diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf index a23b164..1f9f35b 100644 Binary files a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf and b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf differ diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-notazioni.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-notazioni.tex index 35b7734..bc4fbb0 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-notazioni.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-notazioni.tex @@ -37,7 +37,8 @@ \addcontentsline{toc}{section}{Geometria} \begin{itemize} - \item $S_a^i(p)$ -- l'ipersfera $i$-dimensionale di raggio $a$ e centro $p$, ovverosia $\{\vec{x} \in \RR^{i+1} \mid \norm{\vec{x} - p} = p\}$. + \item $B_R(P, \RR^n)$, $B_R(P)$ -- la palla $n$-dimensionale di raggio $R$ e centro $P$. Ometteremo $\RR^n$ quando la dimensione si deduce dal contesto. + \item $S_a^i(P)$ -- l'ipersfera $i$-dimensionale di raggio $a$ e centro $P$, ovverosia $\{\vec{x} \in \RR^{i+1} \mid \norm{\vec{x} - p} = p\}$. \item $\TT_{a, b}$ -- toro di raggio maggiore $a$ e raggio minore $b$. \end{itemize} diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex index 4bc3fa4..7a4dfae 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex @@ -61,6 +61,29 @@ superficie. \end{remark} + \begin{proposition} + $\Sigma$ è una superficie se e solo se ogni suo punto ammette una parametrizzazione + regolare della forma $\vec{x} : B_\eps(0) \subseteq \RR^2 \to \Sigma$. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Siccome ogni parametrizzazione regolare $\vec{x} : U \to \Sigma$ ha come dominio + è un aperto, possiamo restringerci a una palla di raggio $\eps$ di $\vec{x}\inv(P)$. + Tramite traslazione possiamo infine riportare $\vec{x}\inv(P)$ al centro, + ottenendo una parametrizzazione del tipo desiderato. + \end{proof} + + \begin{proposition} + Se $\Sigma$ è una superficie, una funzione $f : \Sigma \to \RR^n$ è + continua se e solo se $f \circ \vec{x}$ è una funzione continua + per ogni parametrizzazione regolare $\vec{x}$ di un punto di $\Sigma$. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Deriva dal fatto che una funzione è continua se e solo se è + localmente continua. + \end{proof} + \section{Classi fondamentali di superfici} \subsection{Superfici di rotazione} @@ -95,7 +118,8 @@ \begin{proposition} Sia $f : A \to \RR$ con $A \subseteq \RR^3$ una funzione liscia. Allora, se - $a$ è un valore regolare per $f$, $f\inv(a)$ è una superficie. + $a$ è un valore regolare per $f$, $f\inv(a)$ è una superficie ed è detta + \textbf{superficie di livello $a$ rispetto a $f$}. \end{proposition} \begin{proof} @@ -109,12 +133,12 @@ \subsection{Piano tangente e compatibilità tra parametrizzazioni regolari diverse} - \begin{definition} + \begin{definition}[Funzione di transizione] Siano $\vec{x}$, $\vec{y} : U, U' \to \RR^3$ due parametrizzazioni regolari per $P$ su una superficie $\Sigma$ aventi stessa immagine. Si definisce allora la \textbf{funzione di transizione} $f_{\vec{x}, \vec{y}} : U \to U'$ da $\vec{x}$ a $\vec{y}$ come: \[ - f_{\vec{x}, \vec{y}} = \vec{y}\inv \circ \vec{x}, + \boxed{f_{\vec{x}, \vec{y}} \defeq \vec{y}\inv \circ \vec{x},} \] in modo tale che il seguente diagramma commuti: \[\begin{tikzcd} @@ -138,11 +162,84 @@ $f$ composizione di variazioni di queste, anche $f$ lo è. \end{proof} - \begin{proposition} + \begin{proposition} \label{prop:stesso_piano_tangente_param_regolari} Siano $\vec{x}$ e $\vec{y}$ due parametrizzazioni regolari per $P$ su una superficie $\Sigma$. Allora vale: \[ \Span(\vec{x_u}(P), \vec{x_v}(P)) = \Span(\vec{y_u}(P), \vec{y_v}(P)). \] \end{proposition} - % TODO + \begin{proof} + Possiamo assumere senza perdita di generalità che le immagini di $\vec{x}$ e $\vec{y}$ (basta + prendere l'intersezione delle immagini). \smallskip + + Posto allora $f_{\vec{x}, \vec{y}}(s, t) = (u(s, t), v(s, t))$, + vale $\vec{x}(s, t) = \vec{y}(u(s, t), v(s, t))$, e quindi: + \[ + \begin{cases} + \vec{x_s}(P) = u_s(P) \cdot \vec{y_u}(P) + v_s(P) \cdot \vec{y_t}(P), \\ + \vec{x_t}(P) = u_t(P) \cdot \vec{y_u}(P) + v_t(P) \cdot \vec{y_t}(P). + \end{cases} + \] + + Dal momento che $J f_{\vec{x}, \vec{y}}(P)$ ha rango $2$, allora + il precedente sistema induce un cambio di base da $\{\vec{x_u}(P), \vec{x_v}(P)\}$ + a $\{\vec{y_u}(P), \vec{y_v}(P)\}$, da cui la tesi. + \end{proof} + + \begin{definition}[Piano tangente] + Sia $\Sigma$ una superficie. Allora, se $P$ è un punto di $\Sigma$, si definisce + il \textbf{piano tangente di $T_P \Sigma$ di $P$ su $\Sigma$} come: + \[ + \boxed{T_P \Sigma \defeq \Span(\vec{x_u}(P), \vec{x_v}(P)),} + \] + dove $\vec{x}$ è una qualsiasi parametrizzazione regolare di $P$. + \end{definition} + + \subsection{Versori normali e orientabilità} + + \begin{definition}[Versore normale su $\vec{x}$] + Sia $\vec{x}$ una parametrizzazione regolare di un punto $P$ su + una superficie $\Sigma$. Definiamo il \textbf{versore normale} + $n_\vec{x}(P)$ come: + \[ \boxed{n_\vec{x}(P) \defeq \frac{\vec{x_u} \times \vec{x_v}}{\norm{\vec{x_u} \times \vec{x_v}}}.} \] + \end{definition} + + \begin{proposition} + Due parametrizzazioni regolari $\vec{x}$, $\vec{y} : U, U' \to \Sigma$ + con stessa immagine hanno stessa normale in ogni punto se e solo se + la funzione di transizione ha in ogni punto jacobiano di determinante + positivo. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Segue dal sistema trovato nella dimostrazione della Proposizione + \ref{prop:stesso_piano_tangente_param_regolari}. + \end{proof} + + \begin{definition}[Parametrizzazioni regolari compatibili] + Due parametrizzazioni regolari $\vec{x}$, $\vec{y} : U, U' \to \Sigma$ + si dicono \textbf{compatibili} se l'intersezione delle immagini è vuota o + se hanno stessa normale sull'intersezione delle immagini. + \end{definition} + + \begin{definition}[Superficie orientabile] + Una superficie $\Sigma$ si dice \textbf{orientabile} se è ricoperta + da parametrizzazioni regolari a due a due compatibili. + \end{definition} + + \begin{proposition} \label{prop:normale_continua} + Una superficie $\Sigma$ è orientabile se e solo se esiste una + funzione continua $\vec{n} : \Sigma \to \RR^3$ tale per cui + $\vec{n}(P)$ sia unitario e perpendicolare a $T_P \Sigma$ per + ogni punto $P$ di $\Sigma$. + \end{proposition} + + \begin{corollary} + Ogni superficie $\Sigma$ di livello $\ell$ rispetto a $f$, per $f$ liscia e $\ell$ regolare, è orientabile. + \end{corollary} + + \begin{proof} + Il gradiente $\nicefrac{\nabla f}{\norm{\nabla f}}$ è un campo vettoriale unitario e + ortogonale a $T_P \Sigma$ per ogni punto $P$. Si conclude per la Proposizione \ref{prop:normale_continua}. + \end{proof} \end{multicols*} \ No newline at end of file