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--- a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-03-22, Introduzione al prodotto scalare/main.tex	
+++ b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-22, Introduzione al prodotto scalare/main.tex	
@@ -19,7 +19,7 @@
 		finita $n$.
 	\end{note}
 
-	\begin{definition}
+	\begin{definition} [prodotto scalare]
 		Un \textbf{prodotto scalare} su $V$ è una forma bilineare simmetrica $\varphi$ con argomenti in $V$.
 	\end{definition}
 
@@ -33,6 +33,10 @@
 		\li poiché $\varphi$ è simmetrica, $\varphi$ è lineare e omogenea anche nel secondo argomento, e quindi è una
 		forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $M(n, \KK)$.
 	\end{example}
+	
+	\begin{definition} [vettori ortogonali]
+		Due vettori $\v$, $\w \in V$ si dicono \textbf{ortogonali} rispetto al prodotto scalare $\varphi$, ossia $\v \perp \w$, se $\varphi(\v, \w) = 0$.
+	\end{definition}
 
 	\begin{definition}
 		Si definisce prodotto scalare \textit{canonico} di $\KK^n$ la forma bilineare simmetrica $\varphi$ con
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--- a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex	
+++ b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex	
@@ -43,18 +43,15 @@
 			\underbrace{M_{\dual \basis_V}^{\basis_V}(a_\varphi)}_B \underbrace{M_{\basis_V}^{\basis_W}(i)}_{A^\top} = BA^\top \overbrace{=}^{B^\top = B} (AB)^\top$.
 		\end{enumerate}
 	
-		Poiché $\rg(A) = \rg(A^\top)$, si deduce che $\rg(f) = \rg(g) \implies \rg(i^\top \circ a_\varphi) = \rg(a_\varphi \circ i) = \rg(\restr{a_\varphi}{W}) = \dim W - \dim \Ker \restr{a_\varphi}{W} = \dim W - \dim (W \cap \underbrace{\Ker a_\varphi}_{V^\perp}) = \dim W - \dim (W \cap V^\perp)$. Si conclude allora, sostituendo quest'ultima
+		Poiché $\rg(A) = \rg(A^\top)$, si deduce che $\rg(f) = \rg(g) \implies \rg(i^\top \circ a_\varphi) = \rg(a_\varphi \circ i) = \rg(\restr{a_\varphi}{W}) = \dim W - \dim \Ker \restr{a_\varphi}{W} = \dim W - \dim (W \cap \underbrace{\Ker a_\varphi}_{V^\perp}) = \dim W - \dim (W \cap V^\perp)$. \\
+		
+		Si conclude allora, sostituendo quest'ultima
 		identità nell'identità ricavata a inizio dimostrazione che $\dim V = \dim W^\top + \dim W - \dim (W \cap V^\perp)$,
 		ossia la tesi.
 	\end{proof}
 
-	\begin{remark}
-		Si possono fare alcune osservazioni sul radicale di un solo elemento $\vec w$ e su quello del suo sottospazio
-		generato $W = \Span(\vec w)$: \\
-		
-		\li $\vec w ^\perp = W^\perp$, \\
-		\li $\vec w \notin W^\perp \iff \Rad (\restr{\varphi}{W}) = W \cap W^\perp \iff \vec w \text{ non è isotropo } = \zerovecset \iff
-		V = W \oplus W^\perp$.
+	\begin{remark} Si identifica $\w^\perp$ come il sottospazio di tutti i vettori di $V$ ortogonali a $\w$.
+		In particolare, se $W = \Span(\vec w)$ è il sottospazio generato da $\vec w \neq \vec 0$, $\vec w \in V$, allora $W^\perp = \w^\perp$. Inoltre valgono le seguenti equivalenze: $\vec w \notin W^\perp \iff$ $\Rad (\restr{\varphi}{W}) = W \cap W^\perp = \zerovecset$ $\iff \vec w \text{ non è isotropo } \iff$ $V = W \oplus W^\perp$.
 	\end{remark}
 
 	\begin{definition}
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index 5a92394..c90b893 100644
--- a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/1. Introduzione al prodotto scalare.tex	
+++ b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/1. Introduzione al prodotto scalare.tex	
@@ -7,9 +7,9 @@
 
 \section{Prime definizioni}
 
-\subsection{Prodotto scalare}
+\subsection{Prodotto scalare e vettori ortogonali rispetto a \texorpdfstring{$\varphi$}{φ}}
 
-\begin{definition}
+\begin{definition} [prodotto scalare]
 	Un \textbf{prodotto scalare} su $V$ è una forma bilineare simmetrica $\varphi$ con argomenti in $V$.
 \end{definition}
 
@@ -24,6 +24,10 @@
 	forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $M(n, \KK)$.
 \end{example}
 
+\begin{definition} [vettori ortogonali]
+	Due vettori $\v$, $\w \in V$ si dicono \textbf{ortogonali} rispetto al prodotto scalare $\varphi$, ossia $\v \perp \w$, se $\varphi(\v, \w) = 0$.
+\end{definition}
+
 \begin{definition}
 	Si definisce prodotto scalare \textit{canonico} di $\KK^n$ la forma bilineare simmetrica $\varphi$ con
 	argomenti in $\KK^n$ tale che:
@@ -39,7 +43,7 @@
 	\sum_{i=1}^n \left[x_iy_i + x_i' y_i\right] = \sum_{i=1}^n x_i y_i + \sum_{i=1}^n x_i' y_i =
 	\varphi((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) + \varphi((x_1', ..., x_n'), (y_1, ..., y_n))$ (linearità nel
 	primo argomento), \\
-	\li $\varphi(\alpha(x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) = \sum_{i=1}^n \alpha x_i y_i = \alpha \sum_{i=1}^n x_i y_i =
+	\li $\varphi(\alpha(x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n))$ $= \sum_{i=1}^n \alpha x_i y_i = \alpha \sum_{i=1}^n x_i y_i$ $=
 	\alpha \varphi((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n))$ (omogeneità nel primo argomento), \\
 	\li $\varphi((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) = \sum_{i=1}^n x_i y_i = \sum_{i=1}^n y_i x_i = \varphi((y_1, ..., y_n), (x_1, ..., x_n))$ (simmetria), \\
 	\li poiché $\varphi$ è simmetrica, $\varphi$ è lineare e omogenea anche nel secondo argomento, e quindi è una
diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/main.pdf b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/main.pdf
index a0bd72a..845ef29 100644
Binary files a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/main.pdf and b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/main.pdf differ
diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/README.md b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/README.md
new file mode 100644
index 0000000..83bbeed
--- /dev/null
+++ b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/README.md	
@@ -0,0 +1,23 @@
+# [Geometria 1](https://esami.unipi.it/programma.php?c=53668&aa=2022&cid=9&did=20) > Prodotto scalare e hermitiano
+
+- [Programma del corso 📘](https://esami.unipi.it/programma.php?c=53668&aa=2022&cid=9&did=20)
+- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=7084691::::&ri=9631)
+- [Sito web 🔗](http://people.dm.unipi.it/salvetti/GeometriaI_Matematica/indice1.html)
+
+Questa cartella contiene tutti gli appunti riguardanti i prodotti scalari, quelli hermitiani e i principali risultati a loro collegati.
+In particolare, la cartella *Appunti originali* contiene gli appunti inizialmente presi a lezione e poi rivisti ed integrati.
+
+La mole di informazioni racchiusa in *Appunti originali* è diventata tuttavia troppa, e si è reso necessario creare un nuovo
+documento che facesse interagire in modo coerente e preciso tutte le informazioni introdotte cronologicamente a lezione, da cui
+la creazione della cartella *I prodotti di uno spazio vettoriale*. Pertanto gli appunti della cartella *Appunti originali* non
+riceveranno più aggiornamenti, favorendo piuttosto l'integrazione di tali appunti nel nuovo documento.
+
+In particolare questa cartella contiene gli appunti delle seguenti lezioni:
+
+   - 22 marzo 2023,
+   - 27 marzo 2023,
+   - 31 marzo 2023,
+   - 17 aprile 2023,
+   - 19 aprile 2023,
+   - 26 aprile 2023,
+   - 5 maggio 2023.
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