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@ -1073,6 +1073,10 @@
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\item $H(-, 0) = f$,
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\item $H(-, 1) = g$.
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\end{itemize}
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Definiamo inoltre:
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\[
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\boxed{H_t \defeq H(-, t).}
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\]
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Due funzioni $f$ e $g$ per le quali esiste un'omotopia
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da $f$ a $g$ si dicono \textbf{$C^\infty$-omotope}.
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@ -1083,7 +1087,7 @@
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relazione di equivalenza per le funzioni lisce da $M$ a $N$.
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\end{remark}
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\begin{lemma}[di omotopia]
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\begin{lemma}[di omotopia] \label{lem:omotopia}
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Siano $f$ e $g$ due funzioni $C^\infty$-omotope da una varietà $M$ in una $N$,
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con $M$ compatta e $\dim M = \dim N$. Se
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$y \in N$ è un valore regolare sia per $f$ che per $g$, allora:
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@ -1143,14 +1147,62 @@
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\begin{lemma} \label{lem:classi_equivalenza_aperte}
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Le classi di equivalenza della relazione ``essere isotopi'' sui
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punti di una varietà sono aperti della varietà.
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punti di una varietà (senza bordo) $M$ sono aperti della varietà.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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...
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Sia $x$ un punto di $M$. Supponiamo $M$ sia una $(n+1)$-varietà.
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Usando le carte locali, eventualmente riparametrizzate
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per avere come immagine una palla di centro $0$, è sufficiente mostrare
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che per ogni $r$, esiste $0 < r_0 \leq r$ tale per cui
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tutti i punti di $B_{r_0}(0) \subseteq B_r(0) \subseteq \RR^{n+1}$ sono isotopi a $0$. \smallskip
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Possiamo ridurre il problema ulteriormente concentrandoci sui punti
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della forma $z = (a, 0, \ldots, 0)$ con $a < r_0$, dal momento che una rotazione
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permette poi di rendere isotopi tutti gli altri punti di $\partial B_a(0)$. Se
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infatti $H$ è un isotopia a supporto compatto che porta $z$ in $0$, allora:
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\[ H'(-, t) \defeq R_\theta\inv \circ H(-, t) \circ R_\theta \]
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è l'isotopia cercata, dove $R_\theta$ è l'opportuna rotazione scelta. \smallskip
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Siano $\rho : \RR \to [0, 1]$ e $\sigma : \RR^n \to [0, 1]$ due funzioni di test
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(\textit{bump function}) lisce con $\rho(0) = \sigma(0) = 1$ e:
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\[ \abs{x} > 1 \implies \rho(x) = 0, \quad \norm{y} > 1 \implies \sigma(y) = 0. \]
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Osserviamo che:
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\[
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\abs{x} > \eps \implies \rho\left(\frac{x}{\eps}\right) = 0, \quad \norm{y} > \delta \implies \sigma\left(\frac{y}{\delta}\right) = 0.
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\]
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Scelti allora $\eps$ e $\delta$ di modo che $\eps^2 + \delta^2 < r_0^2$, definiamo allora l'omotopia $C^\infty$ $H$ tale per cui:
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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H : \overbrace{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n}^{\mathclap{\mathbb{R}^{n+1}}} \times [0, 1] & \to \overbrace{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n}^{\mathclap{\mathbb{R}^{n+1}}}, \\
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H(x, y, t) & = \left(x + a t \rho\left(\frac{x}{\varepsilon}\right) \sigma\left(\frac{y}{\delta}\right), y\right).
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\end{aligned}
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\end{equation*}
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Osserviamo subito che $H_0 = \id_N$, $H_1(0) = z$ e che $H_t$ fissa tutto ciò che è fuori
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da $B_{r_0}(0)$. Mostriamo che per $r_0$ sufficientemente piccolo $H_t$ è un diffeomorfismo. \smallskip
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Lo jacobiano di $H_t$ è il seguente:
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\[
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J H_t = \begin{pmatrix}
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1 + \frac{a t}{\varepsilon} \sigma\left(\frac{y}{\delta}\right) \rho'\left(\frac{x}{\varepsilon}\right) & \vline & * \\[0.06in]
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\hline
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0 & \vline & I_n
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\end{pmatrix}.
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\]
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Si verifica facilmente che si può scegliere $r_0$, e successivamente $\eps$ e $\delta$ in modo tale che:
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\[
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\abs{\frac{a t}{\varepsilon} \sigma\left(\frac{y}{\delta}\right) \rho'\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)} < 1, \quad \forall a, x, y,
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\]
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e conseguentemente $\det(J H_t) > 0$, da cui si deduce che $H_t$ è un diffeomorfismo locale. Analogamente, $H_t$ è
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bigettiva sulle rette $\{y = \text{cost.}\}$ dal momento che la derivata sulle rette è strettamente
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positiva. Dunque $H_t$ è bigettiva e diffeomorfismo locale, e quindi è diffeomorfismo. \smallskip
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Si conclude che $H$ è l'isotopia cercata, e quindi ogni classe di isotopia è aperta.
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\end{proof}
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\begin{lemma}[di omogeneità]
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\begin{lemma}[di omogeneità] \label{lem:omogeneità}
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Sia $N$ una varietà connessa e siano $y$, $z$ due suoi punti. Allora
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$y$ e $z$ sono isotopi.
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\end{lemma}
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@ -1164,14 +1216,29 @@
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\subsection{Grado modulo \texorpdfstring{$2$}{2} e buona definizione}
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\begin{theorem}
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Siano $M$ e $N$ varietà della stessa dimensione. Sia $M$ compatta
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e $N$ connessa. Siano $y$ e $z$ due valori regolari di una
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Siano $M$ e $N$ varietà della stessa dimensione. Sia $M$ chiusa (ovverosia
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anche compatta) e $N$ connessa. Siano $y$ e $z$ due valori regolari di una
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funzione $f : M \to N$ liscia. Allora:
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\[ \abs{f\inv(y)} \equiv \abs{f\inv(z)} \pmod{2}. \]
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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...
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Poiché $N$ è connessa, per il Lemma \ref{lem:omogeneità} esiste un diffeomorfismo
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$h : N \to N$ con $h(y) = z$ e un'isotopia a supporto compatto
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$H : N \times [0, 1] \to N$ da $\id_N$ a $h$.
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\[\begin{tikzcd}
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{M \times [0, 1]} && {N \times [0, 1]} && N
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\arrow["{f \times \id_{[0, 1]}}", from=1-1, to=1-3]
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\arrow["H", from=1-3, to=1-5]
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\end{tikzcd}\]
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Poiché $y$ è regolare per $f$ e $h$ è diffeomorfismo, si deduce che
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$z$ è regolare per $h \circ f$. Consideriamo l'omotopia
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$H' = H \circ (f \times \id_{[0,1]})$. Osserviamo che
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$H'_0 = f$ e che $H'_1 = h \circ f$.
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Quindi, per il Lemma \ref{lem:omotopia}, si conclude che:
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\[
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\abs{f\inv(z)} \equiv \abs{(h \circ f)\inv(z)} \equiv \abs{f\inv(y)} \pmod{2}.
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\]
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\end{proof}
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\begin{definition}[Grado modulo $2$ di una funzione liscia]
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@ -1185,7 +1252,8 @@
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\end{definition}
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\begin{theorem} \label{thm:fondamentale_grado_2}
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Siano $M$ e $N$ varietà della stessa dimensione. Sia $M$ compatta
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Siano $M$ e $N$ varietà della stessa dimensione. Sia $M$ chiusa (ovverosia
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anche compatta)
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e $N$ connessa. Se $f$ e $g$ sono due mappe lisce $C^\infty$-omotope da $M$ in $N$,
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allora:
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\[
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@ -1193,13 +1261,28 @@
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\]
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Dall'Osservazione \ref{rmk:punti_regolari_formano_aperto} sappiamo che
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i punti regolari di $f$ formano un aperto di $M$; dunque i punti critici
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formano un chiuso di $M$. Dacché $M$ è compatta, in particolare i punti
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critici formano un compatto di $M$. Tramite $f$, si deduce che i valori
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critici formano un compatto di $N$, che, essendo $N$ T2, è dunque
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chiuso in $N$. \smallskip
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Allora i valori regolari di $f$ formano un aperto in $N$: per il Teorema
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di Brown (per varietà, Corollario \ref{cor:brown}) esiste in questo
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aperto anche un valore regolare di $g$. Per il Lemma \ref{lem:omotopia},
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allora $f$ e $g$ condividono lo stesso grado modulo $2$.
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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La mappa costante $c_{x_0} : S^n \to S^n$ \underline{non} è
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$C^\infty$-omotopa a $\id_{S^n}$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Poiché $c_{x_0}$ non è surgettiva, $\deg_2 c_{x_0} = 0$; mentre
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Poiché $c_{x_0}$ non è surgettiva, $\deg_2 c_{x_0} = 0$ (ogni punto diverso da $x_0$ è
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valore regolare con controimmagine vuota); mentre
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$\deg_2 \id_{S^n} = 1$. Quindi per il Teorema \ref{thm:fondamentale_grado_2}
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le due mappe non possono essere $C^\infty$-omotope.
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\end{proof}
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