diff --git a/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.pdf b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.pdf index 47b6e45..09368a0 100644 Binary files a/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.pdf and b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.pdf differ diff --git a/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex index 14d6b5e..bd6d341 100644 --- a/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex +++ b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}} \author{Gabriel Antonio Videtta} -\date{23 e 24 marzo 2023} +\date{23, 24 e 28 marzo 2023} \begin{document} diff --git a/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27/main.pdf b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27/main.pdf index b14dac9..741949d 100644 Binary files a/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27/main.pdf and b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27/main.pdf differ diff --git a/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27/main.tex b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27/main.tex index c464270..0d52a80 100644 --- a/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27/main.tex +++ b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27/main.tex @@ -11,79 +11,76 @@ \maketitle \begin{center} - \Large \textbf{Titolo della lezione} + \Large \textbf{Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare} \end{center} - - SIa $V$ uno spazio vettoriale su $\KK$ e sia $\phi : V \times V \to \KK$ - un suo prodotto scalare. - \begin{definition} - Due vettori $\vec v$, $\vec w$ si dicono \textbf{ortogonali} se e - solo se $\varphi(\vec v, \vec w) = 0$. - \end{definition} + \begin{note} + Nel corso del documento, per $V$ si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione + finita $n$ e per $\varphi$ un suo prodotto scalare. + \end{note} + + \begin{proposition} (formula delle dimensioni del prodotto scalare) + Sia $W \subseteq V$ un sottospazio di $V$. Allora vale la seguente identità: + + \[ \dim W + \dim W^\perp = \dim V + \dim (W \cap V^\perp). \] + \end{proposition} - \begin{definition} - Preso un sottospazio $W \subseteq V$, si definisce lo spazio: + \begin{proof} + Si consideri l'applicazione lineare $f : V \to \dual W$ tale che $f(\vec v)$ è un funzionale di $\dual W$ tale che + $f(\vec v)(\vec w) = \varphi(\vec v, \vec w)$ $\forall \vec w \in W$. Si osserva che $W^\perp = \Ker f$, da cui, + per la formula delle dimensioni, $\dim V = \dim W^\perp + \rg f$. Inoltre, si osserva anche che + $f = i^\top \circ a_\varphi$, dove $i : W \to V$ è tale che $i(\vec w) = \vec w$, infatti $f(\vec v) = a_\varphi(\vec v) \circ i$ è un funzionale di $\dual W$ tale che $f(\vec v)(\vec w) = \varphi(\vec v, \vec w)$. Pertanto + $\rg f = \rg (i^\top \circ a_\varphi)$. \\ - \[ W^\perp = \{ \vec v \in V \mid \varphi(\vec v, \vec w) = 0, \forall \vec w \in W \}, \] + Si consideri ora l'applicazione $g = a_\varphi \circ i : W \to \dual W$. Sia ora $\basis_W$ una base di $W$ e + $\basis_V$ una base di $V$. Allora le matrice associate di $f$ e di $g$ sono le seguenti: - detto sottospazio perpendicolare a $W$. - \end{definition} - - \begin{note} - Tale notazione è valida anche per sottinsiemi generici di $V$, - perdendo tuttavia la proprietà di sottospazio di $V$. - \end{note} + \begin{enumerate}[(i)] + \item $M_{\dual \basis_W}^{\basis_V}(f) = M_{\dual \basis_W}^{\basis_V}(i^\top \circ a_\varphi) = + \underbrace{M_{\dual \basis_W}^{\dual \basis_V}(i^\top)}_A \underbrace{M_{\dual \basis_V}^{\basis_V}(a_\varphi)}_B = AB$, + \item $M_{\dual \basis_V}^{\basis_W}(g) = M_{\dual \basis_V}^{\basis_W}(a_\varphi \circ i) = + \underbrace{M_{\dual \basis_V}^{\basis_V}(a_\varphi)}_B \underbrace{M_{\basis_V}^{\basis_W}(i)}_{A^\top} = BA^\top \overbrace{=}^{B^\top = B} (AB)^\top$. + \end{enumerate} + + Poiché $\rg(A) = \rg(A^\top)$, si deduce che $\rg(f) = \rg(g) \implies \rg(i^\top \circ a_\varphi) = \rg(a_\varphi \circ i) = \rg(\restr{a_\varphi}{W}) = \dim W - \dim \Ker \restr{a_\varphi}{W} = \dim W - \dim (W \cap \underbrace{\Ker a_\varphi}_{V^\perp}) = \dim W - \dim (W \cap V^\perp)$. Si conclude allora, sostituendo quest'ultima + identità nell'identità ricavata a inizio dimostrazione che $\dim V = \dim W^\top + \dim W - \dim (W \cap V^\perp)$, + ossia la tesi. + \end{proof} \begin{remark} - %TODO: da dimostrare. - Valgono le seguenti osservazioni. \\ + Si possono fare alcune osservazioni sul radicale di un solo elemento $\vec w$ e su quello del suo sottospazio + generato $W = \Span(\vec w)$: \\ - \li $S \subseteq T \implies S^\perp \supseteq T^\perp$. \\ - \li $S^\perp = (\Span(S))^\perp$ (infatti, da sopra, - vale l'inclusione $S^\perp \supseteq (\Span(S))^\perp$; - l'inclusione vale anche al contrario, dacché ogni vettore - ortogonale a $S$ è ortogonale ad ogni combinazione lineare - degli elementi di $S$, per la bilinearità di $\varphi$). + \li $\vec w ^\perp = W^\perp$, \\ + \li $\vec w \notin W^\perp \iff \Rad (\restr{\varphi}{W}) = W \cap W^\perp \iff \vec w \text{ non è isotropo } = \zerovecset \iff + V = W \oplus W^\perp$. \end{remark} - \begin{theorem} (formula della dimensione dello spazio ortogonale) - Sia $W \subseteq V$ un sottospazio di $V$. Allora vale la seguente - identità: - - \[ \dim W^\perp = \dim V - \dim W + \dim (W \cap V^\perp), \] - - da cui, se $\varphi$ è non degenere, - - \[ \dim W^\perp = \dim V - \dim W. \] - \end{theorem} + \begin{definition} + Si definisce \textbf{base ortogonale} di $V$ una base $\vv 1$, ..., $\vv n$ tale per cui $\varphi(\vv i, \vv j) = 0 + \impliedby i \neq j$, ossia per cui la matrice associata del prodotto scalare è diagonale. + \end{definition} + + \begin{proposition} + Se $\Char \KK \neq 2$, un prodotto scalare è univocamente determinato dalla sua forma quadratica $q$. + \end{proposition} \begin{proof} - %TODO: dimostra che Im f^\top = Ann(Ker f). - - Sia $\varphi$ non degenere. - Si osserva che $\vec w \in W^\perp$ è tale che - $\alpha_\varphi(\vec v)(\vec w) = 0$ $\forall \vec v \in V$, - e quindi che $\alpha_\varphi(\vec v) \in \Ann(W)$, che - ha dimensione $\dim V - \dim W$. \\ - - Nel caso generale, si consideri l'applicazione - $g = i^\top \circ \alpha_\varphi \circ i$, dove - $i : W \to V$ è tale che $i(\vec w) = \vec w$. - Si osserva allora che $W^\top = \Ker (g)$. - - %TODO: recupera dimostrazione. + Si nota infatti che $q(\vec v + \vec w) - q(\vec v) - q(\vec w) = 2 \varphi(\vec v, \vec w)$, e quindi, + poiché $2$ è invertibile per ipotesi, che $\varphi(\vec v, \vec w) = 2\inv (q(\vec v + \vec w) - q(\vec v) - q(\vec w))$. \end{proof} - \begin{proposition} - $V = W \oplus W^\perp \iff W \cap W^\perp = \zerovecset \iff \restr{\varphi}{W}$ è non degenere. - \end{proposition} + \begin{theorem}(di Lagrange) + Ogni spazio vettoriale $V$ su $\KK$ tale per cui $\Char \KK \neq 2$ ammette una base ortogonale. + \end{theorem} \begin{proof} - %TODO: aggiungere dimostrazione. + Sia dimostra il teorema per induzione su $n := \dim V$. Per $n \leq 1$, la dimostrazione è triviale. Sia + allora il teorema vero per $i \leq n$. Se $V$ ammette un vettore non isotropo $\vec w$, sia $W = \Span(\vec w)$ e si consideri la decomposizione $V = W \oplus W^\perp$. Poiché $W^\perp$ ha dimensione $n-1$, per ipotesi induttiva + ammette una base ortogonale. Inoltre, tale base è anche ortogonale a $W$, e quindi l'aggiunta di $\vec w$ a + questa base ne fa una base ortogonale di $V$. Se invece $V$ non ammette vettori non isotropi, ogni forma quadratica + è nulla, e quindi il prodotto scalare è nullo per la proposizione precedente. \end{proof} - %TODO: riguardare appunti. - - + %TODO: aggiungere teorema di Sylvester complesso e reale. \end{document} diff --git a/tex/latex/style/personal_commands.sty b/tex/latex/style/personal_commands.sty index 32ac7ac..d2fba28 100644 --- a/tex/latex/style/personal_commands.sty +++ b/tex/latex/style/personal_commands.sty @@ -80,6 +80,7 @@ % Spesso utilizzati al corso di Geometria 1. \let\Im\undefined \DeclareMathOperator{\Im}{Im} +\DeclareMathOperator{\Rad}{Rad} \newcommand{\restr}[2]{ #1\arrowvert_{#2} }