diff --git a/Corsi/Istituzioni di geometria/1. Varietà lisce.pdf b/Corsi/Istituzioni di geometria/1. Varietà lisce.pdf new file mode 100644 index 0000000..ae18c00 Binary files /dev/null and b/Corsi/Istituzioni di geometria/1. Varietà lisce.pdf differ diff --git a/Corsi/Istituzioni di geometria/1a. Paracompattezza e atlanti adeguati.pdf b/Corsi/Istituzioni di geometria/1a. Paracompattezza e atlanti adeguati.pdf new file mode 100644 index 0000000..ce69599 Binary files /dev/null and b/Corsi/Istituzioni di geometria/1a. Paracompattezza e atlanti adeguati.pdf differ diff --git a/Corsi/Istituzioni di geometria/1b. Forme normali locali di immersioni e sommersioni.pdf b/Corsi/Istituzioni di geometria/1b. Forme normali locali di immersioni e sommersioni.pdf new file mode 100644 index 0000000..f858313 Binary files /dev/null and b/Corsi/Istituzioni di geometria/1b. Forme normali locali di immersioni e sommersioni.pdf differ diff --git a/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/commands.tex b/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/commands.tex new file mode 100644 index 0000000..252b836 --- /dev/null +++ b/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/commands.tex @@ -0,0 +1,74 @@ +\newcommand{\eu}{\mathrm{e}} +\newcommand{\im}{\mathrm{i}} + +\newcommand{\degree}{\,^{\circ}} + +\newcommand{\transpose}[1]{{#1}^{\mathsf{T}}} + +\newcommand{\Int}{\int\limits_{-\infty}^{\infty}} + +\newcommand{\rint}[2]{\int{#1}\dd{#2}} + +\newcommand{\Rint}[4]{\int\limits_{#1}^{#2}{#3}\dd{#4}} + +\newcommand{\HH}{\mathbb{H}} +\DeclareMathOperator{\ot}{ot} +\DeclareMathOperator{\cof}{cof} +\DeclareMathOperator{\TC}{TC} +\newcommand{\ORD}{\text{ORD}} + +\makeatletter +\newcommand*\bigcdot{\mathpalette\bigcdot@{.5}} +\newcommand*\bigcdot@[2]{\mathbin{\vcenter{\hbox{\scalebox{#2}{$\m@th#1\bullet$}}}}} +\makeatother + +\newcommand{\Ham}{\hat{\mathcal{H}}} + +\renewcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}} + +\newcommand{\christoffelsecond}[4]{\dfrac{1}{2}g^{#3 #4}(\partial_{#1} g_{#2 #4} + \partial_{#2} g_{#1 #4} - \partial_{#4} g_{#1 #2})} + +\newcommand{\riemanncurvature}[5]{\partial_{#3} \Gamma_{#4 #2}^{#1} - \partial_{#4} \Gamma_{#3 #2}^{#1} + \Gamma_{#3 #5}^{#1} \Gamma_{#4 #2}^{#5} - \Gamma_{#4 #5}^{#1} \Gamma_{#3 #2}^{#5}} + +\newcommand{\covariantriemanncurvature}[5]{g_{#1 #5} R^{#5}{}_{#2 #3 #4}} + +\newcommand{\riccitensor}[5]{g_{#1 #5} R^{#5}{}_{#2 #3 #4}} + +\renewcommand{\emptyset}{\varnothing} + +\DeclareMathOperator{\dom}{dom} +\DeclareMathOperator{\imm}{imm} +\newcommand{\rel}{\mathcal{R}} +\newcommand{\FF}{\mathcal{F}} +\newcommand{\bigtimes}{\varprod} +\DeclareMathOperator{\Fun}{Fun} +\DeclareMathOperator{\id}{id} +\newcommand{\PP}{\mathbb{P}} + +\newcommand{\NN}{\mathbb{N}} +\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}} +\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}} +\newcommand{\RR}{\mathbb{R}} +\newcommand{\CC}{\mathbb{C}} +\newcommand{\UU}{\mathbb{V}} +\newcommand{\VV}{\mathbb{V}} + +\newcommand{\se}{\text{se }} +\newcommand{\altrimenti}{\text{altrimenti}} +\newcommand{\inv}{^{-1}} + +\newcommand{\AC}{$\mathsf{AC}$} +\newcommand{\PA}{$\mathsf{PA}$} +\newcommand{\cc}{\mathfrak{c}} +\DeclareMathOperator{\Fin}{Fin} +\newcommand{\PPFin}{\PP^{\mathsf{fin}}} +\DeclareMathOperator{\FSeq}{FSeq} +\DeclareMathOperator{\bige}{Big} +\DeclareMathOperator{\Sym}{\mathfrak{S}} + +\newcommand{\OO}{\mathfrak{O}} +\newcommand{\basis}{\mathcal{B}} + +\newcommand{\restr}[2]{ + #1\arrowvert_{#2} +} diff --git a/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/format.tex b/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/format.tex new file mode 100644 index 0000000..bdfa7ad --- /dev/null +++ b/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/format.tex @@ -0,0 +1,46 @@ +\usepackage{titlesec} +\usepackage[many]{tcolorbox} +\usepackage{environ} + +\titlespacing*{\chapter}{0cm}{-2.0cm}{0.50cm} +\titlespacing*{\section}{0cm}{0.50cm}{0.25cm} + +\setlength{\parindent}{0pt} +\setlength{\parskip}{1ex} + +\newtcbtheorem[list inside={prob}]{problem}{Problema}% + {enhanced, + colback = black!5, %white, + colbacktitle = black!5, + coltitle = black, + boxrule = 0pt, + frame hidden, + borderline west = {0.5mm}{0.0mm}{black}, + fonttitle = \bfseries\sffamily, + breakable, + before skip = 3ex, + after skip = 3ex, + boxsep = 2mm +}{problem} + +\newenvironment{solution} + {\let\qed\relax\begin{proof}[Soluzione]} + {\end{proof}} + +\newenvironment{altsolution} + {\let\qed\relax\begin{proof}[Soluzione alternativa]} + {\end{proof}} + +\newif\ifhideproofs +% \hideproofstrue + +\ifhideproofs + \usepackage{environ} + \NewEnviron{hide}{} + \let\solution\hide + \let\endsolution\endhide + \let\altsolution\hide + \let\endaltsolution\endhide +\fi + +\tcbuselibrary{skins, breakable} diff --git a/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/main.pdf b/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..423200c Binary files /dev/null and b/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/main.pdf differ diff --git a/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/main.tex b/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/main.tex new file mode 100644 index 0000000..f1c9d37 --- /dev/null +++ b/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/main.tex @@ -0,0 +1,158 @@ +\documentclass[letterpaper, 11pt]{extarticle} + +\input{preamble} +\input{format} +\input{commands} + +\usepackage{thmtools} +\usepackage{tasks} +\usepackage{setspace} + +\begin{document} + +\begin{LARGE} + \textsf{\textbf{Esercizi di Istituzioni di Geometria}} +\end{LARGE} + +\vspace{0.2ex} + +\begin{Large} + \textsf{\textbf{Anno accademico 2025-26}} +\end{Large} + +\vspace{1.5ex} + +\begin{large} + \textsf{\textbf{Studente:}} \text{Gabriel Antonio Videtta (matricola \texttt{654839})} -- \href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{\texttt{g.videtta1@studenti.unipi.it}} +\end{large} + +\vspace{-0.5ex} + +\tcblistof[\section*]{prob}{Indice dei problemi} + +\vspace{1ex} + +\linespread{1.3} + +\begin{problem}{Atlanti non compatibili su \texorpdfstring{$\RR$}{ℝ} -- esercizio 1.1}{problem-1} +Costruisci due atlanti lisci non compatibili su $\RR$. +Mostra che le due varietà lisce che ne risultano sono però diffeomorfe. + + +(Nota: Per teoremi profondi, due strutture lisce sulla stessa varietà topologica +di dimensione $n \leq 3$ sono sempre diffeomorfe. Questo fatto spesso non +è vero in dimensione $n \geq 4$.) +\end{problem} + +\begin{solution} + Siano $\varphi$, $\psi : \RR \to \RR$ le funzioni continue + tali per cui $\varphi(x) = x^3$ e $\psi(x) = \sqrt[3]{x}$. + Allora $\varphi$ è un omeomorfismo con inversa $\psi$, che però \underline{non} è diffeomorfismo liscio su (infatti $0$ \underline{non} è + regolare, dacché $\varphi'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0 \notin \RR^*$). \smallskip + + Considerando allora come atlanti $\mathcal{A} = \{ \id : \RR \to \RR \}$ e $\mathcal{A}' = \{ \varphi \}$, questi + atlanti \underline{non} sono compatibili dal momento che la funzione di transizione $\id \circ \varphi = \varphi$ \underline{non} + è liscia. \smallskip + + Tuttavia, $(\RR, \mathcal{A'})$ è diffeomorfo a $(\RR, \mathcal{A})$ tramite la mappa $\phi$, che in carte è + letta come l'identità $\id$. + + \[\begin{tikzcd} + {(\RR, \mathcal{A}')} && {(\RR, \mathcal{A})} \\ + \\ + \RR && \RR + \arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3] + \arrow["\varphi"{description}, from=1-1, to=3-1] + \arrow["\id"{description}, from=1-3, to=3-3] + \arrow["\psi"{description}, shift left=3, curve={height=-12pt}, from=3-1, to=1-1] + \arrow["\id", from=3-1, to=3-3] + \end{tikzcd}\] +\end{solution} + +\begin{problem}{$\varphi : U \subseteq M \to \RR^n$ carta se e solo se diffeomorfismo -- esercizio 1.2}{problem-2} +Sia $U \subseteq M$ un aperto in una varietà liscia $M$. Mostra che un +omeomorfismo $\varphi : U \to \RR^n$ è una carta compatibile con la struttura liscia di +$M$ se e solo se è un diffeomorfismo. +\end{problem} + +\begin{solution} + Dimostriamo separatamente le due implicazioni. + + \begin{itemize} + \item[$\boxed{\implies}$] Leggendo $\varphi$ in ogni punto di $U$ tramite le carte $\varphi$ per $U$ e $\id$ per $\RR$, otteniamo proprio l'identità, e quindi $\varphi$ + è banalmente un diffeomorfismo. + + \[\begin{tikzcd} + U && {\RR^n} \\ + \\ + {\RR^n} && {\RR^n} + \arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3] + \arrow["\varphi"', from=1-1, to=3-1] + \arrow["\id", from=1-3, to=3-3] + \arrow["\id"', from=3-1, to=3-3] + \end{tikzcd}\] + + \item[$\boxed{\impliedby}$] Sia $\psi : V \to Z \subseteq \RR^n$ una carta dell'atlante massimale di $M$ con $U \cap V \neq \emptyset$ e mostriamo che $\varphi$ + e $\psi$ sono compatibili mostrando che la funzione di transizione $[\psi \to \varphi]$ è un diffeomorfismo. \smallskip + + Essendo diffeomorfismo, $\phi$ si legge tramite le carte $\psi$ per $U \cap V$ e $\id$ per $\varphi(U \cap V)$ proprio come la funzione + di transizione $[\psi \to \varphi]$, che quindi è diffeomorfismo in quanto uguale a + $\restr{\id}{\varphi(U \cap V)} \circ \restr{\varphi}{U \cap V} \circ \restr{\psi\inv}{\psi(U \cap V)}$, composizione di diffeomorfismi. + + \[\begin{tikzcd} + {U \cap V} && {\varphi(U \cap V)} \\ + \\ + {\psi(U \cap V)} && {\varphi(U \cap V)} + \arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3] + \arrow["\psi"', from=1-1, to=3-1] + \arrow["\id", from=1-3, to=3-3] + \arrow["{[\psi \to \varphi]}"', from=3-1, to=3-3] + \end{tikzcd}\] + \end{itemize} +\end{solution} + +\begin{problem}{$S^2$ è diffeomorfo a $\CC \PP^1$-- esercizio 1.4}{problem-3} +Mostra che la funzione costruita a lezione $S^2 \to \CC \PP^1$ è un diffeomorfismo. +\end{problem} + +\begin{solution} + Ricordiamo che la funzione costruita era $\gamma : S^2 \to \CC \PP^1$ per cui, posto + $N = (0, 0, 1)$, vale: + \[ + \gamma(P) = \begin{cases} + [1, 0] & \se P = N, \\ + [\pi_N(P), 1] & \altrimenti, + \end{cases} + \] + dove $\pi_N : S^2 \setminus \{N\} \to \CC$ è la proiezione stereografica da $S^2 \setminus \{N\}$ + a $\CC$ (identificato come $\RR^2$). \smallskip + + Sia $U_i = \{ [z_0, z_1] \mid z_i \neq 0 \} \subseteq \CC \PP^1$ e $\varphi_i : U_i \to \CC \cong \RR^2$ la carta + affine con $\varphi_0([z_0, z_1]) = \nicefrac{z_1}{z_0}$ e $\varphi_1([z_0, z_1]) = \nicefrac{z_0}{z_1}$. Sia + $S = (0, 0, -1)$ il punto diametralmente opposto a $N$ su $S^2$. \smallskip + + Se $P \in S^2 \setminus \{N\}$, possiamo leggere in carte $\gamma$ come l'identità $\id : \CC \to \CC$ (che è diffeomorfismo) come segue: + \[\begin{tikzcd} + {S^2 \setminus \{N\} \ni P} && {U_1 \subseteq \CC \PP^1} \\ + \\ + {\CC \cong \RR^2} && {\CC \cong \RR^2} + \arrow["\gamma", from=1-1, to=1-3] + \arrow["{\pi_N}"{description}, from=1-1, to=3-1] + \arrow["{\varphi_1}"{description}, from=1-3, to=3-3] + \arrow["\id", from=3-1, to=3-3] + \end{tikzcd}\] + + Se invece $P = N$, possiamo leggere in carte $\gamma$ come il complesso coniugato $z \mapsto \overline{z}$ (che è diffeomorfismo) come segue: + \[\begin{tikzcd} + {S^2 \setminus \{S\} \ni N} && {U_0 \subseteq \CC \PP^1} \\ + \\ + {\CC \cong \RR^2} && {\CC \cong \RR^2} + \arrow["\gamma", from=1-1, to=1-3] + \arrow["{\pi_S}"{description}, from=1-1, to=3-1] + \arrow["{\varphi_0}"{description}, from=1-3, to=3-3] + \arrow["{\overline{z}}", from=3-1, to=3-3] + \end{tikzcd}\] + dove si è usato che $\pi_N \circ \pi_S\inv$ corrisponde a $\nicefrac{1}{\overline{z}}$. +\end{solution} + +\end{document} diff --git a/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/preamble.tex b/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/preamble.tex new file mode 100644 index 0000000..56011ae --- /dev/null +++ b/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/preamble.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% \usepackage{fontspec} + +% ================================================== + +\usepackage[italian]{babel} +\usepackage[margin = 1in]{geometry} + +% ================================================== + +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{physics} +\usepackage{dsfont} +\usepackage{esint} +\usepackage{marvosym} +\usepackage{kpfonts} +\usepackage{quiver} +\usepackage{nicefrac} + +% ================================================== + +\usepackage{enumerate} +\usepackage[shortlabels, inline]{enumitem} +\usepackage{framed} +\usepackage{csquotes} + +% ================================================== + +\usepackage{float} +\usepackage{tabularx} +\usepackage{xcolor} +\usepackage{multicol} +\usepackage{subcaption} +\usepackage{caption} +\captionsetup{format = hang, margin = 10pt, font = small, labelfont = bf} + +\usepackage[round, authoryear]{natbib} + +\usepackage{hyperref} +\definecolor{links}{rgb}{0.36,0.54,0.66} +\hypersetup{ + colorlinks = true, + linkcolor = black, + urlcolor = blue, + citecolor = blue, + filecolor = blue, + pdfauthor = {Author}, + pdftitle = {Title}, + pdfsubject = {subject}, + pdfkeywords = {one, two}, + pdfproducer = {LaTeX}, + pdfcreator = {pdfLaTeX}, +} + +\usepackage{lmodern} +\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} + +\usepackage{sfmath} +\usepackage{hyperref} diff --git a/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/quiver.sty b/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/quiver.sty new file mode 100644 index 0000000..7806030 --- /dev/null +++ b/Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/quiver.sty @@ -0,0 +1,40 @@ +% *** quiver *** +% A package for drawing commutative diagrams exported from https://q.uiver.app. +% +% This package is currently a wrapper around the `tikz-cd` package, importing necessary TikZ +% libraries, and defining a new TikZ style for curves of a fixed height. +% +% Version: 1.5.2 +% Authors: +% - varkor (https://github.com/varkor) +% - AndréC (https://tex.stackexchange.com/users/138900/andr%C3%A9c) + +\NeedsTeXFormat{LaTeX2e} +\ProvidesPackage{quiver}[2021/01/11 quiver] + +% `tikz-cd` is necessary to draw commutative diagrams. +\RequirePackage{tikz-cd} +% `amssymb` is necessary for `\lrcorner` and `\ulcorner`. +\RequirePackage{amssymb} +% `calc` is necessary to draw curved arrows. +\usetikzlibrary{calc} +% `pathmorphing` is necessary to draw squiggly arrows. +\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing} + +% A TikZ style for curved arrows of a fixed height, due to AndréC. +\tikzset{curve/.style={settings={#1},to path={(\tikztostart) + .. controls ($(\tikztostart)!\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$) + and ($(\tikztostart)!1-\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$) + .. (\tikztotarget)\tikztonodes}}, + settings/.code={\tikzset{quiver/.cd,#1} + \def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/quiver/##1}}}, + quiver/.cd,pos/.initial=0.35,height/.initial=0} + +% TikZ arrowhead/tail styles. +\tikzset{tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{tikzcd to}}} +\tikzset{2tail/.code={\pgfsetarrowsstart{Implies[reversed]}}} +\tikzset{2tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{Implies}}} +% TikZ arrow styles. +\tikzset{no body/.style={/tikz/dash pattern=on 0 off 1mm}} + +\endinput \ No newline at end of file diff --git a/Corsi/Istituzioni di geometria/README.md b/Corsi/Istituzioni di geometria/README.md new file mode 100644 index 0000000..b8ee0d8 --- /dev/null +++ b/Corsi/Istituzioni di geometria/README.md @@ -0,0 +1,5 @@ +# [Istituzioni di geometria](https://unipi.coursecatalogue.cineca.it/corsi/2024/10455/insegnamenti/2025/52843_694881_77459/2015/52843?coorte=2024&schemaid=9153) + +- [Programma del corso 📘](https://unipi.coursecatalogue.cineca.it/corsi/2024/10455/insegnamenti/2025/52843_694881_77459/2015/52843?coorte=2024&schemaid=9153) +- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=11082629::::&ri=80361) +- [Pagina web del corso 🌐](https://people.dm.unipi.it/martelli/didattica/matematica/2026/ist_geo.html)