diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/2. Il prodotto semidiretto/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/2. Il prodotto semidiretto/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/2. Il prodotto semidiretto/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/2. Il prodotto semidiretto/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/2. Il prodotto semidiretto/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/1. 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Gruppi liberi e presentazioni/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/3. Gruppi liberi e presentazioni/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/3. Gruppi liberi e presentazioni/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/3. Gruppi liberi e presentazioni/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/3. Gruppi liberi e presentazioni/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/3. Gruppi liberi e presentazioni/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/2. Il gruppo delle permutazioni/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/2. Il gruppo delle permutazioni/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/2. Il gruppo delle permutazioni/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/2. Il gruppo delle permutazioni/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/2. Il gruppo delle permutazioni/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/2. Il gruppo delle permutazioni/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/2. Il gruppo delle permutazioni/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/2. Il gruppo delle permutazioni/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/3. Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/3. Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/3. Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/3. Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/3. Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/3. Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/3. Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/3. Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/4. Commutatore e gruppo derivato/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/4. Commutatore e gruppo derivato/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/4. Commutatore e gruppo derivato/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/4. Commutatore e gruppo derivato/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/4. Commutatore e gruppo derivato/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/4. Commutatore e gruppo derivato/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/4. Commutatore e gruppo derivato/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/4. 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I teoremi di isomorfismo/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/2. I teoremi di isomorfismo/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/2. I teoremi di isomorfismo/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/2. I teoremi di isomorfismo/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/2. I teoremi di isomorfismo/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/2. I teoremi di isomorfismo/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/2. I teoremi di isomorfismo/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/3. Il teorema di corrispondenza e catene di sottogruppi normali/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/3. Il teorema di corrispondenza e catene di sottogruppi normali/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/3. Il teorema di corrispondenza e catene di sottogruppi normali/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/3. 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Il teorema di corrispondenza e catene di sottogruppi normali/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/4. Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti e decomposizione di U(Zn)/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/4. Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti e decomposizione di U(Zn)/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/4. Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti e decomposizione di U(Zn)/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/4. Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti e decomposizione di U(Zn)/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/4. Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti e decomposizione di U(Zn)/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/4. Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti e decomposizione di U(Zn)/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/4. Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti e decomposizione di U(Zn)/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/4. Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti e decomposizione di U(Zn)/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/5. I teoremi di Sylow/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/5. I teoremi di Sylow/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/5. I teoremi di Sylow/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/5. I teoremi di Sylow/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/5. I teoremi di Sylow/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/5. I teoremi di Sylow/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/5. I teoremi di Sylow/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/5. I teoremi di Sylow/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/1. Estensioni di campo ed elementi algebrici e trascendenti/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/1. Estensioni di campo ed elementi algebrici e trascendenti/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..d6e2e71 Binary files /dev/null and b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/1. Estensioni di campo ed elementi algebrici e trascendenti/main.pdf differ diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/1. Estensioni di campo ed elementi algebrici e trascendenti/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/1. Estensioni di campo ed elementi algebrici e trascendenti/main.tex new file mode 100644 index 0000000..e687df6 --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/1. Estensioni di campo ed elementi algebrici e trascendenti/main.tex @@ -0,0 +1,309 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{notes_2023} + +\begin{document} + \title{Estensioni di campo ed elementi algebrici e trascendenti} + \maketitle + + \begin{note} + Una buona introduzione alle estensioni di campo + è già stata fatta nel corso di Aritmetica\footnote{ + Questa parte di teoria è reperibile al + seguente link: \url{https://git.phc.dm.unipi.it/g.videtta/notes/src/branch/main/Primo\%20anno/Aritmetica/Teoria\%20dei\%20campi}. + }, e pertanto + l'esposizione in questo documento dell'argomento sarà + del tutto \textit{straightforward}. \medskip + + + Per $K$, $L$ ed $F$ si intenderanno sempre dei campi. + Se non espressamente detto, si sottintenderà anche + che $K \subseteq L$, $F$, e che $L$ ed $F$ sono + estensioni costruite su $K$. Per $[L : K]$ si + intenderà $\dim_K L$, ossia la dimensione di $L$ + come $K$-spazio vettoriale. + \end{note} \bigskip + + + Lo studio della teoria dei campi è inevitabile quando si + intende studiare la risolubilità delle equazioni, come + ben illustra la teoria di Galois. In particolare, + questa teoria si basa in parte sullo studio delle + estensioni, ossia dei ``sovracampi'', del campo di partenza + che si sta studiando. A questo proposito tornano utili + le seguenti definizioni: + + \begin{definition}[estensione di campo] + Si dice che $L$ è un'estensione di campo di $K$ se + $K \subseteq L$, e si scrive $\faktor{L}{K}$ per + studiare $L$ in riferimento a $K$. Si dice + che $L$ è un'estensione finita se $[L : K]$ è + finito. + \end{definition} + + \begin{definition}[omomorfismo di valutazione] + Sia $\alpha \in K$. Allora si definisce l'\textbf{omomorfismo di valutazione} $\varphi_{\alpha,K} : K[x] \to K[\alpha]$ di $\alpha$ su $K$, + spesso abbreviato come $\varphi_\alpha$ se è + sottinteso che si sta lavorando su $K$, come + l'omomorfismo univocamente determinato dalla + relazione: + \[ p \xmapsto{\varphi_\alpha} p(\alpha). \] + \end{definition} + + \begin{remark} + L'omomorfismo di valutazione è sempre surgettivo e + la preimmagine di un elemento di $K[\alpha]$ è per + esempio lo stesso elemento a cui si è sostituito $x$ + al posto di $\alpha$. + \end{remark} + + \begin{definition} + Sia $\alpha \in K$. Allora si definisce $K(\alpha)$ + come la più piccola estensione di $K$ che contiene + $\alpha$, ossia: + \[ K(\alpha) = \bigcap_{\substack{\faktor{F_i}{K} \text{ campo} \\ \alpha \in F_i}} F_i. \] + \end{definition} + + \begin{definition}[estensione semplice] + Un'estensione $\faktor{L}{K}$ si dice \textbf{semplice} + se esiste $\alpha \in L$ tale per cui $L = K(\alpha)$. + \end{definition} + + \begin{remark} + Come suggerisce la definizione di $K(\alpha)$, se + $\faktor{L}{K}$ è un campo che contiene $\alpha$, + $K(\alpha) \subseteq L$. + \end{remark} + + \begin{definition}[elementi algebrici e trascendenti] + Sia $\alpha \in K$. Allora $\alpha$ si dice \textbf{algebrico su $K$} se $\exists p \in K[x]$ + tale per cui $p(\alpha) = 0$. Se $\alpha$ non è + algebrico, si dice che $\alpha$ è \textbf{trascendente}. + \end{definition} + + \begin{remark} + Se $\alpha \in K$, $\alpha$ è algebrico se e solo + se $\Ker \varphi_\alpha$ è non banale. Analogamente + $\alpha$ è trascendente se e solo se $\Ker \varphi_\alpha$ è banale. + \end{remark} + + \begin{remark} + Se $\alpha \in K$ è algebrico, allora $\Ker \varphi_\alpha$ è generato da un irriducibile dacché + $K[x]$ è un PID. In particolare $K[x] \quot {\Ker \varphi_\alpha}$ è un campo, e dunque, per il Primo + teorema di isomorfismo, lo è anche $K[\alpha]$. + Dal momento che $K[\alpha] \subseteq K(\alpha)$, + allora vale in questo caso che $K(\alpha) = K[\alpha]$. + \end{remark} + + \begin{definition} + Sia $\alpha \in K$ algebrico su $K$. Si definisce il \textbf{polinomio minimo} + $\mu_\alpha \in K[x]$ come il generatore monico di + $\Ker \varphi_\alpha$. Per semplicità si definisce + $\deg_K \alpha$ come il grado di $\mu_\alpha$. + \end{definition} + + \begin{remark} + Se $\alpha \in K$ è algebrico, allora $K[x] \quot{\Ker \varphi_\alpha}$ è uno spazio vettoriale su $K$ di + dimensione $\deg_K \alpha$. In particolare vale allora + che $[K(\alpha) : K] = [K[x] \quot{\Ker \varphi_\alpha} : K] = \deg_K \alpha$. Inoltre $\mu_\alpha$ è irriducibile su $K$ dal momento che $\Ker \varphi_\alpha$ è massimale. + \end{remark} + + \begin{remark} + Se $\alpha \in K$ è trascendente, allora + $\Ker \varphi_\alpha$ è banale e dunque, per il Primo + teorema di isomorfismo, $K[x] \cong K[\alpha]$. + \end{remark} + + La caratterizzazione degli elementi algebrici e trascendenti + si conclude mediante la seguente proposizione: + + \begin{proposition}[caratterizzazione degli elementi algebrici e trascendenti] + Sia $\alpha \in K$. Allora $\alpha$ è algebrico su + $K$ se e solo se $[K(\alpha) : K]$ è finito. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Se $\alpha$ è algebrico, allora $[K(\alpha) : K]$ + è pari a $\deg_K \alpha$. Se invece $[K(\alpha) : K]$ + è pari ad $n \in \NN^+$, si considerino $1$, $\alpha$, + \ldots, $\alpha^n$. Dal momento che questi sono + $n+1$ elementi in $K(\alpha)$, devono essere + necessariamente linearmente dipendenti. Pertanto + esistono $a_0$, $a_1$, \ldots, $a_n$ tali per + cui $a_n \alpha^n + \ldots + a_1 \alpha + a_0 = 0$. + Pertanto esiste un polinomio con coefficienti in $K$ + che annulla $\alpha$, e dunque $\alpha$ è algebrico. + \end{proof} + + A partire dalla definizione di elemento algebrico si può + anche definire la nozione di \textit{estensione algebrica}: + + \begin{definition}[estensione algebrica] + Si consideri $\faktor{L}{K}$. Allora si dice che + $L$ è un'\textbf{estensione algebrica} se ogni + elemento di $L$ è algebrico su $K$. + \end{definition} + + Le estensioni finite sono privilegiate in questo senso, + dal momento che sono sempre algebriche, come illustra la: + + \begin{proposition}[estensione finita $\implies$ estensione algebrica] + Sia $L$ un'estensione finita di $K$. Allora $L$ + è un'estensione algebrica di $K$. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Sia $\alpha \in L$. Dal momento che $K \subseteq K(\alpha) \subseteq L$, $K(\alpha)$ è un sottospazio + di $L$, che è spazio vettoriale su $K$. Dal momento + che $L$ è un'estensione finita, $[L : K]$ è finito, + e dunque lo è anche $[K(\alpha) : K]$, per cui + $\alpha$ è algebrico, e così $L$. + \end{proof} + + \begin{remark} + Mentre ogni estensione finita è algebrica, non è + vero che ogni estensione algebrica è finita. Per + esempio, + la chiusura algebrica $\overline{\QQ}$ di $\QQ$ non + è finita su $\QQ$. Infatti, per ogni $n \in \NN^+$, + $p_n(x) = x^n - 2$ è irriducibile in $\QQ[x]$ per il criterio + di Eisenstein, e dunque, detta $\alpha$ una radice + di $p_n$, $[\QQ(\alpha) : \QQ] = n$, e quindi, dal + momento che $\QQ(\alpha) \subseteq \overline{\QQ}$, + $[\overline{\QQ} : \QQ] \geq n$. Pertanto il grado + di $\overline{\QQ}$ su $\QQ$ non è finito, benché + $\overline{\QQ}$ sia un'estensione algebrica per + definizione. + \end{remark} + + \begin{remark} + Se $L$ è un'estensione semplice, allora $L$ + è algebrica se e solo se $L$ è un'estensione + finita. + \end{remark} + + Definiamo infine il composto di due estensione $L$, $M$ di $K$ su uno stesso campo $\Omega$: + + \begin{definition}[composto di due estensioni] + Siano $L$, $M \subseteq \Omega$ estensioni di $K$ con + $\Omega$ a sua volta campo. Si definisce allora + il \textbf{composto} $LM$ di $L$ e $M$ come il più + piccolo sottocampo di $\Omega$ che contiene sia + $L$ che $M$. Talvolta si scrive anche $L(M) = LM$. + \end{definition} + + \begin{remark} + Se $L = K(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$ e + $M = K(\beta_1, \ldots, \beta_n)$, allora vale che: + \[ LM = K(\alpha_1, \ldots, \alpha_m, \beta_1, \ldots, + \beta_n). \] + \end{remark} + + \begin{proposition} + Siano $L$ e $M$ due campi tali per cui + $K \subseteq L$, $M$. Allora, se + $[L : K] = m \in \NN^+$ e $[M : K] = n \in \NN^+$, + $LM$ è un'estensione finita di $K$ e $\mcm(m, n) \mid [LM : K]$. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Si consideri il seguente diamante di estensioni: + \[\begin{tikzcd}[column sep=scriptsize] + && LM \\ + \\ + L &&&& M \\ + \\ + && K + \arrow["n", no head, from=3-5, to=5-3] + \arrow["m"', no head, from=3-1, to=5-3] + \arrow[no head, from=1-3, to=3-5] + \arrow[no head, from=1-3, to=3-1] + \arrow[no head, from=1-3, to=5-3] + \end{tikzcd}\] + Dal momento che $LM = L(M)$ è un $L$-spazio vettoriale + e $M$ è un'estensione finita di $K$, il grado di $LM$ + su $L$ è finito. Pertanto, applicando il teorema delle + torri algebriche, $m \mid [LM : K]$. Analogamente + $n \mid [LM : K]$, e quindi $\mcm(m, n) \mid [LM : K]$. + \end{proof} + + \begin{proposition} + Sia $L$ un'estensione di campo di $K$. Allora + $A = \{ \alpha \in L \mid \alpha \text{ algebrico su } K \}$ è un campo, e quindi un'estensione algebrica + di $K$. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Siano $\alpha$ e $\beta \in A$. Si consideri il + seguente diamante di estensioni: + \[\begin{tikzcd}[column sep=small] + && {K(\alpha, \beta)} \\ + \\ + {K(\alpha)} &&&& {K(\beta)} \\ + \\ + && K + \arrow[no head, from=3-5, to=5-3] + \arrow[no head, from=3-1, to=5-3] + \arrow[no head, from=1-3, to=3-5] + \arrow[no head, from=1-3, to=3-1] + \arrow[no head, from=1-3, to=5-3] + \end{tikzcd}\] + Dal momento che $K(\alpha, \beta) = K(\alpha)K(\beta)$ + e sia $[K(\alpha) : K]$ che $[K(\beta) : K]$ sono + finiti dacché $\alpha$ e $\beta$ sono algebrici, + $K(\alpha, \beta)$ è un'estensione finita di $K$, + ed è dunque un'estensione algebrica. Pertanto + $\alpha \pm \beta$, $\alpha\beta$, $\alpha\inv$ + (se $\alpha \neq 0$) e $\beta\inv$ (se $\beta \neq 0$) sono elementi algebrici di $K$, + e quindi $A$ è un campo, e a maggior ragione un'estensione algebrica di $K$. + \end{proof} + + \begin{proposition} + Se $K \subseteq L \subseteq F$ è una torre di + estensioni e $\faktor{L}{K}$ è algebrica così + come $\faktor{F}{L}$, allora anche + $\faktor{F}{K}$ è algebrica. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Sia $f \in F$. Allora, poiché $F$ è + algebrico su $L$, esistono $l_0$, \ldots, + $l_n \in L$ tali per cui, detto + $p(x) = l_n x^n + \ldots + l_1 x + l_0 \in L[x]$, + vale che $p(f) = 0$. In particolare $f$ è + algebrico su $K(l_n, \ldots, l_0)$, e quindi + $K(l_n, \ldots, l_0, f)$ è un'estensione finita + su $K(l_n, \ldots, l_0)$. \medskip + + + Chiaramente $K(l_n, \ldots, l_0)$ è un'estensione + finita su $K$ dal momento che questi due campi sono + i due estremi della seguente torre di estensioni: + \[\begin{tikzcd} + {K(l_n, \ldots, l_0)} \\ + {K(l_{n-1}, \ldots, l_0) } \\ + \vdots \\ + {K(l_0)} \\ + K + \arrow[no head, from=1-1, to=2-1] + \arrow[no head, from=2-1, to=3-1] + \arrow[no head, from=3-1, to=4-1] + \arrow[no head, from=4-1, to=5-1] + \end{tikzcd}\] + Infatti ogni campo della torre è un'estensione + finita del sottocampo corrispondente dal momento + che $\faktor{L}{K}$ è un'estensione algebrica\footnote{ + In particolare questo dimostra che un'estensione + algebrica e finitamente generata è anche + finita. Si può generalizzare il risultato + mostrando che un'estensione è finita se e solo + se finitamente generata da elementi algebrici. + }. \medskip + + + Per il teorema delle torri algebriche, allora + $K(l_n, \ldots, l_0, f)$ è un'estensione finita + di $K$. Dal momento allora che $K(f) \subseteq K(l_n, \ldots, l_0, f)$, anche questa è un'estensione finita, + e quindi $f$ è algebrico, da cui la tesi. + \end{proof} + +\end{document} \ No newline at end of file