla, e quindi il prodotto scalare è nullo per la proposizione precedente.
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\end{proof}
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\begin{note}
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D'ora in poi, nel corso del documento, si assumerà $\Char \KK \neq 2$.
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\end{note}
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\begin{theorem} (di Sylvester, caso complesso)
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Sia $\KK$ un campo i cui elementi sono tutti quadrati di un
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altro elemento del campo (e.g.~$\CC$). Allora esiste una base
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ortogonale $\basis$ tale per cui:
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\[ M_\basis(\varphi) = \Matrix{I_r & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & 0\,}. \]
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Per il teorema di Lagrange, esiste una base ortogonale $\basis'$ di $V$.
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Si riordini la base in modo tale che la forma quadratica valutata nei primi elementi sia sempre diversa da zero. Allora, poiché ogni
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elemento di $\KK$ è per ipotesi quadrato di un altro elemento
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di $\KK$, si sostituisca $\basis'$ con una base $\basis$ tale per
|
||||
cui, se $q(\vv i) = 0$, $\vv i \mapsto \vv i$, e altrimenti
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$\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{q(\vv i)}}$. Allora $\basis'$
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è una base tale per cui la matrice associata del prodotto scalare
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in tale base è proprio come desiderata nella tesi, dove $r$ è
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il numero di elementi tali per cui la forma quadratica valutata
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in essi sia diversa da zero.
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\end{proof}
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\begin{remark}
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Si possono effettuare alcune considerazioni sul teorema di Sylvester
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complesso. \\
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\li Si può immediatamente concludere che il rango è un invariante
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completo per la congruenza in un campo in cui tutti gli elementi
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sono quadrati, ossia che $A \cong B \iff \rg(A) = \rg(B)$, se $A$ e
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$B$ sono matrici simmetriche: infatti
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ogni matrice simmetrica rappresenta una prodotto scalare, ed è
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pertanto congruente ad una matrice della forma desiderata
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nell'enunciato del teorema di Sylvester complesso. Poiché il rango
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è un invariante della congruenza, si ricava che $r$ nella forma
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della matrice di Sylvester, rappresentando il rango, è anche
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il rango di ogni sua matrice congruente. In particolare, se due
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matrici simmetriche hanno stesso rango, allora sono congruenti
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alla stessa matrice di Sylvester, e quindi, essendo la congruenza
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una relazione di congruenza, sono congruenti a loro volta. \\
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\li Due matrici simmetriche con stesso rango, allora, non solo
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sono SD-equivalenti, ma sono anche congruenti. \\
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\li Ogni base ortogonale deve quindi avere lo stesso numero
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di elementi nulli.
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\end{remark}
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\begin{definition} (somma diretta ortogonale)
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Siano i sottospazi $U$ e $W \subseteq V$ in somma diretta. Allora si dice che $U$ e $W$ sono in \textbf{somma
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diretta ortogonale rispetto al prodotto scalare} $\varphi$ di $V$, ossia che $U \oplus W = U \oplus^\perp W$, se $\varphi(\vec u, \vec w) = 0$ $\forall \vec u \in U$, $\vec w \in W$.
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\end{definition}
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\begin{definition} (cono isotropo)
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Si definisce \textbf{cono isotropo} di $V$ rispetto al prodotto scalare $\varphi$ il seguente insieme:
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\[ \CI(\varphi) = \{ \v \in V \mid \varphi(\v, \v) = 0 \}, \]
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\vskip 0.05in
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ossia l'insieme dei vettori isotropi di $V$.
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\end{definition}
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\begin{note}
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La notazione $\varphi > 0$ indica che $\varphi$ è definito positivo (si scrive $\varphi \geq 0$ se invece è semidefinito
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positivo).
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Analogamente $\varphi < 0$ indica che $\varphi$ è definito negativo (e $\varphi \leq 0$ indica che è semidefinito negativo).
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\end{note}
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\begin{exercise} Sia $\Char \KK \neq 2$.
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Siano $\vv1$, ..., $\vv k \in V$ e sia $M = \left( \varphi(\vv i, \vv j) \right)_{i, j = 1\textrm{---}k} \in M(k, \KK)$,
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dove $\varphi$ è un prodotto scalare di $V$. Sia inoltre $W = \Span(\vv 1, ..., \vv k)$. Si dimostrino
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allora le seguenti affermazioni.
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item Se $M$ è invertibile, allora $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono linearmente indipendenti.
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\item Siano $\vv 1$, ..., $\vv k$ linearmente indipendenti. Allora $M$ è invertibile $\iff$ $\restr{\varphi}{W}$ è non degenere $\iff$ $W \cap W^\perp = \zerovecset$.
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\item Siano $\vv1$, ..., $\vv k$ a due a due ortogonali tra loro. Allora $M$ è invertibile $\iff$ nessun
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vettore $\vv i$ è isotropo.
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\item Siano $\vv1$, ..., $\vv k$ a due a due ortogonali tra loro e siano anche linearmente indipendenti.
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Allora $M$ è invertibile $\implies$ si può estendere $\basis_W = \{\vv 1, \ldots, \vv k\}$ a una base ortogonale di $V$.
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\item Sia $\KK = \RR$. Sia inoltre $\varphi > 0$. Allora $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono linearmente
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indipendenti $\iff$ $M$ è invertibile.
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\item Sia $\KK = \RR$. Sia ancora $\varphi > 0$. Allora se $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono a due a due
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ortogonali e sono tutti non nulli, sono anche linearmente indipendenti.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item Siano $a_1$, ..., $a_k \in \KK$ tali che $a_1 \vv 1 + \ldots + a_k \vv k = 0$. Vale in
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particolare che $\vec 0 = \varphi(\vv i, \vec 0) = \varphi(\vv i, a_1 \vv 1 + \ldots + a_k \vv k) =
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\sum_{j=1}^k a_j \varphi(\vv i, \vv j)$ $\forall 1 \leq i \leq k$. Allora $\sum_{j=1}^k a_j M^j = 0$.
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Dal momento che $M$ è invertibile, $\rg(M) = k$, e quindi l'insieme delle colonne di $M$ è linearmente
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indipendente, da cui si ricava che $a_j = 0$ $\forall 1 \leq j \leq k$, e quindi che $\vv 1$, ...,
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$\vv k$ sono linearmente indipendenti.
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\item Poiché $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono linearmente indipendenti, tali vettori formano una base di
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$W$, detta $\basis$. In particolare, allora, vale che $M = M_\basis(\restr{\varphi}{W})$. Pertanto,
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se $M$ è invertibile, $\Rad(\restr{\varphi}{W}) = \Ker M = \zerovecset$, e dunque $\restr{\varphi}{W}$
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è non degenere. Se invece $\restr{\varphi}{W}$ è non degenere, $\zerovecset = \Rad(\restr{\varphi}{W}) = W \cap W^\perp$. Infine, se $W \cap W^\perp = \zerovecset$, $\zerovecset = W \cap W^\perp = \Rad(\restr{\varphi}{W}) = \Ker M$, e quindi $M$ è iniettiva, e dunque invertibile.
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||||
\item Dal momento che $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono ortogonali tra loro, $M$ è una matrice diagonale.
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Pertanto $M$ è invertibile se e solo se ogni suo elemento diagonale è diverso da $0$, ossia
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se $\varphi(\vv i, \vv i) \neq 0$ $\forall 1 \leq i \leq k$, e dunque se e solo se nessun vettore
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$\vv i$ è isotropo.
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\item Se $M$ è invertibile, da (ii) si deduce che $\Rad(\restr{\varphi}{W}) = W \cap W^\perp = \zerovecset$,
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e quindi che $W$ e $W^\perp$ sono in somma diretta. Inoltre, per la formula delle dimensioni del prodotto
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scalare, $\dim W + \dim W^\perp = \dim V + \underbrace{\dim (W \cap V^\perp)}_{\leq \dim (W \cap W^\perp) = 0} = \dim V$. Pertanto $V = W \oplus^\perp W^\perp$. \\
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Allora, dacché $\Char \KK \neq 2$, per il teorema di Lagrange, $W^\perp$ ammette una base ortogonale $\basis_{W^\perp}$. Si conclude
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dunque che $\basis = \basis_W \cup \basis_{W^\perp}$ è una base ortogonale di $V$.
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\item Se $M$ è invertibile, da (i) $\vv1$, ..., $\vv k$ sono linearmente indipendenti. Siano ora
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invece $\vv 1$, ..., $\vv k$ linearmente indipendenti per ipotesi. Siano $a_1$, ..., $a_k \in \KK$ tali
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che $a_1 M^1 + \ldots + a_k M^k = 0$, allora $a_1 \varphi(\vv i, \vv 1) + \ldots + a_k \varphi(\vv i, \vv k) = 0$ $\forall 1 \leq i \leq k$. Pertanto, detto $\v = a_1 \vv 1 + \ldots + a_k \vv k$, si ricava che:
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\[ \varphi(\v, \v) = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k a_j \, \varphi(\vv i, \vv j) = 0. \]
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Tuttavia questo è possibile solo se $\v = a_1 \vv 1 + \ldots + a_k \vv k = 0$. Dal momento che
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$\vv 1$, ..., $\vv k$ sono linearmente indipendenti, si conclude che $a_1 = \cdots = a_k = 0$, ossia
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che le colonne di $M$ sono tutte linearmente indipendenti e quindi che $\rg(M) = k \implies$ $M$ è invertibile.
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\item Poiché $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono ortogonali a due a due tra loro, $M$ è una matrice diagonale.
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||||
Inoltre, dacché $\varphi > 0$ e $\vv i \neq \vec 0$ $\forall 1 \leq i \leq k$, gli elementi diagonali di $M$ sono sicuramente tutti diversi da zero, e quindi $\det (M) \neq 0$ $\implies$ $M$ è invertibile. Allora,
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per il punto (v), $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono linearmente indipendenti.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{definition}
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Data una base ortogonale $\basis$ di $V$ rispetto al prodotto
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scalare $\varphi$,
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si definiscono i seguenti indici:
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\begin{align*}
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\iota_+(\varphi) &= \max\{ \dim W \mid W \subseteq V \E \restr{\varphi}{W} > 0 \}, &\text{(}\textbf{indice di positività}\text{)} \\
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||||
\iota_-(\varphi) &= \max\{ \dim W \mid W \subseteq V \E \restr{\varphi}{W} < 0 \}, &\text{(}\textbf{indice di negatività}\text{)}\\
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||||
\iota_0(\varphi) &= \dim V^\perp &\text{(}\textbf{indice di nullità}\text{)}
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||||
\end{align*}
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Quando il prodotto scalare $\varphi$ è noto dal contesto, si omette
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e si scrive solo $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$. In particolare,
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la terna $\sigma(\varphi) = \sigma = (i_+, i_-, i_0)$ è detta \textbf{segnatura} del
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||||
prodotto $\varphi$.
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\end{definition}
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\begin{theorem} (di Sylvester, caso reale) Sia $\KK$ un campo ordinato
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i cui elementi positivi sono tutti quadrati (e.g.~$\RR$). Allora
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esiste una base ortogonale $\basis$ tale per cui:
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\[ M_\basis(\varphi) = \Matrix{I_{\iota_+} & \rvline & 0 & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & -I_{\iota_-} & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & 0 & \rvline & 0\cdot I_{\iota_0} }. \]
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||||
\vskip 0.05in
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||||
Inoltre, per ogni base ortogonale, esistono esattamente
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$\iota_+$ vettori della base con forma quadratica positiva,
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$\iota_-$ con forma negativa e $\iota_0$ con
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forma nulla.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Per il teorema di Lagrange, esiste una base ortogonale $\basis'$ di $V$.
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Si riordini la base in modo tale che la forma quadratica valutata nei primi elementi sia strettamente positiva, che nei secondi elementi sia strettamente negativa e che negli ultimi sia nulla. Si sostituisca
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$\basis'$ con una base $\basis$ tale per cui, se $q(\vv i) > 0$,
|
||||
allora $\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{q(\vv i)}}$; se
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||||
$q(\vv i) < 0$, allora $\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{-q(\vv i)}}$;
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||||
altrimenti $\vv i \mapsto \vv i$. Si è allora trovata una base
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||||
la cui matrice associata del prodotto scalare è come desiderata nella
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tesi. \\
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Sia ora $a$ il numero di vettori della base con forma quadratica
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positiva, $b$ il numero di vettori con forma negativa e $c$ quello
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||||
dei vettori con forma nulla. Si consideri $W_+ = \Span(\vv 1, ..., \vv a)$, $W_- = \Span(\vv{a+1}, ..., \vv b)$, $W_0 = \Span(\vv{b+1}, ..., \vv c)$. \\
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||||
|
||||
Sia $M = M_\basis(\varphi)$. Si osserva che $c = n - \rg(M) = \dim \Ker(M) = \dim V^\perp = \iota_0$. Inoltre $\forall \v \in W_+$, dacché
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||||
$\basis$ è ortogonale,
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||||
$q(\v) = q(\sum_{i=1}^a \alpha_i \vv i) = \sum_{i=1}^a \alpha_i^2 q(\vv i) > 0$, e quindi $\restr{\varphi}{W_+} > 0$, da cui $\iota_+ \geq a$.
|
||||
Analogamente $\iota_- \geq b$. \\
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||||
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||||
Si mostra ora che è impossibile che $\iota_+ > a$. Se così infatti
|
||||
fosse, sia $W$ tale che $\dim W = \iota_+$ e che $\restr{\varphi}{W} > 0$. $\iota_+ + b + c$ sarebbe maggiore di $a + b + c = n := \dim V$. Quindi, per la formula di Grassman, $\dim(W + W_- + W_0) = \dim W +
|
||||
\dim(W_- + W_0) - \dim (W \cap (W_- + W_0)) \implies \dim (W \cap (W_- + W_0)) = \dim W +
|
||||
\dim(W_- + W_0) - \dim(W + W_- + W_0) > 0$, ossia esisterebbe
|
||||
$\v \neq \{\vec 0\} \mid \v \in W \cap (W_- + W_0)$. Tuttavia
|
||||
questo è assurdo, dacché dovrebbe valere sia $q(\v) > 0$ che
|
||||
$q(\v) < 0$, \Lightning. Quindi $\iota_+ = a$, e analogamente
|
||||
$\iota_- = b$.
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{definition}
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||||
Si dice \textbf{base di Sylvester} una base di $V$ tale per cui la
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||||
matrice associata di $\varphi$ sia esattamente nella forma
|
||||
vista nella dimostrazione del teorema di Sylvester. Analogamente
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||||
si definisce tale matrice come \textbf{matrice di Sylvester}.
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||||
\end{definition}
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\begin{remark} \nl
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||||
\li Si può dunque definire la segnatura di una matrice simmetrica
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||||
come la segnatura di una qualsiasi sua base ortogonale, dal
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||||
momento che tale segnatura è invariante per cambiamento di base. \\
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||||
\li La segnatura è un invariante completo per la congruenza nel caso reale. Se infatti due matrici hanno la stessa segnatura, sono
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entrambe congruenti alla matrice come vista nella dimostrazione
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della forma reale del teorema di Sylvester, e quindi, essendo
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||||
la congruenza una relazione di equivalenza, sono congruenti
|
||||
tra loro. Analogamente vale il viceversa, dal momento che ogni
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||||
base ortogonale di due matrici congruenti devono contenere gli
|
||||
stessi numeri $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$ di vettori
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||||
di base con forma quadratica positiva, negativa e nulla. \\
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||||
\li Se $\ww 1$, ..., $\ww k$ sono tutti i vettori di una base
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||||
ortogonale $\basis$ con forma quadratica nulla, si osserva che $W = \Span(\ww 1, ..., \ww k)$ altro non è che $V^\perp$ stesso. Infatti, come
|
||||
visto anche nella dimostrazione del teorema di Sylvester reale, vale
|
||||
che $\dim W = \dim \Ker (M_\basis(\varphi)) = \dim V^\perp$. Inoltre,
|
||||
se $\w \in W$ e $\v \in V$, $\varphi(\w, \v) = \varphi(\sum_{i=1}^k
|
||||
\alpha_i \ww i, \sum_{i=1}^k \beta_i \ww i + \sum_{i=k+1}^n \beta_i \vv i)
|
||||
= \sum_{i=1}^k \alpha_i \beta_i q(\ww i) = 0$, e quindi
|
||||
$W \subseteq V^\perp$, da cui si conclude che $W = V^\perp$. \\
|
||||
\li Vale in particolare che $\rg(\varphi) = \iota_+ + \iota_-$, mentre
|
||||
$\dim \Ker(\varphi) = \iota_0$, e quindi $n = \iota_+ + \iota_- + \iota_0$. \\
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||||
\li Se $V = U \oplusperp W$, allora $\iota_+(\varphi) = \iota_+(\restr{\varphi}{V}) + \iota_+(\restr{\varphi}{W})$, e
|
||||
analogamente per gli altri indici.
|
||||
\end{remark}
|
||||
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||||
\begin{definition} (isometria)
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Dati due spazi vettoriali $(V, \varphi)$ e
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||||
$(V', \varphi')$ dotati di prodotto scalare sullo stesso campo $\KK$, si dice che
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||||
$V$ e $V'$ sono \textbf{isometrici} se esiste un isomorfismo
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||||
$f$, detto \textit{isometria}, che preserva tali che prodotti, ossia tale che:
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||||
\[ \varphi(\vec v, \vec w) = \varphi'(f(\vec v), f(\vec w)). \]
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||||
\end{definition}
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\begin{exercise} Sia $f : V \to V'$ un isomorfismo. Allora $f$ è un'isometria $\iff$ $\forall$ base $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ di $V$, $\basis' = \{ f(\vv 1), \ldots, f(\vv n) \}$ è una base di $V'$ e $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$ $\iff$ $\exists$ base $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ di $V$ tale che $\basis' = \{ f(\vv 1), \ldots, f(\vv n) \}$ è una base di $V'$ e $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$.
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||||
\end{exercise}
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||||
\begin{solution} Se $f$ è un'isometria, detta $\basis$ una base di $V$, $\basis' = f(\basis)$ è una base di $V'$
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dal momento che $f$ è anche un isomorfismo. Inoltre, dacché $f$ è un'isometria, vale sicuramente che
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||||
$\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$. \\
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||||
Sia ora assunto per ipotesi che $\forall$ base $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ di $V$, $\basis' = \{ f(\vv 1), \ldots, f(\vv n) \}$ è una base di $V'$ e $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$. Allora, analogamente a prima, detta $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ una base di $V$, $\basis' = f(\basis)$ è una base di $V'$, e in quanto tale,
|
||||
per ipotesi, è tale che $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$. \\
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||||
|
||||
Sia infine assunto per ipotesi che $\exists$ base $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ di $V$ tale che $\basis' = \{ f(\vv 1), \ldots, f(\vv n) \}$ è una base di $V'$ e $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$. Siano $\v$, $\w \in V$. Allora $\exists a_1$, ..., $a_n$, $b_1$, ..., $b_n \in \KK$
|
||||
tali che $\v = a_1 \vv 1 + \ldots + a_n \vv n$ e $\w = b_1 \vv 1 + \ldots + b_n \vv n$. Si ricava pertanto
|
||||
che:
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||||
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||||
\[ \varphi'(f(\v), f(\w)) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i b_j \, \varphi'(f(\vv i), f(\vv j)) =
|
||||
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i b_j \, \varphi(\vv i, \vv j) = \varphi(\v, \w), \]
|
||||
|
||||
da cui la tesi.
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||||
\end{solution}
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||||
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||||
\begin{proposition} Sono equivalenti le seguenti affermazioni:
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\begin{enumerate}[(i)]
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||||
\item $V$ e $V'$ sono isometrici;
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||||
\item $\forall$ base $\basis$ di $V$, base $\basis'$ di $V'$,
|
||||
$M_\basis(\varphi)$ e $M_{\basis'}(\varphi')$ sono congruenti;
|
||||
\item $\exists$ base $\basis$ di $V$, base $\basis'$ di $V'$ tale che
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||||
$M_\basis(\varphi)$ e $M_{\basis'}(\varphi')$ sono congruenti.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{proposition}
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||||
\begin{proof} Se $V$ e $V'$ sono isometrici, sia $f : V \to V'$ un'isometria. Sia $\basisC = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ una base di $V$. Allora, poiché $f$ è anche un isomorfismo, $\basisC' = f(\basisC)$ è una base di $V$ tale che
|
||||
$\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$. Pertanto $M_\basisC(\varphi) = M_{\basisC'}(\varphi')$. Si conclude allora che, cambiando base in $V$ (o in $V'$), la matrice associata
|
||||
al prodotto scalare varia per congruenza dalla formula di cambiamento di base per il prodotto scalare, da cui si ricava che per ogni scelta di $\basis$ base di $V$ e di $\basis'$ base di $V'$, $M_\basis(\varphi) \cong M_{\basis'}(\varphi')$. Inoltre, se tale risultato è vero per ogni $\basis$ base di $V$ e di $\basis'$ base di $V'$, dal momento che sicuramente esistono due basi $\basis$, $\basis'$ di $V$ e $V'$, vale anche (ii) $\implies$ (iii). \\
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||||
|
||||
Si dimostra ora (iii) $\implies$ (i). Per ipotesi $M_\basis(\varphi) \cong M_{\basis'}(\varphi')$, quindi
|
||||
$\exists P \in \GL(n, \KK) \mid M_{\basis'}(\varphi') = P^\top M_\basis(\varphi) P$. Allora $\exists$ $\basis''$
|
||||
base di $V'$ tale che $P = M_{\basis''}^{\basis'}(\Idv)$, da cui $P\inv = M_{\basis'}^{\basis''}(\varphi)$. Per la formula di cambiamento di base del prodotto
|
||||
scalare, $M_{\basis''}(\varphi) = (P\inv)^\top M_{\basis'} P\inv = M_\basis(\varphi)$. Detta
|
||||
$\basis'' = \{ \ww 1, \ldots, \ww n \}$, si costruisce allora l'isomorfismo $f : V \to V'$ tale
|
||||
che $f(\vv i) = \ww i$ $\forall 1 \leq i \leq n$.. Dal momento che per costruzione $M_\basis(\varphi) = M_{\basis''}(\varphi')$,
|
||||
$\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(\ww i, \ww j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$.
|
||||
Si conclude dunque che $\varphi(\v, \w) = \varphi'(f(\v), f(\w))$ $\forall \v, \w \in V$, e dunque
|
||||
che $f$ è un'isometria, come desiderato dalla tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition} $(V, \varphi)$ e $(V', \varphi')$ spazi vettoriali
|
||||
su $\RR$ sono
|
||||
isometrici $\iff$ $\varphi$ e $\varphi'$ hanno la stessa segnatura.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}\nl\nl
|
||||
\rightproof Per la precedente proposizione, esistono due basi $\basis$ e $\basis'$, una di $V$ e una di $V'$,
|
||||
tali che $M_\basis(\varphi) \cong M_{\basis'}(\varphi)$. Allora queste due matrici condividono la stessa
|
||||
segnatura, e così quindi anche $\varphi$ e $\varphi'$. \\
|
||||
|
||||
\leftproof Se $\varphi$ e $\varphi'$ hanno la stessa segnatura, esistono due basi $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ e $\basis' = \{ \ww 1, \ldots, \ww n \}$, una
|
||||
di $V$ e una di $V'$, tali che $M = M_\basis(\varphi) = M_{\basis'}(\varphi')$ e che $M$ è una matrice di
|
||||
Sylvester. Allora si costruisce $f : V \to V'$ tale che $f(\vv i) = \ww i$. Esso è un isomorfismo, e per
|
||||
costruzione $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(\ww i, \ww j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$, da cui
|
||||
si conclude che $\varphi(\v, \w) = \varphi'(f(\v), f(\w))$ $\forall \v$, $\w \in V$, e quindi che $V$ e
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$V'$ sono isometrici.
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\end{proof}
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% \begin{example}
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% Per $\varphi = x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$. %TODO: guarda dalle slide.
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% \end{example}
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\begin{definition} (sottospazio isotropo)
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Sia $W$ un sottospazio di $V$. Allora $W$ si dice \textbf{sottospazio isotropo} di $V$
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se $\restr{\varphi}{W} = 0$.
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\end{definition}
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\begin{remark}\nl
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\li $V^\perp$ è un sottospazio isotropo di $V$. \\
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\li $\vec{v}$ è un vettore isotropo $\iff$ $W = \Span(\vec v)$ è un sottospazio isotropo di $V$. \\
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\li $W \subseteq V$ è isotropo $\iff$ $W \subseteq W^\perp$.
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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Sia $\varphi$ non degenere. Se $W$ è un sottospazio isotropo di $V$, allora
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$\dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Poiché $W$ è un sottospazio isotropo di $V$, $W \subseteq W^\perp \implies \dim W \leq \dim W^\perp$.
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Allora, poiché $\varphi$ è non degenere, $\dim W + \dim W^\perp = \dim V$, $\dim W \leq \dim V - \dim W$,
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da cui $\dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$.
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\end{proof}
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\begin{definition}
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Si definisce \textbf{indice di Witt} $W(\varphi)$ di $(V, \varphi)$
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come la massima dimensione di un sottospazio isotropo.
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\end{definition}
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\begin{remark}\nl
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\li Se $\varphi > 0$ o $\varphi < 0$, $W(\varphi) = 0$.
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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Sia $\KK = \RR$. Sia $\varphi$ non degenere e sia $\sigma(\varphi) = (\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi), 0)$. Allora
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$W(\varphi) = \min\{\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi)\}$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Senza perdità di generalità si assuma $\iota_-(\varphi) \leq \iota_+(\varphi)$ (il caso $\iota_-(\varphi) > \iota_+(\varphi)$ è analogo). Sia $W$ un sottospazio con $\dim W > \iota_-(\varphi)$. Sia $W^+$
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||||
un sottospazio con $\dim W^+ = \iota_+(\varphi)$ e $\restr{\varphi}{W^+} > 0$. Allora, per la formula
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||||
di Grassmann, $\dim W + \dim W^+ > n \implies \dim W + \dim W^+ > \dim W + \dim W^+ - \dim (W \cap W^+) \implies \dim (W \cap W^+) > 0$. Quindi $\exists \w \in W$, $\w \neq \vec 0$ tale che $\varphi(\w, \w) > 0$, da cui
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||||
si ricava che $W$ non è isotropo. Pertanto $W(\varphi) \leq \iota_-(\varphi)$. \\
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Sia $a := \iota_+(\varphi)$ e sia $b := \iota_-(\varphi)$.
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Sia ora $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv a, \ww 1, \ldots, \ww b \}$ una base tale per cui $M_\basis(\varphi)$ è la matrice di Sylvester per $\varphi$. Siano $\vv 1$, ..., $\vv a$ tali che $\varphi(\vv i, \vv i) = 1$
|
||||
con $1 \leq i \leq a$. Analogamente siano $\ww 1$, ..., $\ww b$ tali che $\varphi(\ww i, \ww i) = -1$ con
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||||
$1 \leq i \leq b$. Detta allora $\basis' = \{ \vv 1 ' := \vv 1 + \ww 1, \ldots, \vv b ' := \vv b + \ww b \}$, sia $W = \Span(\basis')$. \\
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||||
Si osserva che $\basis'$ è linearmente indipendente, e dunque che $\dim W = \iota_-$. Inoltre
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$\varphi(\vv i ', \vv j ') = \varphi(\vv i + \ww i, \vv j + \ww j)$. Se $i \neq j$, allora
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$\varphi(\vv i ', \vv j ') = 0$, dal momento che i vettori di $\basis$ sono a due a due ortogonali
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tra loro. Se invece $i = j$, allora $\varphi(\vv i ', \vv j ') = \varphi(\vv i, \vv i) + \varphi(\ww i, \ww i) = 1-1=0$. Quindi $M_{\basis'}(\restr{\varphi}{W}) = 0$, da cui si conclude che $\restr{\varphi}{W} = 0$.
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Pertanto $W(\varphi) \geq i_-(\varphi)$, e quindi $W(\varphi) = i_-(\varphi)$, da cui la tesi.
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\end{proof}
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File diff suppressed because it is too large
Load Diff
Binary file not shown.
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After Width: | Height: | Size: 93 KiB |
Binary file not shown.
@ -0,0 +1,39 @@
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\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
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\documentclass[11pt]{scrbook}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[italian]{babel}
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\usepackage{recap}
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\begin{document}
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\title{I prodotti di uno spazio vettoriale}
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\subtitle{Dispense del corso di Geometria 1}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{A.A. 2022/2023 \\ \vskip 1in \includegraphics[scale=0.3]{logo.png}}
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\maketitle
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\newpage
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\thispagestyle{empty}
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~\newpage
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\tableofcontents
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\newpage
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\thispagestyle{empty}
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~\newpage
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\include{1. Introduzione al prodotto scalare}
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\newpage
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\thispagestyle{empty}
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~\newpage
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||||
\include{2. Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare}
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\newpage
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||||
\thispagestyle{empty}
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~\newpage
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||||
\include{3. Prodotti hermitiani, spazi euclidei e teorema spettrale}
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\end{document}
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||||
Binary file not shown.
@ -0,0 +1,615 @@
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\ProvidesPackage{recap}
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||||
\usepackage{amsmath,amssymb}
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||||
\usepackage{amsfonts}
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||||
\usepackage{amsthm}
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\usepackage{amssymb}
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||||
\usepackage{amsopn}
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||||
\usepackage{mathtools}
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||||
\usepackage{stmaryrd}
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||||
\usepackage{marvosym}
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||||
\usepackage{float}
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||||
\usepackage{enumerate}
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||||
\usepackage{scalerel}
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||||
\usepackage{stackengine}
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||||
\usepackage{wasysym}
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||||
\usepackage{iftex}
|
||||
\usepackage[minimal]{yhmath}
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||||
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||||
\PassOptionsToPackage{usenames,svgnames,dvipsnames,table}{xcolor}
|
||||
\usepackage{xcolor}
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||||
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
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||||
\hypersetup{urlcolor=RubineRed,linkcolor=RoyalBlue,citecolor=ForestGreen}
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||||
\usepackage[nameinlink]{cleveref}
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||||
\usepackage{amsthm}
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||||
\usepackage{thmtools}
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||||
\usepackage[framemethod=TikZ]{mdframed}
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||||
\usepackage{listings}
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||||
\usepackage{mathrsfs}
|
||||
\usepackage{textcomp}
|
||||
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||||
\usepackage[shortlabels]{enumitem}
|
||||
\usepackage[obeyFinal,textsize=scriptsize,shadow]{todonotes}
|
||||
\usepackage{textcomp}
|
||||
\usepackage{multirow}
|
||||
\usepackage{ellipsis}
|
||||
\usepackage{mathtools}
|
||||
\usepackage{microtype}
|
||||
\usepackage{xstring}
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||||
\usepackage{wrapfig}
|
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|
||||
\usepackage[headsepline]{scrlayer-scrpage}
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||||
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||||
\hfuzz=\maxdimen
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\tolerance=10000
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\hbadness=10000
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||||
\newcommand{\system}[1]{\begin{cases} #1 \end{cases}}
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||||
\newcommand{\wip}{\begin{center}\textit{Questo avviso sta ad indicare che questo documento è ancora una bozza e non è
|
||||
da intendersi né completo, né revisionato.}\end{center}}
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||||
|
||||
\newcommand\hr{\vskip 0.05in \par\vspace{-.5\ht\strutbox}\noindent\hrulefill\par}
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||||
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||||
% Modalità matematica/fisica
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\let\oldvec\vec
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||||
\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
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||||
\newcommand{\E}{\text{ e }}
|
||||
\newcommand{\altrimenti}{\text{altrimenti}}
|
||||
\newcommand{\se}{\text{se }}
|
||||
\newcommand{\tc}{\text{ t.c. }\!}
|
||||
\newcommand{\epari}{\text{ è pari}}
|
||||
\newcommand{\edispari}{\text{ è dispari}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\nl}{\ \\}
|
||||
|
||||
\newcommand{\lemmaref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}}
|
||||
\newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}}
|
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||||
\newcommand{\li}[0]{$\blacktriangleright\;\;$}
|
||||
|
||||
\newcommand{\tends}[1]{\xrightarrow[\text{$#1$}]{}}
|
||||
\newcommand{\tendsto}[1]{\xrightarrow[\text{$x \to #1$}]{}}
|
||||
\newcommand{\tendstoy}[1]{\xrightarrow[\text{$y \to #1$}]{}}
|
||||
\newcommand{\tendston}[0]{\xrightarrow[\text{$n \to \infty$}]{}}
|
||||
|
||||
\setlength\parindent{0pt}
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||||
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||||
% Principio di induzione e setup dimostrativi.
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||||
\newcommand{\basestep}{\mbox{(\textit{passo base})}\;}
|
||||
\newcommand{\inductivestep}{\mbox{(\textit{passo induttivo})}\;}
|
||||
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||||
\newcommand{\rightproof}{\mbox{($\implies$)}\;}
|
||||
\newcommand{\leftproof}{\mbox{($\impliedby$)}\;}
|
||||
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||||
% Spesso utilizzati al corso di Fisica 1.
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\newcommand{\dx}{\dot{x}}
|
||||
\newcommand{\ddx}{\ddot{x}}
|
||||
\newcommand{\dv}{\dot{v}}
|
||||
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||||
\newcommand{\del}{\partial}
|
||||
\newcommand{\tendstot}[0]{\xrightarrow[\text{$t \to \infty$}]{}}
|
||||
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||||
\newcommand{\grad}{\vec{\nabla}}
|
||||
\DeclareMathOperator{\rot}{rot}
|
||||
|
||||
\newcommand{\ihat}{\hat{i}}
|
||||
\newcommand{\jhat}{\hat{j}}
|
||||
\newcommand{\khat}{\hat{k}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\der}[1]{\frac{d#1}{dx}}
|
||||
\newcommand{\parx}{\frac{\del}{\del x}}
|
||||
\newcommand{\pary}{\frac{\del}{\del y}}
|
||||
\newcommand{\parz}{\frac{\del}{\del z}}
|
||||
|
||||
% Spesso utilizzati al corso di Analisi 1.
|
||||
%\newcommand{\liminf}{\lim_{x \to \infty}}
|
||||
\newcommand{\liminfty}{\lim_{x \to \infty}}
|
||||
\newcommand{\liminftym}{\lim_{x \to -\infty}}
|
||||
\newcommand{\liminftyn}{\lim_{n \to \infty}}
|
||||
\newcommand{\limzero}{\lim_{x \to 0}}
|
||||
\newcommand{\limzerop}{\lim_{x \to 0^+}}
|
||||
\newcommand{\limzerom}{\lim_{x \to 0^-}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\cc}{\mathcal{C}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\xbar}{\overline{x}}
|
||||
\newcommand{\ybar}{\overline{y}}
|
||||
\newcommand{\tbar}{\overline{t}}
|
||||
\newcommand{\zbar}{\overline{z}}
|
||||
\newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}}
|
||||
|
||||
% Spesso utilizzati al corso di Geometria 1.
|
||||
\newcommand{\Aa}{\mathcal{A}}
|
||||
\DeclareMathOperator{\An}{\mathcal{A}_n}
|
||||
\DeclareMathOperator{\AnK}{\mathcal{A}_n(\KK)}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Giac}{Giac}
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\IC}{IC}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Orb}{Orb}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Gr}{Gr}
|
||||
\newcommand{\vvec}[1]{\overrightarrow{#1}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
|
||||
|
||||
\let\imm\Im
|
||||
\let\Im\undefined
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||||
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Rad}{Rad}
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||||
\newcommand{\restr}[2]{
|
||||
#1\arrowvert_{#2}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\newcommand{\innprod}[1]{\langle #1 \rangle}
|
||||
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||||
\newcommand{\zerovecset}{\{\vec 0\}}
|
||||
\newcommand{\bigzero}{\mbox{0}}
|
||||
\newcommand{\rvline}{\hspace*{-\arraycolsep}\vline\hspace*{-\arraycolsep}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\Idv}{\operatorname{Id}_V}
|
||||
\newcommand{\Idw}{\operatorname{Id}_W}
|
||||
\newcommand{\IdV}[1]{\operatorname{Id}_{#1}}
|
||||
\DeclareMathOperator{\CI}{CI}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Bil}{Bil}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Mult}{Mult}
|
||||
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}
|
||||
\DeclareMathOperator{\adj}{adj}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Cof}{Cof}
|
||||
\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Sp}{sp}
|
||||
|
||||
\newcommand{\dperp}{{\perp\perp}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\Eigsp}[0]{V_{\lambda}}
|
||||
\newcommand{\Gensp}[0]{\widetilde{V_{\lambda}}}
|
||||
\newcommand{\eigsp}[1]{V_{\lambda_{#1}}}
|
||||
\newcommand{\gensp}[1]{\widetilde{V_{\lambda_{#1}}}}
|
||||
\newcommand{\genspC}[1]{\widetilde{V_{#1}}}
|
||||
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||||
\DeclareMathOperator{\val}{val}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Span}{Span}
|
||||
\newcommand{\charpoly}[1]{p_{#1}}
|
||||
\newcommand{\charpolyrestr}[2]{p_{#1\arrowvert_#2}\hspace{-1pt}(\lambda)}
|
||||
\newcommand{\minpoly}[1]{\varphi_{#1}}
|
||||
\newcommand{\valf}{\val_f}
|
||||
\newcommand{\valfv}{\val_{f,\V}}
|
||||
\newcommand{\e}[1]{\vec{e_{#1}}}
|
||||
\newcommand{\V}{\vec{v}}
|
||||
\newcommand{\VV}[1]{\vec{v_{#1}}}
|
||||
\newcommand{\basisdual}{\dual{\basis}}
|
||||
\newcommand{\vecdual}[1]{\vec{\dual{#1}}}
|
||||
\newcommand{\vecbidual}[1]{\vec{\bidual{#1}}}
|
||||
\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
|
||||
\newcommand{\Vector}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\rg}{rg}
|
||||
|
||||
\let\v\undefined
|
||||
\newcommand{\v}{\vec{v}}
|
||||
\newcommand{\vv}[1]{\vec{v_{#1}}}
|
||||
\newcommand{\w}{\vec{w}}
|
||||
\newcommand{\U}{\vec{u}}
|
||||
\newcommand{\ww}[1]{\vec{w_{#1}}}
|
||||
\newcommand{\uu}[1]{\vec{u_{#1}}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\mapstoby}[1]{\xmapsto{#1}}
|
||||
\newcommand{\oplusperp}{\oplus^\perp}
|
||||
|
||||
% Comandi personali.
|
||||
|
||||
\newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|}
|
||||
\newcommand{\nsqrt}[2]{\!\sqrt[#1]{#2}\,}
|
||||
\newcommand{\zeroset}{\{0\}}
|
||||
\newcommand{\setminuszero}{\setminus \{0\}}
|
||||
|
||||
\newenvironment{solution}
|
||||
{\textit{Soluzione.}\,}
|
||||
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||||
\theoremstyle{definition}
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||||
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||||
\let\abstract\undefined
|
||||
\let\endabstract\undefined
|
||||
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||||
\newcommand{\basis}{\mathcal{B}}
|
||||
\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
|
||||
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||||
\newcommand{\basisC}{\mathcal{B}}
|
||||
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||||
\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\FFp}[1]{\mathbb{F}_p}
|
||||
\newcommand{\FFpx}[1]{\mathbb{F}_p[x]}
|
||||
|
||||
\newcommand{\CCx}{\mathbb{C}[x]}
|
||||
|
||||
\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
|
||||
\newcommand{\KKx}{\mathbb{K}[x]}
|
||||
|
||||
\newcommand{\QQx}{\mathbb{Q}[x]}
|
||||
\newcommand{\RRx}{\mathbb{R}[x]}
|
||||
|
||||
\newcommand{\ZZi}{\mathbb{Z}[i]}
|
||||
\newcommand{\ZZp}{\mathbb{Z}_p}
|
||||
\newcommand{\ZZpx}{\mathbb{Z}_p[x]}
|
||||
\newcommand{\ZZx}{\mathbb{Z}[x]}
|
||||
|
||||
\newcommand{\ii}{\mathbf{i}}
|
||||
\newcommand{\jj}{\mathbf{j}}
|
||||
\newcommand{\kk}{\mathbf{k}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\bidual}[1]{#1^{**}}
|
||||
\newcommand{\dual}[1]{#1^{*}}
|
||||
\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)} % L(V, W)
|
||||
|
||||
\newcommand{\nsg}{\mathrel{\unlhd}} % sottogruppo normale
|
||||
|
||||
% evan.sty original commands
|
||||
\newcommand{\cbrt}[1]{\sqrt[3]{#1}}
|
||||
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
|
||||
\newcommand{\ceiling}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
|
||||
\newcommand{\mailto}[1]{\href{mailto:#1}{\texttt{#1}}}
|
||||
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
|
||||
\newcommand{\vocab}[1]{\textbf{\color{blue}\sffamily #1}}
|
||||
\providecommand{\alert}{\vocab}
|
||||
\newcommand{\catname}{\mathsf}
|
||||
\providecommand{\arc}[1]{\wideparen{#1}}
|
||||
|
||||
% From H113 "Introduction to Abstract Algebra" at UC Berkeley
|
||||
\newcommand{\CC}{\mathbb C}
|
||||
\newcommand{\FF}{\mathbb F}
|
||||
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
|
||||
\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
|
||||
\newcommand{\RR}{\mathbb R}
|
||||
\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
|
||||
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
|
||||
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
|
||||
|
||||
% From Kiran Kedlaya's "Geometry Unbound"
|
||||
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
|
||||
\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
|
||||
\newcommand{\dang}{\measuredangle} %% Directed angle
|
||||
\newcommand{\ray}[1]{\overrightarrow{#1}}
|
||||
\newcommand{\seg}[1]{\overline{#1}}
|
||||
|
||||
% From M275 "Topology" at SJSU
|
||||
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
|
||||
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
|
||||
\newcommand{\taking}[1]{\xrightarrow{#1}}
|
||||
\newcommand{\inv}{^{-1}}
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
|
||||
\newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}}
|
||||
\newcommand{\defiff}{\overset{\mathrm{def}}{\iff}}
|
||||
|
||||
% From the USAMO .tex files
|
||||
\newcommand{\dg}{^\circ}
|
||||
|
||||
\newcommand{\liff}{\leftrightarrow}
|
||||
\newcommand{\lthen}{\rightarrow}
|
||||
\newcommand{\opname}{\operatorname}
|
||||
\newcommand{\surjto}{\twoheadrightarrow}
|
||||
\newcommand{\injto}{\hookrightarrow}
|
||||
|
||||
% Alcuni degli operatori più comunemente utilizzati.
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\Char}{char}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Fix}{\textit{Fix}\,}
|
||||
\DeclareMathOperator{\End}{End}
|
||||
\DeclareMathOperator{\existsone}{\exists !}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Imm}{Imm}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
|
||||
\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
|
||||
\DeclareMathOperator{\MCD}{MCD}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor}
|
||||
\DeclareMathOperator{\mcm}{mcm}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
|
||||
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
|
||||
|
||||
% Reimposta alcuni simboli presenti di default in LaTeX con degli analoghi
|
||||
% più comuni.
|
||||
|
||||
\let\oldemptyset\emptyset
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||||
\let\emptyset\varnothing
|
||||
|
||||
% Trasforma alcuni simboli in operatori matematici.
|
||||
|
||||
\let\oldcirc\circ
|
||||
\let\circ\undefined
|
||||
\DeclareMathOperator{\circ}{\oldcirc}
|
||||
|
||||
\let\oldexists\exists
|
||||
\let\exists\undefined
|
||||
\DeclareMathOperator{\exists}{\oldexists}
|
||||
|
||||
\let\oldforall\forall
|
||||
\let\forall\undefined
|
||||
\DeclareMathOperator{\forall}{\oldforall}
|
||||
|
||||
\let\oldnexists\nexists
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||||
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||||
\let\land\undefined
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\DeclareMathOperator{\land}{\oldland}
|
||||
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\let\oldlnot\lnot
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||||
\let\lnot\undefined
|
||||
\DeclareMathOperator{\lnot}{\oldlnot}
|
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|
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\let\oldlor\lor
|
||||
\let\lor\undefined
|
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\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor}
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\title{}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{\today}
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|
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|
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|
||||
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|
||||
\declaretheorem[style=thmredbox2,name=Proposizione,numbered=no]{proposition*}
|
||||
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
||||
|
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|
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\scalebox{2.5}{\thepart}\enlargethispage{2em}}
|
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|
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\@ifundefined{chapter}{}{
|
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\addtokomafont{partprefix}{\rmfamily}
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\renewcommand*{\partformat}{\color{purple}
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||||
\scalebox{2.5}{\thepart}\enlargethispage{2em}}
|
||||
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|
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\renewcommand*{\chapterformat}{\mbox{%
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\scalebox{1.5}{\chapappifchapterprefix{\nobreakspace}}%
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\scalebox{2.718}{\color{purple}\thechapter}\enskip}}
|
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||||
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|
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