diff --git a/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/README.md b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/README.md new file mode 100644 index 0000000..683cf87 --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/README.md @@ -0,0 +1,17 @@ +# [Elementi di probabilità e statistica](https://esami.unipi.it/programma.php?c=57989) + +- [Programma del corso 📘](https://esami.unipi.it/programma.php?c=57989) +- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=10338931::::&ri=015863) + +Il corso di Elementi di probabilità e statistica (EPS) è ancora in corso, dunque questa cartella vedrà ancora aggiornamenti per il momento. +Questa cartella contiene in particolar modo una *Scheda riassuntiva*, che, come suggerisce il nome, è un recap completo di tutta la +teoria del corso. Tale scheda include inoltre le tabelle numeriche più utili per lo svolgimento degli esercizi. + +Questo progetto non sarebbe mai stato realizzabile senza il meraviglioso +aiuto di alcuni miei amici e colleghi, che ora elenco: + + - [Avio Baccioli](mailto:aviobac@gmail.com), + - [Federico Volpe](https://poisson.phc.dm.unipi.it/~volpe/), + - [Mario Zito](mailto:m.zito12@studenti.unipi.it). + +Il progetto si basa su un layout di [Luca Lombardo](https://lukefleed.xyz/), utilizzato in particolare nelle [Schede riassuntive di Geometria 2](https://github.com/lukefleed/G2-cheat-sheet), basate sulle [dispense-capolavoro](https://www.overleaf.com/read/vsdktbwrgpth) di [Francesco Sorce](mailto:f.sorce@studenti.unipi.it). \ No newline at end of file diff --git a/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/main.pdf b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..39c77b3 --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/main.pdf @@ -0,0 +1,6457 @@ +%PDF-1.5 +% +4 0 obj +<< /S /GoTo /D (chapter*.2) >> +endobj +7 0 obj +(\376\377\000N\000o\000t\000a\000z\000i\000o\000n\000i\000\040\000i\000m\000p\000i\000e\000g\000a\000t\000e) +endobj +8 0 obj +<< /S /GoTo /D (chapter*.8) >> +endobj +11 0 obj +(\376\377\000P\000r\000e\000r\000e\000q\000u\000i\000s\000i\000t\000i\000\040\000m\000a\000t\000e\000m\000a\000t\000i\000c\000i) +endobj +12 0 obj +<< /S /GoTo /D (chapter*.13) >> +endobj +15 0 obj +(\376\377\000L\000i\000s\000t\000a\000\040\000d\000e\000l\000l\000e\000\040\000i\000d\000e\000n\000t\000i\000t\000\340\000\040\000s\000u\000l\000l\000e\000\040\000s\000o\000m\000m\000a\000t\000o\000r\000i\000e) +endobj +16 0 obj +<< /S /GoTo /D (chapter.1) >> +endobj +19 0 obj +(\376\377\000S\000p\000a\000z\000i\000\040\000d\000i\000\040\000p\000r\000o\000b\000a\000b\000i\000l\000i\000t\000\340\000\040\000i\000n\000\040\000g\000e\000n\000e\000r\000a\000l\000e) +endobj +20 0 obj +<< /S /GoTo /D (section.1.1) >> +endobj +23 0 obj +(\376\377\000D\000e\000f\000i\000n\000i\000z\000i\000o\000n\000i\000\040\000p\000r\000e\000l\000i\000m\000i\000n\000a\000r\000i) +endobj +24 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.1.1.1) >> +endobj +27 0 obj +(\376\377\000E\000s\000p\000e\000r\000i\000m\000e\000n\000t\000o\000\040\000a\000l\000e\000a\000t\000o\000r\000i\000o\000,\000\040\000s\000p\000a\000z\000i\000\040\000c\000a\000m\000p\000i\000o\000n\000a\000r\000i) +endobj +28 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.1.1.2) >> +endobj +31 0 obj +(\376\377\003\303\000-\000a\000l\000g\000e\000b\000r\000e\000\040\000e\000\040\000s\000p\000a\000z\000i\000\040\000m\000i\000s\000u\000r\000a\000b\000i\000l\000i) +endobj +32 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.1.1.3) >> +endobj +35 0 obj +(\376\377\000I\000n\000s\000i\000e\000m\000i\000\040\000d\000i\000s\000c\000r\000e\000t\000i\000\040\000e\000\040\003\303\000-\000a\000l\000g\000e\000b\000r\000a\000\040\000n\000a\000t\000u\000r\000a\000l\000e) +endobj +36 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.1.1.4) >> +endobj +39 0 obj +(\376\377\000P\000r\000o\000p\000r\000i\000e\000t\000\340\000\040\000d\000i\000\040\000u\000n\000a\000\040\003\303\000-\000a\000l\000g\000e\000b\000r\000a\000\040\000e\000\040\003\303\000-\000a\000l\000g\000e\000b\000r\000a\000\040\000g\000e\000n\000e\000r\000a\000t\000a) +endobj +40 0 obj +<< /S /GoTo /D (section.1.2) >> +endobj +43 0 obj +(\376\377\000C\000o\000r\000r\000i\000s\000p\000o\000n\000d\000e\000n\000z\000e\000\040\000l\000o\000g\000i\000c\000h\000e\000\040\000e\000\040\000r\000e\000l\000a\000z\000i\000o\000n\000a\000l\000i\000\040\000t\000r\000a\000\040\000e\000v\000e\000n\000t\000i) +endobj +44 0 obj +<< /S /GoTo /D (section.1.3) >> +endobj +47 0 obj +(\376\377\000M\000i\000s\000u\000r\000e\000\040\000d\000i\000\040\000p\000r\000o\000b\000a\000b\000i\000l\000i\000t\000\340) +endobj +48 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.1.3.1) >> +endobj +51 0 obj +(\376\377\000L\000a\000\040\000p\000r\000o\000b\000a\000b\000i\000l\000i\000t\000\340\000\040\000P\000\040\000s\000u\000\040\003\251\000\040\000e\000\040\000s\000p\000a\000z\000i\000\040\000d\000i\000\040\000p\000r\000o\000b\000a\000b\000i\000l\000i\000t\000\340) +endobj +52 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.1.3.2) >> +endobj +55 0 obj +(\376\377\000P\000r\000o\000p\000r\000i\000e\000t\000\340\000\040\000d\000e\000l\000l\000a\000\040\000p\000r\000o\000b\000a\000b\000i\000l\000i\000t\000\340\000\040\000P) +endobj +56 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.1.3.3) >> +endobj +59 0 obj +(\376\377\000E\000v\000e\000n\000t\000i\000\040\000i\000n\000c\000o\000m\000p\000a\000t\000i\000b\000i\000l\000i\000,\000\040\000q\000u\000a\000s\000i\000\040\000c\000e\000r\000t\000i\000\040\000e\000\040\000t\000r\000a\000s\000c\000u\000r\000a\000b\000i\000l\000i\000,\000\040\000p\000r\000o\000p\000r\000i\000e\000t\000\340\000\040\000c\000h\000e\000\040\000a\000c\000c\000a\000d\000o\000n\000o\000\040\000q\000.\000c\000.) +endobj +60 0 obj +<< /S /GoTo /D (section.1.4) >> +endobj +63 0 obj +(\376\377\000P\000r\000o\000b\000a\000b\000i\000l\000i\000t\000\340\000\040\000c\000o\000n\000d\000i\000z\000i\000o\000n\000a\000t\000a) +endobj +64 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.1.4.1) >> +endobj +67 0 obj +(\376\377\000D\000e\000f\000i\000n\000i\000z\000i\000o\000n\000e\000\040\000d\000i\000\040\000P\000\050\040\042\000|\000B\000\051) +endobj +68 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.1.4.2) >> +endobj +71 0 obj +(\376\377\000R\000e\000g\000o\000l\000a\000\040\000d\000e\000l\000l\000a\000\040\000c\000a\000t\000e\000n\000a\000,\000\040\000f\000o\000r\000m\000u\000l\000a\000\040\000d\000e\000l\000l\000e\000\040\000p\000r\000o\000b\000a\000b\000i\000l\000i\000t\000\340\000\040\000t\000o\000t\000a\000l\000i\000\040\000e\000\040\000T\000e\000o\000r\000e\000m\000a\000\040\000d\000i\000\040\000B\000a\000y\000e\000s) +endobj +72 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.1.4.3) >> +endobj +75 0 obj +(\376\377\000R\000a\000p\000p\000o\000r\000t\000o\000\040\000d\000i\000\040\000i\000n\000f\000l\000u\000e\000n\000z\000a\000,\000\040\000c\000o\000r\000r\000e\000l\000a\000z\000i\000o\000n\000e\000\040\000p\000o\000s\000i\000t\000i\000v\000a\000\040\000e\000\040\000n\000e\000g\000a\000t\000i\000v\000a) +endobj +76 0 obj +<< /S /GoTo /D (section.1.5) >> +endobj +79 0 obj +(\376\377\000I\000n\000d\000i\000p\000e\000n\000d\000e\000n\000z\000a\000\040\000s\000t\000o\000c\000a\000s\000t\000i\000c\000a\000\040\000t\000r\000a\000\040\000e\000v\000e\000n\000t\000i) +endobj +80 0 obj +<< /S /GoTo /D (chapter.2) >> +endobj +83 0 obj +(\376\377\000P\000r\000o\000b\000a\000b\000i\000l\000i\000t\000\340\000\040\000d\000i\000s\000c\000r\000e\000t\000a) +endobj +84 0 obj +<< /S /GoTo /D (section.2.1) >> +endobj +87 0 obj +(\376\377\000F\000u\000n\000z\000i\000o\000n\000e\000\040\000d\000i\000\040\000d\000e\000n\000s\000i\000t\000\340\000\040\000d\000i\000s\000c\000r\000e\000t\000a) +endobj +88 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.2.1.1) >> +endobj +91 0 obj +(\376\377\000D\000e\000f\000i\000n\000i\000z\000i\000o\000n\000e\000\040\000p\000e\000r\000\040\000i\000l\000\040\000c\000a\000s\000o\000\040\000d\000i\000s\000c\000r\000e\000t\000o) +endobj +92 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.2.1.2) >> +endobj +95 0 obj +(\376\377\000R\000a\000n\000g\000e\000\040\000d\000i\000\040\000u\000n\000a\000\040\000p\000r\000o\000b\000a\000b\000i\000l\000i\000t\000\340\000\040\000d\000i\000s\000c\000r\000e\000t\000a\000\040\000e\000\040\000r\000e\000s\000t\000r\000i\000z\000i\000o\000n\000e) +endobj +96 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.2.1.3) >> +endobj +99 0 obj +(\376\377\000M\000i\000s\000u\000r\000e\000\040\000d\000i\000\040\000p\000r\000o\000b\000a\000b\000i\000l\000i\000t\000\340\000\040\000d\000i\000s\000c\000r\000e\000t\000e\000\040\000s\000u\000\040\000s\000p\000a\000z\000i\000\040\000c\000a\000m\000p\000i\000o\000n\000a\000r\000i\000\040\000n\000o\000n\000\040\000d\000i\000s\000c\000r\000e\000t\000i\000\040\000e\000\040\000d\000i\000s\000c\000r\000e\000t\000i\000z\000z\000a\000z\000i\000o\000n\000e) +endobj +100 0 obj +<< /S /GoTo /D (section.2.2) >> +endobj +103 0 obj +(\376\377\000V\000a\000r\000i\000a\000b\000i\000l\000i\000\040\000a\000l\000e\000a\000t\000o\000r\000i\000e\000\040\000d\000i\000s\000c\000r\000e\000t\000e) +endobj +104 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.2.2.1) >> +endobj +107 0 obj +(\376\377\000D\000e\000f\000i\000n\000i\000z\000i\000o\000n\000e\000\040\000d\000i\000\040\000v\000.\000a\000.\000\040\000d\000i\000s\000c\000r\000e\000t\000a\000\040\000e\000\040\000c\000o\000m\000p\000o\000s\000i\000z\000i\000o\000n\000e) +endobj +108 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.2.2.2) >> +endobj +111 0 obj +(\376\377\000L\000e\000g\000g\000e\000\040\000d\000i\000\040\000u\000n\000a\000\040\000v\000.\000a\000.\000\040\000X) +endobj +112 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.2.2.3) >> +endobj +115 0 obj +(\376\377\000U\000g\000u\000a\000g\000l\000i\000a\000n\000z\000a\000\040\000q\000.\000c\000.\000,\000\040\000m\000e\000d\000e\000s\000i\000m\000a\000\040\000l\000e\000g\000g\000e\000\040\000e\000\040\000s\000t\000a\000b\000i\000l\000i\000t\000\340\000\040\000p\000e\000r\000\040\000c\000o\000m\000p\000o\000s\000i\000z\000i\000o\000n\000e) +endobj +116 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.2.2.4) >> +endobj +119 0 obj +(\376\377\000V\000a\000r\000i\000a\000b\000i\000l\000e\000\040\000a\000l\000e\000a\000t\000o\000r\000i\000a\000\040\000m\000u\000l\000t\000i\000v\000a\000r\000i\000a\000t\000a\000,\000\040\000l\000e\000g\000g\000i\000\040\000c\000o\000n\000g\000i\000u\000n\000t\000e\000\040\000e\000\040\000m\000a\000r\000g\000i\000n\000a\000l\000i) +endobj +120 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.2.2.5) >> +endobj +123 0 obj +(\376\377\000I\000n\000d\000i\000p\000e\000n\000d\000e\000n\000z\000a\000\040\000d\000i\000\040\000v\000a\000r\000i\000a\000b\000i\000l\000i\000\040\000a\000l\000e\000a\000t\000o\000r\000i\000e\000\040\000d\000i\000s\000c\000r\000e\000t\000e\000\040\000e\000\040\000s\000t\000a\000b\000i\000l\000i\000t\000\340\000\040\000p\000e\000r\000\040\000c\000o\000n\000g\000i\000u\000n\000z\000i\000o\000n\000e\000\040\000e\000\040\000c\000o\000m\000p\000o\000s\000i\000z\000i\000o\000n\000e) +endobj +124 0 obj +<< /S /GoTo /D (section.2.3) >> +endobj +127 0 obj +(\376\377\000V\000a\000l\000o\000r\000e\000\040\000a\000t\000t\000e\000s\000o\000\040\000e\000\040\000m\000o\000m\000e\000n\000t\000i) +endobj +128 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.2.3.1) >> +endobj +131 0 obj +(\376\377\000V\000a\000l\000o\000r\000e\000\040\000a\000t\000t\000e\000s\000o\000\040\000s\000u\000\040\000v\000.\000a\000.\000\040\000i\000n\000t\000e\000g\000r\000a\000b\000i\000l\000i\000\040\000e\000/\000o\000\040\000n\000o\000n\000\040\000n\000e\000g\000a\000t\000i\000v\000e) +endobj +132 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.2.3.2) >> +endobj +135 0 obj +(\376\377\000P\000r\000o\000p\000r\000i\000e\000t\000\340\000\040\000d\000e\000l\000\040\000v\000a\000l\000o\000r\000e\000\040\000a\000t\000t\000e\000s\000o\000\040\000e\000\040\000m\000o\000l\000t\000i\000p\000l\000i\000c\000a\000t\000i\000v\000i\000t\000\340\000\040\000p\000e\000r\000\040\000v\000.\000a\000.\000\040\000i\000n\000d\000i\000p\000e\000n\000d\000e\000n\000t\000i) +endobj +136 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.2.3.3) >> +endobj +139 0 obj +(\376\377\000V\000a\000l\000o\000r\000e\000\040\000a\000t\000t\000e\000s\000o\000\040\000c\000o\000n\000d\000i\000z\000i\000o\000n\000a\000l\000e) +endobj +140 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.2.3.4) >> +endobj +143 0 obj +(\376\377\000M\000o\000m\000e\000n\000t\000i\000\040\000\050\000a\000s\000s\000o\000l\000u\000t\000i\000\051\000\040\000n\000-\000e\000s\000i\000m\000i) +endobj +144 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.2.3.5) >> +endobj +147 0 obj +(\376\377\000D\000i\000s\000u\000g\000u\000a\000g\000l\000i\000a\000n\000z\000a\000\040\000d\000i\000\040\000M\000a\000r\000k\000o\000v\000,\000\040\000d\000i\000\040\000H\000\366\000l\000d\000e\000r\000,\000\040\000d\000i\000\040\000C\000a\000u\000c\000h\000y\000-\000S\000c\000h\000w\000a\000r\000z\000\040\000e\000\040\000d\000i\000\040\000J\000e\000n\000s\000e\000n) +endobj +148 0 obj +<< /S /GoTo /D (section.2.4) >> +endobj +151 0 obj +(\376\377\000A\000l\000t\000r\000i\000\040\000i\000n\000d\000i\000c\000i\000\040\000d\000i\000\040\000c\000e\000n\000t\000r\000a\000l\000i\000t\000\340\000:\000\040\000m\000o\000d\000a\000\040\000e\000\040\000m\000e\000d\000i\000a\000n\000a) +endobj +152 0 obj +<< /S /GoTo /D (section.2.5) >> +endobj +155 0 obj +(\376\377\000I\000n\000d\000i\000c\000i\000\040\000d\000i\000\040\000d\000i\000s\000p\000e\000r\000s\000i\000o\000n\000e\000:\000\040\000c\000o\000v\000a\000r\000i\000a\000n\000z\000a\000,\000\040\000v\000a\000r\000i\000a\000n\000z\000a\000,\000\040\000d\000e\000v\000.\000\040\000s\000t\000a\000n\000d\000a\000r\000d\000\040\000e\000\040\000c\000o\000e\000f\000f\000.\000\040\000d\000i\000\040\000c\000o\000r\000r\000e\000l\000a\000z\000i\000o\000n\000e) +endobj +156 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.2.5.1) >> +endobj +159 0 obj +(\376\377\000D\000e\000f\000i\000n\000i\000z\000i\000o\000n\000i\000\040\000e\000\040\000c\000o\000v\000a\000r\000i\000a\000n\000z\000a\000\040\000c\000o\000m\000e\000\040\000f\000o\000r\000m\000a\000\040\000b\000i\000l\000i\000n\000e\000a\000r\000e\000\040\000s\000i\000m\000m\000e\000t\000r\000i\000c\000a) +endobj +160 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.2.5.2) >> +endobj +163 0 obj +(\376\377\000I\000d\000e\000n\000t\000i\000t\000\340\000\040\000s\000u\000l\000l\000a\000\040\000\050\000c\000o\000\051\000v\000a\000r\000i\000a\000n\000z\000a\000\040\000e\000\040\000d\000i\000s\000u\000g\000u\000a\000g\000l\000i\000a\000n\000z\000a\000\040\000d\000i\000\040\000C\000h\000e\000b\000y\000s\000h\000e\000v) +endobj +164 0 obj +<< /S /GoTo /D (subsection.2.5.3) >> +endobj +167 0 obj +(\376\377\000C\000o\000e\000f\000f\000.\000\040\000d\000i\000\040\000c\000o\000r\000r\000e\000l\000a\000z\000i\000o\000n\000e\000\040\000e\000\040\000r\000e\000t\000t\000a\000\040\000d\000i\000\040\000r\000e\000g\000r\000e\000s\000s\000i\000o\000n\000e\000\040\000l\000i\000n\000e\000a\000r\000e) +endobj +168 0 obj +<< /S /GoTo /D (section.2.6) >> +endobj +171 0 obj 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+/Prev 142 0 R +>> +endobj +142 0 obj +<< +/Title 143 0 R +/A 140 0 R +/Parent 126 0 R +/Prev 138 0 R +/Next 146 0 R +>> +endobj +138 0 obj +<< +/Title 139 0 R +/A 136 0 R +/Parent 126 0 R +/Prev 134 0 R +/Next 142 0 R +>> +endobj +134 0 obj +<< +/Title 135 0 R +/A 132 0 R +/Parent 126 0 R +/Prev 130 0 R +/Next 138 0 R +>> +endobj +130 0 obj +<< +/Title 131 0 R +/A 128 0 R +/Parent 126 0 R +/Next 134 0 R +>> +endobj +126 0 obj +<< +/Title 127 0 R +/A 124 0 R +/Parent 82 0 R +/Prev 102 0 R +/Next 150 0 R +/First 130 0 R +/Last 146 0 R +/Count -5 +>> +endobj +122 0 obj +<< +/Title 123 0 R +/A 120 0 R +/Parent 102 0 R +/Prev 118 0 R +>> +endobj +118 0 obj +<< +/Title 119 0 R +/A 116 0 R +/Parent 102 0 R +/Prev 114 0 R +/Next 122 0 R +>> +endobj +114 0 obj +<< +/Title 115 0 R +/A 112 0 R +/Parent 102 0 R +/Prev 110 0 R +/Next 118 0 R +>> +endobj +110 0 obj +<< +/Title 111 0 R +/A 108 0 R +/Parent 102 0 R +/Prev 106 0 R +/Next 114 0 R +>> +endobj +106 0 obj +<< +/Title 107 0 R +/A 104 0 R +/Parent 102 0 R +/Next 110 0 R +>> +endobj +102 0 obj +<< +/Title 103 0 R +/A 100 0 R +/Parent 82 0 R +/Prev 86 0 R +/Next 126 0 R +/First 106 0 R +/Last 122 0 R +/Count -5 +>> +endobj +98 0 obj +<< +/Title 99 0 R +/A 96 0 R +/Parent 86 0 R +/Prev 94 0 R +>> +endobj +94 0 obj +<< +/Title 95 0 R +/A 92 0 R +/Parent 86 0 R +/Prev 90 0 R +/Next 98 0 R +>> +endobj +90 0 obj +<< +/Title 91 0 R +/A 88 0 R +/Parent 86 0 R +/Next 94 0 R +>> +endobj +86 0 obj +<< +/Title 87 0 R +/A 84 0 R +/Parent 82 0 R +/Next 102 0 R +/First 90 0 R +/Last 98 0 R +/Count -3 +>> +endobj +82 0 obj +<< +/Title 83 0 R +/A 80 0 R +/Parent 684 0 R +/Prev 18 0 R +/Next 206 0 R +/First 86 0 R +/Last 194 0 R +/Count -8 +>> +endobj +78 0 obj +<< +/Title 79 0 R +/A 76 0 R +/Parent 18 0 R +/Prev 62 0 R +>> +endobj +74 0 obj +<< +/Title 75 0 R +/A 72 0 R +/Parent 62 0 R +/Prev 70 0 R +>> +endobj +70 0 obj +<< +/Title 71 0 R +/A 68 0 R +/Parent 62 0 R +/Prev 66 0 R +/Next 74 0 R +>> +endobj +66 0 obj +<< +/Title 67 0 R +/A 64 0 R +/Parent 62 0 R +/Next 70 0 R +>> +endobj +62 0 obj +<< +/Title 63 0 R +/A 60 0 R +/Parent 18 0 R +/Prev 46 0 R +/Next 78 0 R +/First 66 0 R +/Last 74 0 R +/Count -3 +>> +endobj +58 0 obj +<< +/Title 59 0 R +/A 56 0 R +/Parent 46 0 R +/Prev 54 0 R +>> +endobj +54 0 obj +<< +/Title 55 0 R +/A 52 0 R +/Parent 46 0 R +/Prev 50 0 R +/Next 58 0 R +>> +endobj +50 0 obj +<< +/Title 51 0 R +/A 48 0 R +/Parent 46 0 R +/Next 54 0 R +>> +endobj +46 0 obj +<< +/Title 47 0 R +/A 44 0 R +/Parent 18 0 R +/Prev 42 0 R +/Next 62 0 R +/First 50 0 R +/Last 58 0 R +/Count -3 +>> +endobj +42 0 obj +<< +/Title 43 0 R +/A 40 0 R +/Parent 18 0 R +/Prev 22 0 R +/Next 46 0 R +>> +endobj +38 0 obj +<< +/Title 39 0 R +/A 36 0 R +/Parent 22 0 R +/Prev 34 0 R +>> +endobj +34 0 obj +<< +/Title 35 0 R +/A 32 0 R +/Parent 22 0 R +/Prev 30 0 R +/Next 38 0 R +>> +endobj +30 0 obj +<< +/Title 31 0 R +/A 28 0 R +/Parent 22 0 R +/Prev 26 0 R +/Next 34 0 R +>> +endobj +26 0 obj +<< +/Title 27 0 R +/A 24 0 R +/Parent 22 0 R +/Next 30 0 R +>> +endobj +22 0 obj +<< +/Title 23 0 R +/A 20 0 R +/Parent 18 0 R +/Next 42 0 R +/First 26 0 R +/Last 38 0 R +/Count -4 +>> +endobj +18 0 obj +<< +/Title 19 0 R +/A 16 0 R +/Parent 684 0 R +/Prev 14 0 R +/Next 82 0 R +/First 22 0 R +/Last 78 0 R +/Count -5 +>> +endobj +14 0 obj +<< +/Title 15 0 R +/A 12 0 R +/Parent 684 0 R +/Prev 10 0 R +/Next 18 0 R +>> +endobj +10 0 obj +<< +/Title 11 0 R +/A 8 0 R +/Parent 684 0 R +/Prev 6 0 R +/Next 14 0 R +>> +endobj +6 0 obj +<< +/Title 7 0 R +/A 4 0 R +/Parent 684 0 R +/Next 10 0 R +>> +endobj +685 0 obj +<< +/Names [(Doc-Start) 218 0 R (Hfootnote.1) 462 0 R (Hfootnote.2) 532 0 R (Hfootnote.3) 533 0 R (Hfootnote.4) 577 0 R (Hfootnote.5) 590 0 R] +/Limits [(Doc-Start) (Hfootnote.5)] +>> +endobj +686 0 obj +<< +/Names [(Hfootnote.6) 605 0 R (Hfootnote.7) 616 0 R (Item.1) 351 0 R (Item.10) 373 0 R (Item.11) 374 0 R (Item.12) 375 0 R] +/Limits [(Hfootnote.6) (Item.12)] +>> +endobj +687 0 obj +<< +/Names [(Item.13) 376 0 R (Item.14) 377 0 R (Item.15) 378 0 R (Item.16) 379 0 R (Item.17) 380 0 R (Item.18) 383 0 R] +/Limits [(Item.13) (Item.18)] +>> +endobj +688 0 obj +<< +/Names [(Item.19) 384 0 R (Item.2) 352 0 R (Item.20) 431 0 R (Item.21) 432 0 R (Item.22) 494 0 R (Item.23) 495 0 R] +/Limits [(Item.19) (Item.23)] +>> +endobj +689 0 obj +<< +/Names [(Item.24) 503 0 R (Item.25) 504 0 R (Item.26) 514 0 R (Item.27) 515 0 R (Item.28) 516 0 R (Item.29) 517 0 R] +/Limits [(Item.24) (Item.29)] +>> +endobj +690 0 obj +<< +/Names [(Item.3) 353 0 R (Item.30) 518 0 R (Item.31) 519 0 R (Item.32) 572 0 R (Item.33) 573 0 R (Item.4) 359 0 R] +/Limits [(Item.3) (Item.4)] +>> +endobj +691 0 obj +<< +/Names [(Item.5) 360 0 R (Item.6) 361 0 R (Item.7) 368 0 R (Item.8) 369 0 R (Item.9) 370 0 R (chapter*.1) 278 0 R] +/Limits [(Item.5) (chapter*.1)] +>> +endobj +692 0 obj +<< +/Names [(chapter*.13) 13 0 R (chapter*.15) 205 0 R (chapter*.16) 209 0 R (chapter*.2) 5 0 R (chapter*.8) 9 0 R (chapter.1) 17 0 R] +/Limits [(chapter*.13) (chapter.1)] +>> +endobj +693 0 obj +<< +/Names [(chapter.2) 81 0 R (page.1) 217 0 R (page.10) 400 0 R (page.11) 420 0 R (page.12) 428 0 R (page.13) 447 0 R] +/Limits [(chapter.2) (page.13)] +>> +endobj +694 0 obj +<< +/Names [(page.14) 467 0 R (page.15) 489 0 R (page.16) 512 0 R (page.17) 538 0 R (page.18) 561 0 R (page.19) 582 0 R] +/Limits [(page.14) (page.19)] +>> +endobj +695 0 obj +<< +/Names [(page.2) 308 0 R (page.20) 596 0 R (page.21) 610 0 R (page.22) 615 0 R (page.23) 620 0 R (page.3) 317 0 R] +/Limits [(page.2) (page.3)] +>> +endobj +696 0 obj +<< +/Names [(page.4) 324 0 R (page.5) 328 0 R (page.6) 336 0 R (page.7) 342 0 R (page.8) 347 0 R (page.9) 366 0 R] +/Limits [(page.4) (page.9)] +>> +endobj +697 0 obj +<< +/Names [(section*.10) 330 0 R (section*.11) 331 0 R (section*.12) 337 0 R (section*.14) 343 0 R (section*.3) 309 0 R (section*.4) 311 0 R] +/Limits [(section*.10) (section*.4)] +>> +endobj +698 0 obj +<< +/Names [(section*.5) 313 0 R (section*.6) 318 0 R (section*.7) 320 0 R (section*.9) 329 0 R (section.1.1) 21 0 R (section.1.2) 41 0 R] +/Limits [(section*.5) (section.1.2)] +>> +endobj +699 0 obj +<< +/Names [(section.1.3) 45 0 R (section.1.4) 61 0 R (section.1.5) 77 0 R (section.2.1) 85 0 R (section.2.2) 101 0 R (section.2.3) 125 0 R] +/Limits [(section.1.3) (section.2.3)] +>> +endobj +700 0 obj +<< +/Names [(section.2.4) 149 0 R (section.2.5) 153 0 R (section.2.6) 169 0 R (section.2.7) 181 0 R (section.2.8) 193 0 R (subsection.1.1.1) 25 0 R] +/Limits [(section.2.4) (subsection.1.1.1)] +>> +endobj +701 0 obj +<< +/Names [(subsection.1.1.2) 29 0 R (subsection.1.1.3) 33 0 R (subsection.1.1.4) 37 0 R (subsection.1.3.1) 49 0 R (subsection.1.3.2) 53 0 R (subsection.1.3.3) 57 0 R] +/Limits [(subsection.1.1.2) (subsection.1.3.3)] +>> +endobj +702 0 obj +<< +/Names [(subsection.1.4.1) 65 0 R (subsection.1.4.2) 69 0 R (subsection.1.4.3) 73 0 R (subsection.2.1.1) 89 0 R (subsection.2.1.2) 93 0 R (subsection.2.1.3) 97 0 R] +/Limits [(subsection.1.4.1) (subsection.2.1.3)] +>> +endobj +703 0 obj +<< +/Names [(subsection.2.2.1) 105 0 R (subsection.2.2.2) 109 0 R (subsection.2.2.3) 113 0 R (subsection.2.2.4) 117 0 R (subsection.2.2.5) 121 0 R (subsection.2.3.1) 129 0 R] +/Limits [(subsection.2.2.1) (subsection.2.3.1)] +>> +endobj +704 0 obj +<< +/Names [(subsection.2.3.2) 133 0 R (subsection.2.3.3) 137 0 R (subsection.2.3.4) 141 0 R (subsection.2.3.5) 145 0 R (subsection.2.5.1) 157 0 R (subsection.2.5.2) 161 0 R] +/Limits [(subsection.2.3.2) (subsection.2.5.2)] +>> +endobj +705 0 obj +<< +/Names [(subsection.2.5.3) 165 0 R (subsection.2.6.1) 173 0 R (subsection.2.6.2) 177 0 R (subsection.2.7.1) 185 0 R (subsection.2.7.2) 189 0 R (subsection.2.8.1) 197 0 R] +/Limits [(subsection.2.5.3) (subsection.2.8.1)] +>> +endobj +706 0 obj +<< +/Names [(subsection.2.8.2) 201 0 R (table.2.1) 606 0 R (theorem.1.1) 348 0 R (theorem.1.10) 367 0 R (theorem.1.11) 371 0 R (theorem.1.12) 372 0 R] +/Limits [(subsection.2.8.2) (theorem.1.12)] +>> +endobj +707 0 obj +<< +/Names [(theorem.1.13) 381 0 R (theorem.1.14) 382 0 R (theorem.1.15) 385 0 R (theorem.1.16) 386 0 R (theorem.1.17) 387 0 R (theorem.1.18) 388 0 R] +/Limits [(theorem.1.13) (theorem.1.18)] +>> +endobj +708 0 obj +<< +/Names [(theorem.1.19) 389 0 R (theorem.1.2) 349 0 R (theorem.1.20) 390 0 R (theorem.1.21) 391 0 R (theorem.1.22) 392 0 R (theorem.1.23) 393 0 R] +/Limits [(theorem.1.19) (theorem.1.23)] +>> +endobj +709 0 obj +<< +/Names [(theorem.1.24) 394 0 R (theorem.1.25) 395 0 R (theorem.1.26) 401 0 R (theorem.1.27) 402 0 R (theorem.1.28) 403 0 R (theorem.1.29) 404 0 R] +/Limits [(theorem.1.24) (theorem.1.29)] +>> +endobj +710 0 obj +<< +/Names [(theorem.1.3) 350 0 R (theorem.1.30) 405 0 R (theorem.1.31) 406 0 R (theorem.1.32) 407 0 R (theorem.1.33) 408 0 R (theorem.1.34) 410 0 R] +/Limits [(theorem.1.3) (theorem.1.34)] +>> +endobj +711 0 obj +<< +/Names [(theorem.1.35) 411 0 R (theorem.1.36) 412 0 R (theorem.1.37) 413 0 R (theorem.1.38) 414 0 R (theorem.1.39) 415 0 R (theorem.1.4) 354 0 R] +/Limits [(theorem.1.35) (theorem.1.4)] +>> +endobj +712 0 obj +<< +/Names [(theorem.1.40) 416 0 R (theorem.1.41) 421 0 R (theorem.1.42) 422 0 R (theorem.1.43) 423 0 R (theorem.1.44) 424 0 R (theorem.1.5) 355 0 R] +/Limits [(theorem.1.40) (theorem.1.5)] +>> +endobj +713 0 obj +<< +/Names [(theorem.1.6) 356 0 R (theorem.1.7) 357 0 R (theorem.1.8) 358 0 R (theorem.1.9) 362 0 R (theorem.2.1) 429 0 R (theorem.2.10) 440 0 R] +/Limits [(theorem.1.6) (theorem.2.10)] +>> +endobj +714 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.100) 589 0 R (theorem.2.101) 597 0 R (theorem.2.102) 599 0 R (theorem.2.103) 600 0 R (theorem.2.104) 601 0 R (theorem.2.105) 602 0 R] +/Limits [(theorem.2.100) (theorem.2.105)] +>> +endobj +715 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.106) 603 0 R (theorem.2.107) 604 0 R (theorem.2.11) 441 0 R (theorem.2.12) 448 0 R (theorem.2.13) 449 0 R (theorem.2.14) 450 0 R] +/Limits [(theorem.2.106) (theorem.2.14)] +>> +endobj +716 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.15) 451 0 R (theorem.2.16) 452 0 R (theorem.2.17) 453 0 R (theorem.2.18) 454 0 R (theorem.2.19) 455 0 R (theorem.2.2) 430 0 R] +/Limits [(theorem.2.15) (theorem.2.2)] +>> +endobj +717 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.20) 456 0 R (theorem.2.21) 457 0 R (theorem.2.22) 458 0 R (theorem.2.23) 459 0 R (theorem.2.24) 460 0 R (theorem.2.25) 461 0 R] +/Limits [(theorem.2.20) (theorem.2.25)] +>> +endobj +718 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.26) 468 0 R (theorem.2.27) 469 0 R (theorem.2.28) 470 0 R (theorem.2.29) 471 0 R (theorem.2.3) 433 0 R (theorem.2.30) 472 0 R] +/Limits [(theorem.2.26) (theorem.2.30)] +>> +endobj +719 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.31) 473 0 R (theorem.2.32) 474 0 R (theorem.2.33) 475 0 R (theorem.2.34) 476 0 R (theorem.2.35) 477 0 R (theorem.2.36) 478 0 R] +/Limits [(theorem.2.31) (theorem.2.36)] +>> +endobj +720 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.37) 480 0 R (theorem.2.38) 481 0 R (theorem.2.39) 482 0 R (theorem.2.4) 434 0 R (theorem.2.40) 483 0 R (theorem.2.41) 490 0 R] +/Limits [(theorem.2.37) (theorem.2.41)] +>> +endobj +721 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.42) 491 0 R (theorem.2.43) 492 0 R (theorem.2.44) 493 0 R (theorem.2.45) 496 0 R (theorem.2.46) 497 0 R (theorem.2.47) 498 0 R] +/Limits [(theorem.2.42) (theorem.2.47)] +>> +endobj +722 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.48) 499 0 R (theorem.2.49) 500 0 R (theorem.2.5) 435 0 R (theorem.2.50) 501 0 R (theorem.2.51) 502 0 R (theorem.2.52) 505 0 R] +/Limits [(theorem.2.48) (theorem.2.52)] +>> +endobj +723 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.53) 513 0 R (theorem.2.54) 520 0 R (theorem.2.55) 521 0 R (theorem.2.56) 522 0 R (theorem.2.57) 523 0 R (theorem.2.58) 524 0 R] +/Limits [(theorem.2.53) (theorem.2.58)] +>> +endobj +724 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.59) 525 0 R (theorem.2.6) 436 0 R (theorem.2.60) 526 0 R (theorem.2.61) 527 0 R (theorem.2.62) 528 0 R (theorem.2.63) 529 0 R] +/Limits [(theorem.2.59) (theorem.2.63)] +>> +endobj +725 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.64) 530 0 R (theorem.2.65) 531 0 R (theorem.2.66) 539 0 R (theorem.2.67) 540 0 R (theorem.2.68) 541 0 R (theorem.2.69) 542 0 R] +/Limits [(theorem.2.64) (theorem.2.69)] +>> +endobj +726 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.7) 437 0 R (theorem.2.70) 543 0 R (theorem.2.71) 544 0 R (theorem.2.72) 545 0 R (theorem.2.73) 546 0 R (theorem.2.74) 547 0 R] +/Limits [(theorem.2.7) (theorem.2.74)] +>> +endobj +727 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.75) 548 0 R (theorem.2.76) 549 0 R (theorem.2.77) 550 0 R (theorem.2.78) 551 0 R (theorem.2.79) 552 0 R (theorem.2.8) 438 0 R] +/Limits [(theorem.2.75) (theorem.2.8)] +>> +endobj +728 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.80) 553 0 R (theorem.2.81) 562 0 R (theorem.2.82) 563 0 R (theorem.2.83) 564 0 R (theorem.2.84) 565 0 R (theorem.2.85) 566 0 R] +/Limits [(theorem.2.80) (theorem.2.85)] +>> +endobj +729 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.86) 567 0 R (theorem.2.87) 568 0 R (theorem.2.88) 569 0 R (theorem.2.89) 570 0 R (theorem.2.9) 439 0 R (theorem.2.90) 571 0 R] +/Limits [(theorem.2.86) (theorem.2.90)] +>> +endobj +730 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.91) 574 0 R (theorem.2.92) 575 0 R (theorem.2.93) 576 0 R (theorem.2.94) 583 0 R (theorem.2.95) 584 0 R (theorem.2.96) 585 0 R] +/Limits [(theorem.2.91) (theorem.2.96)] +>> +endobj +731 0 obj +<< +/Names [(theorem.2.97) 586 0 R (theorem.2.98) 587 0 R (theorem.2.99) 588 0 R] +/Limits [(theorem.2.97) (theorem.2.99)] +>> +endobj +732 0 obj +<< +/Kids [685 0 R 686 0 R 687 0 R 688 0 R 689 0 R 690 0 R] +/Limits [(Doc-Start) (Item.4)] +>> +endobj +733 0 obj +<< +/Kids [691 0 R 692 0 R 693 0 R 694 0 R 695 0 R 696 0 R] +/Limits [(Item.5) (page.9)] +>> +endobj +734 0 obj +<< +/Kids [697 0 R 698 0 R 699 0 R 700 0 R 701 0 R 702 0 R] +/Limits [(section*.10) (subsection.2.1.3)] +>> +endobj +735 0 obj +<< +/Kids [703 0 R 704 0 R 705 0 R 706 0 R 707 0 R 708 0 R] +/Limits [(subsection.2.2.1) (theorem.1.23)] +>> +endobj +736 0 obj +<< +/Kids [709 0 R 710 0 R 711 0 R 712 0 R 713 0 R 714 0 R] +/Limits [(theorem.1.24) (theorem.2.105)] +>> +endobj +737 0 obj +<< +/Kids [715 0 R 716 0 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Antonio Videtta\footnote{Basato su un layout di \underline{Luca Lombardo} e di \underline{Francesco Sorce}.} \\ \href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{\texttt{g.videtta1@studenti.unipi.it}}} + +\begin{document} +\maketitle + +\begin{multicols*}{2} + \tableofcontents +\end{multicols*} + +\newpage +\input{sections/0-notazioni.tex} +\input{sections/0-prerequisiti.tex} +\input{sections/0-identità-somme.tex} +\input{sections/1-spazi-in-generale.tex} +\input{sections/2-probabilità-discreta.tex} +\input{sections/tabella-modelli-discreti.tex} +\input{sections/tabella-phi.tex} + +\end{document} diff --git a/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/preamble.tex b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/preamble.tex new file mode 100644 index 0000000..4c0fc4e --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/preamble.tex @@ -0,0 +1,160 @@ +\usepackage[top=1.5cm,bottom=1.5cm,left=1.5cm,right=1.5cm]{geometry} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[italian]{babel} +\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,amsthm,stmaryrd} +\usepackage{mathrsfs} % per mathscr +\usepackage{graphicx}% ruota freccia per le azioni +\usepackage{marvosym}% per il \Lightning +\usepackage{array} +\usepackage{faktor} % per gli insiemi quoziente +\usepackage[colorlinks=false]{hyperref} +\usepackage{xparse} % Per nuovi comandi con tanti input opzionali +\usepackage{relsize} % per \mathlarger +\usepackage{tikz-cd} +\usepackage{multicol} +\usepackage{multirow} +\usepackage{cancel} +\usepackage{fourier} +\usepackage{enumerate} +\usepackage{soul} +\usepackage{nicefrac} +\usepackage{longtable} +\usepackage{pdflscape} + +\newtheorem*{warn}{\warning \; Attenzione} + +\newtheoremstyle{customth} +{\topsep}{\topsep} +{\itshape}{}{\bfseries}{.}{\newline}{} + +\newtheoremstyle{customdef} +{\topsep}{\topsep} +{\normalfont}{}{\bfseries}{.}{\newline}{} + +\newtheoremstyle{customrem} +{\topsep}{\topsep} +{\normalfont}{}{\itshape}{.}{\newline}{} + +\usepackage{fourier} + +\theoremstyle{customth} +\newtheorem{theorem}{Teorema}[chapter] +\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} +\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollario} +\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposizione} +\newtheorem{fact}[theorem]{Fatto} +\newtheorem{application}[theorem]{Applicazione} +\theoremstyle{customrem} +\newtheorem{remark}[theorem]{Osservazione\,} +\theoremstyle{customdef} +\newtheorem{definition}[theorem]{Definizione} +\newtheorem{notation}[theorem]{Notazione} +\newtheorem{example}[theorem]{Esempio} + +\DeclareMathOperator{\BinNeg}{BinNeg} +\DeclareMathOperator{\Geom}{Geom} +\DeclareMathOperator{\Poisson}{Poisson} + +\makeatletter +\renewenvironment{proof}[1][\proofname]{\par + \pushQED{\qed}% + \normalfont \topsep6\p@\@plus6\p@\relax + \trivlist + \item[\hskip\labelsep + \itshape + #1\@addpunct{.}]\mbox{}\\* +}{% + \popQED\endtrivlist\@endpefalse +} +\makeatother + +%============ Simboli standard ================= +\newcommand{\FF}{\mathcal{F}} 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style for curved arrows of a fixed height, due to AndréC. +\tikzset{curve/.style={settings={#1},to path={(\tikztostart) + .. controls ($(\tikztostart)!\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$) + and ($(\tikztostart)!1-\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$) + .. (\tikztotarget)\tikztonodes}}, + settings/.code={\tikzset{quiver/.cd,#1} + \def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/quiver/##1}}}, + quiver/.cd,pos/.initial=0.35,height/.initial=0} + +% TikZ arrowhead/tail styles. +\tikzset{tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{tikzcd to}}} +\tikzset{2tail/.code={\pgfsetarrowsstart{Implies[reversed]}}} +\tikzset{2tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{Implies}}} +% TikZ arrow styles. +\tikzset{no body/.style={/tikz/dash pattern=on 0 off 1mm}} diff --git a/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-identità-somme.tex b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-identità-somme.tex new file mode 100644 index 0000000..a8ed5cf --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-identità-somme.tex @@ -0,0 +1,54 @@ +%-------------------------------------------------------------------- +\chapter*{Lista delle identità sulle sommatorie} +\addcontentsline{toc}{chapter}{Lista delle identità sulle sommatorie} +\setlength{\parindent}{2pt} + +\section*{Identità sulle sommatorie} + +\begin{itemize} + \item $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ -- ogni scelta di $k$ oggetti corrisponde + a non sceglierne $n-k$, e dunque vi è un principio di ``dualità''. + \item $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ -- le combinazioni + di $n$ oggetti in $k$ posizioni si ottengono facendo la somma delle combinazioni + ottenute fissando un oggetto e combinando gli altri $n-1$ oggetti sui $k-1$ + posti rimanenti, e delle combinazioni ottenute ignorando lo stesso oggetto, + ossia combinando gli altri $n-1$ oggetti su tutti e $k$ i posti. + \item $(1 + x)^n = \sum_{i = 0}^n \binom{n}{i} x^i$ -- Teorema del binomio di Newton. + \item $2^n = \sum_{i = 0}^n \binom{n}{i}$ -- Segue immediatamente dal Teorema del binomio di Newton; è coerente col fatto che si stanno contando le parti di $[n]$. + \item $\sum_{i = 0}^n (-1)^i \binom{n}{i} = 0$ -- Segue immediatamente dal Teorema del binomio + di Newton (infatti $(1-1)^n = 0$). + \item $\sum_{i = 0}^n i \binom{n}{i} = n 2^{n-1}$ -- Segue derivando rispetto a $x$ l'identità + del Teorema del binomio di Newton. + \item $\sum_{i = 0}^n \binom{n}{i} \pp^i (1 - \pp)^{n-i} = 1$ per $\pp \in [0, 1]$ -- Segue dal Teorema del binomio di Newton. + \item $\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}^2 = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \binom{n}{n-i} = \binom{2n}{n}$ -- Dato un gruppo di $n$ maschi e di $n$ femmine, si vuole + contare quanti team di $n$ persone si possono costruire prendendo persone + da entrambi i gruppi. Chiaramente la risposta è $\binom{2n}{n}$, ma si + può contare lo stesso numero di scelte fissando a ogni passo l'indice + $i$, che conta il numero di maschi nel team, a cui corrispondono + $\binom{n}{i} \binom{n}{n-i}$ scelte. L'identità segue dunque dal Principio + del \textit{double counting}. + \item $\sum_{i=r}^n \binom{i}{r} = \binom{n+1}{r+1}$ -- Dato un gruppo di $r$ + persone distinguibili e di $n$ bastoni indistinguibili, per contare le possibili + distribuzioni con cui si possono affidare gli $n$ bastoni è sufficiente applicare + la combinazione con ripetizione, ottenendo $\binom{n+r-1}{r-1}$; un altro modo + di far ciò è fissare $i$ bastoni da affidare a una persona fissata in precedenza + e distribuire gli $n-i$ bastoni rimanenti tra gli altri, che a ogni $i$ si può fare in + $\binom{n-i+k-2}{k-2}$ modi. L'identità segue dunque dal Principio del \textit{double + counting} riparametrizzando la somma ottenuta. + \item $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ -- Somma dei numeri da $1$ a $n$. + \item $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ -- Somma dei quadrati da $1$ a $n$. + \item $\sum_{i=1}^n i^3 = \left[ \sum_{i=1}^n i \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ -- Somma + dei cubi da $1$ a $n$. + \item $\sum_{i=0}^n a^i = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}$ per $a \neq 1$, $n$ altrimenti -- Somma + delle potenze di $a$ con esponente da $0$ + a $n$. + \item $\sum_{i=0}^n i a^i = \frac{a}{(1-a)^2} \left[1 - (n+1)a^n + na^{n+1} \right]$ -- Segue derivando la somma delle potenze. + \item $\sum_{i=0}^n i^2 a^i = \frac{a}{(1-a)^3} \left[ (1+a) - (n+1)^2 a^n + (2n^2 + 2n-1)a^{n+1} - n^2 a^{n+2} \right]$ -- Segue + derivando due volte la somma delle potenze. + \item $\sum_{i=0}^\infty x^i = \frac{1}{1-x}$ per $\abs{x} < 1$ -- Serie geometrica. Deriva + prendendo il limite per $n \to \infty$ della + somma di potenze. + \item $\sum_{i=0}^\infty i x^i = \frac{x}{(1-x)^2}$ per $\abs{x} < 1$ -- Segue derivando la serie geometrica. + \item $\sum_{i=0}^\infty i^2 x^i = \frac{x(x+1)}{(1-x)^3}$ per $\abs{x} < 1$ -- Segue derivando due volte + la serie geometrica. +\end{itemize} diff --git a/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-notazioni.tex b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-notazioni.tex new file mode 100644 index 0000000..a630886 --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-notazioni.tex @@ -0,0 +1,198 @@ +%-------------------------------------------------------------------- +\chapter*{Notazioni impiegate} +\addcontentsline{toc}{chapter}{Notazioni impiegate} +\setlength{\parindent}{2pt} + +\begin{multicols*}{2} + \section*{Algebra lineare} + \begin{itemize} + \item $q_\varphi$ -- dato uno spazio vettoriale $V$ equipaggiato con un + prodotto scalare $\varphi$, $q_\varphi$ è la forma quadratica associatogli, ovverosia + $q_\varphi(v) = \varphi(v, v)$. + \item $\norm{v}_{\varphi}$ -- dato uno spazio vettoriale reale $V$ equipaggiato con + un prodotto scalare (semi)definito positivo $\varphi$, $\norm{\cdot}_{\varphi}$ è + la (semi)norma indotta da $\varphi$, ovverosia $\norm{v}_{\varphi} = \sqrt{q_{\varphi}(v)} = \sqrt{\varphi(v, v)}$. + \item vettore isotropo -- + vettore che annulla la forma quadratica. + \item vettore anisotropo -- vettore non isotropo, vettore che non annulla la forma quadratica. + \item $\cos_\varphi(v, w)$, $\cos(v, w)$ -- dati due vettori anisotropi $v$, $w$ su uno spazio vettoriale reale $V$ equipaggiato + di un prodotto scalare semidefinito positivo $\varphi$, si definisce + $\cos_\varphi(v, w)$ (o $\cos(v, w)$ se $\varphi$ è noto dal contesto) in modo tale che: + \[ + \cos_\varphi(v, w) = \frac{\varphi(v, w)}{\norm{v}_\varphi \cdot \norm{w}_\varphi}. + \] + \item vettore $v$ ortogonale a $w$ per $\varphi$ -- Due vettori $v$, $w$ tali + per cui $\varphi(v, w) = 0$. + \item $V^\perp_{\varphi}$ -- Radicale del prodotto scalare (o hermitiano) $\varphi$ + sullo spazio $V$, ovverosia sottospazio dei vettori ortogonali ai vettori di tutto + lo spazio. + \item $\CI(\varphi)$ -- Sottoinsieme dei vettori di $V$ che annullano $q_{\varphi}$, ossia + sottoinsieme dei vettori isotropi. + \item $C_{\varphi}(v, w)$ -- coefficiente di Fourier di + $v$ rispetto a $w$, ossia $C(v, w) \defeq \frac{\varphi(v, w)}{\varphi(v, v)}$. + \end{itemize} + + \section*{Analisi matematica} + \begin{itemize} + \item $f(A_i) \goesup x$ -- la successione $(f(A_i))_{i \in \NN}$ a valori + in $\RR$ è crescente al crescere di $i$ e ha come limite $x$. + \item $f(A_i) \goesdown x$ -- la successione $(f(A_i))_{i \in \NN}$ a valori + in $\RR$ è decrescente al crescere di $i$ e ha come limite $x$. + \item esponente coniugato di $p$ -- per $p > 1$, l'esponente coniugato + $p'$ di $p$ è un numero reale $p' > 1$ tale per cui: + \[ + \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1. + \] + \item $\norm{x}_p$ -- norma $p$-esima del vettore $x \in \RR^n$, ovverosia: + \[ + \norm{x}_p = \left(\sum_{i \in [n]} \abs{x_i}^p\right)^\frac{1}{p}. + \] + Per $p = 2$, si scrive semplicemente $\norm{x}$, e coincide con la norma + indotta dal prodotto scalare canonico di $\RR^n$. + \item $f > g$ -- Per una funzione $f$ a valori reali, come affermazione + corrisponde a dire che per un qualsiasi punto del dominio $x$, $f(x) > g(x)$. Si estende naturalmente a $<$, $\geq$, $\leq$ (eventualmente con + catene di disuguaglianze). Da non + confondersi con l'insieme $f > g$. + \item $a$ -- Per una costante $a \in \RR$ la mappa costante $D \ni d \mapsto a \in \RR$; + la sua interpretazione dipende dal contesto. + \item $f^+$ -- Parte positiva di una mappa $f$ a valori reali, ovverosia + $f^+(a)$ è uguale a $f(a)$ se $f(a) \geq 0$ e $0$ altrimenti. + \item $f^-$ -- Parte negativa di una mappa $f$ a valori reali, ovverosia + $f^-(a)$ è uguale a $-f(a)$ se $f(a) \leq 0$ e $0$ altrimenti. In questo + modo $f = f^+ - f^-$. + \item $\exp$ -- Funzione esponenziale $e^x$. + \item $\log \equiv \ln = \log_e$ -- Logaritmo naturale, ossia logaritmo in base $e$. + \end{itemize} + + \section*{Combinatoria} + \begin{itemize} + \item $D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$ -- numero di disposizioni ottenute prendendo + $k$ elementi tra $n$ oggetti. + \item $\binom{n}{k} = C_{n,k}$ -- il coefficiente binomiale $n$ su $k$, + ovverosia il numero di combinazioni possibili prendendo $k$ elementi tra $n$ oggetti; equivale a $\frac{n!}{(n-k)!k!} = D_{n,k}/k!$. Alternativamente, + il numero di sottoinsiemi di $k$ elementi in $[n]$. + \item $S(I)$ -- gruppo simmetrico relativo a $I$, gruppo delle permutazioni + di $I$. + \item $S_n$ -- $n$-esimo gruppo simmetrico, gruppo delle permutazioni + di $[n]$. + \end{itemize} + + \section*{Teoria degli insiemi} + \begin{itemize} + \item $\PP(\Omega)$ -- insieme delle parti di $\Omega$, ossia insieme + dei sottoinsiemi di $\Omega$. + \item $A \cupdot B$ -- unione disgiunta di $A$ e $B$, ovverosia $A \cup B$ con + l'ipotesi che $A \cap B = \emptyset$ (la notazione si estende naturalmente a + una famiglia di insiemi a due a due disgiunti). + \item $A \Delta B = A \setminus B \cupdot B \setminus A$ -- differenza simmetrica + tra $A$ e $B$. + \item $[n]$ -- l'insieme $\{1, \ldots, n\}$. + \item $\prod_{i \in I} S_i$ con $S_i$ insieme e $I$ ordinato -- prodotto cartesiano degli $S_i$, ordinato secondo $I$. + \item $[[n]]$ -- l'insieme $\{0, \ldots, n\} = \{0\} \cup [n]$. + \item $\#A$, $\abs{A}$ -- numero di elementi di $A$, o semplicemente la cardinalità di $A$. + \item insieme finito -- insieme in bigezione con $[n]$ per qualche $n \in \NN$. + \item insieme numerabile -- insieme in bigezione con $\NN$. + \item $A_i \goesup A$ -- la famiglia $(A_i)_{i \in \NN}$ è crescente e ha + come limite $A$, ovverosia $A_i \subseteq A_{i+1}$ per ogni $i \in \NN$ e + $\bigcup_{i \in \NN} A_i = A$. + \item $A_i \goesdown A$ -- la famiglia $(A_i)_{i \in \NN}$ è decrescente e ha + come limite $A$, ovverosia $A_i \supseteq A_{i+1}$ per ogni $i \in \NN$ e + $\bigcap_{i \in \NN} A_i = A$. + \item $\omega_i$ -- $i$-esima coordinata di $\omega \in \Omega$, se + $\Omega$ è un prodotto cartesiano di finiti termini o di un numero + numerabile di termini. + \item $A^1 \defeq A$ -- useremo questa notazione per comodità. + \item $A^c$ -- il complementare di $A$ riferito a $\Omega$, quindi $\Omega \setminus A$, in modo tale che $\Omega = A \cupdot A^c$. + \item $X\inv(A)$ -- controimmagine dell'insieme $A \subseteq C$ in riferimento + alla funzione $X : D \to C$, ovverosia $X\inv(A) = \{\omega \in D \mid X(\omega) \in A\}$. + \item $S_X$, $\im X$ -- immagine della funzione $X$. + \item $\supp X$ -- supporto di $X$, ovverosia sottoinsieme del + dominio degli elementi che non annullano $X$. + \item $1_A$, $I_A$ -- funzione indicatrice di $A$, ovverosia la + funzione $1_A : B \to [[1]] \subseteq \RR$ riferita ad $A \subseteq B$ + tale per cui: + \[ + 1_A(b) = \begin{cases} + 1 & \text{se } b \in A, \\ + 0 & \text{altrimenti}. + \end{cases} + \] + \item $\groupto$ -- simbolo utilizzato al posto $\to$ quando si elencano + più funzioni che condividono o lo stesso dominio o lo stesso codominio (e.g.~$f$, $g : A$, $B \groupto C$ elenca una funzione $f : A \to C$ e una $g : B \to C$; $f$, $g : A \groupto B$, $C$ elenca una funzione + $f : A \to B$ e una $g : A \to C$). + + \end{itemize} + + \section*{Probabilità e teoria della misura} + \begin{itemize} + \item $\Omega$ -- spazio campionario, l'insieme di tutti i possibili esiti dell'esperimento aleatorio considerato. + \item $\sigma(\tau)$ -- $\sigma$-algebra generata dalla famiglia $\tau \subseteq \PP(\Omega)$. + \item $\sigma\{A_1, \ldots, A_n\}$ -- $\sigma$-algebra generata dalla famiglia + $\tau = \{A_1, \ldots, A_n\} \subseteq \PP(\Omega)$. + \item $\FF$ -- $\sigma$-algebra relativa a $\Omega$, ossia l'insieme dei possibili eventi. + \item $(\Omega, \FF)$ -- spazio misurabile. + \item $P$ -- misura di probabilità su uno spazio misurabile. + \item $(\Omega, \FF, P)$ -- spazio di probabilità. + \item \qc -- quasi certo/quasi certamente. + \item $p$ -- per $\Omega$ discreto, funzione di densità discreta. + \item \va -- variabile aleatoria. + \item $P^X$ -- legge della v.a.~$X$ rispetto a $P$. + \item $p_X$ -- densità della legge della v.a.~$X$, rispetto a $P$. + \item $X \in A$ -- per una \va $X : \Omega \to S$, + $X \in A$ è l'insieme $X\inv(A)$. Si estende naturalmente + al caso $\notin$. + \item $X = a$ -- per una \va $X : \Omega \to S$, + $X = a$ è l'insieme $X\inv(a)$. Si estende naturalmente + al caso $\neq$. + \item $X = Y$ -- per due \va $X, Y : \Omega \groupto S$ + l'insieme $\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) = Y(\omega) \}$. + Si estende naturalmente al caso $\neq$ e in modo analogo a $>$, $<$, $\leq$, $\geq$. + \item $X > a$ -- per una \va reale $X : \Omega \to \RR$, + $X > a$ è l'insieme $X\inv((a, \infty))$; per una \va discreta + $X : \Omega \to \RR$ è l'insieme $X\inv(\{m \in \NN \mid m > a\})$. + Si estende naturalmente ai casi $<$, $\leq$, $\geq$ (eventualmente + anche con una catena di disuguaglianze). Da non confondersi con + l'affermazione $X > a$ per $X$ a valori reali. + \item $\varphi(X)$ -- per una \va, la composizione $\varphi \circ X$. + \item $\deq$, $\sim$ -- per due v.a.~$X, Y : \Omega_1, \Omega_2 \groupto S$ + indica l'uguaglianza di legge, ovverosia $P_{\Omega_1}^X = P_{\Omega_2}^Y$. + \item i.d.~-- identicamente distribuite; utilizzato in relazione a un gruppo + di v.a.~che condividono la stessa legge (spesso rispetto a uno stesso $\Omega$). + \item i.i.d.~-- indipendenti e identicamente distribuite; utilizzato in relazione + a un gruppo di v.a.~indipendenti che condividono la stessa legge (spesso rispetto + a uno stesso $\Omega$). + \item $(X_i)_{i \in I}$ -- famiglia di v.a., oppure v.a.~congiunta. + \item $(X_1, \ldots, X_n)$ -- per una famiglia $(X_i : \Omega \to S_i)_{i \in [n]}$ di + v.a.~indica la v.a.~congiunta (multivariata) $(X_1, \ldots, X_n) : \Omega \to \prod_{i \in [n]} S_i$, $\omega \mapsto (X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega))$. Se la + famiglia è composta da due variabili, si dice anche \textit{coppia bivariata}. + \item $P(A, B) \defeq P(A \cap B)$ -- notazione introdotta per scrivere + più comodamente $P(X = x, Y = y)$ in luogo di $P((X = x) \cap (Y = y))$. Si + generalizza in modo naturale a più eventi. + \item $L(A, B) \defeq \frac{P(A \mid B)}{P(A)}$ -- rapporto di influenza tra + $A$ e $B$. + \item $\bigotimes_{i \in [n]} P_i = P_1 \otimes \cdots \otimes P_n$ -- + Date $P_i$ probabilità su $S_i$ discreto, $P_1 \otimes \cdots \otimes P_n \defeq P$ è la misura di probabilità naturale su $\prod_{i \in [n]} S_i$ tale per cui + le proiezioni $\pi_i$ siano v.a.~discrete indipendenti e per cui + $P(\pi_i = x_i) = p_i(x_i)$ per ogni $x_i \in S_i$, $i \in [n]$. + \item $\EE[X]$ -- valore atteso di $X$. + \item $\EE[X \mid A] = \defeq \frac{\EE[X \cdot 1_A]}{P(A)}$ -- valore atteso di $X$ + condizionato a $A$. + \item $\Cov(X, Y) \defeq \EE[(X - \EE[X])(Y - \EE[Y])]$ -- covarianza di $X$ e $Y$. + \item $\Var(X) \defeq \Cov(X, X)$ -- varianza di $X$. + \item $\sigma(X) \defeq \sqrt{\Var(X)}$ -- deviazione standard di $X$. + \item $\rho(X, Y)$ -- coefficiente + di correlazione di Pearson, ovverosia + $\cos_{\Cov}(X, Y) = \frac{\Cov(X, Y)}{\sigma(X) \cdot \sigma(Y)}$. + \item $a^*$, $b^*$ -- date due + v.a.~$X$, $Y$, $a^*$ e $b^*$ sono + i parametri della retta di + regressione $y = a^*x + b^*$. + \item $I(t)$ -- trasformata di Cramer. + \item LGN - Legge dei Grandi Numeri. + \item TCL, TLC - Teorema Centrale del Limite. + \item $m$, $\sigma$ -- spesso nel contesto + della LGN e del TCL si usa $m$ per + indicare $\EE[X_1]$ e $\sigma$ per + indicare $\sigma(X_1)$. + \end{itemize} +\end{multicols*} diff --git a/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-prerequisiti.tex b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-prerequisiti.tex new file mode 100644 index 0000000..8d7939f --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-prerequisiti.tex @@ -0,0 +1,138 @@ +%-------------------------------------------------------------------- +\chapter*{Prerequisiti matematici} +\addcontentsline{toc}{chapter}{Prerequisiti matematici} +\setlength{\parindent}{2pt} + +\begin{multicols*}{2} + +\section*{Algebra lineare} + +\begin{itemize} + \item \textbf{Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz} -- Se $\varphi(\cdot, \cdot)$ + è un prodotto scalare (o hermitiano) definito positivo su uno spazio vettoriale $V$, allora vale la seguente disuguaglianza: + \[ + \varphi(v, v) \varphi(w, w) \geq \abs{\varphi(v, w)}^2 , \quad \forall v, w \in V. + \] + Inoltre vale l'uguaglianza se e solo se $v$ è multiplo di $w$, o viceversa. Per + prodotti semidefiniti positivi la disuguaglianza vale ugualmente, ma in + tal caso $v$ si scrive come somma di un vettore del cono isotropo e del prodotto di $w$ per uno scalare. + \item \textbf{Proprietà di $\cos(v, w)$} -- Vale che $\cos(v, w) \in [-1, 1]$ per + ogni $v$, $w \in V$ in spazi vettoriali reali dove $\cos$ è ben definito. Segue + dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. +\end{itemize} + +\section*{Analisi matematica} + +\begin{itemize} + \item \textbf{Limite delle successioni monotone} -- Se una successione + $(a_i)_{i \in \NN}$ è monotona, allora ammette limite. Se $(a_i)_{i \in \NN}$ + è crescente, allora $a_i \to \sup\{a_i \mid i \in \NN\}$ per $i \to \infty$ (e + dunque converge se la successione è limitata dall'alto); se + $(a_i)_{i \in \NN}$ è decrescente, allora $a_i \to \inf\{a_i \mid i \in \NN\}$ per $i \to \infty$ (e dunque converge se la successione è limitata dal basso). + \item \textbf{Convergenza delle serie a termini positivi} -- Se una serie è + a termini positivi, allora la successione delle somme parziali è crescente, + e dunque la serie ammette come valore un valore reale o $\infty$. + \item \textbf{Convergenza assoluta} -- Se una serie $\sum_{i \in \NN} \abs{a_i}$ converge + (l'unica altra opzione è che diverga, per la proprietà sopracitata), allora + $\sum_{i \in \NN} a_i$ converge. Non è vero il viceversa in generale. + \item \textbf{Disuguaglianza di Jensen} -- Sia $f : \RR \supseteq S \to \RR$ una funzione convessa a + valori reali. Allora vale che: + \[ + f\left(\sum_{i \in [n]} a_i x_i\right) \leq \sum_{i \in [n]} a_i f(x_i), \quad \sum_{i \in [n]} a_i = 1, x_i. + \] + Se invece $f$ è concava, vale la disuguaglianza con $\geq$ al posto di $\leq$. + \item \textbf{Disuguaglianza di Young} -- Sia $p \geq 1$ e sia $p'$ il + suo esponente coniugato. Allora vale che: + \[ + ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^p}{p}, \forall a, b > 0. + \] + Segue dalla disuguaglianza di Jensen applicata a $e^x$, che è convessa. + \item \textbf{Disuguaglianza di Hölder} -- Sia $p > 1$ e sia $p'$ il + suo esponente coniugato. Allora vale che: + \[ + \sum_{i \in [n]} \abs{x_i y_i} \leq \norm{x}_p \norm{y}_p, \quad \forall x, y \in \RR^n, \forall n \in \NN. + \] + Per $p = 2$, è equivalente alla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz sul + prodotto scalare canonico di $\RR^n$. Segue dalla disuguaglianza di Young. + \item \textbf{Disuguaglianza sulle potenze} -- Siano $x$, $y \in \RR$ e sia + $p \geq 1$. Allora vale che: + \[ + \abs{x+y}^p \leq 2^{p-1} (\abs{x}^p + \abs{y}^p). + \] + Segue dalla disuguaglianza di Jensen applicata a $f(t) = t^p$ per + $\abs{x}$ e $\abs{y}$ ($t^p$ è convessa per $t \geq 0$). +\end{itemize} + +\section*{Combinatoria} + +\begin{itemize} + \item \textbf{Principio di \textit{double counting}} -- Principio di dimostrazione per il quale + se vi sono due modi diversi, ma equivalenti, di contare lo stesso numero di scelte + di un qualsiasi sistema, allora le formule ricavate dai due modi devono + essere identicamente uguali. + \item \textbf{Principio di inclusione-esclusione} -- Teorema da cui discende che per $(A_i)_{i \in [n]}$ vale che: \[\abs{\bigcup_{i \in [n]} A_i} = \sum_{j \in [n]} (-1)^{j+1} \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_j \leq n} \abs{\bigcap_{k \in [j]} A_{i_k}}.\] + Inoltre vale che $\abs{\bigcup_{i \in [n]} A_i} = \sum_{i \in [n]} \abs{A_i}$ se e solo se gli $A_i$ sono a due a due disgiunti. Per $n = 2$, + $\abs{A \cup B} = \abs{A} + \abs{B} - \abs{A \cap B}$. + \item \textbf{Principio della piccionaia} (\textit{Pigeonhole principle}) -- Teorema che + asserisce che per ogni funzione $f : [n+1] \to [n]$ esistono $i$, $j \in [n+1]$ + tali per cui $f(i) = f(j)$. Più informalmente, se si hanno $n+1$ oggetti da + posizionare in $n$ buchi, esiste per forza un buco con due oggetti. + \item \textbf{Principio della piccionaia generalizzato} -- Teorema che asserisce che + per ogni funzione $f : [kn+1] \to [n]$ esistono $k+1$ elementi di $[kn+1]$ che + condividono la stessa immagine. Più informalmente, se si hanno $kn+1$ oggetti + da posizionare in $n$ buchi, esiste per forza un buco con $k+1$ oggetti. Segue per + induzione dal Principio della piccionaia. + \item \textbf{Principio moltiplicativo} -- Se una scelta può essere fatta in $N$ + passi e all'$i$-esimo passo corrispondono $n_i$ scelte, allora la scelta globale + può essere fatta in $\prod_{i \in [N]} n_i$ modi. + \item \textbf{Permutazioni di $n$ oggetti} -- Dati $n$ oggetti, esistono + $n!$ modi di permutarli. Segue dal Principio moltiplicativo. + \item \textbf{Disposizioni semplici di $n$ oggetti in $k$ posti} -- Dati $n$ oggetti + e $k$ posti, allora esistono $D_{n,k}$ modi di disporre gli $n$ oggetti nei + $k$ posti se $k \leq n$. Se $k = n$, ci si riduce a contare le permutazioni. + \item \textbf{Disposizioni con ripetizione di $n$ oggetti in $k$ posti} -- Dati + $n$ oggetti e $k$ posti, allora esistono $n^k$ modi di disporre con ripetizione gli $n$ oggetti + nei $k$ posti. Segue dal Principio moltiplicativo. + \item \textbf{Combinazioni di $n$ oggetti in $k$ posti} -- Dati $n$ oggetti + e $k$ posti, allora esistono $C_{n,k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$ modi di disporre gli $n$ oggetti nei + $k$ posti non facendo contare l'ordine, se $k \leq n$. Segue dal Principio + moltiplicativo. + \item \textbf{Combinazioni con ripetizione di $n$ oggetti in $k$ buchi} -- Data + l'equazione $x_1 + \ldots + x_k = n$ con $x_i \in \NN$, esistono esattamente + $\binom{n+k-1}{k-1}$ soluzioni. Alternativamente, data la disequazione + $x_1 + \ldots + x_k \leq n$ con $x_i \in \NN$, esistono esattamente + $\binom{n+k}{k}$ soluzioni (dacché ha le stesse soluzioni di + $x_1 + \ldots + x_k + y = n$, dove $y \in \NN$). È un'applicazione di una + tecnica combinatorica standard denominata \textit{stars and bars}. + \item \textbf{Numero di scelte possibili per un'estrazione di $n$ palline rosse e nere da un insieme di $N_1$ palline rosse unito a un insieme di $N-N_1$ palline nere} -- Se $k$ è il numero di palline rosse estratte, le scelte possibili sono + $\binom{N_1}{k} \binom{N - N_1}{n-k}$. Si può generalizzare il problema a + un insieme di $N$ palline divise in $m$ gruppi da $N_i$ palline ciascuno + (e dunque $\sum_{i \in [m]} N_i = N$) dove se ne estrae $n$ e $k_i$ è il + numero di palline estratte dall'$i$-esimo gruppo (dunque $\sum_{i \in [m]} k_i = n$; + in tal caso le scelte possibili sono $\prod_{i \in [m]} \binom{N_i}{k_i}$. Segue + dal Principio moltiplicativo. + \item \textbf{Identità sulle cardinalità} +\begin{itemize} + \item $\#\{(a_1, \ldots, a_n) \in [k]^n \mid a_1 < a_2 < \ldots < a_n\} = \binom{n}{k}$ se $k \leq n$ -- Infatti data una classe di disposizione, esiste un unica lista ordinata + in tale classe. + \item $\#\{(a_1, \ldots, a_n) \in [k]^n \mid a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\} = \binom{n + k - 1}{k - 1}$. -- È sufficiente osservare che si sta + contando esattamente le combinazioni con ripetizione in perfetta analogia con la precedente + cardinalità. +\end{itemize} +\end{itemize} + +\section*{Teoria degli insiemi} + +\begin{itemize} + \item \textbf{Leggi di De Morgan} -- Se $A$ e $B$ sono insiemi, allora + $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ e $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$. + \item \textbf{Operazioni con $X\inv$ controimmagine} -- Se $X : D \to C$ è + una funzione e $\FF = (A_i)_{i \in I}$ è una famiglia di sottoinsiemi di $C$, allora vale che $X\inv(\bigcup_{i \in I} A_i) = \bigcup_{i \in I} X\inv(A_i)$, + $X\inv(\bigcap_{i \in I} A_i) = \bigcap_{i \in I} X\inv(A_i)$, + $X\inv(A_i^c) = X\inv(A_i)^c$, ovverosia $X\inv$ commuta con unioni ($\cup$), + intersezioni ($\cap$) e complementare ($^c$). $X\inv(\emptyset) = \emptyset$, e dunque $A_i \cap A_j = \emptyset \implies X\inv(A_i) \cap X\inv(A_j) = \emptyset$. + Inoltre per $Y : C \to C'$ vale che $(Y \circ X)\inv(A) = X\inv(Y\inv(A))$, + per $A \subseteq C'$. +\end{itemize} + +\end{multicols*} \ No newline at end of file diff --git a/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/1-spazi-in-generale.tex b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/1-spazi-in-generale.tex new file mode 100644 index 0000000..d4231b4 --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/1-spazi-in-generale.tex @@ -0,0 +1,425 @@ +%-------------------------------------------------------------------- +\chapter{Spazi di probabilità in generale} +\setlength{\parindent}{2pt} + +\begin{multicols*}{2} + \section{Definizioni preliminari} + + \subsection{Esperimento aleatorio, spazi campionari} + + \begin{definition}[Esperimento aleatorio] + Si dice \textbf{esperimento aleatorio} un fenomeno il cui esito + non è determinabile a priori. + \end{definition} + + \begin{definition}[Spazio campionario] + Si definisce \textbf{spazio campionario}, spesso indicato con + $\Omega$, un insieme non vuoto che contiene gli + esiti di un esperimento aleatorio. + \end{definition} + + \subsection{\texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebre e spazi misurabili} + + \begin{definition}[$\sigma$-algebra] + Una $\sigma$-algebra $\FF$ di $\Omega$ è un sottoinsieme $\FF \subseteq \PP(\Omega)$ tale per cui: + + \begin{enumerate}[(i.)] + \item $\Omega \in \FF$, + \item $A \in \FF \implies A^c \in \FF$, + \item per $(A_i)_{i \in \NN}$ famiglia numerabile di insiemi + in $\FF$, $\bigcup_{i \in \NN} A_i \in \FF$ ($\FF$ è chiuso per unioni numerabili). + \end{enumerate} + \end{definition} + + Una $\sigma$-algebra $\FF$ di uno spazio campionario $\Omega$ rappresenta l'insieme degli + \textbf{eventi accettabili}. In particolare: + + \begin{definition}[Spazio misurabile] + Si definisce \textbf{spazio misurabile} una coppia + $(\Omega, \FF)$, dove $\FF$ è una $\sigma$-algebra + di $\Omega$. + \end{definition} + + \subsection{Insiemi discreti e \texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebra naturale} + + In alcuni casi la scelta della $\sigma$-algebra $\FF$ è + naturale, come nel caso in cui si considera uno spazio + campionario discreto: + + \begin{definition}[Insieme discreto] + Diciamo che un insieme $\Omega$ è discreto se è finito o numerabile. + Se non viene esplicitato altrimenti, per $\Omega$ si considererà + sempre la $\sigma$-algebra naturale $\PP(\Omega)$. + \end{definition} + + \subsection{Proprietà di una \texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebra e \texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebra generata} + + In casi non discreti, è invece più naturale considerare + $\sigma$-algebre molto meno grandi dell'insieme delle + parti; in particolare, come vedremo nella \textit{Parte 3}, + sarà naturale chiedersi qual è la $\sigma$-algebra più + piccola che contiene una certa famiglia di insiemi: + + \begin{definition}[$\sigma$-algebra generata da una famiglia di insiemi] + Sia $\tau$ una famiglia di sottoinsiemi di $\PP(\Omega)$. Allora + si definisce la $\sigma$-algebra + generata da $\tau$, detta $\sigma(\tau)$, come la più + piccola $\sigma$-algebra contenente $\tau$. Equivalentemente: + \[ + \sigma(\tau) = \bigcap_{\substack{\FF \subseteq \PP(\Omega) \\ \tau \subseteq \FF \\ \FF \; \sigma\text{-alg.}}} \FF. + \] + \end{definition} + + \begin{remark} + La definizione data è una buona definizione dal momento che si + verifica facilmente che l'intersezione di $\sigma$-algebre è ancora + una $\sigma$-algebra. + \end{remark} + + \begin{proposition}[Proprietà di $\FF$] Se $\FF$ è una $\sigma$-algebra + di $\Omega$, allora: + \begin{enumerate}[(i.)] + \item $\emptyset \in \FF$, + \item per $(A_i)_{i \in \NN}$ famiglia numerabile di insiemi + in $\FF$, $\bigcap_{i \in \NN} A_i \in \FF$ ($\FF$ è chiuso per intersezioni numerabili), + \item $A \setminus B = A \cap B^c \in \FF \impliedby A$, $B \in \FF$. + \end{enumerate} + \end{proposition} + + \section{Corrispondenze logiche e relazionali tra eventi} + + \begin{remark}[Corrispondenze affermazioni ed eventi] + Ad alcune affermazioni logiche su $A$ e $B$ eventi di $\FF$ corrispondono degli eventi ben precisi o delle + relazioni: + \begin{itemize} + \item ``Si verificano $A$ e $B$'' corrisponde a $A \cap B$, + \item ``Si verifica $A$ o $B$'' corrisponde a $A \cup B$, + \item ``Si verifica esattamente uno tra $A$ e $B$'' corrisponde a $A \setminus B \cupdot B \setminus A = A \Delta B$ (differenza simmetrica), + \item ``Non si verifica $A$'' corrisponde a $A^c$, + \item ``Si verifica qualcosa'' corrisponde a $\Omega$, + \item ``Non si verifica niente'' corrisponde a $\emptyset$, + \item ``Se succede $A$, allora succede $B$'' corrisponde a $A \subseteq B$, + \item ``Non succedono $A$ e $B$ contemporaneamente'' corrisponde a + $A \cap B = \emptyset$. + \end{itemize} + \end{remark} + + \section{Misure di probabilità} + + \subsection{La probabilità \texorpdfstring{$P$}{P} su \texorpdfstring{$\Omega$}{Ω} e spazi di probabilità} + + \begin{definition}[Probabilità \texorpdfstring{$P$}{P} su $(\Omega, \FF)$ secondo Kolmogorov] + Dato $(\Omega, \FF)$ spazio misurabile, una \textbf{misura + di probabilità} $P$, detta semplicemente \textit{probabilità}, + è una funzione $P : \FF \to \RR$ tale per cui: + + \begin{enumerate}[(i.)] + \item $P(\Omega) = 1$, + \item $0 \leq P(A) \leq 1$ per ogni $A \in \FF$ (ossia $P$ può restringersi su $[0, 1]$ al codominio), + \item $P(\bigcupdot_{i \in \NN} A_i) = \sum_{i \in \NN} P(A_i)$ ($\sigma$-additività). + \end{enumerate} + + In particolare $P$ è una misura. + \end{definition} + + \begin{definition}[Spazio di probabilità] + Si dice \textbf{spazio di probabilità} una tripla + ($\Omega$, $\FF$, $P$) dove ($\Omega$, $\FF$) è + uno spazio misurabile e $P$ è una + probabilità su ($\Omega$, $\FF$). + \end{definition} + + \subsection{Proprietà della probabilità \texorpdfstring{$P$}{P}} + + \begin{proposition}[Proprietà di $P$] + Se $P$ è una probabilità su ($\Omega$, $\FF$), allora: + + \begin{enumerate}[(i.)] + \item $P(\emptyset) = 0$, + \item $P(\bigcupdot_{i \in [n]} A_i) = \sum_{i \in [n]} P(A_i)$ ($\sigma$-additività finita), + \item $P(A) + P(A^c) = 1$, + \item $A \subseteq B \implies P(A) \leq P(B)$ e $P(B \setminus A) = P(B) - P(A)$ (segue da (iii)), + \item $P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B)$ (segue da (iv) considerando che $B \setminus A = B \setminus (A \cap B)$), + \item $P(A \cup B) = P(A \Delta B \cupdot A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (segue da (v)), + \item $P(\bigcup_{i \in [n]} A_i) = \sum_{j \in [n]} (-1)^{j+1} \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_j \leq n} P(\bigcap_{k \in [j]} A_{i_{k}})$ (segue da (vi) per induzione, Principio di inclusione-esclusione ``probabilistico''), + \item $P(\bigcup_{i \in \NN} A_i) \leq \sum_{i \in \NN} P(A_i)$ ($\sigma$-subadditività). + \end{enumerate} + \end{proposition} + + \begin{remark} + Per $\Omega$ finito, la $\sigma$-additività finita implica la $\sigma$-additività per il Principio della piccionaia. + \end{remark} + + \begin{proposition}[Comportamento di $P$ al limite] + Sia $(A_i)_{i \in \NN}$ una famiglia numerabile di + eventi in $\FF$ sullo spazio di probabilità + $(\Omega, \FF, P)$. Allora: + + \begin{enumerate}[(i.)] + \item $A_i \goesup A \implies P(A_i) \goesup P(A)$, + \item $A_i \goesdown A \implies P(A_i) \goesdown P(A)$. + \end{enumerate} + \end{proposition} + + \subsection{Eventi incompatibili, quasi certi e trascurabili, proprietà che accadono q.c.} + + \begin{definition}[Eventi trascurabili e quasi certi] + Sia $A \in \FF$. Allora $A$ si dice \textbf{trascurabile} se + $P(A) = 0$; si dice \textbf{quasi certo} se $P(A) = 1$. + \end{definition} + + \begin{definition}[Eventi incompatibili] + Due eventi $A$, $B \in \FF$ si dicono \textbf{incompatibili} se + $A \cap B = \emptyset$. + \end{definition} + + \begin{definition}[$q$ accade \qc] + Si dice che una proprietà $q$ \textbf{accade quasi certamente (\qc)} + se esiste $A \in \FF$ quasi certo che soddisfa + $q$. + \end{definition} + + \begin{remark} + Si osserva che la nozione di proprietà che accade \qc è perfettamente + coerente con la nozione di proprietà che accade \qc riferita a + $P$ come misura (e non specificatamente come misura di probabilità) su $\RR$, ovverosia $q$ accade \qc se esiste + $A \in \FF$ trascurabile tale per cui $A^c$ soddisfi $q$. + \end{remark} + + \section{Probabilità condizionata} + + \subsection{Definizione di \texorpdfstring{$P(\cdot \mid B)$}{P(•|B)}} + + \begin{definition}[Probabilità condizionata su $B$] + Dato $B \in \FF$ evento non trascurabile (i.e.~$P(B) \neq 0$), + la \textbf{probabilità condizionata} su $B$ è la misura + di probabilità $P(\cdot \mid B)$ sullo stesso spazio misurabile + tale per cui: + \[ + P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad \forall A \in \FF. + \] + \end{definition} + + \begin{proposition} + $P(\cdot \mid B)$ è una misura di probabilità su $(\Omega, \FF)$. + \end{proposition} + + \begin{remark} + La probabilità condizionata su $\Omega$ coincide con $P$. + \end{remark} + + \begin{remark} + In generale $P(A \mid \cdot)$ non è una probabilità, dacché + per $\Omega$ si ricava che $P(A \mid \Omega) = P(A)$, che + potrebbe non essere $1$. + \end{remark} + + \subsection{Regola della catena, formula delle probabilità totali e Teorema di Bayes} + + \begin{lemma}[Regola della catena, o della torre] + Dati $(A_i)_{i \in [n]}$ con $P(\bigcap_{i \in [n]} A_i) > 0$, allora vale che + $P(\bigcap_{i \in [j]} A_i) > 0$ per ogni $j \leq n$. Inoltre vale che: + \[ P\left(\bigcap_{i \in [n]} A_i\right) = \left(\prod_{j \in [n-1]} P\left(A_j \,\middle\vert\, \bigcap_{i=j+1}^{n} A_i\right)\right) P(A_n), \] + + che segue per induzione applicando $P(A \cap B) = P(A \mid B) P(B)$. + \end{lemma} + + \begin{remark} + Per esempio, la regola della catena per $A$, $B$ e $C$ si riduce + a: + \[ + P(A \cap B \cap C) = P(A \mid B \cap C) P(B \mid C) P(C). + \] + \end{remark} + + \begin{definition}[Sistema di alternative] + Una famiglia $(B_i)_{i \in I}$ con $I = \NN$ o + $I = [n]$ si dice \textbf{sistema di alternative} + per $\Omega$ se $\Omega = \bigcupdot_{i \in I} B_i$ + e $P(B_i) > 0$ per ogni $i \in I$ (ovverosia + $B_i$ non è mai trascurabile). + \end{definition} + + Un sistema di alternative permette di calcolare più agevolmente + la probabilità di un evento riducendosi alle probabilità + condizionate, come mostra il: + + \begin{lemma}[Formula delle probabilità totali, o formula della partizione] + Sia $(B_i)_{i \in I}$ un sistema di alternative per $\Omega$. Allora vale + che: + \[ + P(A) = \sum_{i \in I} P(A \cap B_i) = \sum_{i \in I} P(A \mid B_i) P(B_i). + \] + \end{lemma} + + Nella maggior parte dei casi è possibile ``invertire'' una probabilità + condizionata, ovverosia ricavare una probabilità tra $P(A \mid B)$, + $P(B \mid A)$, $P(A)$ e $P(B)$ conoscendone tre, a patto che + $A$ e $B$ non siano trascurabili, come mostra il: + + \begin{theorem}[di Bayes] + Siano $A$ e $B$ due eventi non trascurabili. Allora vale che: + \[ + P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}. + \] + Segue considerando le due scritture possibili di $P(A \cap B)$. + \end{theorem} + + \begin{remark} + Applicando il Teorema di Bayes e la formula delle probabilità totali, + si ricava che per un sistema di alternative $(B_i)_{i \in I}$ e + $A$ non trascurabile vale che: + + \[ + P(B_i \mid A) = \frac{P(A \mid B_i) P(B_i)}{\sum_{j \in I} P(A \mid B_j) P(B_j)}, \quad \forall i \in I. + \] + \end{remark} + + \begin{remark} + Applicando la regola della catena, la formula delle probabilità totali + e il Teorema di Bayes è possibile calcolare agevolmente la probabilità + di un'intersezione di eventi cononoscendone l'albero di sviluppo probabilistico. + In particolare, per calcolare la probabilità di un nodo è sufficiente + moltiplicare le probabilità dei rami facenti parte del percorso dal nodo + alla radice. + \end{remark} + + \subsection{Rapporto di influenza, correlazione positiva e negativa} + + \begin{definition}[Rapporto di influenza] + Siano $A$ e $B$ due eventi non trascurabili. Allora + il \textbf{rapporto di influenza} di $A$ e $B$ + (o più brevemente, la loro \textit{influenza}) è + il parametro: + \[ + L(A, B) \defeq \frac{P(A\mid B)}{P(A)}, + \] + ed è tale per cui: + \[ + P(A \mid B) = L(A, B) P(A). + \] + \end{definition} + + \begin{proposition} + $L(\cdot, \cdot)$ è simmetrica, ovverosia $L(A, B) = L(B, A)$ per + ogni evento $A$ e $B$. Segue dal Teorema di Bayes. + \end{proposition} + + \begin{definition}[Correlazione positiva e negativa tra $A$ e $B$] + Se $A$ e $B$ sono due eventi non trascurabili, si dice + che $A$ è \textbf{positivamente correlato} a $B$ (o che + si \textit{dilata probabilisticamente} rispetto a $B$) se + $P(A \mid B) \geq P(A)$ (ovverosia se $L(A, B) > 1$). \smallskip + + Analogamente + si dice che $A$ è \textbf{negativamente correlato} a $B$ + (o che si \textit{contrae probabilisticamente} rispetto a $B$) se + $P(A \mid B) \leq P(A)$ (ovverosia se $L(A, B) < 1$). + \end{definition} + + \begin{remark} + Il caso in cui $L(A, B) = 1$ è discusso nella sezione \textit{\nameref{sec:indipendenza}} e corrisponde all'indipendenza + tra $A$ e $B$. + \end{remark} + + \begin{remark} + Si può parlare più generalmente di correlazione tra $A$ e $B$ + senza scegliere un evento ``rispetto'' a cui analizzarla, dacché + $L(\cdot, \cdot)$ è simmetrica per il Teorema di Bayes. Infatti, + se $P(A \mid B) \leq P(A)$, anche $P(B \mid A) \leq P(B)$, cioè + $A$ è correlato positivamente a $B$ se e solo se $B$ è correlato + positivamente ad $A$. \smallskip + + + Una correlazione positiva tra $A$ e $B$ indica che, accadendo $B$, + si amplifica la probabilità che accada $A$; viceversa, una correlazione + negativa inficia ridimensionando in contrazione la probabilità che accada $A$ + se accade $B$. + \end{remark} + + \section{Indipendenza stocastica tra eventi} + \label{sec:indipendenza} + + \begin{definition}[Famiglia di eventi indipendenti] + Una famiglia $(A_i)_{i \in I}$ di eventi si dice \textbf{stocasticamente + indipendente}, o più semplicemente indipendente, se + per ogni $J \subseteq I$ finito vale che: + \[ + P(\cap_{j \in J} A_j) = \prod_{j \in J} P(A_j). + \] + + Nel caso di due eventi questo si riduce a verificare + che $P(A \cap B) = P(A) P(B)$. Si dice che gli $A_i$ sono + \textbf{collettivamente indipendenti}. + \end{definition} + + \begin{remark} + Generalmente non è sufficiente verificare che ogni coppia di eventi distinti è + indipendente per verificare che la famiglia è globalmente indipendente. + Infatti, il significato dell'indipendenza in termini puramente probabilistici + è che una famiglia $\FF$ è indipendente se e solo se il ``verificarsi'' di + alcuni eventi della famiglia non influenza il ``verificarsi'' degli altri. + \end{remark} + + \begin{remark} + Se $(A_i)_{i \in I}$ è una famiglia di eventi indipendenti, allora + per $J \subseteq I$, $(A_j)_{j \in J}$ è ancora una famiglia di + eventi indipendenti (l'indipendenza si tramanda per restrizione). + \end{remark} + + \begin{proposition} + Se $P(B) > 0$, allora $A$ e $B$ sono indipendenti se + e solo se $P(A \mid B) = P(A)$. Inoltre, se + $(A_j)_{j \in J} \cup \{A\}$ è una famiglia finita di eventi + non trascurabili (eccetto eventualmente per $A$) + indipendenti tra loro, allora + $P(\bigcap_{j \in J} A_j) \neq 0$ e + $P(A \mid \bigcap_{j \in J} A_j) = P(A)$. + \end{proposition} + + \begin{proposition} + Se $A$ e $B$ sono indipendenti, allora anche + $A^c$ e $B$ sono indipendenti. Analogamente + lo sono $A$ e $B^c$, così come + $A^c$ e $B^c$. + + + Da ciò segue che se $(A_i)_{i \in I}$ è una famiglia di eventi + indipendenti, allora $(A_i^{\alpha_i})_{i \in I}$ è una famiglia + di eventi indipendenti per qualsiasi scelta di $\alpha_i$ in + $\{1, c\}$. + \end{proposition} + + \begin{proposition} + Sia $(A_i)_{i \in I}$ una famiglia di eventi indipendenti. Allora, + se $I$ è partizionato dagli $I_j$, ovverosia $I = \bigcupdot_{j \in J} I_j$, + allora $(\bigcap_{i \in I_j} A_{i})_{j \in J})$ è ancora una famiglia + di eventi indipendenti (ossia intersecando alcuni elementi della famiglia + e lasciandone invariati altri, la famiglia ottenuta è ancora indipendente). + \end{proposition} + + \begin{theorem} + Sia $(A_i)_{i \in I}$ una famiglia di eventi indipendenti. Allora, + ogni operazione di unione, intersecazione o complementare di alcuni elementi della famiglia restituisce una famiglia ancora indipendente. \smallskip + + Segue dalle due proposizioni precedenti (infatti $A \cup B = (A^c \cap B^c)^c$). + \end{theorem} + + \begin{example} + Per esempio, se $A$, $B$ e $C$ sono indipendenti, anche $A \cup B$, $C^c$ + è indipendente. Se $A$, $B$, $C$ e $D$ sono indipendenti, anche + $(A \cap B) \cup C^c$ e $D^c$ lo sono. + \end{example} + + \begin{remark} + Un'evento $A$ è indipendente da ogni evento $B \in \FF$, incluso + sé stesso, se e solo se $P(A) \in \{0, 1\}$, ovvero se e solo + se $A$ è trascurabile o quasi certo (infatti si avrebbe che + $P(A) = P(A \cap A) = P(A)^2$). + \end{remark} + + \begin{remark} + Due eventi incompatibili $A$ e $B$ sono indipendenti se e solo se + uno dei due è trascurabile. + \end{remark} +\end{multicols*} diff --git a/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/2-probabilità-discreta.tex b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/2-probabilità-discreta.tex new file mode 100644 index 0000000..b9e7f15 --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/2-probabilità-discreta.tex @@ -0,0 +1,1214 @@ +%-------------------------------------------------------------------- +\chapter{Probabilità discreta} +\setlength{\parindent}{2pt} + +\begin{multicols*}{2} + +Consideriamo in questa sezione soltanto i casi in cui $\Omega$ è +un insieme discreto, cioè finito o numerabile. Gli associamo +in modo naturale la $\sigma$-algebra $\PP(\Omega)$. + +\section{Funzione di densità discreta} + +\subsection{Definizione per il caso discreto} + +\begin{definition}[Funzione di densità discreta] + Per una probabilità $P$ su $\Omega$ si definisce + \textbf{funzione di densità discreta} (o di massa, o + più brevemenete di densità) + la funzione $p : \Omega \to \RR$ tale per cui: + \[ p(\omega) = P(\{\omega\}), \quad \forall \omega \in \Omega. \] +\end{definition} + +\begin{proposition}[$P$ è univocamente determinata da $p$] + Sia $p : \Omega \to \RR$ una funzione tale per cui: + \begin{enumerate}[(i.)] + \item $\sum_{\omega \in \Omega} p(\omega) = 1$, + \item $p(\omega) \geq 0$ per ogni $\omega \in \Omega$. + \end{enumerate} + Allora esiste un'unica probabilità $P$ la cui funzione di densità + è $p$, e vale che: + \[ + P(A) = \sum_{a \in A} p(a). + \] +\end{proposition} + +\subsection{Range di una probabilità discreta e restrizione} + +\begin{definition}[Range di $P$] + Sia $P$ una probabilità su $\Omega$ discreto e + sia $p$ la sua funzione di densità. Si + definisce allora \textbf{range} $R_P$ di $P$ il + supporto di $p$, ovverosia: + \[ R_P \defeq \supp p = \{ \omega \in \Omega \mid p(\omega) > 0\} \subseteq \Omega. \] +\end{definition} + +\begin{definition}[Restrizione di $P$ sul range] + Data $P$ probabilità su $\Omega$ discreto, si + definisce \textbf{probabilità ristretta sul range $R_P$} + la misura di probabilità $\restr{P}{R_P} : \PP(R_P)$ tale + per cui: + \[ + \restr{P}{R_P}(A) = P(A). + \] +\end{definition} + +\begin{remark} + La definizione data è una buona definizione dal momento che + $P(R_P) = 1$. +\end{remark} + +\begin{proposition}[Proprietà della restrizione di $P$ sul range] + Sia $P$ una probabilità su $\Omega$ discreto e sia $p$ la + sua funzione di densità. Allora vale che $P(A) = \restr{P}{R_P}(A \cap R_P)$. +\end{proposition} + +\subsection{Misure di probabilità discrete su spazi campionari non discreti e discretizzazione} + +\begin{definition}[Probabilità discreta su spazio campionario non discreto] + Dato $(\Omega, \FF, P)$ spazio di probabilità con $\{\omega\} \in \FF$ per + ogni $\omega \in \Omega$, la probabilità $P$ si dice \textbf{discreta} su + $\Omega$ se esiste $\Omega_0 \in \FF$ discreto e quasi certo ($P(\Omega_0) = 1$). + In tal caso si dice che $P$ si \textit{concentra} su $\Omega_0$. +\end{definition} + +\begin{definition}[Discretizzazione di $P$ discreta su $\Omega$] + Se $P$ è una probabilità discreta su $\Omega$ concentrata su $\Omega_0$, + si definisce \textbf{discretizzazione di $P$} la misura di probabilità $P_0$ + su $(\Omega_0, \PP(\Omega_0))$ la cui funzione di densità discreta + è la mappa $p$ per la quale $\Omega_0 \ni \omega_0 \mapsto P(\{\omega_0\})$. Equivalentemente + vale che: + \[ + P_0(A) = \sum_{a \in A} p(a) = P(A), \quad \forall A \in \PP(\Omega_0). + \] +\end{definition} + +\begin{proposition}[Proprietà della discretizzazione di $P$] + Se $P$ è una probabilità discreta su $\Omega$ concentrata su $\Omega_0$, allora + vale che: + \[ + P(A) = P(A \cap \Omega_0) = P_0(A \cap \Omega_0) = \sum_{a \in A \cap \Omega_0} p(a), + \] + dove $p$ è la funzione di densità di $P_0$. Segue dall'identità $P(A \cup \Omega_0) = 1$ e dalla definizione di discretizzazione. +\end{proposition} + +\begin{remark} + In perfetta analogia al caso totalmente discreto, la discretizzazione + di $P$ discreta su $\Omega$ e concentrata su $\Omega_0$ è univocamente + determinata da $p$. +\end{remark} + +\begin{remark} + Se $\Omega$ è discreto, allora si può sempre discretizzare + $P$ al suo range $R_P$. +\end{remark} + +\section{Variabili aleatorie discrete} + +\subsection{Definizione di v.a.~discreta e composizione} + +\begin{definition}[Variabile aleatoria discreta] + Dato $S \neq \emptyset$, si definisce \textbf{variabile + aleatoria} (discreta) su $\Omega$ discreto, abbreviata \va, una funzione + $X : \Omega \to S$. $X$ si dice \textbf{variabile aleatoria reale} + (v.a.~reale) se $S \subseteq \RR$ o \textbf{variabile aleatoria vettoriale} + (v.a.~vettoriale, o \textit{vettore aleatorio}) se $S \subseteq \RR^n$ per + qualche $n \in \NN$. \smallskip + + + Dato $S \neq \emptyset$, definiamo $\VA(\Omega, S)$ come l'insieme + delle v.a.~discrete di $\Omega$ che hanno $S$ per codominio. +\end{definition} + +\begin{remark} + Si può dotare $\VA(\Omega, \RR)$ di una struttura di algebra, oltre che di + spazio vettoriale, dove le operazioni di somma vettoriale, di prodotto + esterno e di prodotto tra vettori sono completamente naturali. \medskip + + + Se $\Omega$ è finito, allora $\VA(\Omega, \RR)$ è naturalmente isomorfo + a $\RR^{\# \Omega}$ come spazio vettoriale, mentre + nel caso di $\Omega$ numerabile $\VA(\Omega, \RR)$ ammette una base non numerabile. +\end{remark} + +\begin{definition}[Composizione di v.a.~discrete] + Data $X \in \VA(\Omega, S)$ e una funzione $F : S \to S'$, + si definisce la \textbf{composizione di $X$ tramite $F$} + come $F(X) = F \circ X \in \VA(\Omega, S')$. +\end{definition} + +\subsection{Legge di una v.a.~\texorpdfstring{$X$}{X}} + +Nel caso di $\Omega$ discreto, $S_X$, ossia l'immagine della v.a.~$X$, è +ancora un insieme discreto. Questo ci porta alla: + +\begin{proposition} + Sia $X : \Omega \to S$ una v.a.~discreta di $\Omega$. + Sia $P'$ la misura di probabilità sullo spazio misurabile + $(S, \PP(S))$ tale per cui: + \[ + P'(A) = P(X \in A) = P(X\inv(A)). + \] + Allora $P'$ si concentra su $S_X$ e dunque vale che: + \[ + P'(A) = P'(A \cap S_X). + \] +\end{proposition} + +\begin{definition}[Legge di $X$] + Data una v.a.~$X : \Omega \to S$, si definisce \textbf{legge di $X$} (o \textit{distribuzione + di $X$}) la discretizzazione $P^X = \restr{P'}{S_X}$ che + agisce sullo spazio misurabile $(S_X, \PP(S_X))$, dove + $P'$ è tale per cui $P'(A) = P(X \in A) = P(X\inv(A))$. + Equivalentemente vale che: + \[ + P^X : \PP(S_X) \ni A \mapsto P(X \in A) = P(X\inv(A)). + \] + + + Si indica con $p_X$ la funzione di densità discreta di $P^X$. + Per $P^X(A)$ con $A \subseteq S$ si intenderà + $P^X(A \cap S_X)$, e analogamente $p_X(x)$ si estende in modo + tale che valga $0$ per $x \notin S_X$. +\end{definition} + +\begin{remark} + Dalla definizione della legge di $X$ si ricava immediatamente che: + \[ + P(X \in A) = P^X(A) = \sum_{x \in A} p_X(x) = \sum_{x \in A} P(X = x), + \] + dove si osserva che $X \in A = \bigcupdot_{x \in A} (X = x)$. +\end{remark} + +\begin{remark} + Il range di $P^X$ è: + \[ R_X \defeq R_{P^X} = \{x \in S \mid p_X(x) = P(X = x) > 0\}, \] + ovverosia $R_{P^X}$ è composto dagli elementi di $S$ le cui + controimmagini non siano trascurabili rispetto a $P$. +\end{remark} + +\begin{remark} + Dato uno spazio di probabilità $(S, \PP(S), Q)$ con + $\Omega$ discreto è sempre possibile trovare uno + spazio di probabilità $(\Omega, \PP(\Omega), P)$ e una + v.a.~$X : \Omega \to S$ tale per cui $P^X = Q$. \smallskip + + È sufficiente porre $\Omega = S$, $P = Q$ e $X = \id_{S}$ + (\textbf{costruzione canonica}). Infatti vale che: + \[ + P^X(A) = P(X \in A)) = P(A) = Q(A). + \] +\end{remark} + +\begin{proposition} + Data una v.a.~$X : \Omega \to S$ e una funzione $f : S \to E$, + vale la seguente identità: + \[ + p_{f(X)}(e) = \sum_{x \in f\inv(e)} p_X(x). + \] + Equivalentemente vale che: + \[ + P(f(X) = e) = \sum_{x \in f\inv(e)} P(X = x). + \] + Segue dal fatto che $(f(X) = e) = (X \in f\inv(e))$. +\end{proposition} + +\subsection{Uguaglianza q.c., medesima legge e stabilità per composizione} + +\begin{definition}[Uguaglianza quasi certa tra v.a.] + Date $X$, $Y \in \VA(\Omega, S)$, si dice che + \textbf{$X$ è uguale a $Y$ quasi certamente} ($X = Y$ q.c.\footnote{ + Nella definizione compare due volte la scrittura $X = Y$: la prima + volta si intende dire che la v.a.~$X$ è uguale a quella $Y$ q.c., + mentre dove compare la seconda volta si intende l'insieme $(X=Y) \subseteq \Omega$. + }) rispetto + alla probabilità $P$ se + l'insieme $(X = Y) = \{\omega \in \Omega \mid X(\omega) = Y(\omega)\}$ + è quasi certo rispetto a $P$. +\end{definition} + +\begin{proposition}[Comportamento delle uguaglianze q.c.~sulla composizione] + Sia $F : S \to S'$. Siano $X$, $Y \in \VA(\Omega, S)$. Allora se + $X = Y$ q.c., $F(X) = F(Y)$ q.c. \smallskip + + Segue considerando la seguente relazioni di insiemi: $(X = Y) \subseteq (F(X) = F(Y))$. +\end{proposition} + +\begin{definition}[Uguaglianza di leggi tra v.a.] + Data $X \in \VA(\Omega_1, S)$ e $Y \in \VA(\Omega_2, S)$, + si dice che \textbf{$X$ e $Y$ hanno la stessa legge}, + e si scrive che $X \deq Y$ o che $X \sim Y$, se + $P_{\Omega_1}^X \equiv P_{\Omega_2}^Y$. +\end{definition} + +\begin{definition}[Variabili aleatorie i.d.] + Si dice che una famiglia di v.a.~sono \textbf{identicamente distribuite (i.d.)} + se condividono la stessa legge. \smallskip + + + Spesso sottintenderemo che tali v.a.~sono costruite sullo stesso $\Omega$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Se $X = Y$ q.c., allora $X \deq Y$. Segue considerando che + $P$ è concentrata sull'insieme $X=Y$, e quindi ci si può sempre + restringere su questo insieme, interscambiando eventualmente + le v.a. +\end{proposition} + +\begin{remark} + Per $X$, $Y \in \VA(\Omega, S)$ v.a. non è generalmente vero che + $X \deq Y$ implica $X = Y$ q.c. +\end{remark} + +\begin{proposition}[Comportamento delle uguaglianze di legge sulla composizione] + Sia $F : S \to S'$. Siano $X$, $Y : \Omega_1, \Omega_2 \groupto S$ v.a. Allora + se $X \deq Y$, $F(X) \deq F(Y)$. +\end{proposition} + +\subsection{Variabile aleatoria multivariata, leggi congiunte e marginali} + +\begin{definition}[Variabile aleatoria multivariata, o congiunta] + Data una famiglia $(X_i : \Omega \to S_i)_{i \in I}$ di + v.a.~discrete di $\Omega$ con $I$ ordinato, si definisce la \textbf{v.a.~congiunta} (o + \textit{blocco multivariato}) la variabile discreta $(X_i)_{i \in I}$ tale per cui: + \[ + (X_i)_{i \in I} : \Omega \ni \omega \mapsto (X_i(\omega))_{i \in I} \in \prod_{i \in I} S_i. + \] + Se $I = [n]$, scriviamo $(X_1, \ldots, X_n)$ al posto di $(X_i)_{i \in I}$. + Sottintenderemo sempre che $I$ è ordinato quando si nomina una famiglia + di v.a.~discrete. +\end{definition} + +\begin{definition}[Legge e densità congiunta] + Data una famiglia $(X_i : \Omega \to S_i)_{i \in I}$ di + v.a.~discrete di $\Omega$ e $P$ probabilità su $\Omega$ discreto, + si dice \textbf{legge congiunta} delle $X_i$ + la legge relativa alla loro v.a.~congiunta, ovverosia + $P^{(X_i)_{i \in I}}$. Analogamente, con il + termine \textbf{densità congiunta} ci si riferirà + alla densità discreta della legge congiunta. +\end{definition} + +\begin{definition}[Leggi e densità marginali] + Data una famiglia $(X_i : \Omega \to S_i)_{i \in I}$ di + v.a.~discrete di $\Omega$ e $P$ probabilità su $\Omega$ discreto, + ci si riferisce con il termine di \textbf{legge marginale} a una qualsiasi + legge $P^{X_i}$ e con il termine di \textbf{densità marginale} alla relativa + funzione di densità discreta. +\end{definition} + +\begin{remark} + La legge congiunta restituisce \textit{sempre} più informazioni rispetto + all'insieme delle leggi marginali. Infatti, si può sempre ricostruire una + legge marginale data la legge congiunta, ma non è sempre vero il + viceversa. \medskip +\end{remark} + +\begin{remark} + Si osserva che vale la seguente identità: + \[ + P^{(X_i)_{i \in I}}\left(\prod_{i \in I} A_i\right) = P\left(\bigcap_{i \in I} (X_i \in A_i)\right), \quad \forall A_i \subseteq S_i. + \] + Pertanto, nel caso finito vale che: + \[ + P^{(X_1, \ldots, X_n)}\left(\prod_{i \in I} A_i\right) = P\left(X_1 \in A_1, \ldots, X_n \in A_n\right), \quad \forall A_i \subseteq S_i. + \] +\end{remark} + +\begin{proposition} + Ogni densità marginale è univocamente determinata dalla densità + congiunta. In particolare nel caso finito vale che: + \[ + p_{X_i}(x_i) = \sum_{\substack{x_j \in S_j \\ j \neq i}} p_{(X_1, \ldots, X_n)}(x_1, \ldots, x_n). + \] +\end{proposition} + +\subsection{Indipendenza di variabili aleatorie discrete e stabilità per congiunzione e composizione} + +\begin{definition}[Indipendenza tra v.a.~discrete] + Sia $(X_i : \Omega \to S_i)_{i \in I}$ una famiglia di v.a.~discrete. Si dice che tale famiglia di v.a.~è \textbf{indipendente} se per ogni $n$ e ogni famiglia finita di + indici distinti $(i_j)_{j \in [n]} \subseteq I$ vale che: + \[ + P(X_{i_1} \in A_{i_1}, \ldots, X_{i_n} \in A_{i_n}) = \prod_{j \in [n]} P(X_{i_j} \in A_{i_j}), \quad \forall A_{i_j} \subseteq S_{i_j}. + \] + Equivalentemente tale famiglia è indipendente se: + \[ + P^{(X_{i_1}, \ldots, X_{i_n})}(A_{i_1} \times \cdots \times A_{i_n}) = \prod_{j \in [n]} P^{X_{i_j}}(A_{i_j}), \quad \forall A_{i_j} \subseteq S_{i_j}. + \] +\end{definition} + +\begin{definition}[Variabili aleatorie i.i.d.] + Data una famiglia di variabili aleatorie, si dice che + queste sono \textbf{indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.)} + se formano una famiglia di v.a.~indipendenti e se condividono + la stessa legge. \smallskip + + Spesso sottintenderemo che tali v.a.~sono costruite sullo stesso $\Omega$. +\end{definition} + +\begin{remark} + La definizione è equivalente a richiedere che per ogni scelta di $A_{i_j} \subseteq S_{i_j}$, + $X_{i_1} \in A_{i_1}$, ..., $X_{i_n} \in A_{i_n}$ formino una famiglia di eventi + collettivamente indipendenti. Pertanto è possibile sfruttare tutte + le proposizioni viste nella sottosezione \textit{\nameref{sec:indipendenza}}. \smallskip + + Inoltre, se la famiglia $(X_i)_{i \in I}$ è indipendente, lo è + chiaramente anche $(X_{\sigma(i)})_{i \in I}$ per ogni $\sigma \in S(I)$ + (in riferimento in particolare alla seconda identità presente nella definizione + di indipendenza tra v.a.). +\end{remark} + +\begin{remark} + Una v.a.~costante è sempre indipendente con altre v.a., dal momento che + le sue uniche controimmagini sono $\Omega$ e $\emptyset$, che sono indipendenti + da ogni evento. +\end{remark} + +\begin{remark} + Si osserva che vale la seguente identità: + \[ + P(X_1 \in A_1, \ldots, X_n \in A_n) = \sum_{x_i \in A_i} P(X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n). + \] +\end{remark} + +\begin{proposition} + Sia $(X_i : \Omega \to S_i)_{i \in I}$ una famiglia di v.a.~discrete. Allora + tale famiglia è indipendente se per ogni $n$ e ogni famiglia finita di + indici distinti $(i_j)_{j \in [n]} \subseteq I$ vale che: + \[ + P(X_{i_1} = x_{i_1}, \ldots, X_{i_n} = x_{i_n}) = \prod_{j \in [n]} P(X_{i_j} = x_{i_j}), \quad \forall x_{i_j} \in S_{i_j}. + \] + Equivalentemente, sono indipendenti se e solo se: + \[ + p_{(X_{i_1}, \ldots, X_{i_n})}(x_{i_1}, \ldots, x_{i_n}) = \prod_{j \in [n]} p_{X_{i_j}}(x_{i_j}), \quad \forall x_{i_j} \in S_{i_j}. + \] + Segue dalla precedente osservazione. +\end{proposition} + +\begin{proposition} + Sia $(A_i)_{i \in I}$ una famiglia di eventi. Allora tale famiglia + è indipendente se e solo se la famiglia di v.a.~$(1_{A_i})_{i \in I}$ è + indipendente. \smallskip + + + Segue dalla precedente proposizione; infatti $(1_{A_i} = 1) = A_i$ e + $(1_{A_i} = 0) = A_i^c$. +\end{proposition} + +\begin{proposition} + \label{prop:indipendenza_composizione} + Sia $(X_i : \Omega \to S_i)_{i \in I}$ una famiglia di v.a.~discrete e + sia $(f_i : S_i \to S_{i}')_{i \in I}$ una famiglia di funzioni. Allora + se $(X_i)_{i \in I}$ è una famiglia di v.a.~indipendenti, anche + $(f_i(X_i))_{i \in I}$ lo è. \smallskip + + + Segue dal fatto che $(f_i(X_i) \in A_i) = (X_i \in f\inv(A_i))$. +\end{proposition} + +\begin{proposition} + \label{prop:indipendenza_partizione} + Sia $(X_i : \Omega \to S_i)_{i \in I}$ una famiglia di v.a.~discrete e + sia $I$ partizionato dagli $I_j$, ovverosia $I = \bigcupdot_{j \in J} I_j$. + Allora se $(X_i)_{i \in I}$ è una famiglia di v.a.~indipendenti, anche + $((X_i)_{i \in I_j})_{j \in J}$ è una famiglia di v.a.~indipendenti. \smallskip + + + Segue applicando la definizione. +\end{proposition} + +\begin{remark} + Le ultime due proposizioni permettono di ricavare molto velocemente l'indipendenza + di una certa famiglia di v.a.~discrete. Per esempio, se + $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$, $X_5 \in \VA(\Omega, \RR)$ sono indipendenti, + si ricava immediatamente che $X_1$, $X_2 + X_3$ e $\max(X_4, X_5)$ sono + indipendenti a partire dal seguente albero, dove ogni colonna è una famiglia + di v.a.~indipendenti: + + \[\begin{tikzcd}[cramped,column sep=scriptsize,row sep=tiny] + {X_1} && {X_1} && {X_1} \\ + {X_2} && {(X_2, X_3)} && {X_2+X_3} \\ + {X_3} && {(X_4, X_5)} && {\max(X_4, X_5)} \\ + {X_4} \\ + {X_5} + \arrow[squiggly, from=1-1, to=1-3] + \arrow[squiggly, from=2-1, to=2-3] + \arrow[curve={height=6pt}, squiggly, from=3-1, to=2-3] + \arrow[curve={height=6pt}, squiggly, from=5-1, to=3-3] + \arrow[squiggly, from=4-1, to=3-3] + \arrow["{\operatorname{id}}", from=1-3, to=1-5] + \arrow["{+}", from=2-3, to=2-5] + \arrow["\max", from=3-3, to=3-5] + \end{tikzcd}\] + + Infatti la prima operazione restituisce una famiglia indipendente + per la \textit{Proposizione \ref{prop:indipendenza_partizione}}, e la seconda fa lo stesso + per la \textit{Proposizione \ref{prop:indipendenza_composizione}}. +\end{remark} + +\begin{remark} + Data una famiglia di probabilità $(P_i)_{i \in [n]}$ su spazi misurabili discreti + $(S_i, \PP(S_i))$ è sempre possibile costruire uno + spazio discreto di probabilità $(\Omega, \PP(\Omega), P)$ equipaggiato di + una famiglia di v.a.~$(X_i : \Omega \to S_i)_{i \in [n]}$ tale per cui + \begin{enumerate} + \item la famiglia $(X_i)_{i \in [n]}$ è una famiglia di v.a.~indipendenti, + \item $P^{X_i} \equiv P_i$. + \end{enumerate} + È infatti sufficiente porre $\Omega = \prod_{i \in [n]} S_i$ (il prodotto finito di discreti è discreto), $X_i = \pi_i$ (la + proiezione dal prodotto cartesiano all'insieme $S_i$) con $P$ probabilità + univocamente determinata dalla relazione: + \[ + p(x_1, \ldots, x_n) = \prod_{i \in [n]} p_i(x_i). + \] + Infatti in tal caso varrebbe che: + \[ + P(X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n) = + p(x_1, \ldots, x_n) = \prod_{i \in [n]} P(X_i = x_i). + \] + Tale costruzione si indica come $P \defeq \bigotimes_{i \in [n]} P_i = + P_1 \otimes \cdots \otimes P_n$. +\end{remark} + +\section{Valore atteso e momenti} + +\subsection{Valore atteso su v.a.~integrabili e/o non negative} + +\begin{definition}[Variabile aleatoria integrabile] + Sia $X$ v.a.~reale. Si dice che $X$ è \textbf{integrabile} (in senso discreto) + se: + \[ + \EE[\abs{X}] \defeq \sum_{\omega \in \Omega} \abs{X(\omega)} p(\omega) < \infty, + \] + ovverosia se $\EE[\abs{X}]$, detto il \textbf{momento primo assoluto}, + converge (l'unica altra possibilità è che diverga, dacché + è una serie a termini positivi). +\end{definition} + +\begin{definition}[Valore atteso di una v.a.] + Sia $X$ v.a.~reale. Se $X$ è integrabile si definisce + il \textbf{valore atteso} di $X$ (o \textit{momento primo}) come: + \[ + \EE[X] \defeq \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) p(\omega) \in \RR, + \] + dove l'ultima appartenenza è data proprio dal fatto che $\EE[\abs{X}] < \infty$ (e + dunque vi è convergenza assoluta, dacché $p(\omega) \geq 0$). \smallskip + + Se $X \geq 0$ q.c.~, si definisce allora stesso modo $\EE[X]$, che però può assumere come + valore anche $\infty$; e così per $X \leq 0$ q.c.~si pone + $\EE[X] \defeq -\EE[X^-]$. In questo modo ammettiamo eventualmente i valori + di $\infty$ o $-\infty$. \smallskip + + Diciamo che $X$ \textbf{ha valore atteso}, se esiste un $\EE[X]$ associatogli. +\end{definition} + +\begin{remark} + Il valore atteso è da associarsi a un ``baricentro'' della distribuzione di + $X$, ovverosia, su una popolazione $\Omega$, misura quanto vale in media + la caratteristica data da $X$. +\end{remark} + +\begin{remark} + Per la v.a.~$1_A$ con $A \subseteq \Omega$ vale che + $\EE[1_A] = 1 \cdot P(1_A = 1) + 0 \cdot P (1_A = 0) = P(A)$. +\end{remark} + +\begin{remark} + Per $X$ tale per cui $\EE[X^+]$, $\EE[X^-] < \infty$ vale che: + \[ + \EE[X] = \EE[X^+] - \EE[X^-]. + \] + Come vedremo, questo è un caso particolare della linearità di $\EE[\cdot]$ + (infatti $X = X^+ - X^-$). +\end{remark} + +\begin{lemma}[Valore atteso tramite la legge] + Per $X$ con valore atteso vale la seguente identità: + \[ + \EE[X] = \sum_{x \in R_X} x \cdot p_X(x) = \sum_{x \in R_X} x \cdot P(X = x). + \] + Segue dal fatto che $\EE[X] = \sum_{x \in R_X} \sum_{s \in X\inv(x)} x \cdot p(s)$. +\end{lemma} + +Questa proposizione può estendersi facilmente alla: + +\begin{proposition}[Valore atteso della composizione tramite la legge] + Sia $X : \Omega \to S$ v.a.~discreta e sia $\varphi : S \to \RR$. Allora vale che: + \begin{enumerate}[(i.)] + \item $\varphi(X)$ è integrabile se e solo se $\sum_{x \in R_X} \abs{\varphi(x)} P(X = x) < \infty$, + \item se $\varphi(X)$ ha valore atteso, allora: + \[ + \EE[\varphi(X)] = \sum_{x \in R_X} \varphi(x) \cdot p_X(x) = \sum_{x \in R_X} \varphi(x) \cdot P(X = x). + \] + \end{enumerate} + Segue dal fatto che $\EE[\varphi(X)] = \sum_{x \in R_X} \sum_{s \in X\inv(x)} \varphi(x) \cdot p(s)$. +\end{proposition} + +\begin{remark}[Uguaglianza di valori attesi per leggi uguali] + Dal momento che $\EE[\varphi(X)]$ dipende soltanto dalla legge di $p_X$, + $X \deq Y \implies \EE[\varphi(X)] = \EE[\varphi(Y)]$. +\end{remark} + +\subsection{Proprietà del valore atteso e moltiplicatività per v.a.~indipendenti} + +\begin{proposition} + \label{prop:prop_valore_atteso} + Siano $X$ e $Y$ due v.a.~reali con valore atteso. Allora vale che: + \begin{enumerate}[(i.)] + \item Se $X=c$ q.c., allora $\EE[X] = c$, + \item Se $X \geq 0$ q.c./integrabile, allora per $a \in \RR^+$, $aX \geq 0$ q.c./integrabile, + \item Se $X$ ha valore atteso, allora per $a \in \RR$ pure $aX$ lo ha e $\EE[aX] = a \, \EE[X]$\footnote{ + Si assume la convenzione per cui $0 \cdot \infty = 0$, $a \cdot \infty = \sgn(a) \infty$ per + $a \neq 0$. + } + \item Se $X \geq 0$ q.c.~o $X \leq 0$ q.c.~e $\EE[X] = 0$, allora $X = 0$ q.c., + \item Se $X \leq Y$ q.c.~, allora $E[X] \leq E[Y]$, + \item Se $X$ e $Y$ hanno valore atteso e non sono uno $\infty$ e l'altro + $-\infty$, allora $\EE[X + Y] = \EE[X] + \EE[Y]$. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proposition} + Siano $X$, $Y : \Omega \groupto S$, $S'$, due v.a.~indipendenti. Se $g$, $h : S$, $S' \groupto \RR$ sono funzioni e $g(X)$ e $h(Y)$ ammettono valore atteso\footnote{ + Si ammette in questo caso la convenzione per cui $\infty \cdot \infty = \infty$ e + che $-\infty \cdot \infty = -\infty$. + }, allora vale che: + \[ + \EE[g(X)h(Y)] = \EE[g(X)] \cdot \EE[h(Y)]. + \] + Usando che $\EE[g(X)h(Y)] = \sum_{(x, y) \in R_{(X, Y)}} g(x) h(y) P(X = x, Y = y)$, segue, per + l'indipendenza di $X$ e $Y$, dal fatto che $R_{(X, Y)} = R_X \times R_Y$ e che $P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y)$. +\end{proposition} + +\begin{remark} + \label{remark:indipendenza_valore_atteso} + In particolare, per v.a.~reali $X$, $Y$ indipendenti che ammettono valore atteso + vale che: + \[ + \EE[XY] = \EE[X] \cdot \EE[Y]. + \] +\end{remark} + +\begin{remark} + Dalla \textit{Proposizione \ref{prop:prop_valore_atteso}} si deduce che + $\EE[\cdot]$ è un funzionale di $\VA(\Omega, \RR)$ (ovverosia + $\EE[\cdot] \in \VA(\Omega, \RR)^*$). +\end{remark} + +\begin{proposition} + Sia $X$ una v.a.~reale che assume valori naturali quasi certamente. + Allora vale che: + \[ + \EE[X] = \sum_{n \in \NN} P(X > n). + \] + In generale se $X$ è una v.a.~reale che assume valori positivi il cui + range ordinato è $(x_i)_{i \in I}$ (con $I = \NN^+$ o $I = [k]$), + allora, posto $x_0 = 0$, vale che: + \[ + \EE[X] = \sum_{n \in \NN} (x_{n+1} - x_n) P(X > x_n). + \] +\end{proposition} + +\subsection{Valore atteso condizionale} + +\begin{definition}[Valore atteso condizionale] + Sia $X$ una v.a.~reale. Dato allora un evento + $A \in \PP(\Omega)$, si definisce il \textbf{valore atteso + condizionale} $\EE[X \mid A]$ in modo tale che: + \[ + \EE[X \mid A] \defeq \frac{\EE[X \cdot 1_A]}{P(A)} = \sum_{\omega \in A} X(\omega) \cdot P(\{\omega\} \mid A). + \] + Alternativamente vale che: + \[ + \EE[X \mid A] = \sum_{x \in R_X} x \cdot \frac{P((X = x) \cap A)}{P(A)} = \sum_{x \in R_X} x \cdot P(X=x \mid A). + \] +\end{definition} + +Il valore atteso condizionale rimodula il valore atteso in modo +tale da considerare solamente le immagini di $X$ possibili sotto +l'ipotesi che sia accaduto l'evento $A$. Pertanto è naturale +aspettarsi il seguente: + +\begin{lemma}[Formula dei valori attesi totali, o formula della partizione dei valori attesi] + Sia $X$ una v.a.~reale e sia $(A_i)_{i \in [n]}$ un sistema di alternative + finito per $\Omega$. Allora vale che: + \[ + \EE[X] = \sum_{i \in [n]} \EE[X \mid A_i] P(A_i). + \] + Segue considerando che $X = X \cdot (\sum_{i \in [n]} 1_{A_i})$. +\end{lemma} + +\subsection{Momenti (assoluti) \texorpdfstring{$n$}{n}-esimi} + +\begin{definition}[Momento $n$-esimo assoluto] + Data $X$ v.a.~reale e $n \in \RR^+$, definiamo il + \textbf{momento assoluto di ordine $n$} (\textit{momento + $n$-esimo assoluto}, se esiste, $\EE[\abs{X}^n]$. \smallskip + + Generalmente si pone più attenzione ai momenti $n$-esimi assoluti + con $n$ intero positivo. +\end{definition} + +\begin{definition}[Momento $n$-esimo] + Data $X$ v.a.~reale e $n \in \RR^+$, se $X$ ammette + momento $n$-esimo assoluto, allora $X^n$ ammette + $\EE[X^n]$, che viene detto \textbf{momento $n$-esimo di $X^n$}. +\end{definition} + +\begin{lemma} + Data $X$ v.a.~reale e $1 \leq p \leq q$ in $\RR$, + se $\EE[\abs{X}^q] < \infty$ allora + $\EE[\abs{X}^p] < \infty$. \smallskip + + Segue dal fatto che $\EE[\abs{X}^p]$ è uguale + a $\EE[\abs{X}^p \cdot 1_{{\abs{X}> 1}} + \abs{X}^p \cdot 1_{{\abs{X} \leq 1}}]$; + applicando la linearità di $\EE[\cdot]$ e che $x^p \leq x^q$ per $x \geq 1$, si + ricava così che $\EE[\abs{X}^p] \leq \EE[\abs{X}^q] + 1$. +\end{lemma} + +\begin{remark} + Se $X$ è limitata quasi certamente ($\abs{X} \leq M$ q.c.~con $M > 0$), + allora $X$ ammette momento $n$-esimo assoluto per ogni $n \in \RR^+$ + (segue dal fatto che $\EE[\abs{X}^n] \leq M^m$). +\end{remark} + +\begin{remark} + La disuguaglianza impiegata nello scorso lemma ha una generalizzazione + più ampia, che non dimostriamo, ma che segue dalla \textit{Disuguaglianza di Hölder}: + \[ + \EE[\abs{X}^p]^{\frac{1}{p}} \leq \EE[\abs{X}^q]^{\frac{1}{q}}, \quad 1 < p < q. + \] +\end{remark} + +\begin{lemma} + Se $\EE[\abs{X}^p]$, $\EE[\abs{X}^p] < \infty$, allora + $\EE[\abs{aX+Y}^p] < \infty$ per ogni $a$, $b \in \RR$. \smallskip + + Segue dal fatto che $\abs{aX+Y}^p \leq 2^{p-1} (\abs{a}^p \abs{X}^p + \abs{Y}^p)$. +\end{lemma} + +\subsection{Disuguaglianza di Markov, di Hölder, di Cauchy-Schwarz e di Jensen} + +\begin{proposition}[Disuguaglianza di Markov] + Sia $X \geq 0$ v.a.~reale. Allora $\forall a > 0$ vale che: + \[ + P(X \geq a) \leq \frac{\EE[X]}{a}. + \] + Segue considerando che $X \geq a \cdot 1_{X \geq a}$, + e dunque $\EE[X] \geq a \cdot \EE[1_{X \geq a}] = a \cdot P(X \geq a)$. +\end{proposition} + +\begin{corollary} + Sia $X$ v.a.~reale. Allora $\forall a \neq 0$, $\forall p > 0$ vale che: + \[ + P(\abs{X} \geq \abs{a}) \leq \frac{\EE[\abs{X}^p]}{\abs{a}^p}. + \] + Segue dalla disuguaglianza di Markov. +\end{corollary} + +In generale la disuguaglianza di Markov si può esprimere per composizione +con funzioni crescenti: + +\begin{corollary} + Sia $X$ v.a.~reale. Allora, se $f : \RR \to [0, \infty)$ è crescente, $\forall a \in \supp f$ (i.e.~$f(a) \neq 0$) vale che: + \[ + P(X \geq a) \leq \frac{\EE[f(X)]}{f(a)}. + \] + Segue dalla disuguaglianza di Markov. Si osserva in particolare che non si è richiesto + che $X$ fosse t.c.~$X \geq 0$. +\end{corollary} + +\begin{proposition}[Disuguaglianza di Hölder] + Siano $X$, $Y$ v.a.~reali. Siano $p$, $q > 1$ coniugati (ossia t.c.~$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$). Allora, se $X$ ammette momento $p$-esimo assoluto e $Y$ ammette momento + $q$-esimo assoluto, entrambi finiti, vale che: + \[ + \EE[\abs{XY}] \leq \EE[\abs{X}^p]^{\frac{1}{p}} \cdot \EE[\abs{Y}^q]^{\frac{1}{q}}. + \] + Segue dalla usuale disuguaglianza di Hölder in analisi. +\end{proposition} + +\begin{proposition}[Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz] + Siano $X$, $Y$ v.a.~reali. Allora, se $X$ e $Y$ ammettono momento secondo assoluto + finito, vale che: + \[ + \EE[\abs{XY}] \leq \EE[\abs{X}^2]^{\frac{1}{2}} \cdot \EE[\abs{Y}^2]^{\frac{1}{2}}. + \] + Segue dalla usuale disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in analisi o dalla disuguaglianza + di Hölder per $p = q = \frac{1}{2}$. +\end{proposition} + +\begin{proposition}[Disuguaglianza di Jensen] + Sia $X$ una v.a.~reale che ammette valore atteso. + Allora, se $g : \RR \to \RR$ è una funzione + convessa che ammette valore atteso vale che: + \[ + g(\EE[X]) \leq \EE[g(X)]. + \] + Equivalentemente, se $g$ è concava vale la disuguaglianza con + $\geq$ al posto di $\leq$. Segue dall'usuale disuguaglianza di Jensen. +\end{proposition} + +\section{Altri indici di centralità: moda e mediana} + +Il valore atteso $\EE[X]$ è considerato un \textbf{indice di centralità} dacché +fornisce un'idea del baricentro della distribuzione di $X$. Di seguito +sono definiti altri due indici di centralità celebri. + +\begin{definition}[Moda] + Data una v.a.~reale $X$, si dice che $x \in S_X$ è una \textbf{moda} + se $x$ è un massimo per $P_X$. Una distribuzione in generale può avere + più mode. +\end{definition} + +\begin{definition}[Mediana] + Data una v.a.~reale $X$, si dice che $x \in S_X$ è una \textbf{mediana} + se $P(X \leq x) \geq \frac{1}{2}$ e $P(X \geq x) \geq \frac{1}{2}$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Esistono sempre almeno una moda e almeno una mediana + per $X$ v.a.~reale. +\end{proposition} + +\section{Indici di dispersione: covarianza, varianza, dev.~standard e coeff.~di correlazione} + +\subsection{Definizioni e covarianza come forma bilineare simmetrica} + +\begin{definition}[Covarianza e v.a.~scorrelate] + Date due v.a.~reali $X$, $Y$ con momento secondo finito, + si definisce \textbf{covarianza di $X$ e $Y$} il termine: + \[ + \Cov(X, Y) \defeq \EE[(X - \EE[X])(Y - \EE[Y])]. + \] + Si dice che $X$ e $Y$ sono \textbf{scorrelate} se $\Cov(X, Y) = 0$. +\end{definition} + +\begin{definition}[Varianza] + Data una v.a.~reale $X$ con momento secondo finito, si + definisce \textbf{varianza di $X$} il termine: + \[ + \Var(X) \defeq \Cov(X, X) = \EE[(X -\EE[X])^2] \geq 0, + \] + dove la non negatività segue dal fatto che $(X - \EE[X])^2 \geq 0$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + $\EE[X]$ è il termine che sostituito a $m$ minimizza il valore $\EE[(X - m)^2]$. +\end{proposition} + +\begin{definition}[Deviazione standard] + Data una v.a.~reale $X$ che ammette varianza, si definisce + \textbf{deviazione standard di $X$} il termine: + \[ + \sigma(X) \defeq \sqrt{\Var(X)}. + \] +\end{definition} + +\begin{remark} + La deviazione standard misura quanto $X$ si discosta mediamente da + $\EE[X]$, se esiste. +\end{remark} + +\begin{remark} + La varianza e la deviazione standard sono + detti \textbf{indici di dispersione} della distribuzione + di $X$, dacché misurano + quanto le immagini di $X$ distano mediamente dal valore + atteso $\EE[X]$. +\end{remark} + +\begin{proposition} + \label{prop:cono_isotropo} + Sia $X$ una v.a.~reale che ammette varianza. Allora + $\Var(X) = 0$ se e solo se $X$ è costante q.c. \smallskip + + + Segue dal fatto che $\EE[(X -\EE[X])^2] = 0$ se e solo se + $\EE[X] = X$ q.c., ovverosia se e solo se $X$ è una costante. +\end{proposition} + +\subsection{Identità sulla (co)varianza e disuguaglianza di Chebyshev} + +\begin{proposition} + \label{prop:indipendenza_cov} + $\Cov(\cdot, \cdot)$ è una funzione simmetrica e + lineare in ogni suo argomento. In particolare per + $X$ e $Y$ con momento secondo finito vale che: + \[ + \Cov(X, Y) = \EE[XY] - \EE[X] \EE[Y]. + \] + Pertanto due v.a.~indipendenti hanno covarianza nulla (i.e.~sono scorrelate) + per l'\textit{Osservazione \ref{remark:indipendenza_valore_atteso}}. + In particolare, la covarianza tra una qualsiasi costante q.c.~e + un'altra v.a.~reale è nulla. +\end{proposition} + +\begin{remark} + La precedente proposizione mette ancora in luce come sia determinante la + legge congiunta $p_{(X, Y)}$, usata per calcolare $\EE[XY]$, che + in generale le leggi $p_X$ e $p_Y$, che pure si usano per calcolare + $\EE[X]$ e $\EE[Y]$, non riescono a ricostruire. +\end{remark} + +\begin{remark} + A partire dalla precedente proposizione si ricava che per $X$ v.a.~reale + con momento secondo finito vale che: + \[ + \Var(X) = \EE[X^2] - \EE[X]^2. + \] +\end{remark} + +\begin{remark} + Viste le proprietà discusse nella precedente proposizione + si può concludere che la covarianza sul sottospazio di $\VA(\Omega, \RR)$ + delle v.a.~con momento secondo finito + corrisponde a una forma bilineare simmetrica semidefinita positivo, + ovverosia a un prodotto scalare. \smallskip + + + Due v.a.~indipendenti sono ortogonali tramite $\Cov$ per la + \textit{Proposizione \ref{prop:indipendenza_cov}}. \smallskip + + Al cono isotropo e al radicale di questo prodotto appartengono solo le costanti per la + \textit{Proposizione \ref{prop:cono_isotropo}}. \smallskip + + + Se $\varphi \defeq \Cov$, vale che $q_\varphi \equiv \Var$ e $\norm{\cdot}_\varphi \equiv \sigma$, + ovverosia la varianza $\Var$ è la forma quadratica associata alla covarianza $\Cov$, + mentre $\sigma$ ne è la norma. +\end{remark} + +\begin{lemma} + Siano $X_1$, ..., $X_n$ v.a.~reali con momento secondo finito. Allora vale che: + \[ + \Var(X_1 + \ldots + X_n) = \sum_{i \in [n]} \Var(X_i) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} \Cov(X_i, X_j). + \] + In particolare, se $(X_i)_{i \in [n]}$ è una famiglia di v.a.~scorrelate a due a due (e.g.~indipendenti) vale che: + \[ + \Var(X_1 + \ldots + X_n) = \sum_{i \in [n]} \Var(X_i). + \] +\end{lemma} + +\begin{lemma} + Sia $aX + b$ una v.a.~reale con $X$ che ammette momento secondo finito. Allora + vale che: + \[ + \Var(aX + b) = a^2 \Var(X). + \] + Segue dal fatto che $aX$ e $b$ sono indipendenti, che $\Var(b) = 0$ e che + $\Var$ è la forma quadratica di $\Cov$. +\end{lemma} + +\begin{proposition}[Disuguaglianza di Chebyshev] + Sia $X$ v.a.~reale con momento secondo finito. Allora $\forall a > 0$ vale + che: + \[ + P(\abs{X - \EE[X]} > a) \leq \frac{\Var(X)}{a^2}. + \] + Segue dall'immediata applicazione della disuguaglianza di Markov. +\end{proposition} + +\subsection{Coeff.~di correlazione e retta di regressione lineare} + +\begin{definition}[Coefficiente di correlazione di Pearson, PCC] + Date $X$, $Y$ v.a.~reali non costanti q.c.\footnote{ + Infatti il coseno è definito solo per coppie di vettori anisotropi + ed il cono isotropo di $\Cov$ è costituito dalle sole costanti q.c. + }~e con momento secondo finito si definisce il \textbf{coefficiente di correlazione + di Pearson} (PCC) $\rho(X, Y)$, o più brevemente \textit{coefficiente di correlazione}, + come il coseno di $X$ e $Y$ rispetto a $\Cov$, ovverosia: + \[ + \rho(X, Y) \defeq \cos_{\Cov}(X, Y) = \frac{\Cov(X, Y)}{\sigma(X) \cdot \sigma(Y)}. + \] +\end{definition} + +\begin{lemma} + Date $X$, $Y$ v.a.~reali non costanti q.c.~e con momento secondo finito vale che: + \begin{enumerate}[(i.)] + \item $\abs{\rho(X, Y)} \leq 1$ (per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz), + \item $\rho(aX + b, cX + d) = \rho(X, Y)$ (per verifica diretta). + \end{enumerate} +\end{lemma} + +\begin{theorem} + Siano $X$, $Y$ v.a.~reali con momento secondo finito e non costanti q.c. Allora + la funzione: + \[ + \RR^2 \ni (a, b) \mapsto \EE[(Y - (aX + b))^2] \in \RR + \] + è ben definita e ammette un unico punto di minimo $(a^*, b^*)$, dove: + \[ + a^* = C_{\Cov}(X, Y) = \frac{\Cov(X, Y)}{\Var(X)}, \quad b^* = \EE[Y] - a^* \EE[X]. + \] + Inoltre il valore di tale minimo è: + \[ + \EE[(Y - (a^* X + b^*))^2] = \Var(Y) \cdot (1 - \rho(X, Y)^2). + \] +\end{theorem} + +\begin{definition}[Retta di regressione (lineare)] + Date $X$, $Y$ v.a.~reali con momento secondo finito e non costanti q.c. + si definisce \textbf{retta di regressione} (lineare) la retta $y = a^*x + b^*$. +\end{definition} + +\begin{remark} + Dal precedente teorema si può ottenere una caratterizzazione della + correlazione lineare tra due v.a.~reali $X$ e $Y$ non costanti q.c.~e con + momento secondo finito. Infatti vale che: + \begin{itemize} + \item la retta di regressione di $X$ e $Y$ rappresenta la migliore approssimazione + lineare di $Y$ tramite $X$, + + \item $\rho(X, Y) \approx 0$ ($X$, $Y$ quasi scorrelate) $\implies$ poca correlazione lineare ($\EE[(Y - (a^* X + b^*))^2]$ assume approsimativamente il valore massimo possibile e dunque $Y$ + dista mediamente tanto da ogni retta di $X$), + \item $\rho(X, Y) \approx 1 \implies$ forte correlazione lineare (infatti se + $\rho = 1$, $\EE[(Y - (a^* X + b^*))^2] = 0$, e dunque $Y = a^* X + b^*$ q.c.). + \end{itemize} + Si osserva inoltre che $\sgn(a^*) = \sgn(\rho(X, Y))$. +\end{remark} + +\section{Legge dei grandi numeri (LGN), media campionaria e limite in senso probabilistico} + +\subsection{Definizioni ed enunciato} + +\begin{definition}[Media campionaria $n$-esima] + Data una famiglia di v.a.~reali $(X_i)_{i \in \NN}$ i.i.d.~dotate di momento secondo + finito\footnote{ + Dal momento che le $X_i$ sono i.i.d.~è sufficiente che $X_1$ sia dotata di + momento secondo finito. + } si definisce \textbf{media campionaria $n$-esima} il termine: + \[ + \overline{X_n} \defeq \frac{1}{n} \sum_{i \in [n]} X_i, + \] + ovverosia la media aritmetica delle prime $n$ v.a.~della famiglia. +\end{definition} + +\begin{definition}[Limite probabilistico] + Data una successione di v.a.~reali $(Y_i : \Omega \to \RR)_{i \in \NN}$ e data + una v.a.~reale $Y : \Omega \to \RR$ si + dice che $Y_n$ tende (probabilisticamente) a $Y$ ($Y_n \toprob Y$) per $n \to \infty$ + se: + \[ + \lim_{n \to \infty} P(\abs{Y_n - Y} > \eps) = 0, \quad \forall \eps > 0. + \] +\end{definition} + +\begin{remark} + Una successione di v.a.~reali $(Y_i)_{i \in \NN}$ tende a $Y$ se si può + sempre scegliere un $n$ arbitrariamente grande tale per cui la probabilità che $Y_i$ + sia pari a $Y$ (eccetto per un errore assoluto $\eps$ fissato) è certa entro un + errore arbitrario. +\end{remark} + +\begin{theorem}[Legge (debole) dei grandi numeri, LGN] + Sia $(X_i)_{i \in \NN}$ una famiglia di v.a.~reali scorrelate e i.d.~(e.g.~i.i.d.) dotate di momento secondo + finito, ovverosia con $\EE[X_1^2] < \infty$. Allora vale che: + \[ + \overline{X_n} \toprob \EE[X_1], \quad \text{per } n \to \infty. + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Si osserva che $\EE[\overline{X_n}] = \EE[X_1]$ e che + $\Var(\overline{X_n}) = \frac{1}{n} \Var(X_1)$. Allora, se $\eps > 0$, + per la disuguaglianza di Chebyshev vale che: + \[ + P\left(\abs{\overline{X_n} - \EE[X_1]} > \eps\right) \leq \frac{\Var(\overline{X_n})}{\eps^2} = + \frac{\Var(X_1)}{\eps^2 n}. + \] + Dal momento che $\frac{\Var(X_1)}{\eps^2 n} \to 0$ per $n \to \infty$, si ottiene + la tesi. +\end{proof} + +\begin{remark} + In alcune occasioni, ovverosia quando $\Var(\overline{X_n}) \to 0$ + per $n \to \infty$, è ancora possibile applicare la LGN seguendo la stessa + dimostrazione. +\end{remark} + +\begin{remark} + La legge dei grandi numeri ci permette di ricondurre la definizione + assiomatica di Kolmogorov di probabilità a quella frequentista. Se + infatti fissiamo una probabilità $P$ e costruiamo un modello di prove + ripetute (come definito successivamente) il cui successo è dipeso + da se accade l'evento $A$, considerando come famiglia di + v.a.~i.i.d.~la famiglia $(1_{A_i})_{i \in \NN}$, dove $A_i$ è l'evento di successo di $A$ nella prova + $i$-esima, per la legge dei grandi numeri si ottiene che per $n \to \infty$ vale che: + \[ + \overline{1_{A_n}} = \frac{\text{numero di volte che accade $A$}}{\text{numero di prove}} \toprob \EE[1_{A_1}] = P(A). + \] +\end{remark} + +\subsection{Trasformata di Cramer per l'ottimizzazione della stima} + +Cerchiamo in questa sezione di ottenere, utilizzando la funzione +esponenziale, una stima ottimale per +$P(\overline{X_n} - m > \eps)$ con $\eps > 0$, $(X_i)_{i \in \NN}$ famiglia +di v.a.~i.i.d.~e $m = \EE[X_1]$ finito. \smallskip + +Dacché $\exp : \RR \to (0, \infty)$ è crescente, vale che, per $\lambda > 0$: +\begin{multline*} + P(\overline{X_n} - m > \eps) = P\left(\lambda \sum_{i \in [n]} (X_i - m) > \lambda n \eps\right) = \\ = P\left(\exp\left(\lambda \sum_{i \in [n]} (X_i - m)\right) > \exp(\lambda n \eps)\right). +\end{multline*} + +Applicando la disuguaglianza di Markov si ottiene che: +\begin{multline*} + P(\overline{X_n} - m > \eps) \leq \frac{1}{e^{\lambda n \eps}} \EE\left[\exp\left(\lambda \sum_{i \in [n]} (X_i - m)\right)\right] = \\ + = \frac{1}{e^{\lambda n \eps}} \EE[\exp(\lambda(X_1 - m))]^n = \\ + = \exp\left(-n\left(\lambda \eps - \log \, \EE\left[e^{\lambda(X_1-m)}\right]\right)\right). +\end{multline*} +dove si è utilizzato che le v.a.~sono indipendenti e identicamente distribuite. + +\begin{definition}[Trasformata di Cramer] + Dato $\eps > 0$, $(X_i)_{i \in \NN}$ famiglia +di v.a.~i.i.d.~e $m = \EE[X_1]$ finito, si definisce \textbf{trasformata di Cramer} + il valore: + \[ + I(t) = \sup_{\lambda > 0} \, \left(\lambda t - \log \, \EE\left[e^{\lambda(X_1-m)}\right]\right). + \] +\end{definition} + +Ottimizzando dunque in $\lambda$, la precedente disuguaglianza di scrive come: +\[ + P(\overline{X_n} - m > \eps) \leq e^{-n \cdot I(\eps)}. +\] +Se dunque esiste $\lambda > 0$ per cui $\EE\left[e^{\lambda(X_1-m)}\right]$ è finito, allora $I(\eps) > 0$, e dunque $P(\overline{X_n} - m > \eps)$ tende esponenzialmente a $0$ +per $n \to \infty$. + +\section{Teorema centrale del limite (TCL, o TLC)} + +\subsection{Intuizione del TCL: \textit{zoom-in} e \textit{scaling}} +Per la legge dei grandi numeri sappiamo già che +$\overline{X_n} - m \toprob 0$ per $m = \EE[X_1]$, $n \to \infty$ e +$(X_i)_{i \in [n]}$ famiglia di v.a.~i.i.d. Ciò è dipeso, come illustrato dalla dimostrazione, dal fatto che è presente un fattore $\frac{1}{n}$ in $\Var(\overline{X_n})$. +\smallskip + + +Se $\alpha > 0$ e consieriamo lo \textit{scaling} (o \textit{zoom-in}) $n^\alpha (\overline{X_n} - m)$ +vale che: +\[ + \Var(n^\alpha (\overline{X_n} - m)) = n^{2\alpha} \Var(\overline{X_n}) = n^{2\alpha - 1} \Var(X_1). +\] +Pertanto, riapplicando la disuguaglianza di Chebyshev: +\[ + P\left(n^\alpha \abs{\overline{X_n} - m} > \eps\right) \leq \frac{1}{\eps^2} n^{2\alpha - 1} \Var(X_1). +\] +Per $\alpha < \frac{1}{2}$ si riottiene una tesi analoga a quella della LGN. È +lecito dunque aspettarsi che per $\alpha = \frac{1}{2}$ possa accadere qualcosa +di diverso, da cui l'intuizione del TCL. + +\subsection{Enunciato del TCL e Teorema di De Moivre-Laplace per la distr.~binomiale} +\begin{theorem}[Teorema centrale del limite, TCL; oppure Teorema del limite centrale, TLC] + Sia $(X_i)_{i \in \NN}$ una famiglia di v.a.~i.i.d dotate di momento secondo + finito ($\EE[X_1^2] < \infty$) e non costanti q.c.~($\Var(X_1) > 0$). Sia + $\sigma = \sigma(X_1)$ e sia $m = \EE[X_1]$. Allora per ogni scelta di $a$, $b$ + tali per cui $-\infty \leq a \leq b \leq \infty$\footnote{ + Si ammettono dunque anche i casi $\pm \infty$. + } vale che per $n \to \infty$: + \[ + P\left(a \leq \frac{\sqrt{n}}{\sigma} \left(\overline{X_n} - m\right) \leq b\right) \to \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-\frac{x^2}{2}} \dx. + \] + Equivalentemente vale che: + \[ + P\left(a \leq \frac{1}{\sqrt{n}\sigma} \left[\left(\sum_{i \in [n]} X_i\right) - nm\right] \leq b\right) \to \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-\frac{x^2}{2}} \dx. + \] +\end{theorem} + +\begin{warn} + Per il calcolo di $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-\nicefrac{x^2}{2}} \dx$ mediante + la funzione $\Phi(x)$ si rimanda + alla \textit{Tabella \ref{tab:phi}} allegata nelle ultime pagine di queste schede riassuntive. +\end{warn} + +\begin{corollary}[Teorema di De Moivre-Laplace] + Sia $Y_n \sim B(n, \pp)$. Allora per ogni scelta di $a$, $b$ tali per cui + $-\infty \leq a \leq b \leq \infty$ vale che per $n \to \infty$: + \begin{multline*} + P\left(n\pp + \sqrt{n \pp (1- \pp)} a \leq Y_n \leq n\pp + \sqrt{n \pp (1 - \pp)} b\right) \\ + \to \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-\frac{x^2}{2}} \dx. + \end{multline*} +\end{corollary} + +\begin{proof} + Segue dal TCL dal momento che $Y_n$ è somma di $n$ v.a.~$X_i$ i.i.d. con $X_i \sim B(\pp)$. In particolare $m = \EE[X_1] = \pp$ e $\sigma = \sigma(X_1) = \sqrt{\EE[X_1^2] - \EE[X_1]^2} = \sqrt{\pp (1-\pp)}$. +\end{proof} + +\section{Modelli probabilistici classici} + +\subsection{Probabilità uniforme} + +\begin{definition}[Probabilità uniforme] + Dato $\Omega$ finito, si definisce + \textbf{probabilità uniforme} l'unica probabilità + $P : \FF \to \RR$ la cui funzione di densità + è costante (\textit{equiprobabile}). Equivalentemente è la probabilità + $P$ tale per cui: + \[ + P(A) = \frac{\#A}{\#\Omega}. + \] +\end{definition} + +\begin{remark} + Non è possibile dotare $\Omega$ numerabile di una probabilità + uniforme. Infatti, se l'unica immagine della funzione $p : \Omega \to \RR$ è + $c$, $\sum_{\omega \in \Omega} p(\omega) = c \sum_{\omega \in \Omega} 1$, che + può valere solo $0$ o $\infty$, e dunque non $1$ (e pertanto non può indurre + una probabilità). +\end{remark} + +\subsection{Sequenze di esperimenti e modello delle prove ripetute di Bernoulli} + + Cerchiamo di modellare una sequenza ordinata (e potenzialmente infinita, + ma al più numerabile) + di esperimenti. Data una famiglia $(\Omega_i)_{i \in I}$, con $I = \NN$ o + $I = [n]$, dove ciascuno $\Omega_i$ indica l'$i$-esimo esperimento, definiamo + in tal caso: + \[ + \Omega = \left\{ (\omega_1, \omega_2, \ldots) \,\middle\vert\, \omega_1 \in \Omega_1, \omega_2 \in \Omega_2^{(\omega_1)}, \omega_3 \in \Omega_3^{(\omega_1, \omega_2)}, \ldots\right\}, + \] + + dove la notazione $\Omega_i^{(\omega_j)_{j \in [i-1]}}$ indica il sottoinsieme + di $\Omega_i$ degli esiti dell'esperimento possibili una volta che nei precedenti + esperimenti sono successi $\omega_1$, \ldots, $\omega_{i-1}$. Se i precedenti + esperimenti non condizionano gli esiti dei successivi, allora + $\Omega = \prod_{i \in I} \Omega_i$. \medskip + + + Riduciamoci al caso di una sequenza (finita o infinita) di esperimenti tra di + loro non condizionati, ciascuno + con esito successo ($1$) o insuccesso ($0$). Un tale esperimento è + detto \textbf{prova di Bernoulli}. In tal caso $\Omega = \prod_{i \in I} [[1]]$. \medskip + + + Sia $A_i$ l'evento ``successo all''$i$-esima prova'', ossia: + \[ + A_i = \{ \omega \in \Omega \mid \omega_i = 1 \}. + \] + + Sia $p_i : [[1]] \to \RR$ la funzione di densità associata alla misura + di probabilità dell'esperimento $\Omega_i$. Associamo allora ad $\Omega$ la $\sigma$-algebra $\FF = \sigma(A_i)_{i \in I}$ generata + dagli $A_i$ (che è al più numerabile). Se $I$ è finito, $\FF = \PP(\Omega)$. + + \begin{definition}[Modello della sequenza di prove] + Si definisce \textbf{probabilità del modello della sequenza di prove} + l'unica probabilità $P$ sullo spazio misurabile $(\Omega, \FF)$ tale + per cui $(A_i)_{i \in I}$ è una famiglia di eventi indipendenti e + per la quale $P(A_i) = p_i(1)$. + \end{definition} + + \begin{remark} + Tale probabilità è univocamente determinata dal momento che + gli $A_i$ generano $\FF$ e che sono indipendenti. + \end{remark} + + \begin{definition}[Modello delle prove ripetute] + Se $P$ è una probabilità del modello della sequenza di prove e + $p_i(1) = p_j(1)$ per ogni coppia $i$, $j$, allora il modello + prende il nome di \textbf{modello delle prove ripetute} e si dice + che $\pbern \defeq p_1(1)$ è il \textbf{parametro di Bernoulli}. + \end{definition} + + A partire dal modello delle prove ripetute si possono formalizzare + numerose distribuzioni, come quelle della sezione successiva. +\end{multicols*} \ No newline at end of file diff --git a/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/tabella-modelli-discreti.tex b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/tabella-modelli-discreti.tex new file mode 100644 index 0000000..3505227 --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/tabella-modelli-discreti.tex @@ -0,0 +1,43 @@ +%-------------------------------------------------------------------- +\begin{landscape} + +\chapter*{Tabella e proprietà delle distribuzioni discrete} +\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà delle distribuzioni discrete} + +\vskip -0.3in + +\begin{table}[htb] +\scalebox{0.74}{ +\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|} +\hline +Nome distribuzione & Caso di utilizzo & Parametri & Densità discreta & Valore atteso & Momento secondo & Varianza \\ \hline +\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. di Bernoulli\\ $X \sim B(\pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Esperimento con esito\\ di successo ($1$) o\\ insuccesso ($0$).\end{tabular} & $\pp$ -- probabilità di successo. & $P(X=1) = \pp$, $P(X=0) = 1-\pp$ & $\EE[X] = \pp$ & $\EE[X^2] = \pp$ & $\Var(X) = \pp(1-\pp)$ \\ \hline +\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. binomiale\\ $X \sim B(n, \pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di $n$ esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\ $X$ conta il numero di successi.\\ $X$ è in particolare somma di $n$\\ v.a.~i.i.d.~distribuite come $B(\pp)$.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$n$ -- numero di esperimenti\\ $\pp$ -- probabilità di successo\\ dell'$i$-esimo esperimento\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k) = \binom{n}{k}{\pp}^k (1-\pp)^{n-k}$\\ per $0 \leq k \leq n$ e $0$ altrimenti.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X] = n \pp$\\ (è somma di $n$ Bernoulliane)\end{tabular} & $\EE[X^2] = n \pp + n(n-1)\pp^2$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Var(X) = n \pp(1-\pp)$\\ (è somma di $n$\\ Bernoulliane indipendenti)\end{tabular} \\ \hline +\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. binomiale\\ negativa\\ $X \sim \BinNeg(h, \pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di infiniti esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\ $X$ conta l'esperimento in cui si\\ ha l'$h$-esimo successo.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$h$ -- numero dei successi da misurare\\ $\pp \in (0, 1)$ -- probabilità di successo\\ dell'$i$-esimo esperimento\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k) = \binom{k-1}{h-1} \pp^h (1-\pp)^{k-h}$\\ laddove definibile e $0$ altrimenti.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X] = \frac{h}{\pp}$\\ (è somma di $h$ Geometriche)\end{tabular} & $\EE[X^2] = \frac{h(1+h-\pp)}{\pp^2}$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Var(X) = \frac{h(1-\pp)}{\pp^2}$ \\ (è somma di $h$\\Geometriche indipendenti)\end{tabular} \\ \hline +\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. geometrica\\ $X \sim \Geom(\pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una serie di infiniti esperimenti\\ col modello delle prove ripetute,\\ $X$ conta l'esperimento in cui si\\ ha il primo successo. È pari a\\ $\BinNeg(1, \pp)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\pp \in (0, 1)$ -- probabilità di successo\\ all'$i$-esimo esperimento.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k) = \pp (1-\pp)^{k-1}$ per\\ $k \geq 1$ e $0$ per $k=0$.\end{tabular} & $\EE[X] = \frac{1}{\pp}$ & $\EE[X^2] = \frac{2-\pp}{\pp^2}$ & $\Var(X) = \frac{1-\pp}{\pp^2}$ \\ \hline +\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. ipergeometrica\\ $X \sim H(N, N_1, n)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In un'estrazione di $n$ palline in\\ un'urna di $N$ palline, di cui\\ $N_1$ sono rosse, $X$ conta\\ il numero di palline rosse estratte.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$N$ -- numero di palline nell'urna\\ $N_1$ -- numero di palline rosse\\ nell'urna\\ $n$ -- numero di palline estratte\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$P(X=k) = \frac{\binom{N_1}{k} \binom{N-N_1}{n-k}}{\binom{N}{n}}$\\ laddove definibile e $0$ altrimenti.\end{tabular} & & & \\ \hline +\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distri.di Poisson\\ (o degli eventi rari)\\ $X \sim \Poisson(\lambda)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}In una sequenza di $n \gg 1$\\ esperimenti di parametro $\pp \ll 1$\\ con $n \pp \approx \lambda$,\\ $X$ misura il numero di successi.\\ Si può studiare come distribuzione\\ limite della distribuzione binomiale.\end{tabular} & $\lambda$ -- tasso di successo. & $P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$ & $\EE[X] = \lambda$ & $\EE[X^2] = 2\lambda$ & $\Var(X) = \lambda$ \\ \hline +\end{tabular}} +\end{table} + +Valgono inoltre le seguenti altre proprietà: + +\small +\begin{itemize} + \item Una somma di $n$ v.a.~i.i.d.~distribuite come $B(\pp)$ si + distribuisce come $B(n, \pp)$. + \item Se $X \sim B(n, \pp)$ e $Y \sim B(m, \pp)$ sono indipendenti, $X + Y$ si distribuisce come $B(n + m, \pp)$. + \item Se $X \sim \Poisson(\lambda)$ e $Y \sim \Poisson(\mu)$ sono indipendenti, + $X + Y$ si distribuisce come $\Poisson(\lambda + \mu)$. + \item Se $X \sim \Geom(\pp)$, allora $P(X = \infty) = 0$\footnote{ + Ovverosia la probabilità che non vi siano mai successi è nulla. + }. Da ciò si deduce che $P(X > k) = (1-\pp)^k$. + \item Una $X \sim \BinNeg(h, \pp)$ è + somma di $h$ v.a.~i.i.d.~distribuite + come $\Geom(\pp)$. + \item Una v.a.~$X$ sui numeri naturali si dice che ha la \textit{proprietà di perdita di memoria} se $P(X > n + k \mid X > k) = P(X > n)$. Una v.a.~ha + la proprietà di perdita della memoria se e solo se è distribuita come + la distribuzione geometrica. +\end{itemize} + +\end{landscape} \ No newline at end of file diff --git a/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/tabella-phi.tex b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/tabella-phi.tex new file mode 100644 index 0000000..4b53406 --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/tabella-phi.tex @@ -0,0 +1,56 @@ +%-------------------------------------------------------------------- +\chapter*{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} di una normale standard} +\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà della f.d.r.~\texorpdfstring{$\Phi(x)$}{Φ(x)} di una normale standard} + +Per $a \in \RR$ si definisce la funzione $\Phi(a) = \int_{-\infty}^a e^{-\nicefrac{x^2}{2}} \dx$. L'integrale $\Phi(\infty) \defeq \int_{-\infty}^a e^{-\nicefrac{x^2}{2}} \dx$ vale +esattamente $1$, mentre $\Phi(-\infty) \defeq 0$. Per la parità di $e^{-\nicefrac{x^2}{2}}$ vale che $\Phi(a) = 1 - \Phi(-a)$ (\textbf{simmetria}). A partire da questa funzione si può calcolare +$\int_{a}^b e^{-\nicefrac{x^2}{2}} \dx$, che risulta essere $\Phi(b) - \Phi(a)$. Se +$a > 0$, allora $\int_{-a}^a e^{-\nicefrac{x^2}{2}} \dx = \Phi(a) - \Phi(-a) = 2\Phi(a) - 1$. + + +\begin{longtable}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} +\caption{Tabella $z$ di alcuni valori di $\Phi(x)$ per $x$ \textit{non negativo}. Per $x$ \textit{negativo} utilizzare \textbf{simmetria}. Si prendono le cifre fino al decimo e si legge la riga corrispondente, in base al centesimo si individua poi l'approssimazione da usare.} \label{tab:phi} \\ + +\hline +\endfirsthead + +\endhead + +\hline \multicolumn{3}{|r|}{{Continued on next page}} \\ \hline +\endfoot + +\hline +\endlastfoot +z & 0 & 0,01 & 0,02 & 0,03 & 0,04 & 0,05 & 0,06 & 0,07 & 0,08 & 0,09 \\ +0 & 0,5 & 0,50399 & 0,50798 & 0,51197 & 0,51595 & 0,51994 & 0,52392 & 0,5279 & 0,53188 & 0,53586 \\ +0,1 & 0,53983 & 0,5438 & 0,54776 & 0,55172 & 0,55567 & 0,55962 & 0,56356 & 0,56749 & 0,57142 & 0,57535 \\ +0,2 & 0,57926 & 0,58317 & 0,58706 & 0,59095 & 0,59483 & 0,59871 & 0,60257 & 0,60642 & 0,61026 & 0,61409 \\ +0,3 & 0,61791 & 0,62172 & 0,62552 & 0,6293 & 0,63307 & 0,63683 & 0,64058 & 0,64431 & 0,64803 & 0,65173 \\ +0,4 & 0,65542 & 0,6591 & 0,66276 & 0,6664 & 0,67003 & 0,67364 & 0,67724 & 0,68082 & 0,68439 & 0,68793 \\ +0,5 & 0,69146 & 0,69497 & 0,69847 & 0,70194 & 0,7054 & 0,70884 & 0,71226 & 0,71566 & 0,71904 & 0,7224 \\ +0,6 & 0,72575 & 0,72907 & 0,73237 & 0,73565 & 0,73891 & 0,74215 & 0,74537 & 0,74857 & 0,75175 & 0,7549 \\ +0,7 & 0,75804 & 0,76115 & 0,76424 & 0,7673 & 0,77035 & 0,77337 & 0,77637 & 0,77935 & 0,7823 & 0,78524 \\ +0,8 & 0,78814 & 0,79103 & 0,79389 & 0,79673 & 0,79955 & 0,80234 & 0,80511 & 0,80785 & 0,81057 & 0,81327 \\ +0,9 & 0,81594 & 0,81859 & 0,82121 & 0,82381 & 0,82639 & 0,82894 & 0,83147 & 0,83398 & 0,83646 & 0,83891 \\ +1 & 0,84134 & 0,84375 & 0,84614 & 0,84849 & 0,85083 & 0,85314 & 0,85543 & 0,85769 & 0,85993 & 0,86214 \\ +1,1 & 0,86433 & 0,8665 & 0,86864 & 0,87076 & 0,87286 & 0,87493 & 0,87698 & 0,879 & 0,881 & 0,88298 \\ +1,2 & 0,88493 & 0,88686 & 0,88877 & 0,89065 & 0,89251 & 0,89435 & 0,89617 & 0,89796 & 0,89973 & 0,90147 \\ +1,3 & 0,9032 & 0,9049 & 0,90658 & 0,90824 & 0,90988 & 0,91149 & 0,91309 & 0,91466 & 0,91621 & 0,91774 \\ +1,4 & 0,91924 & 0,92073 & 0,9222 & 0,92364 & 0,92507 & 0,92647 & 0,92785 & 0,92922 & 0,93056 & 0,93189 \\ +1,5 & 0,93319 & 0,93448 & 0,93574 & 0,93699 & 0,93822 & 0,93943 & 0,94062 & 0,94179 & 0,94295 & 0,94408 \\ +1,6 & 0,9452 & 0,9463 & 0,94738 & 0,94845 & 0,9495 & 0,95053 & 0,95154 & 0,95254 & 0,95352 & 0,95449 \\ +1,7 & 0,95543 & 0,95637 & 0,95728 & 0,95818 & 0,95907 & 0,95994 & 0,9608 & 0,96164 & 0,96246 & 0,96327 \\ +1,8 & 0,96407 & 0,96485 & 0,96562 & 0,96638 & 0,96712 & 0,96784 & 0,96856 & 0,96926 & 0,96995 & 0,97062 \\ +1,9 & 0,97128 & 0,97193 & 0,97257 & 0,9732 & 0,97381 & 0,97441 & 0,975 & 0,97558 & 0,97615 & 0,9767 \\ +2 & 0,97725 & 0,97778 & 0,97831 & 0,97882 & 0,97932 & 0,97982 & 0,9803 & 0,98077 & 0,98124 & 0,98169 \\ +2,1 & 0,98214 & 0,98257 & 0,983 & 0,98341 & 0,98382 & 0,98422 & 0,98461 & 0,985 & 0,98537 & 0,98574 \\ +2,2 & 0,9861 & 0,98645 & 0,98679 & 0,98713 & 0,98745 & 0,98778 & 0,98809 & 0,9884 & 0,9887 & 0,98899 \\ +2,3 & 0,98928 & 0,98956 & 0,98983 & 0,9901 & 0,99036 & 0,99061 & 0,99086 & 0,99111 & 0,99134 & 0,99158 \\ +2,4 & 0,9918 & 0,99202 & 0,99224 & 0,99245 & 0,99266 & 0,99286 & 0,99305 & 0,99324 & 0,99343 & 0,99361 \\ +2,5 & 0,99379 & 0,99396 & 0,99413 & 0,9943 & 0,99446 & 0,99461 & 0,99477 & 0,99492 & 0,99506 & 0,9952 \\ +2,6 & 0,99534 & 0,99547 & 0,9956 & 0,99573 & 0,99585 & 0,99598 & 0,99609 & 0,99621 & 0,99632 & 0,99643 \\ +2,7 & 0,99653 & 0,99664 & 0,99674 & 0,99683 & 0,99693 & 0,99702 & 0,99711 & 0,9972 & 0,99728 & 0,99736 \\ +2,8 & 0,99744 & 0,99752 & 0,9976 & 0,99767 & 0,99774 & 0,99781 & 0,99788 & 0,99795 & 0,99801 & 0,99807 \\ +2,9 & 0,99813 & 0,99819 & 0,99825 & 0,99831 & 0,99836 & 0,99841 & 0,99846 & 0,99851 & 0,99856 & 0,99861 \\ +3 & 0,99865 & 0,99869 & 0,99874 & 0,99878 & 0,99882 & 0,99886 & 0,99889 & 0,99893 & 0,99896 & 0,999 +\end{longtable} \ No newline at end of file