diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf index 86fa3c8..7120ebe 100644 Binary files a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf and b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf differ diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex index b8930a1..6fc3cfb 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex @@ -102,7 +102,11 @@ Sia $\Sigma$ una superficie di rotazione con parametrizzazione canonica $\vec{x}$. Allora l'immagine della curva $\alpha_{u_0}(t) = \vec{x}(u_0, t)$ è detta \textbf{parallelo}, mentre quella della curva - $\gamma_{v_0}(t) = \vec{x}(t, v_0)$ è detta \textbf{meridiano}. + $\gamma_{v_0}(t) = \vec{x}(t, v_0)$ è detta \textbf{meridiano}. \smallskip + + I paralleli sono dunque le intersezioni della superficie con i piani della + forma $\{z = k\}$, mentre i meridiani lo sono rispetto ai piani della + forma $\{ ax + by = 0 \}$. \end{definition} \begin{proposition} diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/3-curve_su_superfici.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/3-curve_su_superfici.tex index 3f3c03f..22c395c 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/3-curve_su_superfici.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/3-curve_su_superfici.tex @@ -285,7 +285,7 @@ $\nabla f(u_0, v_0) \neq 0$, da cui la tesi. \end{proof} - \begin{remark} + \begin{remark} \label{rmk:curvatura_normale} Se $\pi$ è un piano con $\pi \neq P + T_P \Sigma$, allora la curva che parametrizza localmente in $P$ l'intersezione $\pi \cap \Sigma$ ha come versore tangente uno dei due possibili vettori unitari della giacitura di $\pi \cap (P + T_P \Sigma)$. \smallskip @@ -328,7 +328,13 @@ $\alpha$ passante per $P$ e ottenuta come intersezione del piano tangente affine $P + T_P \Sigma$ e di un piano $\pi$ ad esso ortogonale, in modo tale che la giacitura di $\pi \cap P + T_P \Sigma$ sia - generata da $w$. + generata da $w$. \smallskip + + Data $\alpha$ su $\Sigma$, definiamo la sua curvatura normale $\kappa_n$ in $P$ + come: + \[ + \boxed{\kappa_{\alpha, n} \defeq \kappa_n(P, T_\alpha(P)).} + \] \end{definition} \begin{remark} @@ -386,7 +392,7 @@ Segue immediatamente da \eqref{eq:eulero}. \end{proof} - \subsection{Curvatura guassiana, media e classificazione di superfici e punti} + \subsection{Curvatura gaussiana, media e classificazione di superfici e punti} \begin{definition}[Curvatura gaussiana] Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$. Si definisce allora @@ -833,7 +839,7 @@ \end{itemize} \end{remark} - \subsection{Lemma di Gauss e minimizzazione locale delle distante} + \subsection{Lemma di Gauss e minimizzazione locale delle distanze} \begin{lemma}[Gauss, le geodetiche sono ortogonali ai cerchi indotti dalla mappa esponenziale] \label{lem:gauss} Sia $\{\vec{e_1}, \vec{e_2}\}$ una base ortonormale di $T_P \Sigma$. @@ -898,4 +904,96 @@ dove si è usato che $u(0) = 0$ ($P$ nelle coordinate normali corrisponde a $(0, 0)$) e che $u(1) = 1$ ($P'$ ha già raggio $k$). \end{proof} + + \subsection{Relazione di Clairaut per le geodetiche sulle superfici di rotazione} + + \begin{definition}[Angolo di una curva con il parallelo] + Sia $\Sigma$ una superficie di rotazione con parametrizzazione + canonica $\vec{x}$. Data una curva $\gamma$ su + di essa, si definisce $\phi(\gamma(t))$ come segue: + \[ + \boxed{\phi(\gamma(t)) \defeq \theta(\gamma'(t), \vec{x_v}(\gamma(t))),} + \] + ovverosia $\phi(\gamma(t))$ è \textbf{l'angolo tra la curva $\gamma$ in $\gamma(t)$ e il + parallelo a cui appartiene $\gamma(t)$}. + \end{definition} + + \begin{definition}[Raggio di una curva rispetto all'asse $z$] + Sia $\Sigma$ una superficie di rotazione. + Sia data una curva $\gamma$ su di + essa. Si definisce + allora il \textbf{raggio di $\gamma$ rispetto all'asse di rotazione $z$} + come la distanza di $\gamma$ dall'asse $z$, ovverosia: + \[ + \boxed{r(\gamma(t)) \defeq \norm{\pi_{xy}(\gamma(t))}.} + \] + \end{definition} + + \begin{proposition}[Relazione di Clairaut] + Sia $\gamma$ una geodetica su una superficie di rotazione $\Sigma$. Allora + $\gamma$ soddisfa la \textbf{relazione di Clairaut}: + \begin{equation} \label{eq:clairaut} \tag{Clairaut} + \boxed{r(\gamma(t)) \cdot \cos(\phi(\gamma(t))) = \textnormal{cost.}} + \end{equation} + Inoltre una curva soddisfacente la relazione di Clairaut che non parametrizza un parallelo è + una geodetica. + \end{proposition} + + \begin{remark} + Sono geodetiche anche le curve soddisfacenti \eqref{eq:clairaut} che parametrizzano paralleli, a patto + che, se $\Sigma$ è una rotazione sulla funzione $f$, valga $f' = 0$ sui punti + della geodetica; ovverosia, in un certo senso, sono geodetiche i ``paralleli stazionari''. + \end{remark} + + \subsection{Curvatura geodetica} + + \begin{remark} + Sia $\alpha$ una curva di Frenet su una superficie $\Sigma$. + Osserviamo che $N_\alpha$ è perpendicolare a $T_\alpha$, e + quindi dovrà scriversi in una qualche combinazione lineare + della base ortonormale $\{\vec{n}, \vec{n} \times T_\alpha\}$ + di $(T_\alpha)^\perp$, + dove $\vec{n}$ è una normale (locale). \smallskip + + Sappiamo già dall'Osservazione \ref{rmk:curvatura_normale} che + $\dot{T_\alpha} \cdot \vec{n}$ è la curvatura normale + $\kappa_{\alpha, n}$. Ha quindi senso definire il seguente + oggetto matematico: + \end{remark} + + \begin{definition}[Curvatura geodetica] + Sia $\alpha$ una curva di Frenet su una superficie $\Sigma$. + Si definisce la \textbf{curvatura geodetica} di $\alpha$ + nel punto $P$ come: + \[ + \boxed{\kappa_{\alpha, g} = \dot{T_\alpha}(P) \cdot (\vec{n}(P) \times T_\alpha(P)),} + \] + dove $\vec{n}$ è una normale (locale) su $\Sigma$. + \end{definition} + + \begin{remark} + Quindi $N_\alpha$ si scrive come: + \[ + N_\alpha = \kappa_{\alpha, n} \vec{n} + \kappa_{\alpha, g} (\vec{n} \times T_\alpha), + \] + da cui si ricava immediatamente la seguente relazione: + \[ + \boxed{\kappa_\alpha^2 = \kappa_{\alpha, n}^2 + \kappa_{\alpha, g}^2.} + \] + \end{remark} + + \begin{proposition}[In una geodetica curvatura normale e curvatura della curva coincidono] + Sia $\alpha$ una curva p.l.a. di Frenet su una superficie $\Sigma$. Allora + $\alpha$ è una geodetica se e solo se: + \[ \boxed{\kappa_{\alpha, g} \equiv 0,} \] + ovverosia se e solo se: + \[ \boxed{\kappa_{\alpha} \equiv \kappa_{\alpha, n}.} \] + \end{proposition} + + \begin{proof} + Infatti, se $\alpha$ è una geodetica, allora $\alpha''$ è perpendicolare a + $T_P \Sigma$. Quindi, dal momento che $\alpha$ è p.l.a., si deve avere + $N_\alpha(P)$ perpendicolare a $T_P \Sigma$, ossia parallelo + a $\vec{n}$. Il viceversa è analogo. + \end{proof} \end{multicols*}