diff --git a/Terzo anno/Elementi di Teoria degli Insiemi/main.pdf b/Terzo anno/Elementi di Teoria degli Insiemi/main.pdf index da6035c..492af96 100644 Binary files a/Terzo anno/Elementi di Teoria degli Insiemi/main.pdf and b/Terzo anno/Elementi di Teoria degli Insiemi/main.pdf differ diff --git a/Terzo anno/Elementi di Teoria degli Insiemi/main.tex b/Terzo anno/Elementi di Teoria degli Insiemi/main.tex index 0c2d3dd..029c07c 100644 --- a/Terzo anno/Elementi di Teoria degli Insiemi/main.tex +++ b/Terzo anno/Elementi di Teoria degli Insiemi/main.tex @@ -725,7 +725,7 @@ originale in una formula esplicita: \item[(b., c.)] Poiché $\RR$ è infinito, $\abs{\Fin(\RR)} = \abs{\FSeq(\RR)} = \abs{\RR} = \cc$ - (vd. \textit{Problema 14}). + (vd.~\textit{Problema 14}). \addtocounter{enumi}{2} \item Poiché $\FSeq\!\uparrow\!(\RR) \subseteq \FSeq(\RR)$, sicuramente $\abs{\FSeq\!\uparrow\!(\RR)} \leq \cc$ per il punto (c.). D'altra @@ -743,7 +743,7 @@ originale in una formula esplicita: \item Dacché $\Fun\!\uparrow\!(\NN, \NN) \subseteq \Fun(\NN, \NN)$, allora $\abs{\Fun\!\uparrow\!(\NN, \NN)} \leq \cc$. \smallskip Poiché $\NN$ è infinito, $\abs{\Fin(\NN)} = \abs{\NN}$. - Allora, dacché $\abs{\PP(\NN)} = \cc$, $\abs{\PP(\NN) \setminus \Fin(\NN)} = \cc$ (vd. \textit{Problema 19}). + Allora, dacché $\abs{\PP(\NN)} = \cc$, $\abs{\PP(\NN) \setminus \Fin(\NN)} = \cc$ (vd.~\textit{Problema 19}). Sia $A \subseteq \PP(\NN) \setminus \Fin(\NN)$. Possiamo definire per ricorsione numerabile la funzione $f_A : \NN \to \NN$ in modo tale che: @@ -753,8 +753,8 @@ originale in una formula esplicita: \min(A \setminus \{f(1), \ldots, f(n)\}) & \altrimenti. \end{cases} \] - Chiaramente $f_A$ è crescente e ha $A$ come immagine (vd. \textit{Problema 12}) -- da - cui $f_A = f_B \implies A = B$ (vd. \textit{Problema 14}, (ii.) per una semplice dimostrazione). Dunque + Chiaramente $f_A$ è crescente e ha $A$ come immagine (vd.~\textit{Problema 12}) -- da + cui $f_A = f_B \implies A = B$ (vd.~\textit{Problema 14}, (ii.) per una semplice dimostrazione). Dunque la mappa $F : \PP(\NN) \setminus \Fin(\NN) \to \Fun\!\uparrow\!(\NN, \NN)$ tale per cui $F(Y) = f_Y$ è iniettiva, da cui si deduce che $\cc = \abs{\PP(\NN) \setminus \Fin(\NN)} \leq \abs{\Fun\!\uparrow\!(\NN, \NN)}$. \smallskip @@ -773,7 +773,7 @@ originale in una formula esplicita: \min(A \setminus \{f(1), \ldots, f(n-1)\}) & \altrimenti. \end{cases} \] - Sappiamo che $f_A$ è bigettiva (vd. \textit{Problema 12}). + Sappiamo che $f_A$ è bigettiva (vd.~\textit{Problema 12}). Definiamo allora $\sigma_A : \NN \to \NN$ per ricorsione numerabile in modo tale che: \[ \sigma_A(n) = \begin{cases} @@ -812,7 +812,7 @@ originale in una formula esplicita: \item Poiché i sottinsiemi infiniti di $\NN$ sono sono numerabili, $[\NN]^{\aleph_0} = \PP(\NN) \setminus \Fin(\NN)$. Dacché $\abs{\PP(\NN)} = \cc$ - e $\abs{\Fin(\NN)} = \aleph_0$ (vd. \textit{Problema 14}), allora si sta togliendo + e $\abs{\Fin(\NN)} = \aleph_0$ (vd.~\textit{Problema 14}), allora si sta togliendo un insieme al più numerabile ad un insieme che ha la cardinalità del continuo. Pertanto, per il \textit{Problema 19}, $\abs{[\NN]^{\aleph_0}} = \cc$. @@ -1222,9 +1222,9 @@ originale in una formula esplicita: \begin{solution} La tesi deriva immediatamente dal fatto che $\omega$ è un insieme - totalmente ordinato per il quale ogni elemento in $\omega \setminus {0}$ è + totalmente ordinato per il quale ogni elemento in $\omega \setminus \{0\}$ è un successore. Poiché su $\omega$ vale il principio di induzione (debole), - allora $\omega$ è ben ordinato (vd. \textit{Problema 35}). + allora $\omega$ è ben ordinato (vd.~\textit{Problema 35}). \end{solution} \begin{problem}{Equivalenza tra l'induzione forte e il buon ordinamento}{problem-34} @@ -1366,6 +1366,18 @@ originale in una formula esplicita: Si mostri che $\omega_1 = \{ \alpha \text{ ordinale} \mid \abs{\alpha} \leq \abs{\omega} \}$ è il più piccolo ordinale avente cardinalità maggiore di quella di $\omega$. \end{problem} +\begin{solution} + Per rimpiazzamento, abbiamo visto che $\omega_1$ è effettivamente un insieme. Inoltre, $\omega_1$ è un + insieme transitivo di ordinali: se $\alpha \in \beta \in \omega_1$, allora + $\alpha \subseteq \beta \in \omega_1$, e dunque $\abs{\alpha} \leq \abs{\beta} \leq \abs{\omega}$, + da cui $\alpha \in \omega_1$. Pertanto $\omega_1$ stesso è un ordinale. \medskip + + Sia ora $\gamma$ un ordinale con $\abs{\omega} < \abs{\gamma}$, e + mostriamo che $\omega_1 \leq \gamma$. Se fosse $\gamma < \omega_1$, allora si avrebbe, per definizione di $\omega_1$, + $\abs{\gamma} \leq \abs{\omega}$, \Lightning. Dunque, per tricotomia degli ordinali, + l'unico caso possibile è $\omega_1 \leq \gamma$. +\end{solution} + \begin{problem}{Sugli ordinali $0 + \alpha = \alpha$}{problem-47} Sia $\alpha$ un ordinale. Si mostri che $0 + \alpha = \alpha$. \end{problem} @@ -1404,6 +1416,30 @@ originale in una formula esplicita: \[ \alpha \cdot \beta \cong \alpha \times \beta. \] \end{problem} +\begin{solution} + Mostriamo la tesi per induzione transfinita su $\beta$. + + \begin{enumerate}[(i.)] + \item[$\boxed{\beta = 0}$] $\alpha \cdot 0$ per definizione è $0$, che è isomorfo banalmente + a $\alpha \times 0$. + + \item[$\boxed{\beta + 1}$] $\alpha \cdot (\beta + 1)$ è per definizione + $\alpha \cdot \beta + \alpha$, che corrisponde all'usuale somma tra buoni + ordini. Per ipotesi induttiva $\alpha \cdot \beta \cong \alpha \times \beta$. + Se $\varphi$ è una bigezione tra i due insiemi, allora + una bigezione tra $\alpha \cdot (\beta + 1)$ e $\alpha \times (\beta + 1)$ si ottiene + mappa il fattore $\alpha \cdot \beta$ in $\alpha \times \beta$ secondo $\varphi$, + e mandando $\alpha$ in $\alpha \times 1$. + + \item[$\boxed{\beta = \lambda \text{ limite}}$] Per definizione + $\alpha \cdot \lambda = \sup_{\gamma < \lambda} \alpha \cdot \gamma$. Poiché + ogni $\alpha \cdot \gamma$ è isomorfo ad $\alpha \times \gamma$ per ipotesi + induttiva, anche gli estremi + superiori devono essere isomorfi: nel caso degli $\alpha \times \gamma$ questo è + proprio $\alpha \times \lambda$, da cui la tesi. + \end{enumerate} +\end{solution} + \begin{problem}{Proprietà fondamentali dell'esponenziale di ordinali}{problem-50} Siano $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ ordinali con $\alpha \neq 0$. Si mostri che: @@ -1413,6 +1449,13 @@ originale in una formula esplicita: \end{enumerate} \end{problem} +\begin{solution} + Sappiamo, anche per il \textit{Problema 49}, che le operazioni tra ordinali corrispondono + a quelle tra buoni ordini. Allora le tesi si verificano immediatamente usando le + bigezioni naturali tra $A^B \times A^C$ e $A^{B \sqcup C}$, e tra ${(A^B)}^C$ e $A^{B \times C}$ + (vd.~\textit{Problema 62} per la scrittura esplicita di tali bigezioni). +\end{solution} + \begin{problem}{Alcune disuguaglianze sugli ordinali}{problem-51} Siano $\alpha$ e $\beta \neq 0$ ordinali. Allora si mostri che: @@ -1424,6 +1467,35 @@ originale in una formula esplicita: \end{enumerate} \end{problem} +\begin{solution} + Mostriamo i vari risultati separatamente. + + \begin{enumerate}[(i.)] + \item Poiché $\beta > 0$, $\alpha$ è un segmento iniziale proprio di $\alpha + \beta$ e + quindi necessariamente $\alpha + \beta > \alpha$, dacché la somma tra ordinali + corrisponde alla somma tra buoni ordini. Alternativamente, si può dimostrare + la tesi per induzione transfinita, come fatto per il punto (ii.). + + \item Si mostra la tesi per induzione transfinita su $\beta$. + \begin{enumerate}[(i.)] + \item[$\boxed{\beta = 0}$] $\alpha + \beta = \alpha + 0 = \alpha$, banalmente. + \item[$\boxed{\beta + 1}$] $\alpha + (\beta + 1)$ è per definizione $(\alpha + \beta) + 1$. + Impiegando l'ipotesi induttiva si ottiene allora $\alpha + \beta \geq \beta$, e + dunque $(\alpha + \beta) + 1 \geq \beta + 1$. + \item[$\boxed{\beta = \lambda \text{ limite}}$] Per definizione: + $\alpha + \lambda = \sup_{\gamma < \lambda} \alpha + \gamma$. Allora, per + ipotesi induttiva, $\sup_{\gamma < \lambda} \alpha + \gamma \geq \sup_{\gamma < \lambda} \gamma = \lambda$, + da cui la tesi. + \end{enumerate} + + \item Deriva immediatamente dal punto (ii.): $\alpha + \beta + 1 > \alpha + \beta \geq \beta$. + + \item Si mostra per induzione transfinita in modo del tutto simile a come fatto per il punto (ii.), + sfruttando l'identità $\alpha \cdot (\beta + 1) = \alpha \cdot \beta + \alpha$ e sapendo che + $\alpha \cdot \lambda = \sup_{\gamma < \lambda} \alpha \cdot \gamma$ per $\lambda$ limite. + \end{enumerate} +\end{solution} + \begin{problem}{Disuguaglianze strette sugli ordinali con ordinale fisso a sinistro}{problem-52} Siano $\alpha$ e $\gamma < \gamma'$ ordinali. Allora si mostri che: @@ -1433,6 +1505,21 @@ originale in una formula esplicita: \end{enumerate} \end{problem} +\begin{solution} + Poiché $\gamma < \gamma'$, per il teorema della differenza a destra, esiste + $\rho > 0$ tale per cui $\gamma + \rho = \gamma'$. Mostriamo ora i due + risultati separatamente. + + \begin{enumerate}[(i.)] + \item $\alpha + \gamma' = (\alpha + \gamma) + \rho > \alpha + \gamma$, dove + si è usato la tesi del \textit{Problema 51}. + + \item $\alpha \cdot \gamma' = \alpha \cdot (\gamma + \rho) = \alpha \cdot \gamma + \alpha \cdot \rho$. + Poiché $\rho$ e $\alpha$ sono diversi da zero, $\alpha \cdot \rho > \alpha > 0$ per il \textit{Problema 51}. Allora + si conclude ancora utilizzando la tesi del \textit{Problema 51}, analogamente al punto (i.). + \end{enumerate} +\end{solution} + \begin{problem}{Distributività a destra degli ordinali}{problem-53} Siano $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ ordinali. Si mostri allora che: \[ \alpha \cdot (\beta + \gamma) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma. \] @@ -1441,7 +1528,7 @@ originale in una formula esplicita: \begin{solution} La tesi è immediatamente implicata dal fatto che per gli ordinali $\alpha \cong \beta \implies \alpha = \beta$ e che il prodotto e la somma tra ordinali - corrispondono al prodotto (vd. \textit{Problema 49}) e alla somma tra insiemi ben ordinati, per i quali vale: + corrispondono al prodotto (vd.~\textit{Problema 49}) e alla somma tra insiemi ben ordinati, per i quali vale: \[ A \times (B + C) \cong (A \times B) + (A \times C), \] per il \textit{Problema 43}. \end{solution} @@ -1534,7 +1621,7 @@ originale in una formula esplicita: $n$ a $S(n) = n+1$. Assumiamo ora la tesi per $n \geq 1$ e mostriamola per $n+1$: \[ (n + 1) + \omega = n + (1 + \omega) = n + \omega = \omega, \] - dove si è usata l'associatività della somma (vd. \textit{Problema 48}). + dove si è usata l'associatività della somma (vd.~\textit{Problema 48}). \end{solution} \begin{problem}{Caratterizzazione degli ordinali che rispettano \underline{sulla somma} la proprietà di assorbimento a sinistra per ordinali più piccoli}{problem-57} @@ -1563,7 +1650,7 @@ originale in una formula esplicita: \item[\fbox{(iii.) $\implies$ (i.)}] Mostriamo la validità della tesi nel caso in cui $\delta$ è nullo, è successore o è limite non nullo. \begin{enumerate} \item[$\boxed{\delta = 0}$] Se $\delta = 0$, allora $\alpha = 1$, per il quale ovviamente $0 + 1 = 1$ - (vd. \textit{Esercizio 47}). + (vd.~\textit{Esercizio 47}). \item[$\boxed{\delta + 1}$] Se $\delta = \delta' + 1$ è un successore, allora, dato $\beta < \alpha = \omega^{\delta'} \cdot \omega$, si deve avere $\beta < \omega^{\delta'} \cdot n$ per qualche $n \in \omega$. Pertanto: \[ \omega^{\delta' + 1} \leq \beta + \alpha \leq \omega^{\delta'} (n + \omega) = \omega^{\delta' + 1}, \] @@ -1607,7 +1694,7 @@ originale in una formula esplicita: \item[$\boxed{\delta + 1}$] Se $\delta = \delta' + 1$ è un successore, allora, dato $\beta < \alpha = {(\omega^{(\omega^{\delta'})})}^\omega$, si deve avere $\beta < {(\omega^{(\omega^{\delta'})})}^n$ per qualche $n \in \omega$. Pertanto: \[ \alpha = {(\omega^{(\omega^{\delta'})})}^\omega \leq \beta \cdot \alpha \leq {(\omega^{(\omega^{\delta'})})}^n \cdot {(\omega^{(\omega^{\delta'})})}^\omega = {(\omega^{(\omega^{\delta'})})}^{n+\omega} = \alpha, \] - da cui $\beta + \alpha = \omega^\delta$ (si è usato che $n + \omega = \omega$, vd. \textit{Esercizio 56}). + da cui $\beta + \alpha = \omega^\delta$ (si è usato che $n + \omega = \omega$, vd.~\textit{Esercizio 56}). \item[$\boxed{\delta = \lambda \text{ limite}}$] Se invece $\delta = \lambda$ è un limite, dacché $\omega^{(\omega^\lambda)} = \sup_{\gamma < \lambda} \omega^{(\omega^\gamma)}$, $\beta < \omega^{(\omega^\lambda)}$ implica che esiste $\gamma < \lambda$ per cui $\beta < \omega^{(\omega^\gamma)}$. Per il teorema della differenza a destra, esiste inoltre $\varepsilon < \lambda$ per cui $\gamma + \varepsilon =\lambda$. Pertanto si deduce che: @@ -1626,7 +1713,7 @@ originale in una formula esplicita: $\omega^\delta$. $n$ è necessariamente un naturale, altrimenti $\alpha$ maggiorerebbe debolmente $\omega^{\delta+1}$. Allora: \[ \omega^{\delta + 1} = \omega^\delta \omega \leq \alpha \cdot \omega = (\omega^\delta \cdot n + \rho) \omega \leq (\omega^\delta \cdot (n + 1)) \omega = \omega^\delta \omega = \omega^{\delta + 1}, \] - dove si è usato che $(n+1) \cdot \omega = \omega$ (vd. \textit{Esercizio 58}). + dove si è usato che $(n+1) \cdot \omega = \omega$ (vd.~\textit{Esercizio 58}). \end{solution} \begin{problem}{$\alpha \cdot \omega = \beta \cdot \omega$ se e solo se $\alpha$ e $\beta$ sono contenuti tra due stesse potenze successive di $\omega$}{problem-60} @@ -1956,7 +2043,7 @@ originale in una formula esplicita: \item Supponiamo che $\alpha = \lambda$ sia limite. Sia $X \in V_\lambda \setminus \{\emptyset\}$. In ZFC esiste dunque per scelta una funzione di scelta $f : \PP(X) \setminus \{\emptyset\} \to X$, appartenente a $\PP((\PP(X) \setminus \{\emptyset\}) \times X)$, - che è un elemento di $V_\lambda$ dal momento che soddisfa l'assioma delle parti (vd. (ii.)), di unione e di separazione (essendo transitivo), + che è un elemento di $V_\lambda$ dal momento che soddisfa l'assioma delle parti (vd.~(ii.)), di unione e di separazione (essendo transitivo), e dunque $V_\lambda$ soddisfa l'assioma di scelta. \medskip Viceversa supponiamo che $V_\alpha$ soddisfi scelta. Allora esiste una funzione di scelta $f : \PP(X) \setminus \{\emptyset\} \to X$ per