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gtd(scheda): migliora l'esposizione del prodotto di varietà
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- [Programma del corso 📘](https://unipi.coursecatalogue.cineca.it/insegnamenti/2025/50256_686307_66441/2008/50256/10299?coorte=2023&schemaid=8700)
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- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=11083221::::&ri=8527)
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Questa cartella contiene una *Scheda riassuntiva*, che, come suggerisce il nome, vorrebbe essere un recap completo di tutta la
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teoria del corso.
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Questa cartella contiene un recap completo di tutta la teoria del corso di *Geometria e topologia differenziale*.
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Il progetto si basa su un layout di [Luca Lombardo](https://lukefleed.xyz/), utilizzato in particolare nelle [Schede riassuntive di Geometria 2](https://github.com/lukefleed/G2-cheat-sheet), basate sulle [dispense-capolavoro](https://www.overleaf.com/read/vsdktbwrgpth) di [Francesco Sorce](mailto:f.sorce@studenti.unipi.it).
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Binary file not shown.
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\renewcommand{\chaptername}{Parte}
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\addto\captionsitalian{\renewcommand{\chaptername}{Parte}}
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\title{\Huge{Schede riassuntive di \\ \textit{Geometria e topologia differenziale}}}
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\title{\Huge{Teoria del corso di \\ \textit{Geometria e topologia differenziale}}}
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\date{A.A. 2025-2026}
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\author{A cura di Gabriel Antonio Videtta\footnote{Basato su un layout di \underline{Luca Lombardo} e di \underline{Francesco Sorce}.} \\ \href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{\texttt{g.videtta1@studenti.unipi.it}} \\[0.3in] Testo basato sul contenuto del corso del prof.~Lisca \\ tenutosi presso l'Università di Pisa.}
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+48
-26
@@ -9,9 +9,9 @@
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\begin{definition}[Mappe lisce tra due sottinsiemi] Siano $X \subseteq \RR^k$,
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$Y \subseteq \RR^\ell$ sottinsiemi qualsiasi. Allora una funzione
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$f : X \to Y$ si dice di classe $C^\infty$ (o \textit{liscia}) se per ogni
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$f : X \to Y$ si dice di \textbf{classe $C^\infty$} (o \textit{liscia}) se per ogni
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$x \in X$ esistono un aperto $W_x$ e una funzione $F : W_x \to \RR^\ell$,
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chiamata \textit{estensione}, di classe $C^\infty$ per cui:
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chiamata \textbf{estensione}, di classe $C^\infty$ per cui:
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\[
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||||
\restr{F}{W_x \cap X} = \restr{f}{W_x \cap X}.
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\]
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@@ -26,7 +26,7 @@
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Siano $X \subseteq \RR^k$,
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$Y \subseteq \RR^\ell$ sottinsiemi qualsiasi.
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||||
Allora una funzione $f : X \to Y$ si dice \textbf{diffeomorfismo} se
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è un omeomorfismo, è liscia e ammette inversa liscia.
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è un \underline{omeomorfismo}, è liscia e ammette inversa liscia.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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@@ -56,13 +56,18 @@
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\[
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\restr{G \circ F}{W_x \cap X} = \restr{g \circ f}{W_x \cap X},
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\]
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dove $g \circ f$ è liscia.
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dove $g \circ f$ è liscia; questo dimostra che la composizione di mappe
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lisce è liscia. \smallskip
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La restrizione di una mappa è liscia dal momento che è composizione
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di una mappa liscia con una mappa di inclusione, che è liscia in quanto
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si estende all'identità.
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\end{proof}
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\subsection{Varietà differenziabili, carte, atlanti e parametrizzazioni locali}
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\begin{definition}[Varietà differenziabile liscia in $\RR^k$]
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||||
Un insieme $M \subseteq \RR^k$ si dice \textbf{varietà (differenziabile liscia) di dimensione $m>0$} (o $m$-varietà) se per ogni
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\begin{definition}[Varietà differenziabile liscia senza bordo]
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||||
Un insieme $M \subseteq \RR^k$ si dice \textbf{varietà (differenziabile liscia senza bordo) di dimensione $m>0$} (o $m$-varietà) se per ogni
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suo punto $x$ esistono un intorno aperto $W_x$ in $\RR^k$ e un diffeomorfismo
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$f_x : W_x \cap M \to U$ verso un aperto $U$ in $\RR^m$. Per $m = 0$, si richiede invece
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che ogni $W_x \cap M$ sia un singoletto. \smallskip
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@@ -79,7 +84,7 @@
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||||
Le carte locali inducono un ricoprimento aperto di $M$, e quindi, qualora $M$ fosse compatta, si potrebbe
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sempre prendere un atlante finito. \smallskip
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Inoltre, poiché $\RR^k$ è II-numerabile, si può sempre prendere un atlante numerabile.
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Inoltre, poiché $\RR^k$ è II-numerabile, si può sempre prendere un \underline{atlante numerabile}.
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\end{remark}
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\begin{remark}
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@@ -95,7 +100,8 @@
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$m$ e $n$. Allora $M \times N \subseteq \RR^{k+\ell}$ è una varietà
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di dimensione $m + n$. \smallskip
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||||
Un atlante per $M \times N$ è $\{(f_i \times g_j, (W_i \times Q_j) \cap (M \times N))\}_{i, j}$,
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||||
Un atlante per $M \times N$ è dato da:
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\[ \{(f_i \times g_j, (W_i \times Q_j) \cap (M \times N))\}_{i, j}, \]
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||||
dove $\{(f_i, W_i \cap M)\}_i$ è un atlante di $M$
|
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e $\{(g_i, Q_j \cap N)\}_j$ è un atlante di $N$.
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\end{proposition}
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@@ -210,14 +216,20 @@
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dunque iniettiva.
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\end{proof}
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\begin{proposition}[Spazio tangente in un prodotto di varietà]
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Siano $M$ e $N$ due varietà di dimensione $m$ e $n$. Allora vale:
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\begin{remark}[Spazio tangente in un prodotto di varietà] \label{rmk:tangente_prodotto}
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Siano $M$ e $N$ due varietà di dimensione $m$ e $n$.
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Se $f_i \times g_j$ è una carta locale di $M \times N$,
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come ottenuto nella Proposizione \ref{prop:prodotto_varietà}, allora:
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\begin{align*}
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T_{(m, n)}(M \times N) & = d(f_i^{-1} \times g_j^{-1})_{(m, n)}(\mathbb{R}^{m+n}) \\
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||||
& \cong d(f_i^{-1})(\mathbb{R}^m) \times d(g_j^{-1})(\mathbb{R}^n) \\
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||||
& = T_m M \times T_n N
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||||
\end{align*}
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||||
Quindi vale il seguente isomorfismo canonico, ottenuto proiettando sulle componenti:
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\[
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||||
\boxed{T_{(m, n)} (M \times N) \cong \dif \iota^M_{m}(T_m M) \oplus \dif \iota^N_{n}(T_{n} N),}
|
||||
\boxed{T_{(m, n)} (M \times N) \cong T_m M \times T_n N.}
|
||||
\]
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||||
dove $\iota^M$ è l'immersione di $M$ in $M \times N$ che fissa $n$ nella seconda componente,
|
||||
e $\iota^N$ è l'immersione di $N$ che fissa $m$ nella prima.
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\end{proposition}
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\end{remark}
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\subsection{Differenziale per mappe lisce tra varietà}
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@@ -466,7 +478,8 @@
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Sia $x \in f\inv(y)$. Allora $x$ è per ipotesi un punto regolare, e quindi
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Sia $k$ tale per cui $M \subseteq \RR^k$, e sia $x \in f\inv(y)$.
|
||||
Allora $x$ è per ipotesi un punto regolare, e quindi
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||||
$\dif f_x : T_x M \to T_y N$ è una mappa surgettiva, con:
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\[
|
||||
\dim \ker(\dif f_x) = m - n.
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||||
@@ -474,7 +487,7 @@
|
||||
Sia $L : \RR^k \to \RR^{m-n}$ una mappa lineare, dove $T_x M \subseteq \RR^k$
|
||||
e $\restr{L}{T_x M}$ è isomorfismo. \smallskip
|
||||
|
||||
Consideriamo la mappa $F : M \to N \times \RR^{m-n}$ tale per cui:
|
||||
Consideriamo la mappa $F : M \subseteq \RR^k \to N \times \RR^{m-n}$ tale per cui:
|
||||
\[
|
||||
F(m) = (f(m), L(m)).
|
||||
\]
|
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@@ -510,7 +523,7 @@
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per cui $f \circ \iota$ è costante. Tuttavia una mappa costante
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ha differenziale nullo, e dunque:
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\[
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\dif f_x \circ \iota_{T_x P} = 0 \implies T_x P \subseteq \ker(\dif f_x).
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\dif f_x \circ \underbrace{\iota_{T_x P}}_{= \dif \iota^P_x} = 0 \implies T_x P \subseteq \ker(\dif f_x).
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\]
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||||
Poiché $\dim T_x P = m - n = \ker(\dif f_x)$, si ottiene
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l'uguaglianza $T_x P = \ker(\dif f_x)$. \smallskip
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@@ -527,7 +540,7 @@
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\begin{proof}
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Presa $f : \RR^{n+1} \to \RR$ tale per cui:
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\[
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f(x) \defeq x_1^2 + \ldots + x_{n+1}^2,
|
||||
f(x) \defeq x \cdot x = x_1^2 + \ldots + x_{n+1}^2,
|
||||
\]
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||||
si ha $S^n = f\inv(1)$. Osserviamo che:
|
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\[
|
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@@ -549,17 +562,18 @@
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Presa $f : M(n) \cong \RR^{n^2} \to S(n) \cong \RR^{\frac{n(n+1)}{2}}$ tale per cui:
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\[ f(A) = AA^\top, \]
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si ha $O(n) = f\inv(I)$. Osserviamo che:
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||||
\[ df_A : M(n) \to S(n), \quad df_A(B) = AB^\top + B A^\top. \]
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||||
Mostriamo che $df_A$ è surgettiva per $A \in f\inv(I) = O(n)$.
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||||
Se $AB^\top + BA^\top = C \in S(n)$, $C$ si può spezzare
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nella sua parte simmetrica:
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||||
\[ \dif f_A : M(n) \to S(n), \quad \dif f_A(B) = AB^\top + B A^\top. \]
|
||||
Mostriamo che $\dif f_A$ è surgettiva per $A \in f\inv(I) = O(n)$. \smallskip
|
||||
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Sia $C \in S(n)$ simmetrica. Allora $C$ è uguale
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alla sua parte simmetrica:
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\[
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C = \frac{1}{2} C + \frac{1}{2} C^\top,
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||||
\]
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e quindi, ponendo $\frac{1}{2} C = BA^\top$, si ottiene come
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soluzione:
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e quindi, ponendo $\frac{1}{2} C = AB^\top$, si ottiene la seguente
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soluzione a $AB^\top + BA^\top = C$:
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\[
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B = \frac{1}{2} CA.
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B = \frac{1}{2} C^TA.
|
||||
\]
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Dunque $I$ è un valore regolare, e $O(n)$ è una varietà
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di dimensione $n^2 - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$.
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@@ -588,6 +602,14 @@
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si indica con $\partial M$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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La definizione data è coerente con la definizione di varietà senza bordo: una
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varietà senza bordo $M$ è esattamente una varietà con bordo $M$ tale per cui
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$\partial M = \emptyset$. \smallskip
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Utilizzeremo dunque indistintamente le due caratterizzazioni.
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\end{remark}
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\subsection{Differenziale e spazio tangente su varietà con bordo}
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\begin{remark}[Il differenziale sul bordo di $H^n$ è ben definito]
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@@ -843,7 +865,7 @@
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...
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\end{proof}
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\subsection{Grado modulo $2$ e buona definizione}
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\subsection{Grado modulo \texorpdfstring{$2$}{2} e buona definizione}
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\begin{theorem}
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Siano $M$ e $N$ varietà della stessa dimensione. Sia $M$ compatta
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