diff --git a/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.pdf b/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.pdf
index ee9545a..1bb9c45 100644
Binary files a/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.pdf and b/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.pdf differ
diff --git a/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.tex b/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.tex
index 8cbcc5b..30e9d62 100644
--- a/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.tex	
+++ b/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.tex	
@@ -2406,6 +2406,20 @@
      	In questo modo si dimostra facilmente che in un triangolo il baricentro geometrico giace sulle
      	congiungenti dei punti medi con i vertici opposti.
 
+		Si osserva che se $A$ e $B$ sono due sottospazi affini, allora anche
+		$A \cap B$ è un sottospazio affine se $A \cap B \neq \emptyset$. Inoltre, se $A \cap B \neq \emptyset$,
+		allora $(A \cap B)_0 = A_0 \cap B_0$. \\ \vskip 0.05in
+		
+		Si definisce \textit{somma affine} $A + B$ di due sottospazi affini $A$ e $B$ di $E$
+		il sottospazio affine $\Aff(A \cup B)$. In generale vale la seguente
+		uguaglianza:
+		\[ (A + B)_0 = A_0 + B_0 + \Span(P_0' - P_0), \quad P_0' \in A, P_0 \in B. \]
+		Inoltre $\Span(P_0' - P_0) \subseteq A_0 + B_0 \iff A \cap B \neq \emptyset$,
+		altrimenti $(A + B)_0 = A_0 + B_0 \oplus \Span(P_0' - P_0)$. Pertanto, se $A \cap B \neq \emptyset$, continua a valere la formula di Grassmann:
+		\[ \dim (A + B) = \dim A + \dim B - \dim (A \cap B) \quad \se A \cap B \neq \emptyset, \]
+		altrimenti vale la formula di Grassmann modificata:
+		\[ \dim (A + B) = \dim A + \dim B - \dim (A \cap B) + 1 \quad \se A \cap B = \emptyset. \]
+
         \subsection{Applicazioni affini e affinità}
         Siano $E$ spazio affine su $V$, $E'$ spazio affine su $V'$ sullo stesso campo $\KK$.
         
@@ -2443,47 +2457,39 @@
 
         Sia $E$ spazio affine di dimensione $n$.
         
-        \begin{enumerate}
+        \begin{enumerate}[(i)]
             \item se $f\in A(E)$ e i punti $P_0$, ..., $P_n \in E$ sono affinemente indipendenti, allora anche i punti $f(P_0)$, ..., $f(P_n)$ sono affinemente indipendenti,
             \item se $\dim E_0 = n$, i punti $P_0$, ..., $P_n$ sono affinemente indipendenti e anche i punti $Q_0$, ... $Q_n$ sono affinemente indipendenti, allora esiste ed è unica l'affinità $f : E \rightarrow E$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1\text{---}n$,
             \item se $f\in A(E)$, $D \subseteq E$ sottospazio affine $\implies f(D)$ è un sottospazio affine della stessa dimensione.
         \end{enumerate}
         
-        \subsection{Spazio proiettivo}
-        Chiamiamo l'insieme dei sottospazi di dimensione 1 in $\KK^{n+1}$ \textit{spazio proiettivo} (associato a $\KK^{n+1})$ e lo denotiamo con $\PP(\KK^{n+1})=\PP^n(\KK)$
+        Siano ($P_1$, $P_2$, $P_3$), ($Q_1$, $Q_2$, $Q_3$) due terne di punti distinti di $\mathcal{A}_1(\KK)$. Allora esiste ed è unica l'applicazione affine $f \in A(\mathcal{A}_1(\KK))$ tale che $f(P_i)=Q_i$ $\forall i=1,$ $2$, $3$ $\iff \lambda(P_1, P_2, P_3)=\lambda(Q_1, Q_2, Q_3)$, dove $\lambda(P_1,P_2,P_3)$ è detto \textit{rapporto semplice} ed è definito come:
+        \[ \lambda(P_1, P_2, P_3) = \frac{P_3 - P_1}{P_2 - P_1}. \]
+        Infatti $f$ è già unica ponendo $f(P_1) = Q_1$ e $f(P_2) = Q_2$; allora, poiché
+        $\mathcal{A}_1(\KK)$ è di dimensione unitaria, $P_3$ deve scriversi come combinazione
+        affine di $P_1$ e $P_2$ in modo tale che $P_3 = P_1 + \lambda (P_2 - P_1)$. In questo
+        modo, poiché $f(P_3) = Q_3$, anche $Q_3 = Q_1 + \lambda (Q_2 - Q_1)$, da cui la
+        motivazione dietro all'uguaglianza dei rapporti semplici.
 
-        Ogni punto $\begin{pmatrix}
-            \x \\ 1
-        \end{pmatrix}\in H_{n+1}$ individua un unico sottospazio $l=Span(\begin{pmatrix}
-            \x \\ 1
-        \end{pmatrix})\in \KK^{n+1}$ di dimensione 1.
+		\begin{itemize}
+			\item $A(\AA_1(\KK))$ agisce transitivamente su $\mathcal{A}_1(\KK)$,
+			$\Stab(x_0)=\{f\mid f(x_0)=x_0\} \cong \GL_1(\KK)$ (infatti la matrice associata all'affinità dipende da un solo parametro),
+			\item $\abs{\Fix(f)} \leq 1$, e
+			$\abs{\Fix(f)}=0 \iff f$ è una traslazione, dove $\Fix(f) = \{x\in \mathcal{A}_1(\KK)\mid f(x)=x\}$,
+			\item $A(\mathcal{A}_1(\KK))$ agisce in maniera semplicemente transitiva sulle coppie di punti $(P_1,P_2) \in \AA_1(\KK) \times \AA_1(\KK)$ con $P_1\neq P_2$.
+		\end{itemize}
+        
+        \subsection{Spazio proiettivo}
+        Si definisce \textit{spazio proiettivo} relativo a $\KK^{n+1}$ l'insieme delle rette di $\KK^{n+1}$. Tale spazio viene denotato come $\PP(\KK^{n+1})=\PP^n(\KK)$ (intuitivamente lo spazio proiettivo perde una dimensione rispetto allo spazio di partenza perché è la proiezione di tutte le rette in un unico punto, eccetto per i punti all'infinito).
+        
+        Equivalentemente lo spazio proiettivo è l'insieme quoziente di $\KK^{n+1}$ tramite
+        la relazione di equivalenza $\sim$ dove $\vec x \sim \vec y \defiff \exists \lambda \in \KK, \lambda \neq 0 \mid \vec x = \lambda \vec y$.  
 
-        La differenza $\PP^n(\KK)\setminus \mathcal{A}_n(\KK)$ corrisponde ai sottogruppi $l\in \KK^{n+1}$ tali che $l\subset\{\x\in \mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{n+1}=0\}\cong \KK^n$, cioè corrisponde a un $\PP(\KK^n)=\PP^{n-1}(\KK)$ %??
+        Ogni punto $\vec x \in \KK^n$ individua un unico sottospazio di dimensione unitaria in $\KK^{n+1}$ tramite $\iota$, ossia: $\Span(\iota(\vec x)) = \Span(\projT\x)$. L'insieme di rette non individuate tramite elementi di $\KK^n$ è in particolare formato dalle rette appartenenti al piano $\{\x \in \KK^{n+1} \mid x_{n+1}=0\}\cong \KK^n$; dal momento che queste rette si identificano come tutte le rette di $\KK^n$, esse rappresentano in particolare lo spazio proiettivo di una dimensione ancora minore, $\PP^{n-1}(\KK)$.
 
-        Tali rette si dicono \textit{punti all'infinito} di $\mathcal{A}_n(\KK)$, intituivamente un punto all'infinito è il limite di un punto $P\in \mathcal{A}_n(\KK)$ che si allontana verso l'infinito di direzione $l$ %??
+        Le rette appartenenti al piano $\{\x \in \KK^{n+1} \mid x_{n+1}=0\}$ sono dette \textit{punti all'infinito} di $\PP^n(\KK)$ (intuitivamente un punto all'infinito indica la direzione dei vari infiniti del piano).
 
-        Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con gli iperpiani $H_i=\{\x\in \mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{i}=1\}$.
-        Ogni 1-sottospazio $l\in \KK^{n+1}$ interseca almeno uno degli $H_i$ in  un punto.
-           
-		\subsection{Complementi sugli spazi affini}
-             Alcuni esempi visti a lezione: %da tenere ?
-            \begin{itemize}
-                \item $A_1(\KK)$ agisce transitivamente su $\mathcal{A}_1(\KK)$. Non agisce liberamente se $x_0\in\mathcal{A}_1(\KK)$
-                $Stab(x_0)=\{f\mid f(x_0)=x_0\}\cong GL_1(\KK)$
-                \item $|Fix(f)|=|\{x\in \mathcal{A}_1(\KK)\mid f(x)=x\}|\geq1$.
-                $|Fix(f)|=0\iff f$ è una traslazione
-                \item $\mathcal{A}_1(\KK)$ agisce in maniera semplicemente transitiva sulle coppie di punti $(P_1,P_2), P_1\neq P_2$
-                \item Siano $P_1,P_2,P_3$, $Q_1,Q_2,Q_3$ due terne di punti distinti, allora esiste ed è unica $f\in \mathcal{A}_1(\KK)$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1,2,3 \iff \lambda(P_1,P_2,P_3)=\lambda(Q_1,Q_2,Q_3)$ dove $\lambda(P_1,P_2,P_3)$ è definito dal \textit{rapporto semplice} $P_3-P_1=\lambda(P_2-P_1)$ ($\iff P_3=(1-\lambda)P_1+\lambda P_2$)
-                %vari esempi di posizione tra rette e numero di parametri di dipendenza. da inserire (?)
-                \item $A,B$ sottospazi affini $\implies D\cap D'=\emptyset$ oppure $D\cap D'$ è un sottospazio affine.
-			\item se $A \cap B \neq \emptyset$, vale la formula di Grassmann,
-			\item se $A \cap B = \emptyset$, $\dim (A + B) = \dim A + \dim B - \dim (A_0 \cap B_0) + 1$,
-			\item ogni affinità $f(\x) = M \x + \vec t$ può scriversi in forma matriciale
-			come:
-			
-			\[ \Matrix{M & \vec t \\ 0 & 1}. \]
-		\end{itemize}
-		
+        Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con gli iperpiani $H_i=\{\x\in \mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{i}=1\}$ dal momento che ogni retta deve intersecare almeno uno di questi iperpiani in un punto.
 		
 	\subsection{Coniche} %problema di notazione, come fare A maiuscola corsiva da sostituire a \matchal{A} (?)
             Una conica in $\mathcal{A}_2(\KK)$ è il luogo delle soluzioni di un polinomio di secondo grado $p(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$.
diff --git a/tex/latex/style/personal_commands.sty b/tex/latex/style/personal_commands.sty
index 0449631..2edb8b7 100644
--- a/tex/latex/style/personal_commands.sty
+++ b/tex/latex/style/personal_commands.sty
@@ -106,6 +106,9 @@
 \newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}}
 
 % Spesso utilizzati al corso di Geometria 1.
+\newcommand{\proj}[1]{\Matrix{#1 \\[0.03in] \hline 1}}
+\newcommand{\projT}[1]{\Matrix{#1 & \rvline & 1}^\top}
+
 \let\AA\undefined
 \newcommand{\AA}{\mathcal{A}}
 \newcommand{\MM}{\mathcal{M}}
@@ -316,7 +319,7 @@
 
 \DeclareMathOperator{\Char}{char}
 \DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}
-\DeclareMathOperator{\Fix}{\textit{Fix}\,}
+\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix}
 \DeclareMathOperator{\End}{End}
 \DeclareMathOperator{\existsone}{\exists !}
 \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}