@ -1247,11 +1247,35 @@ originale in una formula esplicita:
ogni suo segmento iniziale proprio è generato da un elemento $ a \in A $ .
\end { problem}
\begin { solution}
Si supponga che $ ( A, < ) $ è ben ordinato. Sia $ X \subsetneq A $ un segmento iniziale proprio di $ A $ .
Poiché $ X $ è proprio, $ A \setminus X $ \underline { non} è vuoto, quindi ne esiste il minimo, detto $ a $ .
Mostriamo che $ X = A _ a $ . Se $ x \in A _ a $ , allora $ x < a $ , dunque $ x \in X $ ; altrimenti $ x $ apparterrebbe a
$ X \setminus A $ e sarebbe contemporaneamente il suo minimo, $ \Lightning $ . Viceversa, se $ x \in X $ ,
se fosse $ a \leq x $ , si avrebbe $ a \in X $ , essendo $ A $ un segmento iniziale, $ \Lightning $ . Dunque
$ x < a $ , ossia $ x \in A _ a $ ; si conclude allora che $ X = A _ a $ . \medskip
Si supponga che ogni segmento iniziale proprio è generato da un elemento in $ A $ . Sia $ X $ un sottinsieme
\underline { non} vuoto di $ A $ . I minoranti stretti di $ X $ sono allora un segmento iniziale proprio di $ A $ , e
dunque sono generati da un elemento $ a \in A $ . Mostriamo che $ a = \min X $ . Sia $ x \in X $ . Se fosse
$ x < a $ , allora $ x $ apparterrebbe ad $ A _ a $ , ovverosia sarebbe un minorante stretto di $ X $ , $ \Lightning $ . Dunque
$ a \leq x $ per ogni $ x \in X $ . Se $ a $ non appartenesse ad $ X $ , allora sarebbe $ a < x $ per ogni $ x \in X $ , e dunque
si avrebbe $ a \in A _ a $ , $ \Lightning $ . Dunque $ x $ appartiene ad $ X $ e ne è minorante debole, ovverosia è il minimo
di $ X $ .
\end { solution}
\begin { problem} { Unicità dell'isomorfismo d'ordine tra insiemi ben ordinati} { problem-37}
Siano $ ( A, < ) $ e $ ( B, \prec ) $ insiemi ben ordinati isomorfi tra loro. Si dimostri che
esiste un solo isomorfismo tra i due.
\end { problem}
\begin { solution}
Se $ \varphi $ e $ \psi $ sono due isomorfismi da $ A $ a $ B $ , allora $ \varphi \circ \psi \inv $ è un automorfismo
di $ A $ . Poiché l'unico automorfismo di $ A $ è l'identità, si ha allora $ \varphi \circ \psi \inv = \id _ A $ , ossia
$ \varphi = \psi $ .
\end { solution}
\begin { problem} { Gli insiemi totalmente ordinati finiti sono isomorfi a un $ ( n, \in ) $ } { problem-38}
Sia $ ( A, < ) $ un insieme totalmente ordinato finito. Si dimostri che se $ \abs { A } \cong \abs { n } $ , allora
$ ( A, < ) \cong ( n, \in ) $ .
@ -1266,7 +1290,7 @@ originale in una formula esplicita:
Sia $ ( A, < ) $ un insieme totalmente ordinato e infinito. Si mostri che sono equivalenti:
\begin { enumerate} [(i.)]
\item $ ( A, < ) \cong ( \omega , in) $ .
\item $ ( A, < ) \cong ( \omega , \ ) $ .
\item Ogni segmento iniziale proprio di $ A $ è finito.
\item Ogni sottinsieme infinito di $ A $ non ammette massimo.
\end { enumerate}
@ -1277,10 +1301,27 @@ originale in una formula esplicita:
\end { problem}
\begin { problem} { Una catena di insiemi totalmente ordinati induce un insieme totalmente ordinato limite} { problem-42}
Sia $ \{ A _ i \} _ { i \in I } $ una catena di insiemi totalmente ordinati su $ I $ totalmente ordinato. Si mostri che
Sia $ \{ A _ i \} _ { i \in I } $ una catena di insiemi totalmente ordinati compatibili tra loro, su $ I $ totalmente ordinato. Si mostri che
$ \bigcup _ { i \in I } A _ i $ con l'ordinamento indotto dagli $ A _ i $ è totalmente ordinato.
\end { problem}
\begin { solution}
Si mostrano separatamente le varie proprietà.
\begin { enumerate}
\item [$\boxed{\text{Riflessività}}$] Se $ i \in I $ è tale per cui $ a \in A _ i $ , allora $ a \leq _ i a $ , e quindi $ a \leq a $ .
\item [$\boxed{\text{Simmetria}}$] Se $ a $ e $ b $ sono elementi
di $ \bigcup _ { i \in I } A _ i $ , detti $ i $ e $ j $ gli indici in $ I $ per cui $ a \in A _ i $ e $ b \in A _ j $ , detto $ k = \max \{ i, j \} $ ,
$ a $ e $ b $ sono entrambi elementi di $ A _ k $ . Se $ a \leq b $ e $ b \leq a $ , allora, dalla compatibilità e dalla totalità
di $ \leq _ k $ , $ a \leq _ i b $ e $ b \leq _ i a $ , dunque $ a = b $ per la riflessività di $ \leq _ i $ .
\item [$\boxed{\text{Transitività}}$] Analogamente a prima, se $ a $ , $ b $ e $ c $ sono elementi di $ \bigcup _ { i \in I } A _ i $ si può trovare un indice
$ k \in I $ per cui $ a $ , $ b $ , $ c \in A _ k $ . Dunque, se $ a \leq b $ e $ b \leq c $ , per compatibilità e totalità di $ \leq _ k $ ,
$ a \leq _ k b $ e $ b \leq _ k c $ , dunque $ a \leq _ k c $ per transitività di $ \leq _ k $ , e infine $ a \leq c $ .
item[$ \boxed { \text { Totalità } } $ ] Come prima, si può trovare un indice $ k $ per cui $ a $ , $ b \in A _ k $ . Per la totalità
di $ \leq _ k $ , allora $ a $ e $ b $ sono confrontabili, e quindi lo sono anche su $ \leq $ .
\end { enumerate}
\end { solution}
\begin { problem} { Proprietà distributiva a destra dell'isomorfismo tra buoni ordini} { problem-43}
Siano $ A $ , $ B $ e $ C $ tre insiemi ben ordinati. Si mostri che:
\[ A \times ( B + C ) \cong ( A \times B ) + ( A \times C ) . \]
@ -1290,6 +1331,12 @@ originale in una formula esplicita:
Si mostri che $ \Fun ( \omega , \omega ) $ con l'ordine della minima differenza \underline { non} è un insieme ben ordinato.
\end { problem}
\begin { solution}
Per ogni $ i \in \omega $ , sia $ d _ i : \omega \to \omega $ tale per cui $ d _ i ( j ) = \delta _ { ij } $ , dove
$ \delta _ { ij } $ è il delta di Dirac. Allora $ d _ 0 > d _ 1 > d _ 2 > \cdots $ è una catena discendente infinita in $ \Fun ( \omega , \omega ) $ ,
che quindi \underline { non} è ben ordinato.
\end { solution}
\begin { problem} { Unione e intersezione di ordinali sono ordinali, e corrispondono all'estremo superiore e al minimo} { problem-45}
Sia $ A \neq \emptyset $ un insieme di ordinali. Si mostri che $ \bigcup A $ corrisponde all'estremo superiore $ \sup A $ e che
$ \bigcap A $ corrisponde al minimo $ \min A $ .
@ -1303,11 +1350,35 @@ originale in una formula esplicita:
Sia $ \alpha $ un ordinale. Si mostri che $ 0 + \alpha = \alpha $ .
\end { problem}
\begin { solution}
Mostriamo la tesi per induzione transfinita sulla seguente formula:
\[ \Psi ( \alpha ) = \forall x ( x \in ( 0 + \alpha ) \iff x \in \alpha ) . \]
\begin { enumerate}
\item [$\boxed{\Psi(0)}$] Banale, dal momento che entrambi gli insiemi
in considerazione sono quelli vuoti.
\item [$\boxed{\Psi(\alpha + 1)}$] $ 0 + ( \alpha + 1 ) $ è per definizione
$ ( 0 + \alpha ) + 1 $ . Per ipotesi induttiva allora
$ ( 0 + \alpha ) + 1 = \alpha + 1 $ .
\item [$\boxed{\Psi(\lambda) \text{ limite}}$] $ 0 + \lambda $ è definizione
$ \bigcup _ { \alpha < \lambda } ( 0 + \alpha ) $ . Per ipotesi induttiva,
tali $ 0 + \alpha $ sono uguali ad $ \alpha $ , e quindi
$ 0 + \lambda $ coincide con $ \bigcup _ { \alpha < \lambda } \alpha = \bigcup \lambda = \lambda $ .
\end { enumerate}
\end { solution}
\begin { problem} { La somma tra ordinali è associativa} { problem-48}
Siano $ \alpha $ , $ \beta $ e $ \gamma $ ordinali. Allora:
\[ \alpha + ( \beta + \gamma ) = ( \alpha + \beta ) + \gamma . \]
\end { problem}
\begin { solution}
La tesi è immediatamente implicata dal fatto che per gli ordinali
$ \alpha \cong \beta \implies \alpha = \beta $ e che la somma tra ordinali
corrisponde alla somma tra insiemi ben ordinati, per i quali vale:
\[ A + ( B + C ) \cong ( A + B ) + C. \]
\end { solution}
\begin { problem} { Il prodotto tra ordinali è isomorfo al prodotto tra ordinali intesi come buoni ordini} { problem-49}
Siano $ \alpha $ e $ \beta $ ordinali. Allora:
\[ \alpha \cdot \beta \cong \alpha \times \beta . \]
@ -1317,8 +1388,8 @@ originale in una formula esplicita:
Siano $ \alpha $ , $ \beta $ e $ \gamma $ ordinali con $ \alpha \neq 0 $ . Si mostri che:
\begin { enumerate} [(i.)]
\item $ \alpha ^ \beta \alpha ^ \gamma = \alpha ^ ( \beta + \gamma ) $ .
\item $ ( \alpha ^ \beta ) ^ \gamma = \alpha ^ ( \beta \cdot \gamma ) $ .
\item $ \alpha ^ \beta \alpha ^ \gamma = \alpha ^ { \beta + \gamma } $ .
\item $ { ( \alpha ^ \beta ) } ^ \gamma = \alpha ^ { \beta \cdot \gamma } $ .
\end { enumerate}
\end { problem}
@ -1347,8 +1418,16 @@ originale in una formula esplicita:
\[ \alpha \cdot ( \beta + \gamma ) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma . \]
\end { problem}
\begin { solution}
La tesi è immediatamente implicata dal fatto che per gli ordinali
$ \alpha \cong \beta \implies \alpha = \beta $ e che il prodotto e la somma tra ordinali
corrispondono al prodotto (vd. \textit { Problema 49} ) e alla somma tra insiemi ben ordinati, per i quali vale:
\[ A \times ( B + C ) \cong ( A \times B ) + ( A \times C ) , \]
per il \textit { Problema 43} .
\end { solution}
\begin { problem} { Forme normali di Cantor di $ ( \omega + 3 ) \cdot n $ , $ ( \omega + 3 ) ^ 2 $ , $ ( \omega + 3 ) ^ n $ e $ ( \omega + 3 ) ^ { \omega + 3 } $ } { problem-54}
Si calcolino le forme normali di Cantor di:
Dato $ n \in \omega $ , s i calcolino le forme normali di Cantor di:
\begin { tasks} [label=(\roman * .), label-width=19.4064pt](4)
\task $ ( \omega + 3 ) \cdot n $ ,
@ -1358,6 +1437,59 @@ originale in una formula esplicita:
\end { tasks}
\end { problem}
\begin { solution}
Mostriamo le varie richieste separatamente.
\begin { enumerate} [(i.)]
\item $ ( \omega + 3 ) \cdot 0 = 0 $ , banalmente. Altrimenti $ n $ è un successore, e allora:
\begin { eqnarray*}
(\omega + 3) \cdot n
& =& \underbrace { (\omega + 3) + \ldots + (\omega + 3)} _ { n \text { volte} } \\ [2ex]
& =& \omega + \underbrace { (3 + \omega ) + \ldots + (3 + \omega )} _ { n-1 \text { volte} } + 3 \\ [2ex]
& =& \omega + \underbrace { \omega + \ldots + \omega } _ { n-1 \text { volte} } + 3 \\ [2ex]
& =& \omega \cdot n + 3.
\end { eqnarray*}
\item Osserviamo che:
\begin { eqnarray*}
(\omega + 3)^ 2
& =& (\omega + 3) (\omega + 3) \\
& =& (\omega + 3) \omega + (\omega + 3) 3 \\
& =& (\omega + 3) \omega + \omega \cdot 3 + 3.
\end { eqnarray*}
Inoltre vale che:
\[ \omega ^ 2 \leq ( \omega + 3 ) \omega \leq ( \omega + \omega ) \omega = ( \omega \cdot 2 ) \cdot \omega = \omega \cdot ( 2 \cdot \omega ) = \omega ^ 2 , \]
da cui $ ( \omega + 3 ) \omega = \omega ^ 2 $ , dove si è usato che $ 2 \cdot \omega = \omega $ . Dunque $ ( \omega + 3 ) ^ 2 = \omega ^ 2 + \omega \cdot 3 + 3 $ .
\item Mostriamo per induzione che:
\[ ( \omega + 3 ) ^ n = \omega ^ n + \omega ^ { n - 1 } \cdot 3 + \omega ^ { n - 2 } \cdot 3 + \ldots + \omega \cdot 3 + 3 , \]
per ogni $ n \geq 2 $ . Per $ n = 2 $ , la tesi è già stata dimostrata. Assumiamo ora la tesi per $ n $ e dimostriamola
per $ n + 1 $ :
\begin { eqnarray*}
(\omega + 3)^ { n + 1}
& =& (\omega + 3)^ { 1 + n} \\
& =& (\omega + 3) (\omega + 3)^ n \\
& =& (\omega + 3) (\omega ^ n + \omega ^ { n-1} \cdot 3 + \omega ^ { n-2} \cdot 3 + \ldots + \omega \cdot 3 + 3) \\
& =& \omega ^ { n+1} + \omega ^ n \cdot 3 + \omega ^ { n-1} \cdot 3 + \ldots + \omega ^ 2 \cdot 3 + (\omega + 3) 3 \\
& =& \omega ^ { n+1} + \omega ^ n \cdot 3 + \omega ^ { n-1} \cdot 3 + \ldots + \omega ^ 2 \cdot 3 + \omega \cdot 3 + 3,
\end { eqnarray*}
dove si è usato che $ ( \omega + 3 ) \omega ^ i = \omega ^ { i + 1 } $ , analogamente a come fatto per il punto precedente.
\item Calcoliamo innanzitutto $ ( \omega + 3 ) ^ \omega $ . Osserviamo che:
\[ \omega ^ \omega \leq ( \omega + 3 ) ^ \omega \leq ( \omega + \omega ) ^ \omega \leq ( \omega \cdot \omega ) ^ \omega = { ( \omega ^ 2 ) } ^ \omega = \omega ^ { 2 \cdot \omega } = \omega ^ \omega , \]
da cui si deduce che $ ( \omega + 3 ) ^ \omega = \omega ^ \omega $ . Dunque:
\begin { eqnarray*}
(\omega + 3) ^ { \omega + 3}
& =& (\omega + 3)^ \omega (\omega + 3)^ 3 \\
& =& \omega ^ \omega (\omega + 3)^ 3 \\
& =& \omega ^ \omega (\omega ^ 3 + \omega ^ 2 \cdot 3 + \omega \cdot 3 + 3) \\
& =& \omega ^ { \omega + 3} + \omega ^ { \omega + 2} \cdot 3 + \omega ^ { \omega + 3} \cdot 3 + \omega ^ \omega \cdot 3,
\end { eqnarray*}
dove si è usato il punto precedente per calcolare $ ( \omega + 3 ) ^ 3 $ .
\end { enumerate}
\end { solution}
\begin { problem} { Equivalenza tra la ricorsione transfinita per casi e la ricorsione transfinita con una sola dichiarazione} { problem-55}
Si mostri che sono equivalenti la ricorsione transfinita per casi e quella che impiega invece una sola funzione classe.
\end { problem}
@ -1366,6 +1498,15 @@ originale in una formula esplicita:
Si mostri che $ n + \omega = \omega $ per ogni $ n \in \omega $ .
\end { problem}
\begin { solution}
Mostriamo la tesi per induzione su $ n $ . Innanzitutto $ 0 + \omega = \omega $ , per il \textit { Problema 56} . Per $ n = 1 $ ,
$ 1 + \omega = \omega $ ; infatti un isomorfismo tra $ \{ * \} + \omega $ e $ \omega $ è dato mappando $ * $ a $ 0 $ e
$ n $ a $ S ( n ) = n + 1 $ . Assumiamo ora
la tesi per $ n \geq 1 $ e mostriamola per $ n + 1 $ :
\[ ( n + 1 ) + \omega = n + ( 1 + \omega ) = n + \omega = \omega , \]
dove si è usata l'associatività della somma (vd. \textit { Problema 48} ).
\end { solution}
\begin { problem} { Caratterizzazione degli ordinali che rispettano \underline { sulla somma} la proprietà di assorbimento a sinistra per ordinali più piccoli} { problem-57}
Sia $ \alpha \neq 0 $ un ordinale. Si mostri che sono equivalenti:
@ -1474,7 +1615,7 @@ originale in una formula esplicita:
\end { enumerate}
\end { problem}
\begin { problem} { $ V _ * = \bigcup _ { \alpha \in \ORD } V _ \alpha $ è una classe propria} { problem-70 }
\begin { problem} { $ V _ * = \bigcup _ { \alpha \in \ORD } V _ \alpha $ è una classe propria} { problem-71 }
Sia $ V _ * : = \bigcup _ { \alpha \in \ORD } V _ \alpha $ . Si mostri che $ V _ * $ è una classe propria.
\end { problem}
