In particolare $m \cdot(a_1, \ldots, a_p)$ restituisce una $p$-upla ottenuta
``ciclando a sinistra'' la $p$-upla iniziale di $m$ posizioni. Si consideri la
somma data dal teorema orbita-stabilizzatore:
\[\abs{S}=\sum_{x \in S}\frac{p}{\abs{\Stab(x)}}=1+\sum_{x \in S \setminus\{(e,\ldots,e)\}}\frac{p}{\abs{\Stab(x)}}. \]
\[\abs{S}=\sum_{x \in S}\frac{p}{\abs{\Stab(x)}}=1+ N +\sum_{x \in S \setminus(\{(e,\ldots,e)\}\cup H)}\frac{p}{\abs{\Stab(x)}}, \]
dove $H$ è l'insieme degli elementi $h \neq e$ tali per cui $h^p = e$ (ossia
le $p$-uple con coordinate identiche tra loro) e $N =\abs H$.
Poiché $\Stab(x)\leq\ZZ\quot p\ZZ$, gli unici ordini di $\Stab(x)$ possono
essere $1$ e $p$. Se tuttavia, per $x \in S \setminus\{(e,\ldots,e)\}$,
essere $1$ e $p$. Se tuttavia, per $x \in S \setminus(\{(e,\ldots,e)\}\cup H)$,
valesse $\Stab(x)=\ZZ\quot p\ZZ$, $x$ avrebbe coordinate tutte uguali,
e quindi, per ipotesi, $x =(e,\ldots,e)$, \Lightning. Quindi il secondo
termine del secondo membro vale esattamente $pk$, dove $k =\abs{S \setminus\{(e,\ldots,e)\}}$. \medskip
e quindi, per ipotesi, $x$ apparterrebbe ad $H$ o sarebbe l'identità, \Lightning. Quindi la somma del secondo membro vale esattamente $pk$, dove $k =\abs{S \setminus(\{(e,\ldots,e)\}\cup H)}$. \medskip
Si osserva adesso che $\abs S = n^{p-1}$, dove $n =\abs G$. Infatti è sufficiente
determinare le prime $p-1$ coordinate, per le quali vi sono $n$ scelte, per determinare
anche l'ultima coordinata tramite la relazione $a_1\cdots a_n = e$. Prendendo
allora la precedente identità modulo $p$, si ottiene:
\[1\equiv0\pod p, \]
da cui l'assurdo ricercato, \Lightning.
allora la precedente identità modulo $p$, si ottiene che\footnote{
Questa dimostrazione fornisce quindi anche un risultato sul numero di elementi
con ordine primo in $G$, ossia esso è congruo a $-1$ in modulo $p$.
}:
\[ N \equiv-1\pod p, \]
e quindi in particolare esiste almeno un elemento di ordine $p$ diverso dall'identità.
