diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..b775d26 Binary files /dev/null and b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.pdf differ diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.tex new file mode 100644 index 0000000..81839f5 --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.tex @@ -0,0 +1,212 @@ +\documentclass[10pt,landscape]{article} +\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm,amsfonts} +\usepackage{multicol,multirow} +\usepackage{marvosym} +\usepackage{calc} +\usepackage{ifthen} +\usepackage[landscape]{geometry} +\usepackage[colorlinks=true,citecolor=blue,linkcolor=blue]{hyperref} +\usepackage{notes_2023} + +\setlength{\extrarowheight}{0pt} + +\ifthenelse{\lengthtest { \paperwidth = 11in}} +{ \geometry{top=.5in,left=.5in,right=.5in,bottom=.5in} } +{\ifthenelse{ \lengthtest{ \paperwidth = 297mm}} + {\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} } + {\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} } +} +%\pagestyle{empty} +\makeatletter +\renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0mm}% + {-1ex plus -.5ex minus -.2ex}% + {0.5ex plus .2ex}%x + {\normalfont\large\bfseries}} +\renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{2}{0mm}% + {-1explus -.5ex minus -.2ex}% + {0.5ex plus .2ex}% + {\normalfont\normalsize\bfseries}} +\renewcommand{\subsubsection}{\@startsection{subsubsection}{3}{0mm}% + {-1ex plus -.5ex minus -.2ex}% + {1ex plus .2ex}% + {\normalfont\small\bfseries}} +\makeatother +\setcounter{secnumdepth}{0} +\setlength{\parindent}{0pt} +\setlength{\parskip}{0pt plus 0.5ex} +% ----------------------------------------------------------------------- + +\title{Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois} + +\begin{document} + + \parskip=0.7ex + + \raggedright + \footnotesize + + \begin{center} + \Large{\textbf{Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}} \\ + \end{center} + \begin{multicols}{3} + \setlength{\premulticols}{1pt} + \setlength{\postmulticols}{1pt} + \setlength{\multicolsep}{1pt} + \setlength{\columnsep}{2pt} + + \section{Definizioni e prerequisiti} + + Si dice \textbf{campo} un anello commutativo non banale + $K$ che è + contemporaneamente anche un corpo. Si dice + \textbf{omomorfismo di campo} tra due campi $K$ ed $L$ + un omomorfismo di anelli. Dal momento che un omomorfismo + $\varphi$ è tale per cui $\Ker \varphi$ è un ideale + di $K$ con $1 \notin \Ker \varphi$, deve per forza + valere $\Ker \varphi = \{0\}$, e quindi ogni omomorfismo + di campi è un'immersione. \medskip + + + Dato l'omomorfismo $\zeta : \ZZ \to K$ completamente + determinato dalla relazione $1 \xmapsto{\zeta} 1_K$, + si definisce \textbf{caratteristica di $K$}, detta + $\Char K$, il + generatore non negativo di $\Ker \zeta$. In particolare + $\Char K$ è $0$ o un numero primo. Se $\Char K$ è zero, + $\zeta$ è un'immersione, e quindi $K$ è un campo infinito, + e in particolare vi si immerge anche $\QQ$. \medskip + + + Tuttavia non è detto che $\Char K = p$ implichi che $K$ è + finito. In particolare $\ZZ_p(x)$, il campo delle funzioni + razionali a coefficienti in $\ZZ_p$, è un campo infinito + a caratteristica $p$. Se $\Char K = p$, per il Primo + teorema di isomorfismo per anelli, $\ZZmod{p}$ si immerge + su $K$ tramite la proiezione di $\zeta$; pertanto + $K$ contiene una copia isomorfa di $\ZZmod{p}$. Per + campi di caratteristica $p$, vale il Teorema del + binomio ingenuo, ossia: + \[ (a + b)^p = a^p + b^p, \] + estendibile anche a più addendi. + In particolare, per un campo $K$ di caratteristica $p$, + la $\Frob : K \to K$ tale per cui $a \xmapsto{\Frob} a^p$ + è un omomorfismo di campi, ed in particolare è un'immersione + di $K$ in $K$. Se $K$ è un campo finito, $\Frob$ è dunque + un isomorfismo. + + + Per ogni $p$ primo e $n \in \NN^+$ esiste un campo finito + di ordine $p^n$. In particolare, tutti i campi finiti di + ordine $p^n$ sono isomorfi tra loro, possono essere visti + come spazi vettoriali di dimensione $n$ sull'immersione di $\ZZmod{p}$ che contengono, + e come campi di spezzamento di $x^{p^n}-x$ + su tale immersione. Poiché tali campi sono isomorfi, + si indicano con $\FF_p$ e $\FF_{p^n}$ le strutture + algebriche di tali campi. In particolare con + $\FF_{p^n} \subseteq \FF_{p^m}$ si intende che + esiste un'immersione di un campo con $p^n$ elementi in + uno con $p^m$ elementi, e analogamente si farà con + altre relazioni (come l'estensione di campi) + tenendo bene in mente di star + considerando tutti i campi di tale ordine. \medskip + + + Vale la relazione $\FF_{p^n} \subseteq \FF_{q^m}$ + se e solo se $p=q$ e $n \mid m$. Conseguentemente, + l'estensione minimale per inclusione comune a + $\FF_{p^{n_1}}$, ..., $\FF_{p^{n_i}}$ è + $\FF_{p^m}$ dove $m := \mcm(n_1, \ldots, n_i)$. Pertanto + se $p \in \FF_{p^n}[x]$ si decompone in fattori irriducibili + di grado $n_1$, \ldots, $n_i$, il suo campo di spezzamento + è $\FF_{p^m}$. Inoltre, $x^{p^n}-x$ è in $\FF_p$ il + prodotto di tutti gli irriducibili di grado divisore + di $n$. + + + Per il Teorema di Lagrange sui campi, ogni polinomio + di $K[x]$ ammette al più tante radici quante il suo grado. + Come conseguenza pratica di questo teorema, ogni sottogruppo + moltiplicativo finito di $K$ è ciclico. Pertanto + $\FF_{p^n}^* = \gen{\alpha}$ per $\alpha \in \FF_{p^n}$, + e quindi $\FF_{p^n} = \FF_p(\alpha)$, ossia + $\FF_{p^n}$ è sempre un'estensione semplice su $\FF_p$. Si dice + \textbf{campo di spezzamento} di una famiglia $\mathcal{F}$ + di polinomi di $K[x]$ un sovracampo minimale per + inclusione di $K$ che fa sì che ogni polinomio di $\mathcal{F}$ si decomponga in fattori lineari. I campi + di spezzamento di $\mathcal{F}$ sono sempre + $K$-isomorfi tra loro. Per il criterio della derivata, + $p \in K[x]$ ammette radici multiple se e solo se + $\MCD(p, p')$ non è invertibile, dove $p'$ è la derivata + formale di $p$. \medskip + + + Se $p$ è irriducibile in $K[x]$, $(p)$ è un ideale + massimale, e $\faktor{K[x]}{(p)}$ è un campo che + ne contiene una radice, ossia $[x]$. In + particolare $K$ si immerge in $\faktor{K[x]}{(p)}$, + e quindi tale campo può essere identificato come + un'estensione di $K$ che aggiunge una radice di $p$. + Se $K$ è finito, detta $\alpha$ la radice aggiunta + all'estensione, $L := \faktor{K[x]}{(p)} \cong K(\alpha)$ contiene + tutte le radici di $p$ (ed è dunque il suo campo + di spezzamento). Infatti detto $[L : \FF_p] = n$, + $[x]$ annulla $x^{p^n}-x$ per il Teorema di Lagrange + sui gruppi, e quindi $p$ deve dividere $x^{p^n}-x$; + in tal modo $p$ deve spezzarsi in fattori lineari, + e quindi ogni radice deve già appartenere ad $L$. + In particolare, ogni estensione finita e semplice + di un campo finito è normale, e quindi di Galois. \medskip + + + Si dice che $L$ è un'estensione di $K$, e si indica + con $\faktor{L}{K}$, se $L$ è un sovracampo di $K$, + ossia se $K \subseteq L$. Si indica con $[L : K] = \dim_K L$ la + dimensione di $L$ come $K$-spazio vettoriale. Si + dice che $L$ è un'estensione finita di $K$ se $[L : K]$ + è finito, e infinita altrimenti. Un'estensione finita + di un campo finito è ancora un campo finito. Un'estensione + è finita se e solo se è finitamente generata da elementi algebrici. Una $K$-immersione è un omomorfismo di campi + iniettivo da un'estensione di $K$ in un altro campo che + agisce come l'identità su $K$. Un $K$-isomorfismo è + una $K$-immersione che è isomorfismo. \medskip + + + Dato $\alpha$, si definisce $K(\alpha)$ il più piccolo + sovracampo di $K$ che contiene $\alpha$. Si definisce l'\textbf{omomorfismo di + valutazione} $\varphi_{\alpha, K} : K[x] \to K[\alpha]$, detto + $\varphi_\alpha$ se $K$ è noto, l'omomorfismo completamente + determinato dalla relazione $p \xmapsto{\varphi_\alpha} p(\alpha)$. Si verifica che $\varphi_\alpha$ è + surgettivo. Se $\varphi_\alpha$ è iniettivo, + si dice che $\alpha$ è \textbf{trascendentale} su $K$ e + $K[x] \cong K[\alpha]$, da cui $[K[\alpha] : K] = + [K[x] : K] = \infty$. Se invece $\varphi_\alpha$ non + è iniettivo, si dice che $\alpha$ è \textbf{algebrico} + su $K$. Si definisce $\mu_\alpha$, detto il \textbf{polinomio + minimo} di $\alpha$ su $K$, il generatore monico + di $\Ker \varphi_\alpha$. Si definisce + $\deg_K \alpha := \deg \mu_\alpha$. Se $\alpha$ è + algebrico su $K$, $\faktor{K[x]}{(\mu_\alpha)} \cong + K[\alpha]$, e quindi $K[\alpha]$ è un campo. Dacché + $K[\alpha] \subseteq K(\alpha)$, vale allora + $K[\alpha] = K(\alpha)$. Inoltre, poiché $\dim_K \faktor{K[x]}{(\mu_\alpha)} = \deg_K \alpha$, vale + anche che $[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$. + Infine, si verifica che $\alpha$ è algebrico se e solo se + $[K(\alpha) : K]$ è finito. \medskip + + + Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione semplice} di + $K$ se $\exists \alpha \in L$ tale per cui $L = K(\alpha)$. + In tal caso si dice che $\alpha$ è un \textbf{elemento primitivo} di $K$. Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione + algebrica} di $K$ se ogni suo elemento è algebrico su $K$. + Ogni estensione finita è algebrica. Non tutte le + estensioni algebriche sono finite (e.g.~ + $\overline{\QQ}$ su $\QQ$). + \vfill + \hrule + ~\\ + Ad opera di Gabriel Antonio Videtta, \url{https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/}. + ~\\Reperibile su + \url{https://notes.hearot.it}, nella sezione \textit{Secondo anno $\to$ Algebra 1 $\to$ 3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois $\to$ Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}. + \end{multicols} + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/tex/latex/style/notes_2023.sty b/tex/latex/style/notes_2023.sty index 0175f56..49ed6e2 100644 --- a/tex/latex/style/notes_2023.sty +++ b/tex/latex/style/notes_2023.sty @@ -225,6 +225,8 @@ % Spesso utilizzati durante il corso di Algebra 1 +\newcommand{\Frob}{\mathcal{F}} + \newcommand{\mono}{\hookrightarrow} \newcommand{\pev}{\nu_p}