nelle coordinate della rappresentazione della base (infatti ogni
iperpiano è il kernel di un funzionale $f \in\dual{V}$, e $M^\basis_{1_\KK}(f)\,[\vec{v}]_\basis=0$ è l'equazione cartesiana; è sufficiente prendere una base di $\Pi$ e completarla
a base di $V$ con un vettore $\vec{t}$, considerando infine
$\Ker\dual{\vec{t}}$).
$\Ker\dual{\vec{t}}$),
\item un iperpiano $\Pi$, rappresentato da un'equazione cartesiana $\alpha_1 x_1+\ldots+\alpha_n x_n =0$, è esattamente il sottospazio ortogonale a $\Span(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)^\perp$ tramite il prodotto scalare standard,
\item in generale, un sistema di equazioni omogenee è l'intersezione di più
sottospazi ortogonali.
\end{itemize}
@ -823,12 +826,10 @@
di $V_i$, dove $k_i =\dim V_i$.
Si definisce l'applicazione $n$-lineare $\dual{\vec{v^{(1)}_{j_1}}}
\item se $\Char\KK\neq2$, $V =\Sym(n, \KK)\oplus^\perp\Lambda(n, \KK)$,
per ambo i prodotti scalari.
\end{itemize}
Se $\basis'$ è un'altra base di $V$, vale il seguente \textit{teorema di cambiamento di base}:
@ -1775,6 +1818,40 @@
Sylvester. Per il teorema di Sylvester, tale base esiste sempre, e la matrice di Sylvester è unica per
ogni prodotto scalare $\varphi$.
Se $M \in\Sym(2, \RR)$, $\det(M) < 0\iff\sigma(M)=(1, 1, 0)$ (e dunque
se e solo se $M$ rappresenta un piano iperbolico). Al contrario $\det(M) > 0$
se e solo se $M$ è definita (e in tal caso è definita positiva se il suo
primo elemento è positivo, e negativa se è negativo). Se $\KK=\RR$, $q(\v) > 0$ e $q(\w) < 0$,
allora $\v$ e $\w$ sono linearmente indipendenti; in particolare $\Span(\v, \w)$ è
un piano iperbolico ed esistono $\lambda_1$, $\lambda_2\in\RR$ tali per
cui $\lambda_1\v+\lambda_2\w$ è isotropo.
\subsubsection{Funzionali rappresentabili}
Un funzionale $f \in\dual V$ si dice rappresentabile tramite $\varphi$ se
$f \in\Im\alpha_\varphi$, ossia se $\exists\v\in V \mid f =\varphi(\v, \cdot)$.
Dal momento che $\Im(\alpha_\varphi)=\Ann(V^\perp)$, $f$ è rappresentabile
se e solo se $V^\perp\subseteq\Ker f$.
Se $\varphi$ è non degenere, ogni funzionale $f$ è rappresentabile in modo unico (teorema
di rappresentazione di Riesz; infatti $\alpha_\varphi$ sarebbe in tal caso
un isomorfismo).
In particolare, $f$ è rappresentabile se e solo se, scelta una base $\basis$ di
$V$, il sistema $M_\basis(\varphi)\x=[f]_{\dual\basis}$ è risolvibile.
Se $W$ è un supplementare di $V^\perp$, e dunque $V = W \oplus V^\perp$, allora
$\restr{\varphi}{W}$ è non degenere, e dunque $\alpha_{\restr{\varphi}{W}}$ è
un isomorfismo da $W$ a $\Im\alpha_\varphi$ (quindi se $f$ è rappresentabile,
lo è tramite un unico vettore di $W$).
In particolare, se $\v$ rappresenta $f$, allora $\Ker f =\v^\perp$; da cui
segue che $\v\in(\Ker f)^\perp=\Span(\v)+ V^\perp$. Inoltre
$\dim(\Ker f)^\perp=\dim V -\dim\Ker f +\dim(\Ker f \cap V^\perp)
= \dim V - \dim\Ker f + \dim V^\perp$. Se $f$ non è l'applicazione nulla,
$\v\notin\CI(\varphi)$, e quindi $\dim(\Ker f)^\perp=\dim V^\perp+1$, da
cui segue che $\Ker f^\perp=\Span(\v)\oplus^\perp V^\perp$.
\subsubsection{Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt}
Data una base $\basis$ di $V$, se $\abs{\CI(\varphi)\cap\basis}\leq1$ (ossia se ogni vettore di
@ -1823,6 +1900,7 @@
\item Se $W$ è isotropo e $\varphi$ è non degenere, allora $\dim W \leq\frac{1}{2}\dim V$,
\item Se $\KK=\RR$, allora $W(\varphi)=\min\{ i_+, i_-\}+ i_0$ (è sufficiente considerare
una base di Sylvester e creare una nuova base i cui i vettori sono o isotropi o della forma $\vv i -\ww i$, dove $q(\vv i)=1$ e $q(\ww i)=1$, concludendo con discussioni dimensionali),
\item Se $\KK=\CC$, allora $W(\varphi)=\lfloor\frac{\dim V +\dim V^\perp}{2}\rfloor$,
\item Se $\varphi$ è definito, allora $W(\varphi)=0$,
\item Se $\varphi$ è semidefinito, allora $W(\varphi)= i_0$ (e $W = V^\perp$ è un sottospazio
isotropo di tale dimensione).
@ -1853,6 +1931,80 @@
rango, allora $V$ e $W$ sono isometrici tra loro (come conseguenza stavolta del teorema di Sylvester
complesso).
\subsection{Teorema spettrale reale e complesso}
Se $f$ è simmetrico o hermitiano, esiste sempre una base ortonormale di autovettori
per $f$. $f$ è normale se e solo se è diagonalizzabile. Esiste sempre $S \in\Sym(n, \RR)$ tale per cui $S^2= A$, con $A \in\Sym(n, \RR)$. Se $S$ è definita positiva,
tale $S$ è unica. Se $A \in\GL(n, \RR)$, esistono e sono unici $P \in O(n)$,
$S \in\Sym(n, \RR)$ tali per cui $A = PS$ (in particolare $S =\sqrt{A A^\top}$).
Se $\varphi$ è definito positivo e $\psi$ è un altro prodotto scalare, allora
i due prodotti sono simultaneamente ortogonalizzabili. È sufficiente prendere
una base $\basis$ ortonormale di $\varphi$, e trovare la base ortonormale $\basis'$ di autovettori
che rende $M_\basis(\psi)$ diagonale. In tale base $\basis'$, $M_{\basis'}(\varphi)$
è l'identità e $M_\basis(\psi)$ è diagonale: dunque la base è ortogonale per ambo
i prodotti scalari.
\subsection{Complementi sugli spazi affini}
\begin{itemize}
\item se $A \cap B \neq\emptyset$, vale la formula di Grassmann,
\item se $A \cap B =\emptyset$, $\dim(A + B)=\dim A +\dim B -\dim(A_0\cap B_0)+1$,
\item ogni affinità $f(\x)= M \x+\vec t$ può scriversi in forma matriciale
come:
\[\Matrix{M &\vec t \\0&1}. \]
\end{itemize}
La matrice $\MM(p \circ f)$, con $f(\x)= M\x+\vec t$, varia nel seguente
modo:
\begin{gather*}
\tiny
\MM(p \circ f) = {\hat M}^\top\MM(p) \hat M = \\\Matrix{M^\top\AA(p) M &\rvline& M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p)) \,\\\hline\,\left(M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p))\right)^\top&\rvline& p(\vec t)},
\end{gather*}
Una conica è a centro se e solo se è risolvibile il sistema $(\AA(p)\vec t +\Ll(p)$.
Sia $\KK=\CC$. Allora ogni conica è affinemente equivalente ad
un'equazione canonica della seguente tabella, unicamente
determinata dagli invarianti $\rg(\MM(p))$ e $\rg(\AA(p))$.
\begin{center}
\tiny
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline
&$\rg(\MM(p))$&$\rg(\AA(p))$& Eq.~canonica & A centro \\\hline
$\mathcal{C}_1$& 3 & 2 &$x^2+y^2=1$& Sì \\\hline
$\mathcal{C}_2$& 3 & 1 &$x^2=y$& No \\\hline
$\mathcal{C}_3$& 2 & 2 &$x^2+y^2=0$& Sì \\\hline
$\mathcal{C}_4$& 2 & 1 &$x^2=1$& Sì \\\hline
$\mathcal{C}_5$& 1 & 1 &$x^2=0$& Sì \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Sia $\KK=\RR$. Allora ogni conica è affinemente equivalente ad
un'equazione canonica della seguente tabella, unicamente
determinata dagli invarianti $\rg(\MM(p))$, $\rg(\AA(p))$,
$S(\MM(p)) :=\abs{\iota_+(\MM(p))-\iota_-(\MM(p))}$ e
