che, riscritta tramite l'identificazione di $\AnK$ come l'iperpiano $H_{n+1}\in\Aa_{n+1}(\KK)$,
diventa:
\[ p(\x)={\hat\x}^\top\hat A \hat\x, \quad\dove\hat A =\Matrix{A &\rvline&\nicefrac{\vec b}{2}\,\\[1pt]\hline&\rvline&\\[-9pt]\nicefrac{{\vec b}^\top}{2}&\rvline& c }. \]
\[ p(\x)={\hat\x}^\top\hat A \hat\x, \quad\dove\hat A =\Matrix{A &\rvline&\nicefrac{\vec b}{2}\,\\\hline\nicefrac{{\vec b}^\top}{2}&\rvline& c }. \]
\vskip 0.05in
@ -78,20 +78,24 @@
\end{definition}
\begin{definition}[azione di $A(\Aa_n(\KK))$ su $\KKxn$]
Sia $f \in A(\Aa_n(\KK))$. Allora $A(\Aa_n(\KK))$ agisce su $\KKxn$ in modo tale che
Sia $f \in A(\Aa_n(\KK))$. Allora $A(\Aa_n(\KK))$ agisce (a destra) su $\KKxn$ in modo tale che
$p' = p \circ f$ è un polinomio per cui $p'(\x)= p(f(\x))$.
\end{definition}
\begin{definition}[equivalenza affine tra polinomi]
\begin{definition}[equivalenza affine tra polinomi e quadriche]
Si dice che due polinomi $p_1$, $p_2\in\KKxn$ sono affinemente equivalenti se e solo se $\exists f \in A(\AnK)\mid p_1= p_2\circ f$.
In tal caso si scrive che $p_1\sim p_2$.
In tal caso si scrive che $p_1\sim p_2$. Analogamente due quadriche
si dicono affinemente equivalenti se i relativi polinomi sono
affinemente equivalenti.
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\li L'equivalenza affine è una relazione di equivalenza. \\
\li Sia $Z(p)$ il luogo di zeri di $p$. Allora, $p_1\sim p_2\implies
\exists f \in A(\AnK) \mid Z(p_2) = f(Z(p_1))$. \\
\li In generale, se $p_1= p_2\circ f$, vale che $Z(p_2)= f(Z(p_1))$.
\li In generale, se $p_1= p_2\circ f$, vale che $Z(p_2)= f(Z(p_1))$. \\
\li Dal momento che $A(\AnK)$ su $\KKxn$ è un azione (destra)
di gruppo, vale che $(p \circ f_1)\circ f_2= p \circ(f_1\circ f_2)$$\forall f_1$, $f_2\in A(\AnK)$, $p \in\KKxn$.
\end{remark}
\begin{proposition} [formula del cambiamento della matrice associata su azione di $A(\Aa_n(\KK))$]
@ -99,7 +103,7 @@
la seguente identità:
\begin{multline*}
\MM(p \circ f) = {\hat M}^\top\MM(p) \hat M = \Matrix{M^\top\AA(p) M &\rvline& M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p)) \,\\[1pt]\hline&\rvline&\\[-9pt]\,\left(M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p))\right)^\top&\rvline& p(\vec t)}, \\[0.1in]
\MM(p \circ f) = {\hat M}^\top\MM(p) \hat M = \Matrix{M^\top\AA(p) M &\rvline& M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p)) \,\\\hline\,\left(M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p))\right)^\top&\rvline& p(\vec t)}, \\[0.1in]
\con\hat M = \Matrix{ M &\rvline&\vec t \,\\\hline 0 &\rvline& 1 \,},
\end{multline*}
@ -133,7 +137,7 @@
\li Se $f$ è una traslazione, $M = I_n$, e dunque la formula
si riduce alla seguente:
\[\MM(p \circ f)=\Matrix{\AA(p)&\rvline&\AA(p)\vec t +\Ll(p)\,\\[1pt]\hline&\rvline&\\[-9pt]\,\left(\AA(p)\vec t +\Ll(p)\right)^\top&\rvline& p(\vec t)}. \]
\[\MM(p \circ f)=\Matrix{\AA(p)&\rvline&\AA(p)\vec t +\Ll(p)\,\\\hline\,\left(\AA(p)\vec t +\Ll(p)\right)^\top&\rvline& p(\vec t)}. \]
\vskip 0.05in
@ -145,7 +149,12 @@
$\Ll(\lambda p)=\lambda\Ll(p)$ e $c(\lambda p)=\lambda c(p)$.
Tuttavia, a differenza del cambio di matrice per equivalenza
affine, per $\KK=\RR$ la segnatura non è più un invariante (infatti, in generale $\sigma(-S)=(\iota_-(S), \iota_+(S), \iota_0(S))$, se $S \in\Sym(n, \RR)$). Ciononostante non varia, in valore assoluto, la differenza tra l'indice di positività
e quello di negatività, ossia $S(\MM(p)) :=\abs{\iota_+-\iota_-}$ continua ad essere invariante.
e quello di negatività, ossia $S(\MM(p)) :=\abs{\iota_+-\iota_-}$ continua ad essere invariante. \\
\li Vale sempre la disuguaglianza $\rg(\MM(p))\geq\rg(\AA(p))\geq1$, dal momento che $\AA(p)$ è
una sottomatrice di $\MM(p)$ e che $p$, per definizione
di quadrica, contiene sempre un termine quadratico
(e dunque la matrice $\AA(p)$ non è mai nulla).
\end{remark}
\begin{definition} [quadrica non degenere]
@ -184,4 +193,165 @@
è esattamente $\x_0+\Ker\AA(p)$. Pertanto, se $\AA(p)$ è invertibile
(ossia se è iniettiva), il centro è unico.
\end{remark}
\hr
\begin{theorem} [classificazione delle coniche su $\CC$]
Sia $\KK=\CC$. Allora ogni conica è affinemente equivalente ad
un'equazione canonica della seguente tabella, unicamente
determinata dagli invarianti $\rg(\MM(p))$ e $\rg(\AA(p))$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline
&$\rg(\MM(p))$&$\rg(\AA(p))$& Equazione canonica & A centro \\\hline
$\mathcal{C}_1$& 3 & 2 &$x^2+y^2=1$& Sì \\\hline
$\mathcal{C}_2$& 3 & 1 &$x^2=y$& No \\\hline
$\mathcal{C}_3$& 2 & 2 &$x^2+y^2=0$& Sì \\\hline
$\mathcal{C}_4$& 2 & 1 &$x^2=1$& Sì \\\hline
$\mathcal{C}_5$& 1 & 1 &$x^2=0$& Sì \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{theorem}
\vskip 0.01in
\begin{proof}
La classificazione è completa perché sono comprese tutte le possibili
scelte di rango. Inoltre tale classificazione è ben definita, dal momento che due coniche distinte della tabella differiscono di almeno un'invariante, e pertanto non possono essere affinemente
equivalenti. Pertanto, se esiste, una conica è affinemente equivalente
ad una sola delle coniche presenti nella tabella. \\
Sia allora $\mathcal{C}$ una conica relativa al polinomio $p \in\CC[x, y]$. Se $\rg(\AA(p))=2$, allora, per il teorema di Sylvester
complesso, esiste una matrice $M \in\GL(2, \CC)$ tale per
cui $M^\top\AA(p) M = I_2$. \\
Si consideri allora l'affinità $f_1\in A(\Aa_2(\CC))$ tale per cui $f_1(\x)= M\x+\vec t$, dove $\vec t =-\AA(p)\inv\vec b$. Se $p_1= p \circ f_1$, allora, per la formula
Se $\rg(\MM(p))=2$, $c(p_1)= p(\vec t)$ è nullo (altrimenti i ranghi di $\MM(p)$ e $\MM(p_1)$ sarebbero diversi; assurdo, dal momento che il rango di $\MM(p)$ è invariante per equivalenza affine, \Lightning).
In tal caso $p_1$ è il polinomio $x^2+ y^2$, e
dunque $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente a $\mathcal{C}_3$ tramite
l'identità $p_1= p \circ f_1$. \\
Se invece $\rg(\MM(p))=3$, $c' := c(p_1)$ non è nullo,
e dunque $p_1$ è il polinomio $x^2+ y^2+ c'$. Considerando
allora $f_2\in A(\Aa_2(\CC))$ tale che $f_2(\x)=\sqrt{-c\,'}\,\x$, si ottiene che $p_2= p_1\circ f_2$ è tale per cui:
Si cerca adesso una traslazione di vettore $\vec t =(t_1, t_2)^\top$
tale che annulli la parte lineare del polinomio, ossia
un vettore per cui $\AA(p_1)\vec t +(b_1, 0)^\top=\vec0$. Un vettore di questo tipo è $\vec t =(-b_1, 0)^\top$. \\
Sia allora $f_2\in\Aa_2(\CC)$ per cui $f_2(\x)=\x+\vec t$, e sia $p_2= p_1\circ f_2$. Vale allora che:
\[\MM(p_2)=\Matrix{1&0&0\\0&0&0\\0&0& c'}, \]
\vskip 0.05in
dove $c' := p_1(\vec t)$. Se $\rg(\MM(p))=1$,
$c'$ è necessariamente nullo (altrimenti $\MM(p_2)$ non
sarebbe congruente a $\MM(p)$, \Lightning), e dunque
$p_2$ è il polinomio $x^2=0$, legato alla conica $\mathcal{C}_5$ (quindi $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente a $\mathcal{C}_5$ tramite l'identità $p_2= p \circ\,(f_1\circ f_2)$). \\
