@ -9,9 +9,9 @@
\begin { definition} [Mappe lisce tra due sottinsiemi] Siano $ X \subseteq \RR ^ k $ ,
$ Y \subseteq \RR ^ \ell $ sottinsiemi qualsiasi. Allora una funzione
$ f : X \to Y $ si dice di classe $ C ^ \infty $ (o \textit { liscia} ) se per ogni
$ f : X \to Y $ si dice di \textbf { $ C ^ \infty $ } \textit { liscia} ) se per ogni
$ x \in X $ esistono un aperto $ W _ x $ e una funzione $ F : W _ x \to \RR ^ \ell $ ,
chiamata \text it { estensione} , di classe $ C ^ \infty $ per cui:
chiamata \text bf { estensione} , di classe $ C ^ \infty $ per cui:
\[
\restr { F} { W_ x \cap X} = \restr { f} { W_ x \cap X} .
\]
@ -26,7 +26,7 @@
Siano $ X \subseteq \RR ^ k $ ,
$ Y \subseteq \RR ^ \ell $ sottinsiemi qualsiasi.
Allora una funzione $ f : X \to Y $ si dice \textbf { diffeomorfismo} se
è un omeomorfismo, è liscia e ammette inversa liscia.
è un \underline { }
\end { definition}
\begin { remark}
@ -56,13 +56,18 @@
\[
\restr { G \circ F} { W_ x \cap X} = \restr { g \circ f} { W_ x \cap X} ,
\]
dove $ g \circ f $ è liscia.
dove $ g \circ f $ è liscia; questo dimostra che la composizione di mappe
lisce è liscia. \smallskip
La restrizione di una mappa è liscia dal momento che è composizione
di una mappa liscia con una mappa di inclusione, che è liscia in quanto
si estende all'identità.
\end { proof}
\subsection { Varietà differenziabili, carte, atlanti e parametrizzazioni locali}
\begin { definition} [Varietà differenziabile liscia in $ \RR ^ k $ ]
Un insieme $ M \subseteq \RR ^ k $ si dice \textbf { varietà (differenziabile liscia) di dimensione $ m> 0 $ } (o $ m $ -varietà) se per ogni
\begin { definition} [Varietà differenziabile liscia senza bordo ]
Un insieme $ M \subseteq \RR ^ k $ si dice \textbf { varietà (differenziabile liscia senza bordo ) di dimensione $ m> 0 $ } (o $ m $ -varietà) se per ogni
suo punto $ x $ esistono un intorno aperto $ W _ x $ in $ \RR ^ k $ e un diffeomorfismo
$ f _ x : W _ x \cap M \to U $ verso un aperto $ U $ in $ \RR ^ m $ . Per $ m = 0 $ , si richiede invece
che ogni $ W _ x \cap M $ sia un singoletto. \smallskip
@ -79,7 +84,7 @@
Le carte locali inducono un ricoprimento aperto di $ M $ , e quindi, qualora $ M $ fosse compatta, si potrebbe
sempre prendere un atlante finito. \smallskip
Inoltre, poiché $ \RR ^ k $ è II-numerabile, si può sempre prendere un atlante numerabile.
Inoltre, poiché $ \RR ^ k $ è II-numerabile, si può sempre prendere un \underline { }
\end { remark}
\begin { remark}
@ -95,7 +100,8 @@
$ m $ e $ n $ . Allora $ M \times N \subseteq \RR ^ { k + \ell } $ è una varietà
di dimensione $ m + n $ . \smallskip
Un atlante per $ M \times N $ è $ \{ ( f _ i \times g _ j, ( W _ i \times Q _ j ) \cap ( M \times N ) ) \} _ { i, j } $ ,
Un atlante per $ M \times N $ è dato da:
\[ \{ ( f _ i \times g _ j, ( W _ i \times Q _ j ) \cap ( M \times N ) ) \} _ { i, j } , \]
dove $ \{ ( f _ i, W _ i \cap M ) \} _ i $ è un atlante di $ M $
e $ \{ ( g _ i, Q _ j \cap N ) \} _ j $ è un atlante di $ N $ .
\end { proposition}
@ -210,14 +216,20 @@
dunque iniettiva.
\end { proof}
\begin { proposition} [Spazio tangente in un prodotto di varietà]
Siano $ M $ e $ N $ due varietà di dimensione $ m $ e $ n $ . Allora vale:
\begin { remark} [Spazio tangente in un prodotto di varietà] \label { rmk:tangente_ prodotto}
Siano $ M $ e $ N $ due varietà di dimensione $ m $ e $ n $ .
Se $ f _ i \times g _ j $ è una carta locale di $ M \times N $ ,
come ottenuto nella Proposizione \ref { prop:prodotto_ varietà} , allora:
\begin { align*}
T_ { (m, n)} (M \times N) & = d(f_ i^ { -1} \times g_ j^ { -1} )_ { (m, n)} (\mathbb { R} ^ { m+n} ) \\
& \cong d(f_ i^ { -1} )(\mathbb { R} ^ m) \times d(g_ j^ { -1} )(\mathbb { R} ^ n) \\
& = T_ m M \times T_ n N
\end { align*}
Quindi vale il seguente isomorfismo canonico, ottenuto proiettando sulle componenti:
\[
\boxed { T_ { (m, n)} (M \times N) \cong \dif \iota ^ M_ { m} (T_ m M) \oplus \dif \iota ^ N_ { n} (T_ { n} N),}
\boxed { T_ { (m, n)} (M \times N) \cong T_ m M \times T_ n N. }
\]
dove $ \iota ^ M $ è l'immersione di $ M $ in $ M \times N $ che fissa $ n $ nella seconda componente,
e $ \iota ^ N $ è l'immersione di $ N $ che fissa $ m $ nella prima.
\end { proposition}
\end { remark}
\subsection { Differenziale per mappe lisce tra varietà}
@ -466,7 +478,8 @@
\end { theorem}
\begin { proof}
Sia $ x \in f \inv ( y ) $ . Allora $ x $ è per ipotesi un punto regolare, e quindi
Sia $ k $ tale per cui $ M \subseteq \RR ^ k $ , e sia $ x \in f \inv ( y ) $ .
Allora $ x $ è per ipotesi un punto regolare, e quindi
$ \dif f _ x : T _ x M \to T _ y N $ è una mappa surgettiva, con:
\[
\dim \ker (\dif f_ x) = m - n.
@ -474,7 +487,7 @@
Sia $ L : \RR ^ k \to \RR ^ { m - n } $ una mappa lineare, dove $ T _ x M \subseteq \RR ^ k $
e $ \restr { L } { T _ x M } $ è isomorfismo. \smallskip
Consideriamo la mappa $ F : M \ to N \times \RR ^ { m - n } $ tale per cui:
Consideriamo la mappa $ F : M \ subseteq \RR ^ k \ to N \times \RR ^ { m - n } $ tale per cui:
\[
F(m) = (f(m), L(m)).
\]
@ -510,7 +523,7 @@
per cui $ f \circ \iota $ è costante. Tuttavia una mappa costante
ha differenziale nullo, e dunque:
\[
\dif f_ x \circ \ iota_ { T_ x P} = 0 \implies T_ x P \subseteq \ker (\dif f_ x).
\dif f_ x \circ \ underbrace{ \ iota_ { T_ x P} } _ { = \dif \iota ^ P_ x} = 0 \implies T_ x P \subseteq \ker (\dif f_ x).
\]
Poiché $ \dim T _ x P = m - n = \ker ( \dif f _ x ) $ , si ottiene
l'uguaglianza $ T _ x P = \ker ( \dif f _ x ) $ . \smallskip
@ -527,7 +540,7 @@
\begin { proof}
Presa $ f : \RR ^ { n + 1 } \to \RR $ tale per cui:
\[
f(x) \defeq x_ 1^ 2 + \ldots + x_ { n+1} ^ 2,
f(x) \defeq x \cdot x = x _ 1^ 2 + \ldots + x_ { n+1} ^ 2,
\]
si ha $ S ^ n = f \inv ( 1 ) $ . Osserviamo che:
\[
@ -549,17 +562,18 @@
Presa $ f : M ( n ) \cong \RR ^ { n ^ 2 } \to S ( n ) \cong \RR ^ { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } $ tale per cui:
\[ f ( A ) = AA ^ \top , \]
si ha $ O ( n ) = f \inv ( I ) $ . Osserviamo che:
\[ df _ A : M ( n ) \to S ( n ) , \quad df _ A ( B ) = AB ^ \top + B A ^ \top . \]
Mostriamo che $ df _ A $ è surgettiva per $ A \in f \inv ( I ) = O ( n ) $ .
Se $ AB ^ \top + BA ^ \top = C \in S ( n ) $ , $ C $ si può spezzare
nella sua parte simmetrica:
\[ \dif f _ A : M ( n ) \to S ( n ) , \quad \dif f _ A ( B ) = AB ^ \top + B A ^ \top . \]
Mostriamo che $ \dif f _ A $ è surgettiva per $ A \in f \inv ( I ) = O ( n ) $ . \smallskip
Sia $ C \in S ( n ) $ simmetrica. Allora $ C $ è uguale
alla sua parte simmetrica:
\[
C = \frac { 1} { 2} C + \frac { 1} { 2} C^ \top ,
\]
e quindi, ponendo $ \frac { 1 } { 2 } C = BA^ \top $ , si ottiene com e
soluzione:
e quindi, ponendo $ \frac { 1 } { 2 } C = AB^ \top $ , si ottiene la seguent e
soluzione a $ AB ^ \top + BA ^ \top = C $ :
\[
B = \frac { 1} { 2} CA.
B = \frac { 1} { 2} C^ T
\]
Dunque $ I $ è un valore regolare, e $ O ( n ) $ è una varietà
di dimensione $ n ^ 2 - \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } = \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } $ .
@ -588,6 +602,14 @@
si indica con $ \partial M $ .
\end { definition}
\begin { remark}
La definizione data è coerente con la definizione di varietà senza bordo: una
varietà senza bordo $ M $ è esattamente una varietà con bordo $ M $ tale per cui
$ \partial M = \emptyset $ . \smallskip
Utilizzeremo dunque indistintamente le due caratterizzazioni.
\end { remark}
\subsection { Differenziale e spazio tangente su varietà con bordo}
\begin { remark} [Il differenziale sul bordo di $ H ^ n $ è ben definito]
@ -843,7 +865,7 @@
...
\end { proof}
\subsection { Grado modulo $ 2 $ e buona definizione}
\subsection { Grado modulo \texorpdfstring { $ 2 $ } { 2} }
\begin { theorem}
Siano $ M $ e $ N $ varietà della stessa dimensione. Sia $ M $ compatta
