diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.pdf b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.pdf index 3601e2d..3f6ba06 100644 Binary files a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.pdf and b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex index 90b98ad..b9734b6 100644 --- a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex +++ b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex @@ -86,9 +86,9 @@ \end{theorem} \begin{proof} - Si dimostra il teorema per induzione su $n := \dim V$. Per $n \leq 1$, la tesi è triviale (ogni base è - già una base ortogonale). Sia - allora il teorema vero per $i \leq n$. Se $V$ ammette un vettore non isotropo $\vec w$, sia $W = \Span(\vec w)$, e si consideri la decomposizione $V = W \oplus W^\perp$. Poiché $W^\perp$ ha dimensione $n-1$, per ipotesi induttiva + Si dimostra il teorema per induzione su $n := \dim V$. Per $n \leq 1$, la tesi è triviale (se esiste una base, tale base è + già ortogonale). Sia + allora il teorema vero per $i \leq n$. Se $V$ ammette un vettore non isotropo $\vec w$, sia $W = \Span(\vec w)$ e si consideri la decomposizione $V = W \oplus W^\perp$. Poiché $W^\perp$ ha dimensione $n-1$, per ipotesi induttiva ammette una base ortogonale. Inoltre, tale base è anche ortogonale a $W$, e quindi l'aggiunta di $\vec w$ a questa base ne fa una base ortogonale di $V$. Se invece $V$ non ammette vettori non isotropi, ogni forma quadratica è nulla, e quindi il prodotto scalare è nullo per la proposizione precedente. Allora in questo caso @@ -121,27 +121,30 @@ in essi sia diversa da zero. \end{proof} - \begin{remark} - Si possono effettuare alcune considerazioni sul teorema di Sylvester - complesso. \\ - + \begin{remark}\nl \li Si può immediatamente concludere che il rango è un invariante - completo per la congruenza in un campo in cui tutti gli elementi + completo per la congruenza in un campo $\KK$ in cui tutti gli elementi sono quadrati, ossia che $A \cong B \iff \rg(A) = \rg(B)$, se $A$ e - $B$ sono matrici simmetriche: infatti - ogni matrice simmetrica rappresenta una prodotto scalare, ed è + $B$ sono matrici simmetriche con elementi in $\KK$. \\ + + Ogni matrice simmetrica rappresenta infatti un prodotto scalare, ed è pertanto congruente ad una matrice della forma desiderata nell'enunciato del teorema di Sylvester complesso. Poiché il rango è un invariante della congruenza, si ricava che $r$ nella forma della matrice di Sylvester, rappresentando il rango, è anche - il rango di ogni sua matrice congruente. In particolare, se due + il rango di ogni sua matrice congruente. \\ + + In particolare, se due matrici simmetriche hanno lo stesso rango, allora sono congruenti alla stessa matrice di Sylvester, e quindi, essendo la congruenza una relazione di equivalenza, sono congruenti a loro volta tra di loro. \\ - \li Due matrici simmetriche con stesso rango, allora, non solo + + \li Due matrici simmetriche in $\KK$ con stesso rango, allora, non solo sono SD-equivalenti, ma sono anche congruenti. \\ + \li Ogni base ortogonale deve quindi avere lo stesso numero - di elementi nulli. + di vettori isotropi, dal momento che tale numero rappresenta + la dimensione del radicale $V^\perp$. \end{remark} \begin{definition}[somma diretta ortogonale] @@ -231,19 +234,19 @@ \end{enumerate} \end{solution} - \begin{definition} + \begin{definition} [indici e segnatura] Data una base ortogonale $\basis$ di $V$ rispetto al prodotto scalare $\varphi$, si definiscono i seguenti indici: - \begin{align*} \iota_+(\varphi) &= \max\{ \dim W \mid W \subseteq V \E \restr{\varphi}{W} > 0 \}, &\text{(}\textbf{indice di positività}\text{)} \\ \iota_-(\varphi) &= \max\{ \dim W \mid W \subseteq V \E \restr{\varphi}{W} < 0 \}, &\text{(}\textbf{indice di negatività}\text{)}\\ \iota_0(\varphi) &= \dim V^\perp. &\text{(}\textbf{indice di nullità}\text{)} \end{align*} - Quando il prodotto scalare $\varphi$ è noto dal contesto, si omette - e si scrive solo $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$. In particolare, + Quando il prodotto scalare $\varphi$ è noto dal contesto, si + semplifica la notazione + scrivendo solo $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$. In particolare, la terna $\sigma(\varphi) = \sigma = (i_+, i_-, i_0)$ è detta \textbf{segnatura} del prodotto $\varphi$. \end{definition} @@ -272,7 +275,8 @@ la cui matrice associata del prodotto scalare è come desiderata nella tesi. \\ - Sia ora $a$ il numero di vettori della base con forma quadratica + Sia ora $\basis$ una qualsiasi base ortogonale di $V$. + Siano inoltre $a$ il numero di vettori della base con forma quadratica positiva, $b$ il numero di vettori con forma negativa e $c$ quello dei vettori con forma nulla. Si consideri $W_+ = \Span(\vv 1, ..., \vv a)$, $W_- = \Span(\vv{a+1}, ..., \vv b)$, $W_0 = \Span(\vv{b+1}, ..., \vv c)$. \\ @@ -294,34 +298,42 @@ \begin{definition} Si dice \textbf{base di Sylvester} una base di $V$ tale per cui la matrice associata di $\varphi$ sia esattamente nella forma - vista nella dimostrazione del teorema di Sylvester. Analogamente + vista nell'enunciato del teorema di Sylvester. Analogamente si definisce tale matrice come \textbf{matrice di Sylvester}. \end{definition} \begin{remark} \nl - \li Si può dunque definire la segnatura di una matrice simmetrica - come la segnatura di una qualsiasi sua base ortogonale, dal - momento che tale segnatura è invariante per cambiamento di base. \\ - \li La segnatura è un invariante completo per la congruenza nel caso reale. Se infatti due matrici hanno la stessa segnatura, sono - entrambe congruenti alla matrice come vista nella dimostrazione - della forma reale del teorema di Sylvester, e quindi, essendo + \li Come conseguenza del teorema di Sylvester reale, si osserva che la segnatura di una matrice simmetrica reale + è invariante per cambiamento di base, se la base è ortogonale. \\ + + \li La segnatura è un invariante completo per la congruenza nel caso reale. Se infatti due matrici hanno la stessa segnatura, queste sono + entrambe congruenti alla stessa matrice di Sylvester, e quindi, essendo la congruenza una relazione di equivalenza, sono congruenti tra loro. Analogamente vale il viceversa, dal momento che ogni - base ortogonale di due matrici congruenti devono contenere gli + base ortogonale di due matrici congruenti deve contenere gli stessi numeri $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$ di vettori di base con forma quadratica positiva, negativa e nulla. \\ + \li Se $\ww 1$, ..., $\ww k$ sono tutti i vettori di una base - ortogonale $\basis$ con forma quadratica nulla, si osserva che $W = \Span(\ww 1, ..., \ww k)$ altro non è che $V^\perp$ stesso. Infatti, come + ortogonale $\basis$ con forma quadratica nulla, si osserva che $W = \Span(\ww 1, ..., \ww k)$ altro non è che $V^\perp$ stesso. \\ + + Infatti, come visto anche nella dimostrazione del teorema di Sylvester reale, vale - che $\dim W = \dim \Ker (M_\basis(\varphi)) = \dim V^\perp$. Inoltre, - se $\w \in W$ e $\v \in V$, $\varphi(\w, \v) = \varphi(\sum_{i=1}^k + che $\dim W = \dim \Ker (M_\basis(\varphi)) = \dim V^\perp$. + Sia allora la base $\basis = \{\ww 1, \ldots, \ww k, \vv{k+1}, \ldots, \vv n\}$ un'estensione di $\{\ww 1, \ldots, \ww k\}$. Se $\w \in W$ e $\v \in V$, $\varphi(\w, \v) = \varphi(\sum_{i=1}^k \alpha_i \ww i, \sum_{i=1}^k \beta_i \ww i + \sum_{i=k+1}^n \beta_i \vv i) - = \sum_{i=1}^k \alpha_i \beta_i q(\ww i) = 0$, e quindi - $W \subseteq V^\perp$, da cui si conclude che $W = V^\perp$. \\ - \li Vale in particolare che $\rg(\varphi) = \iota_+ + \iota_-$, mentre - $\dim \Ker(\varphi) = \iota_0$, e quindi $n = \iota_+ + \iota_- + \iota_0$. \\ - \li Se $V = U \oplusperp W$, allora $\iota_+(\varphi) = \iota_+(\restr{\varphi}{V}) + \iota_+(\restr{\varphi}{W})$, e - analogamente per gli altri indici. + = \sum_{i=1}^k \alpha_i \beta_i q(\ww i) = 0$ (dove $\alpha_i$ e $\beta_i \in \KK$ rappresentano la $i$-esima coordinata di $\w$ e $\v$ nella base $\basis$), e quindi + $W \subseteq V^\perp$. Si conclude allora, tramite l'uguaglianza + dimensionale, che $W = V^\perp$. \\ + + \li Poiché $\dim \Ker(\varphi) = \iota_0$, vale in particolare che $\rg(\varphi) = n - \iota_0 = \iota_+ + \iota_-$ (infatti vale che $n = \iota_+ + \iota_- + \iota_0$, dal momento che $n$ rappresenta il numero di elementi di una base ortogonale). \\ + + \li Se $V = U \oplusperp W$, allora $\iota_+(\varphi) = \iota_+(\restr{\varphi}{V}) + \iota_+(\restr{\varphi}{W})$. + Analogamente vale la stessa cosa per gli altri indici. Infatti, + prese due basi ortogonali $\basis_U$, $\basis_W$ di $U$ e $W$, + la loro unione $\basis$ è una base ortogonale di $V$. Pertanto + il numero di vettori della base $\basis$ con forma quadratica positiva + è esattamente $\iota_+(\restr{\varphi}{V}) + \iota_+(\restr{\varphi}{W})$. \end{remark} \begin{definition}[isometria tra due spazi vettoriali] diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.pdf b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.pdf index fa19662..96fde56 100644 Binary files a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.pdf and b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex index da16b23..6031436 100644 --- a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex +++ b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex @@ -300,7 +300,7 @@ \begin{definition} [applicazione affine] Si definisce \textbf{applicazione affine} da $E$ a $E'$ un'applicazione $\varphi : E \to E'$ che conservi le combinazioni affini, ossia tale che: - \[ \varphi\left( \sum_{i=1}^k \lambda_i P_i \right) = \sum_{i=1}^k \lambda_i \varphi(P_i), \quad \se \sum_{i=1}^k \lambda_i = 0. \] + \[ \varphi\left( \sum_{i=1}^k \lambda_i P_i \right) = \sum_{i=1}^k \lambda_i \, \varphi(P_i), \quad \se \sum_{i=1}^k \lambda_i = 0. \] \end{definition} \begin{remark}\nl