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 *.synctex.gz
 *.toc
-*.out
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+*.out
+*.pre
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--- /dev/null
+++ b/Aritmetica/1. Gruppi.tex	
@@ -0,0 +1,33 @@
+\section{Gruppi}
+
+\subsection{Definizione e motivazione}
+
+Innanzitutto, prima di dare una definizione formale, un
+\vocab{gruppo} è una struttura algebrica, ossia un insieme
+di oggetti di varia natura che rispettano alcune determinate
+regole.
+
+Il motivo (con ogni probabilità l'unico) per cui la teoria dei
+gruppi risulta interessante è la facilità con cui un'astrazione
+come la struttura di gruppo permette di desumere teoremi universali
+per oggetti matematici apparentemente scollegati.
+
+Infatti, dimostrato un teorema in modo astratto per un gruppo
+generico, esso è valido per ogni gruppo. Per quanto questo
+fatto risulti di una banalità assoluta, esso è di fondamentale
+aiuto nello studio della matematica. Si pensi ad esempio all'
+aritmetica modulare, o alle funzioni bigettive, o ancora
+alle trasformazioni del piano: tutte queste nozioni condividono
+teoremi e metodi che si fondano su una stessa logica. Come vedremo,
+esse condividono la natura di gruppo.
+
+\begin{definition}
+    Dato un insieme non vuoto $G$, esso si dice \textbf{gruppo} se data
+    un'operazione ben definita $\cdot : G \times G \to G$ è t.c:
+
+    \begin{itemize}
+        \item (\vocab{associatività}) $\forall a, b, c \in G, \, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
+        \item (\vocab{esistenza dell'elem. neutro}) $\exists e \in G \mid a \cdot e = a = e \, \cdot a \forall a \in G$
+        \item (\vocab{esistenza dell'elem. inverso}) $\forall a \in G, \, \exists a^{-1} \in G \mid a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$
+    \end{itemize}
+\end{definition}
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diff --git a/Aritmetica/1. Teoria degli insiemi.tex b/Aritmetica/1. Teoria degli insiemi.tex
deleted file mode 100644
index 798fc27..0000000
--- a/Aritmetica/1. Teoria degli insiemi.tex	
+++ /dev/null
@@ -1,143 +0,0 @@
-\chapter{Teoria degli insiemi}
-
-Il concetto di insieme è primitivo e pertanto non definito formalmente
-in questa sede. Viene tuttavia definita la terminologia che riguarda
-le teoria dei suddetti insiemi.
-
-Quando si leggerà $a \in S$, s'intenderà che ``$a$ appartiene all'insieme $S$'', mentre
-$a \notin S$ si legge ``$a$ non appartiene all'insieme $S$''. Un insieme $A$ si dice
-sottoinsieme di $B$ ($A \subseteq B$) quando $a \in A \rightarrow a \in B$; in particolare
-si dice sottoinsieme proprio di $B$ ($A \subset B$) quando
-$A \subseteq B \land \exists b \in B \mid b \notin A$.
-
-Due insiemi $A$ e $B$ sono uguali se e solo se $A \subseteq B \land B \subseteq A$.
-L'insieme vuoto è l'insieme che non ha elementi, ed è sottoinsieme di ogni insieme.
-
-\section{L'operazione di unione}
-
-L'unione di due insiemi $A$ e $B$ è un'operazione che restituisce un insieme
-$A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}$.
-
-Tale operazione si può estendere a più insiemi mediante l'introduzione di
-un \textit{insieme di indici} $T$ per una famiglia di insiemi. Un insieme di
-indici $T$ rispetto a un famiglia $F=\{A_t\}$ ha la seguente proprietà: $\forall t \in
-    T, \exists A_t \in F$; ossia è in grado di enumerare gli insiemi della famiglia $F$.
-
-L'unione è pertanto definita su una famiglia $F$ come $\bigcup_{t \in T} A_t =
-    \{x \mid (\exists t \in T \mid x \in A_t)\}$.
-
-L'unione gode delle seguente proprietà: $A \subseteq B \rightarrow A \cup B = B$
-(in particolare, $A \cup \emptyset = A$).
-
-\section{L'operazione di intersezione}
-
-Analogamente a come è stata definita l'unione, l'intersezione è un'operazione che
-resistuisce un insieme $A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}$; ossia estesa a più
-insiemi: $\bigcap_{t \in T} A_t = \{x \mid (\forall t \in T \mid x \in A_t)\}$.
-
-In modo opposto all'unione, l'intersezione è tale per cui $A \subseteq B \rightarrow
-    A \cap B = A$ (in particolare, $A \cap \emptyset = \emptyset$).
-
-\subsection{Relazioni tra l'operazione di intersezione e di unione}
-
-Si può facilmente dimostrare la seguente relazione, valida per qualunque scelta
-di insiemi $A$, $B$ e $C$: $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$.
-
-\begin{proof}
-    Prima di tutto, un elemento di entrambi i due insiemi appartiene obbligatoriamente a $C$:
-    nel caso del primo membro, il motivo è banale; riguardo al secondo membro, invece, ci accorgiamo
-    che esso appartiene almeno a uno dei due insiemi dell'unione, riconducendoci a un'intersezione
-    con l'insieme $C$.
-
-    Ogni elemento di $(A \cup B) \cap C$ appartiene inoltre ad almeno $A$ o $B$, e quindi,
-    appartenendo anche a $C$, appartiene a $A \cap C$ o $B \cap C$, e quindi a $(A \cap C) \cup (B \cap C)$.
-    Pertanto $(A \cup B) \cap C \subseteq (A \cap C) \cup (B \cap C)$.
-
-    In direzione opposta, ogni elemento di $(A \cap C) \cup (B \cap C)$ appartiene almeno
-    ad uno di dei due insiemi dell'unione. Per appartenere all'intersezione, tale elemento
-    appartiene ad almeno $A$ o $B$; e quindi appartiene ad $A \cup B$. Appartenendo anche a $C$,
-    appartiene anche $(A \cup B) \cap C$. Quindi $(A \cap C) \cup (B \cap C) \subseteq (A \cup B) \cap C$.
-
-    Valendo l'inclusione in entrambe le direzioni, $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$.
-\end{proof}
-
-\section{L'operazione di sottrazione e di complemento}
-
-L'operazione di sottrazione su due insiemi $A$ e $B$ è definita come
-$A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}$. Si può facilmente
-verificare che $A = (A \cap B) \cup (A \setminus B)$.
-
-\begin{proof}
-    Ogni elemento di $A$ può appartenere o non appartenere a $B$: nel primo caso,
-    appartiene anche a $A \cap B$, e quindi a $(A \cap B) \cup (A \setminus B)$;
-    altrimenti appartiene per definizione a $A \setminus B$, e quindi sempre
-    a $(A \cap B) \cup (A \setminus B)$. Pertanto $A \subseteq (A \cap B) \cup (A \setminus B)$.
-
-    Ogni elemento di $(A \cap B) \cup (A \setminus B)$ appartiene ad almeno uno
-    dei due operandi dell'unione; in entrambi i casi deve appartenere ad $A$. Quindi
-    $(A \cap B) \cup (A \setminus B) \subseteq A$.
-\end{proof}
-
-In particolare, se $B \subseteq A$, $A \setminus B$ si dice \textbf{complemento di $B$ in $A$}.
-
-L'operazione di complemento viene indicata con $A'$ qualora sia noto l'universo di riferimento $U$
-per cui $A' = U \setminus A$.
-
-\subsection{Le leggi di De Morgan}
-
-Si possono dimostrare le seguenti proprietà:
-
-\begin{itemize}
-    \item $(A \cup B)' = A' \cap B'$
-    \item $(A \cap B)' = A' \cup B'$
-\end{itemize}
-
-\begin{proof}[Prima legge di De Morgan]
-    Un elemento che appartiene a $(A \cup B)'$ non appartiene né a $A$ né a $B$, e quindi
-    appartiene sia a $A'$ che a $B'$, pertanto anche alla loro intersezione $A' \cap B'$
-    [$(A \cup B)' \subseteq A' \cap B'$].
-
-    Allo stesso modo, un elemento di $A' \cap B'$ non appartiene né ad $A$ né a $B$, e quindi
-    non appartiene ad $A \cup B$, appartenendo dunque a $(A \cup B)'$
-    [$A' \cap B' \subseteq (A \cup B)'$]. Pertanto $(A \cup B)' = A' \cap B'$.
-\end{proof}
-
-\begin{proof}[Seconda legge di De Morgan]
-    Un elemento che appartiene a $(A \cap B)'$ può appartenere al più ad $A$ o esclusivamente
-    a $B$; pertanto appartiene ad almeno $A'$ o $B'$, e qunidi alla loro unione
-        [$(A \cap B)' \subseteq A' \cup B'$].
-
-    Allo stesso modo, un elemento di $A' \cup B'$ appartiene ad almeno $A'$ o $B'$, e quindi
-    non può appartenere a entrambi $A$ e $B$, appartenendo dunque a $(A \cap B)'$
-    [$A' \cup B' \subseteq (A \cap B)'$]. Pertanto $(A \cap B)' = A' \cup B'$.
-\end{proof}
-
-\subsection{La logica affrontata con gli insiemi}
-
-In modo veramente interessante, ogni operatore logico segue la logica
-dell'insiemistica (e viceversa); laddove l'operatore $\cup$ (o $\cap$) ha una certa proprietà,
-la soddisfa anche $\lor$ (o $\land$).
-
-Quindi valgono tutte le leggi sopracitate:
-
-\begin{itemize}
-    \item $(a \lor b) \land c = (a \land c) \lor (b \land c)$
-    \item $(a \land b) \lor c = (a \lor c) \land (b \lor c)$
-    \item $\lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b$
-    \item $\lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b$
-\end{itemize}
-
-\section{Il prodotto cartesiano}
-
-Il prodotto cartesiano di una famiglia ordinata di insiemi $F$ con un certo insieme
-di indici $T$ è l'insieme
-$\bigtimes_{t \in T} A_t = \{(a_{t_0}, a_{t_1}, \ldots) \mid a_{t_0} \in A_{t_0} \land
-    a_{t_1} \in A_{t_1} \land \ldots\}$. In particolare, il prodotto cartesiano di
-due due insiemi $A$ e $B$ si indica con $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \land b \in B\}$.
-
-Una $n$-tupla ordinata, ossia la forma in cui è raccolto un certo elemento di un prodotto cartesiano,
-è uguale ad una altra tupla se e solo se ogni elemento di una tupla è uguale a quello
-corrispondente in ordine dell'altra: pertanto, in generale, $(a, b) \neq (b, a)$.
-
-Inoltre, il prodotto cartesiano $A \times A$ viene indicato con $A^2$ (analogamente,
-$A^n = \bigtimes_{i=1}^{n} A$).
diff --git a/Aritmetica/2. Relazioni di equivalenza e applicazioni.tex b/Aritmetica/2. Relazioni di equivalenza e applicazioni.tex
deleted file mode 100644
index e8c92b5..0000000
--- a/Aritmetica/2. Relazioni di equivalenza e applicazioni.tex	
+++ /dev/null
@@ -1,300 +0,0 @@
-\chapter{Relazioni di equivalenza e applicazioni}
-
-\section{Le relazioni di equivalenza}
-
-Utilizzando le nozioni di base della teoria degli
-insiemi è possibile definire formalmente il concetto
-di relazione di equivalenza.
-
-Dato un sottoinsieme $R$ di $A \times A$, $R$ si
-dice relazione di equivalenza se:
-
-\begin{itemize}
-    \item $(a,a) \in R$ (proprietà riflessiva)
-    \item $(a,b) \in R \implies (b,a) \in R$ (proprietà simmetrica)
-    \item $(a,b), (b,c) \in R \implies (a,c) \in R$ (proprietà transitiva)
-\end{itemize}
-
-Tale definizione può essere semplificata
-implementando l'operazione binaria $\sim$ tale per cui
-$a\sim b \iff (a,b) \in R$. In questo modo, le condizioni
-di una relazione di equivalenza $R$ diventano:
-
-\begin{itemize}
-    \item $a \sim a$
-    \item $a \sim b \implies b \sim a$
-    \item $a \sim b \land b \sim c \implies a \sim c$
-\end{itemize}
-
-\begin{lemma}
-    Definita una relazione di equivalenza $R$ con operazione
-    binaria $\sim$, $a \sim b \land c \sim b \implies a \sim c$.
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Dalla proprietà riflessiva di $R$, $c \sim b \implies b \sim c$.
-    Verificandosi sia $a \sim b$ che $b \sim c$, si applica la proprietà
-    transitiva di $R$, che implica $a \sim c$.
-\end{proof}
-
-\subsection{Classi di equivalenza}
-
-Si definisce classe di equivalenza di $a$ per un certo insieme
-$A$ e una certa relazione di equivalenza $R$ l'insieme
-$\cl(a)=\{x \in A \mid a \sim x\}$, ossia l'insieme di tutti i punti che
-si relazionano ad $a$ mediante tale relazione di equivalenza.
-
-\begin{theorem}
-    Le classi di equivalenza partizionano l'insieme di relazione
-    in insiemi a due a due disgiunti.
-\end{theorem}
-
-\begin{proof}
-    Prima di tutto è necessario dimostrare che l'unione di tutte
-    le classi di equivalenza dà luogo all'insieme di relazione $A$.
-
-    Per ogni elemento $a \in A$, $a$ appartiene a $\cl(a)$ per la proprietà
-    riflessiva di $R$, ossia della relazione di equivalenza su cui
-    $\cl$ è definita. Pertanto $\bigcup_{a \in A} \cl(a)$, che contiene solo
-    elementi di $A$, è uguale ad $A$.
-
-    In secondo luogo, è necessario dimostrare che le classi di equivalenza
-    sono o disgiunte o identiche. Ponendo l'esistenza
-    di un $a \in \cl(x) \, \cap \, \cl(y)$, la dimostrazione deriva dalle proprietà
-    di $R$: sia $b \in cl(x)$, allora $b \sim a$; dunque, dal momento che $b \sim a$ e che
-    $a \sim y$, $b \sim y$, ossia $\cl(x) \subseteq \cl(y)$ (analogamente si ottiene
-    $\cl(y) \subseteq \cl(x)$, e quindi $\cl(x) = \cl(y)$).
-\end{proof}
-
-\begin{theorem}
-    Data una partizione di un insieme che lo compone in insiemi a due
-    a due disgiunti, è sempre possibile costruire delle classi di equivalenza.
-\end{theorem}
-
-\begin{proof}
-    Vogliamo dimostrare che, data la stessa appartenenza ad un insieme come relazione,
-    essa è una relazione di equivalenza.
-
-    Sicuramente $a \sim a$ (proprietà riflessiva).
-    Inoltre, $a \sim b \implies a, b \in A_\alpha \implies b \sim a$
-    (proprietà simmetrica).
-    Infine, $a \sim b, \, b \sim c \implies a, b, c \in A_\alpha \implies a \sim c$
-    (proprietà transitiva).
-
-    In particolare, dato $a \in A_\alpha$, $\cl(a) = A_\alpha$.
-\end{proof}
-
-\section{Le applicazioni}
-
-La nozione di applicazione di un insieme in un altro ci permette
-di generalizzare, ma soprattutto di definire, il concetto di
-funzione.
-
-\begin{definition}[Applicazione]
-    Dati due insiemi $S$ e $T$, si dice che $\sigma$ è un'applicazione
-    da $S$ a $T$, se $\sigma \subseteq (S \times T) \land \forall s \in S, \existsone
-        t \in T \mid (s, t) \in \sigma$. Tale applicazione allora si scrive come
-    $\sigma : S \to T$.
-\end{definition}
-
-Si scrive $\sigma : s \rightarrowtail \sigma(s)$ per sottintendere che
-$\forall \, (s, t) \in \sigma, (s, t) = (s, \sigma(t))$. Dato
-$t=\sigma(s)$, si dice che $t$ è l'\textit{immagine} di $s$ appartenente
-al \textit{codominio} $T$, enunciato come $\Codom(\sigma)$, mentre $s$ è
-la \textit{preimmagine} di $t$, appartenente al \textit{dominio} $S$, detto
-$\Dom(\sigma)$. L'insieme ${(s, t) \in \Dom(\sigma) \times \Codom(\sigma) \mid (s, t) \in \sigma}$ è
-detto \textit{grafico} di $\sigma$, ossia $\Gr(\sigma)$.
-
-
-\subsection{Proprietà delle applicazioni}
-
-\begin{definition}[Iniettività]
-    Un'applicazione si dice iniettiva se ad ogni immagine
-    è corrisposto al più un elemento, ossia anche che
-    $s_1 \neq s_2 \implies \sigma(s_1) \neq \sigma(s_2)$.
-\end{definition}
-
-\begin{definition}[Surgettività]
-    Un'applicazione si dice surgettiva (o talvolta \textit{su $T$}) se ad ogni immagine
-    è corrisposto almeno un elemento, ossia anche che
-    $\forall t \in T, \exists s \mid \sigma(s) = t$.
-\end{definition}
-
-\begin{definition}[Bigettività]
-    Un'applicazione si dice bigettiva se è sia iniettiva che
-    suriettiva, ossia se $\forall t \in T, \existsone s \in S
-        \mid \sigma(s) = t$.
-\end{definition}
-
-\subsection{Composizione di applicazioni}
-
-\begin{definition}[Composizione]
-    Date due applicazioni $\sigma : S \to T$ e
-    $\tau : T \to U$, si può definire
-    un'applicazione detta composizione
-    $(\tau \circ \sigma) : S \to U$, tale per cui
-    $(\tau \circ \sigma) : s \mapsto \tau(\sigma(s))$.
-\end{definition}
-
-Dobbiamo tuttavia assicurarci che tale applicazione
-possa esistere, ossia verificare che $\forall s \in S \existsone
-    u \in U \mid (s, u) \in S \times U$; quindi che $\tau(\sigma(s))$
-sia unico. Tuttavia questa proprietà è banale: $\sigma(s)$ è Sicuramente
-unico poiché $\sigma$ è un'applicazione, e pertanto $\tau(\sigma(s))$ lo è,
-essendo anch'essa un'applicazione.
-
-\subsubsection{Proprietà associativa della composizione}
-
-È inoltre interessante dimostrare che la composizione rispetta la proprietà associativa,
-ossia che $(\alpha \circ \beta) \circ \gamma = \alpha \circ (\beta \circ \gamma)$.
-
-\begin{lemma}[Proprietà associativa della composizione]
-    \label{lemma:associativita_composizione}
-    Date tre applicazioni $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,
-    $(\alpha \circ \beta) \circ \gamma = \alpha \circ (\beta \circ \gamma)$.
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Preso un $a$ appartenente al dominio di $\gamma$, per il primo membro abbiamo:
-
-    $$((\alpha \circ \beta) \circ \gamma)(a) = (\alpha \circ \beta)(\gamma(a)) =
-        \alpha(\beta(\gamma(a)))$$
-
-    Analogamente per il secondo membro abbiamo:
-
-    $$(\alpha \circ (\beta \circ \gamma))(a) = \alpha((\beta \circ \gamma)(a)) =
-        \alpha(\beta(\gamma(a)))$$
-\end{proof}
-
-\subsubsection{Iniettività, surgettività e bigettività della composizione}
-
-L'iniettività, la surgettività e la bigettività di una composizione sono
-ereditate dalle applicazioni di cui è composta se tutte queste le rispettano, ossia:
-
-\begin{itemize}
-    \item $(\tau \circ \sigma)$ è iniettiva se $\tau$ e $\sigma$ lo sono.
-    \item $(\tau \circ \sigma)$ è surgettiva se $\tau$ e $\sigma$ lo sono.
-    \item $(\tau \circ \sigma)$ è bigettiva se $\tau$ e $\sigma$ lo sono.
-\end{itemize}
-
-\begin{lemma}[Iniettività della composizione]
-    \label{lemma:iniettivita_composizione}
-    $(\tau \circ \sigma)$ è iniettiva se $\tau$ e $\sigma$ lo sono.
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Dal momento che $\sigma$ è iniettiva $s_1 \neq s_2 \implies \sigma(s_1) \neq \sigma(s_2)$,
-    ma a sua volta, essendo $\tau$ iniettiva, $\sigma(s_1) \neq \sigma(s_2) \implies
-        \tau(\sigma(s_1)) \neq \tau(\sigma(s_2))$.
-\end{proof}
-
-\begin{lemma}[Surgettività della composizione]
-    \label{lemma:surgettivita_composizione}
-    $(\tau \circ \sigma)$ è surgettiva se $\tau$ e $\sigma$ lo sono.
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Dal momento che $\tau$ è surgettiva, allora $\forall u \in
-    \Codom(\tau), \exists t \in \Dom(\tau) \mid u = \tau(t)$.
-    Poiché $t \in \Codom(\sigma)$, allora, poiché anche
-    $\sigma$ è surgettiva, $\exists s \in \Dom(\sigma) \mid
-        t = \sigma(s)$. Pertanto $\exists s \in \Dom(\sigma) \mid
-        u = \tau(\sigma(s))$. 
-\end{proof}
-
-\begin{lemma}[Bigettività della composizione]
-    \label{lemma:bigettivita_composizione}
-    $(\tau \circ \sigma)$ è bigettiva se $\tau$ e $\sigma$ lo sono.
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Se $\tau$ e $\sigma$ sono bigettive, sono sia iniettive che surgettive;
-    pertanto $(\tau \circ \sigma)$ è sia iniettiva che bigettiva per i
-    lemmi \ref{lemma:iniettivita_composizione} e
-    \ref{lemma:surgettivita_composizione}.
-\end{proof}
-
-\section{Applicazione inversa}
-
-Qualora un'applicazione $\sigma : S \to T$ sia bigettiva, si dice che essa
-crea una \textit{corrispondenza biunivoca} tra $S$ e $T$, ossia che dato un
-elemento qualsiasi appartenente a $S$ è possibile associarlo ad un unico elemento
-di $T$, e viceversa. Questo è possibile dal momento che $\sigma$ è sia iniettiva
-($\forall t \in T, \existsone \lor \nexists s \in S \mid t = \sigma(s)$) che
-surgettiva ($\forall t \in T, \exists s \in S \mid t = \sigma(s)$), prescrivendo
-che $\forall t \in T, \existsone s \in S \mid t = \sigma(s)$.
-
-Da questa conclusione è possibile definire l'\textit{applicazione inversa} di
-$\sigma$, detta $\sigma^{-1}$, che è l'applicazione che associa ad ogni $t \in T$
-un unico $s \in S$. Quindi, $t = \sigma(s) \iff s = \sigma^{-1} (t)$.
-
-In particolare, $(\sigma \circ \sigma^{-1}) = (\sigma^{-1} \circ \sigma) = \Id$,
-ossia l'identità di $\sigma$, per la quale ogni elemento viene associato a sé stesso.
-Banalmente, per ogni applicazione $\alpha$, $(\alpha \circ \Id) = (\Id \circ \alpha) = \alpha$.
-
-\begin{lemma}
-    \label{lemma:inversa_applicazione}
-    $\sigma : S \to T$ è una corrispondenza biunivoca se e solo se
-    esiste un'applicazione $\mu : T \to S$ tale per cui
-    $(\sigma \circ \mu) = (\mu \circ \sigma) = \Id$.
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Dal momento che $\sigma$ è bigettiva, $\sigma^{-1}$ esiste, e questa è
-    tale per cui $(\sigma \circ \mu) = (\mu \circ \sigma) = \Id$.
-
-    In direzione opposta, se esiste una $\mu$ tale per cui $(\sigma \circ \mu) =
-    (\mu \circ \sigma) = \Id$, allora:
-
-    \begin{itemize}
-        \item $\sigma$ è iniettiva: $\sigma(s_1) = \sigma(s_2) \implies
-        \mu(\sigma(s_1)) = \mu(\sigma(s_2)) \implies s_1 = s_2$.
-        \item $\sigma$ è surgettiva: $\forall t \in T, t = \sigma(\mu(t)) \implies
-        \exists s = \mu(t) \in S \mid t = \sigma(s)$.
-    \end{itemize}
-\end{proof}
-
-\begin{lemma}[Unicità dell'applicazione inversa]
-    Per ogni applicazione bigettiva $\sigma$, $\sigma^{-1}$ è unica.
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Poniamo $\alpha \neq \beta$ come due applicazioni inverse distinte
-    di $\sigma$. Allora $\alpha = \alpha \circ (\sigma \circ \beta) =
-    (\alpha \circ \sigma) \circ \beta = \beta$, che è una contraddizione.
-\end{proof}
-
-\section{Il gruppo \texorpdfstring{$A(S)$}{A(S)} delle corrispondenze biunivoche}
-
-Si definisce $A(S)$ come l'insieme $\{\sigma : S \to S \mid \sigma \text{ sia biunivoca}\} =
-\{\sigma : S \to S \mid \forall s \in S \existsone t \in S \mid t = \sigma(s)\}$.
-
-Prendendo in considerazione l'operazione di composizione $\circ$, si può dimostrare
-che $(A(S), \circ)$ è un gruppo:
-
-\begin{itemize}
-    \item $\forall \alpha, \beta \in A(S), \alpha \circ \beta \in A(S)$ (vd. Lemma \ref{lemma:bigettivita_composizione}).
-    \item $\forall \alpha, \beta, \gamma \in A(S), (\alpha \circ \beta) \circ \gamma = \alpha \circ (\beta \circ \gamma)$ (vd. Lemma \ref{lemma:associativita_composizione}).
-    \item $\exists \Id \in A(S) \mid \forall \alpha \in A(S), (\Id \circ \alpha) = (\alpha \circ \Id) = \alpha$.
-    \item $\forall \alpha \in A(S), \exists \alpha^{-1} \in A(S) \mid (\alpha \circ \alpha^{-1}) = (\alpha^{-1} \circ \alpha) = \Id$ (vd. Lemma \ref{lemma:inversa_applicazione}).
-\end{itemize}
-
-\begin{lemma}
-    Se $S$ consta di più di due elementi ($\nnorm{S} > 2$), allora esistono sicuramente
-    due applicazioni $\alpha, \beta \in A(S)$ tale per cui $(\alpha \circ \beta) \neq
-    (\beta \circ \alpha)$.
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Se $S$ consta di più di due elementi, $S$ possiede almeno tre elementi $s_1, s_2, s_3$,
-    possiamo definire due applicazioni $\sigma$ e $\tau$ come segue:
-
-    \begin{itemize}
-        \item $\sigma(s_1) = s_2$, $\sigma(s_2) = s_3$, $\sigma(s_3) = s_1$.
-        \item $\tau(s_1) = s_1$, $\tau(s_2) = s_3$, $\tau(s_3) = s_2$.
-        \item $\sigma(a) = \tau(a) = a \forall a \notin \{s_1, s_2, s_3\}$.
-    \end{itemize}
-
-    Allora $(\sigma \circ \tau)(s_1) = \sigma(s_1) = s_2$ e
-    $(\tau \circ \sigma)(s_1) = \tau(s_2) = s_3$, ma $s_2 \neq s_3$.
-\end{proof}
diff --git a/Aritmetica/aritmetica.pdf b/Aritmetica/aritmetica.pdf
index a809f7e..df2edb2 100644
Binary files a/Aritmetica/aritmetica.pdf and b/Aritmetica/aritmetica.pdf differ
diff --git a/Aritmetica/aritmetica.tex b/Aritmetica/aritmetica.tex
index 63771b0..c9d8c3d 100644
--- a/Aritmetica/aritmetica.tex
+++ b/Aritmetica/aritmetica.tex
@@ -1,27 +1,15 @@
-\documentclass[oneside]{book}
-
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{amssymb}
-\usepackage{amsthm}
-\usepackage{enumitem}
-\usepackage[a4paper, total={6in, 8in}]{geometry}
-\usepackage{hyperref}
-\usepackage{mathtools}
+% Style formatting by Evan Chen (evanchen.cc)
+% Inspired by https://github.com/diego-unipi/Appunti-Aritmetica
+
+\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
+\documentclass[11pt]{scrartcl}
+\usepackage[sexy]{evan}
 \usepackage[italian]{babel}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
-\usepackage[parfill]{parskip}
-\usepackage{wrapfig}
-
-\usepackage{pgfplots}
-\pgfplotsset{compat=1.15}
-\usepackage{mathrsfs}
-\usetikzlibrary{arrows,angles,quotes}
 
-\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}
+\setlength{\headsep}{0.3in}
 
 \newcommand{\gfrac}[2]{\displaystyle \frac{#1}{#2}}
-\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
-\newcommand{\norm}[1]{\lVert \vec{#1} \rVert}
 \newcommand{\nnorm}[1]{\lVert #1 \rVert}
 
 \let\oldforall\forall
@@ -55,26 +43,56 @@
 \let\oldemptyset\emptyset
 \let\emptyset\varnothing
 
-\newtheorem{axiom}{Assioma}[section]
-\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
-\newtheorem{corollary}{Corollario}[theorem]
-\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
+\begin{document}
 
-\theoremstyle{definition}
-\newtheorem{definition}{Definizione}[section]
+\author{Gabriel Antonio Videtta \\ \textnormal{\href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{g.videtta1@studenti.unipi.it}}}
+\title{Appunti del corso di Aritmetica}
+\subtitle{tenutosi sotto la supervisione dei proff. Gaiffi e \textit{D'Adderio}}
+\date{A.A. 2022/2023}
+\maketitle
+\thispagestyle{empty}
 
-\begin{document}
+\begin{center}
+	\includegraphics[scale=0.3]{logo.png}
+\end{center}
 
 \author{Gabriel Antonio Videtta}
-\title{Appunti di Aritmetica}
-
-\maketitle
 \newpage
+\thispagestyle{empty}
+~\newpage
+
+\section*{Premessa}
+
+Affinché possano chiamarsi queste dispense, voglio mettere alcuni punti
+in chiaro. Non sono un professore, né ho mai insegnato nella mia vita, per
+quanto punti a farlo, pertanto queste dispense non forniscono né coprono
+l'esperienza che un professore potrebbe condividere durante un vero e proprio
+corso universitario.
+
+Piuttosto queste dispense hanno lo scopo di immagazzinare e incapsulare
+le nozioni che un normale corso di Aritmetica -- o Algebra 1 che sia --
+potrebbe fornire, e non hanno quindi la pretesa di sostituirsi a uno
+studio più approfondito e personale.
+
+Naturalmente sono accettati a braccia aperte suggerimenti e correzioni
+(che potete inviare alla mia mail,
+\texttt{\href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{g.videtta1@studenti.unipi.it}}).
+
+\section*{Ringraziamenti}
+
+Chiaramente ci sono alcuni ringraziamenti che ho piacere a fare. Innanzitutto
+vorrei ringraziare il mio caro amico \textbf{Diego Monaco}
+(\texttt{\href{mailto:d.monaco2@studenti.unipi.it}{d.monaco2@studenti.unipi.it}}),
+da cui ho preso pesante ispirazione per lo stile e il contenuto di queste dispense
+(trovate difatti i suoi appunti su \underline{\href{https://github.com/diego-unipi/Appunti-Aritmetica}{GitHub}}).
+
+In secondo luogo, voglio ringraziare \textbf{Evan Chen}, dal quale ho reperito
+già pronti i fogli di stile per queste dispense (e che anche voi potete trovare
+sul suo \underline{\href{https://web.evanchen.cc/faq-latex.html}{sito personale}}).
 
-\tableofcontents
 \newpage
+\tableofcontents
 
-\include{1. Teoria degli insiemi.tex}
-\include{2. Relazioni di equivalenza e applicazioni.tex}
+\include{1. Gruppi.tex}
 
 \end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Aritmetica/evan.sty b/Aritmetica/evan.sty
new file mode 100644
index 0000000..2857dfd
--- /dev/null
+++ b/Aritmetica/evan.sty
@@ -0,0 +1,762 @@
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%                                                    |  \               %
+%   ______  __     __  ______  _______      _______ _| ▓▓_   __    __   %
+%  /      \|  \   /  \|      \|       \    /       \   ▓▓ \ |  \  |  \  %
+% |  ▓▓▓▓▓▓\\▓▓\ /  ▓▓ \▓▓▓▓▓▓\ ▓▓▓▓▓▓▓\  |  ▓▓▓▓▓▓▓\▓▓▓▓▓▓ | ▓▓  | ▓▓  %
+% | ▓▓    ▓▓ \▓▓\  ▓▓ /      ▓▓ ▓▓  | ▓▓   \▓▓    \  | ▓▓ __| ▓▓  | ▓▓  %
+% | ▓▓▓▓▓▓▓▓  \▓▓ ▓▓ |  ▓▓▓▓▓▓▓ ▓▓  | ▓▓__ _\▓▓▓▓▓▓\ | ▓▓|  \ ▓▓__/ ▓▓  %
+%  \▓▓     \   \▓▓▓   \▓▓    ▓▓ ▓▓  | ▓▓  \       ▓▓  \▓▓  ▓▓\▓▓    ▓▓  %
+%   \▓▓▓▓▓▓▓    \▓     \▓▓▓▓▓▓▓\▓▓   \▓▓\▓▓\▓▓▓▓▓▓▓    \▓▓▓▓ _\▓▓▓▓▓▓▓  %
+%                                                           |  \__| ▓▓  %
+%                                                            \▓▓    ▓▓  %
+%                                                             \▓▓▓▓▓▓   %
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+% https://github.com/vEnhance/dotfiles/blob/main/texmf/tex/latex/evan/evan.sty
+
+% ░█▄█░▄▀▄░█░░▒█░░░▀█▀░▄▀▄░░░█▒█░▄▀▀▒██▀
+% ▒█▒█░▀▄▀░▀▄▀▄▀▒░░▒█▒░▀▄▀▒░░▀▄█▒▄██░█▄▄
+%
+% If you don't know how to use this file, read:
+% +--------------------------------------------+
+% | https://web.evanchen.cc/faq-latex.html#L-4 |
+% +--------------------------------------------+
+%
+% TL;DR of the Boost license conditions are as follows:
+%
+% 1. Any SOURCE VERSIONS must cite evan.sty and the Boost license below.
+% 2. For COMPILED PDF OUTPUT, attribution of evan.sty is OPTIONAL (but nice).
+% 3. NO OTHER REQUIREMENTS; you may modify, redistribute, sell freely.
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%
+% BOOST SOFTWARE LICENSE - VERSION 1.0 - 17 AUGUST 2003
+%
+% Copyright (c) 2022 Evan Chen [evan at evanchen.cc]
+% https://web.evanchen.cc/ || github.com/vEnhance
+%
+% Available for download at:
+% https://github.com/vEnhance/dotfiles/blob/main/texmf/tex/latex/evan/evan.sty
+%
+% Permission is hereby granted, free of charge, to any person or organization
+% obtaining a copy of the software and accompanying documentation covered by
+% this license (the "Software") to use, reproduce, display, distribute,
+% execute, and transmit the Software, and to prepare derivative works of the
+% Software, and to permit third-parties to whom the Software is furnished to
+% do so, all subject to the following:
+%
+% The copyright notices in the Software and this entire statement, including
+% the above license grant, this restriction and the following disclaimer,
+% must be included in all copies of the Software, in whole or in part, and
+% all derivative works of the Software, unless such copies or derivative
+% works are solely in the form of machine-executable object code generated by
+% a source language processor.
+%
+% THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR
+% IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY,
+% FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE, TITLE AND NON-INFRINGEMENT. IN NO EVENT
+% SHALL THE COPYRIGHT HOLDERS OR ANYONE DISTRIBUTING THE SOFTWARE BE LIABLE
+% FOR ANY DAMAGES OR OTHER LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, TORT OR OTHERWISE,
+% ARISING FROM, OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER
+% DEALINGS IN THE SOFTWARE.
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\ProvidesPackage{evan}
+%%fakesection Argument processing
+% Default Arguments
+% We include "Evan" in all of these to make sure
+% that they don't collide with anything in external packages
+\newif\ifevanfancy\evanfancytrue
+\newif\ifevanhdr\evanhdrtrue
+\newif\ifevanhref\evanhreftrue
+\newif\ifevansetup\evansetuptrue
+\newif\ifevanthm\evanthmtrue
+\newif\ifevansecthm\evansecthmfalse
+\newif\ifevanht\evanhtfalse
+\newif\ifevanpkg\evanpkgtrue
+\newif\ifevanpdf\evanpdftrue
+\newif\ifevanauthor\evanauthortrue
+\newif\ifevanchinese\evanchinesefalse
+\newif\ifevanmdthm\evanmdthmfalse
+\newif\ifevandiagrams\evandiagramsfalse
+\newif\ifevanpatchasy\evanpatchasyfalse
+\newif\ifevanhints\evanhintsfalse
+\newif\ifevanasy\evanasytrue
+\newif\ifevancolorsec\evancolorsecfalse
+\newif\ifevantitlemark\evantitlemarktrue
+\newif\ifevanvonenabled\evanvonenabledfalse
+\newif\ifevanbritish\evanbritishtrue
+
+%Receive Arguments
+\DeclareOption{chinese}{\evanhreffalse\evanchinesetrue} % Chinese support
+% allow href to override this one
+
+\DeclareOption{sexy}{\evansecthmtrue\evanmdthmtrue\evancolorsectrue} % long docs
+
+\DeclareOption{fancy}{\evanfancytrue}
+\DeclareOption{nofancy}{\evanfancyfalse}
+\DeclareOption{hdr}{\evanhdrtrue}
+\DeclareOption{nohdr}{\evanhdrfalse}
+\DeclareOption{href}{\evanhreftrue}
+\DeclareOption{nohref}{\evanhreffalse}
+
+\DeclareOption{nosetup}{\evansetupfalse}
+\DeclareOption{thm}{\evanthmtrue}
+\DeclareOption{nothm}{\evanthmfalse}
+\DeclareOption{secthm}{\evansecthmtrue}
+\DeclareOption{nosecthm}{\evansecthmfalse}
+
+\DeclareOption{ht}{\evanhttrue}
+\DeclareOption{nopdf}{\evanpdffalse}
+\DeclareOption{nopkg}{\evanpkgfalse}
+\DeclareOption{noauthor}{\evanauthorfalse}
+\DeclareOption{titlemark}{\evantitlemarktrue} % Sets title in ohead, not \rightmark
+\DeclareOption{sectionmark}{\evantitlemarkfalse} % Uses \rightmark not title in ohead
+
+\DeclareOption{mdthm}{\evanmdthmtrue}
+\DeclareOption{nomdthm}{\evanmdthmfalse}
+\DeclareOption{diagrams}{\evandiagramstrue}
+\DeclareOption{nodiagrams}{\evandiagramsfalse}
+\DeclareOption{colorsec}{\evancolorsectrue}
+\DeclareOption{nocolorsec}{\evancolorsecfalse}
+
+\DeclareOption{patchasy}{\evanpatchasytrue}
+\DeclareOption{noasy}{\evanasyfalse}
+
+\DeclareOption{hints}{\evanhintstrue}
+\DeclareOption{von}{\evanvonenabledtrue}
+
+\DeclareOption{british}{\evanbritishtrue}
+\DeclareOption{american}{\evanbritishfalse}
+
+\ProcessOptions\relax
+
+% if packages not loaded, turn off mdthm and asy
+\ifevanpkg\else\evanmdthmfalse\fi
+\ifevanpkg\else\evanasyfalse\fi
+
+% If no setup, turn off theorems
+\ifevansetup\else\evanthmfalse\fi
+
+%%fakesection Some macros
+%Small commands
+\usepackage{amsmath,amssymb}
+\usepackage{iftex}
+\ifevanpkg
+  \usepackage[minimal]{yhmath}
+\fi
+\newcommand{\cbrt}[1]{\sqrt[3]{#1}}
+\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
+\newcommand{\ceiling}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
+\newcommand{\mailto}[1]{\href{mailto:#1}{\texttt{#1}}}
+\newcommand{\ol}{\overline}
+\newcommand{\ul}{\underline}
+\newcommand{\wt}{\widetilde}
+\newcommand{\wh}{\widehat}
+\newcommand{\eps}{\varepsilon}
+%\renewcommand{\iff}{\Leftrightarrow}
+%\renewcommand{\implies}{\Rightarrow}
+\newcommand{\vocab}[1]{\textbf{\color{blue}\sffamily #1}}
+\providecommand{\alert}{\vocab}
+\providecommand{\half}{\frac{1}{2}}
+\newcommand{\catname}{\mathsf}
+\newcommand{\hrulebar}{
+  \par\hspace{\fill}\rule{0.95\linewidth}{.7pt}\hspace{\fill}
+  \par\nointerlineskip \vspace{\baselineskip}
+}
+\providecommand{\arc}[1]{\wideparen{#1}}
+
+%For use in author command
+\newcommand{\plusemail}[1]{\\ \normalfont \texttt{\mailto{#1}}}
+
+%More commands and math operators
+\DeclareMathOperator{\cis}{cis}
+\DeclareMathOperator*{\lcm}{lcm}
+\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg min}
+\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg max}
+
+%Convenient Environments
+\newenvironment{soln}{\begin{proof}[Solution]}{\end{proof}}
+\newenvironment{parlist}{\begin{inparaenum}[(i)]}{\end{inparaenum}}
+\newenvironment{gobble}{\setbox\z@\vbox\bgroup}{\egroup}
+
+%Inequalities
+\newcommand{\cycsum}{\sum_{\mathrm{cyc}}}
+\newcommand{\symsum}{\sum_{\mathrm{sym}}}
+\newcommand{\cycprod}{\prod_{\mathrm{cyc}}}
+\newcommand{\symprod}{\prod_{\mathrm{sym}}}
+
+%From H113 "Introduction to Abstract Algebra" at UC Berkeley
+\newcommand{\CC}{\mathbb C}
+\newcommand{\FF}{\mathbb F}
+\newcommand{\NN}{\mathbb N}
+\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
+\newcommand{\RR}{\mathbb R}
+\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
+\newcommand{\charin}{\text{ char }}
+\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
+\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
+\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
+\DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}
+\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
+\DeclareMathOperator{\GL}{GL} % General linear group
+\DeclareMathOperator{\SL}{SL} % Special linear group
+
+%From Kiran Kedlaya's "Geometry Unbound"
+\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
+\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
+\newcommand{\dang}{\measuredangle} %% Directed angle
+\newcommand{\ray}[1]{\overrightarrow{#1}}
+\newcommand{\seg}[1]{\overline{#1}}
+
+%From M275 "Topology" at SJSU
+\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
+\newcommand{\taking}[1]{\xrightarrow{#1}}
+\newcommand{\inv}{^{-1}}
+
+%From M170 "Introduction to Graph Theory" at SJSU
+\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
+\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
+\newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}}
+
+%From the USAMO .tex files
+\newcommand{\ts}{\textsuperscript}
+\newcommand{\dg}{^\circ}
+\newcommand{\ii}{\item}
+
+% From Math 55 and Math 145 at Harvard
+\newenvironment{subproof}[1][Proof]{%
+\begin{proof}[#1] \renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$}}%
+{\end{proof}}
+
+\newcommand{\liff}{\leftrightarrow}
+\newcommand{\lthen}{\rightarrow}
+\newcommand{\opname}{\operatorname}
+\newcommand{\surjto}{\twoheadrightarrow}
+\newcommand{\injto}{\hookrightarrow}
+\newcommand{\On}{\mathrm{On}} % ordinals
+\DeclareMathOperator{\img}{im} % Image
+\DeclareMathOperator{\Img}{Im} % Image
+\DeclareMathOperator{\coker}{coker} % Cokernel
+\DeclareMathOperator{\Coker}{Coker} % Cokernel
+\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} % Kernel
+\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
+\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} % spectrum
+\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} % trace
+\DeclareMathOperator{\pr}{pr} % projection
+\DeclareMathOperator{\ext}{ext} % extension
+\DeclareMathOperator{\pred}{pred} % predecessor
+\DeclareMathOperator{\dom}{dom} % domain
+\DeclareMathOperator{\ran}{ran} % range
+\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} % homomorphism
+\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor} % morphisms
+\DeclareMathOperator{\End}{End} % endomorphism
+
+% Things Lie
+\newcommand{\kb}{\mathfrak b}
+\newcommand{\kg}{\mathfrak g}
+\newcommand{\kh}{\mathfrak h}
+\newcommand{\kn}{\mathfrak n}
+\newcommand{\ku}{\mathfrak u}
+\newcommand{\kz}{\mathfrak z}
+\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} % Ext functor
+\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor} % Tor functor
+\newcommand{\gl}{\opname{\mathfrak{gl}}} % frak gl group
+% \renewcommand{\sl}{\opname{\mathfrak{sl}}} % frak sl group chktex 6
+
+% More script letters etc.
+\newcommand{\SA}{\mathcal A}
+\newcommand{\SB}{\mathcal B}
+\newcommand{\SC}{\mathcal C}
+\newcommand{\SF}{\mathcal F}
+\newcommand{\SG}{\mathcal G}
+\newcommand{\SH}{\mathcal H}
+\newcommand{\OO}{\mathcal O}
+
+\newcommand{\SCA}{\mathscr A}
+\newcommand{\SCB}{\mathscr B}
+\newcommand{\SCC}{\mathscr C}
+\newcommand{\SCD}{\mathscr D}
+\newcommand{\SCE}{\mathscr E}
+\newcommand{\SCF}{\mathscr F}
+\newcommand{\SCG}{\mathscr G}
+\newcommand{\SCH}{\mathscr H}
+
+% Mathfrak primes
+\newcommand{\km}{\mathfrak m}
+\newcommand{\kp}{\mathfrak p}
+\newcommand{\kq}{\mathfrak q}
+
+%% Napkin commands
+\newcommand{\prototype}[1]{
+  \emph{{\color{red} Prototypical example for this section:} #1} \par\medskip
+}
+\newenvironment{moral}{%
+  \begin{mdframed}[linecolor=green!70!black]%
+  \bfseries\color{green!70!black}}%
+  {\end{mdframed}}
+
+%%fakesection Asymptote setup
+\ifevanasy
+  \ifevanpatchasy
+    \usepackage{patch-asy}
+  \else
+    \usepackage{asymptote}
+  \fi
+  \begin{asydef}
+    defaultpen(fontsize(10pt));
+    size(8cm); // set a reasonable default
+    usepackage("amsmath");
+    usepackage("amssymb");
+    settings.tex="pdflatex";
+    settings.outformat="pdf";
+    // Replacement for olympiad+cse5 which is not standard
+    import geometry;
+    // recalibrate fill and filldraw for conics
+    void filldraw(picture pic = currentpicture, conic g, pen fillpen=defaultpen, pen drawpen=defaultpen)
+      { filldraw(pic, (path) g, fillpen, drawpen); }
+    void fill(picture pic = currentpicture, conic g, pen p=defaultpen)
+      { filldraw(pic, (path) g, p); }
+    // some geometry
+    pair foot(pair P, pair A, pair B) { return foot(triangle(A,B,P).VC); }
+    pair orthocenter(pair A, pair B, pair C) { return orthocentercenter(A,B,C); }
+    pair centroid(pair A, pair B, pair C) { return (A+B+C)/3; }
+    // cse5 abbreviations
+    path CP(pair P, pair A) { return circle(P, abs(A-P)); }
+    path CR(pair P, real r) { return circle(P, r); }
+    pair IP(path p, path q) { return intersectionpoints(p,q)[0]; }
+    pair OP(path p, path q) { return intersectionpoints(p,q)[1]; }
+    path Line(pair A, pair B, real a=0.6, real b=a) { return (a*(A-B)+A)--(b*(B-A)+B); }
+    // cse5 more useful functions
+    picture CC() {
+      picture p=rotate(0)*currentpicture;
+      currentpicture.erase();
+      return p;
+    }
+    pair MP(Label s, pair A, pair B = plain.S, pen p = defaultpen) {
+      Label L = s;
+      L.s = "$"+s.s+"$";
+      label(L, A, B, p);
+      return A;
+    }
+    pair Drawing(Label s = "", pair A, pair B = plain.S, pen p = defaultpen) {
+      dot(MP(s, A, B, p), p);
+      return A;
+    }
+    path Drawing(path g, pen p = defaultpen, arrowbar ar = None) {
+      draw(g, p, ar);
+      return g;
+    }
+  \end{asydef}
+\fi
+
+%%fakesection BEGIN MAIN SETUP
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\ifevansetup
+  %%fakesection Set up author and date
+  \ifevanauthor
+    \title{} % empty title to avoid crashes
+    \ifluatex
+      \author{Evan Chen《陳誼廷》}
+    \else
+      \author{Evan Chen}
+    \fi
+    \date{\today}
+  \fi
+  %%fakesection Hyperref
+  \ifevanpkg
+    \PassOptionsToPackage{usenames,svgnames,dvipsnames,table}{xcolor}
+    \usepackage{xcolor}
+    \ifevanhref
+      \usepackage[colorlinks=false]{hyperref}
+      \hypersetup{urlcolor=RubineRed,linkcolor=RoyalBlue,citecolor=ForestGreen}
+    \fi
+    \usepackage[nameinlink]{cleveref}
+  \fi
+
+  %%fakesection New Theorem Styles
+  \ifevanthm
+    \usepackage{amsthm}
+    \usepackage{thmtools}
+  \fi
+  \ifevanmdthm
+    \ifevanthm
+      %% theorem packages loaded already
+    \else
+      \usepackage{amsthm}
+      \usepackage{thmtools}
+    \fi
+    \usepackage[framemethod=TikZ]{mdframed}
+
+    \mdfdefinestyle{mdbluebox}{%
+      roundcorner=10pt,
+      linewidth=1pt,
+      skipabove=12pt,
+      innerbottommargin=9pt,
+      skipbelow=2pt,
+      linecolor=blue,
+      nobreak=true,
+      backgroundcolor=TealBlue!5,
+    }
+    \declaretheoremstyle[
+      headfont=\sffamily\bfseries\color{MidnightBlue},
+      mdframed={style=mdbluebox},
+      headpunct={\\[3pt]},
+      postheadspace={0pt}
+    ]{thmbluebox}
+
+    \mdfdefinestyle{mdredbox}{%
+      linewidth=0.5pt,
+      skipabove=12pt,
+      frametitleaboveskip=5pt,
+      frametitlebelowskip=0pt,
+      skipbelow=2pt,
+      frametitlefont=\bfseries,
+      innertopmargin=4pt,
+      innerbottommargin=8pt,
+      nobreak=true,
+      backgroundcolor=Salmon!5,
+      linecolor=RawSienna,
+    }
+    \declaretheoremstyle[
+      headfont=\bfseries\color{RawSienna},
+      mdframed={style=mdredbox},
+      headpunct={\\[3pt]},
+      postheadspace={0pt},
+    ]{thmredbox}
+
+    \mdfdefinestyle{mdgreenbox}{%
+      skipabove=8pt,
+      linewidth=2pt,
+      rightline=false,
+      leftline=true,
+      topline=false,
+      bottomline=false,
+      linecolor=ForestGreen,
+      backgroundcolor=ForestGreen!5,
+    }
+    \declaretheoremstyle[
+      headfont=\bfseries\sffamily\color{ForestGreen!70!black},
+      bodyfont=\normalfont,
+      spaceabove=2pt,
+      spacebelow=1pt,
+      mdframed={style=mdgreenbox},
+      headpunct={ --- },
+    ]{thmgreenbox}
+
+    \mdfdefinestyle{mdblackbox}{%
+      skipabove=8pt,
+      linewidth=3pt,
+      rightline=false,
+      leftline=true,
+      topline=false,
+      bottomline=false,
+      linecolor=black,
+      backgroundcolor=RedViolet!5!gray!5,
+    }
+    \declaretheoremstyle[
+      headfont=\bfseries,
+      bodyfont=\normalfont\small,
+      spaceabove=0pt,
+      spacebelow=0pt,
+      mdframed={style=mdblackbox}
+    ]{thmblackbox}
+
+    \newcommand{\listhack}{$\empty$\vspace{-2em}}
+  \fi
+
+  %%fakesection Theorem setup
+  \ifevanthm
+    \theoremstyle{definition}
+    %Branching here: the option secthm changes theorems to be labelled by section
+    \ifevanmdthm
+      \ifevansecthm
+        \declaretheorem[%
+        style=thmbluebox,name=Teorema,numberwithin=section]{theorem}
+      \else
+        \declaretheorem[%
+        style=thmbluebox,name=Teorema]{theorem}
+      \fi
+      \declaretheorem[style=thmbluebox,name=Lemma,sibling=theorem]{lemma}
+      \declaretheorem[style=thmbluebox,name=Proposizione,sibling=theorem]{proposition}
+      \declaretheorem[style=thmbluebox,name=Corollario,sibling=theorem]{corollary}
+      \declaretheorem[style=thmbluebox,name=Teorema,numbered=no]{theorem*}
+      \declaretheorem[style=thmbluebox,name=Lemma,numbered=no]{lemma*}
+      \declaretheorem[style=thmbluebox,name=Proposizione,numbered=no]{proposition*}
+      \declaretheorem[style=thmbluebox,name=Corollario,numbered=no]{corollary*}
+    \else
+      \ifevansecthm
+        \declaretheorem[name=Theorem,numberwithin=section]{theorem}
+      \else
+        \declaretheorem[name=Theorem]{theorem}
+      \fi
+      \declaretheorem[name=Lemma,sibling=theorem]{lemma}
+      \declaretheorem[name=Proposizione,sibling=theorem]{proposition}
+      \declaretheorem[name=Corollario,sibling=theorem]{corollary}
+      \declaretheorem[name=Teorema,numbered=no]{theorem*}
+      \declaretheorem[name=Lemma,numbered=no]{lemma*}
+      \declaretheorem[name=Proposizione,numbered=no]{proposition*}
+      \declaretheorem[name=Corollario,numbered=no]{corollary*}
+    \fi
+
+    \ifevanmdthm
+      \declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Algoritmo,sibling=theorem]{algorithm}
+      \declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Algoritmo,numbered=no]{algorithm*}
+      \declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Claim,sibling=theorem]{claim}
+      \declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Claim,numbered=no]{claim*}
+    \else
+      \declaretheorem[name=Algoritmo,sibling=theorem]{algorithm}
+      \declaretheorem[name=Algoritmo,numbered=no]{algorithm*}
+      \declaretheorem[name=Claim,sibling=theorem]{claim}
+      \declaretheorem[name=Claim,numbered=no]{claim*}
+    \fi
+
+    \ifevanmdthm
+      \declaretheorem[style=thmredbox,name=Esempio,sibling=theorem]{example}
+      \declaretheorem[style=thmredbox,name=Esempio,numbered=no]{example*}
+    \else
+      \declaretheorem[name=Esempio,sibling=theorem]{example}
+      \declaretheorem[name=Esempio,numbered=no]{example*}
+    \fi
+
+    % Remark-style theorems
+    %\theoremstyle{remark}
+    \ifevanmdthm
+      \declaretheorem[style=thmblackbox,name=Osservazione,sibling=theorem]{remark}
+      \declaretheorem[style=thmblackbox,name=Osservazione,numbered=no]{remark*}
+    \else
+      \declaretheorem[name=Osservazione,sibling=theorem]{remark}
+      \declaretheorem[name=Osservazione,numbered=no]{remark*}
+    \fi
+
+    \declaretheorem[name=Congettura,sibling=theorem]{conjecture}
+    \declaretheorem[name=Congettura,numbered=no]{conjecture*}
+    \declaretheorem[name=Definizione,sibling=theorem]{definition}
+    \declaretheorem[name=Definizione,numbered=no]{definition*}
+    \declaretheorem[name=Esercizio,sibling=theorem]{exercise}
+    \declaretheorem[name=Esercizio,numbered=no]{exercise*}
+    \declaretheorem[name=Fatto noto,sibling=theorem]{fact}
+    \declaretheorem[name=Fatto noto,numbered=no]{fact*}
+    \declaretheorem[name=Problema,sibling=theorem]{problem}
+    \declaretheorem[name=Problema,numbered=no]{problem*}
+    \declaretheorem[name=Domanda,sibling=theorem]{ques}
+    \declaretheorem[name=Domanda,numbered=no]{ques*}
+
+    \ifevanpkg
+      \Crefname{claim}{Claim}{Claims}
+      \Crefname{conjecture}{Congettura}{Congetture}
+      \Crefname{exercise}{Esercizio}{Esercizio}
+      \Crefname{fact}{Fatto noto}{Fatti noti}
+      \Crefname{problem}{Problema}{Problemi}
+      \Crefname{ques}{Domanda}{Domande}
+    \fi
+  \fi
+
+  %%fakesection Fancy section and chapter heads
+  \ifevancolorsec
+    \@ifundefined{KOMAClassName}{}{
+      \@ifundefined{chapter}{}{
+        \addtokomafont{partprefix}{\rmfamily}
+        \renewcommand*{\partformat}{\color{purple}
+          \scalebox{2.5}{\thepart}\enlargethispage{2em}}
+        \addtokomafont{chapterprefix}{\raggedleft}
+        \RedeclareSectionCommand[beforeskip=0.5em]{chapter}
+        \renewcommand*{\chapterformat}{\mbox{%
+          \scalebox{1.5}{\chapappifchapterprefix{\nobreakspace}}%
+          \scalebox{2.718}{\color{purple}\thechapter}\enskip}}
+      }
+      \renewcommand*{\sectionformat}%
+        {\color{purple}\S\thesection\enskip}
+      \renewcommand*{\subsectionformat}%
+        {\color{purple}\S\thesubsection\enskip}
+      \renewcommand*{\subsubsectionformat}%
+        {\color{purple}\S\thesubsubsection\enskip}
+      \KOMAoptions{numbers=noenddot}
+      %\usetocstyle{KOMAlike}
+    }
+  \fi
+
+
+  %%fakesection Loads a bunch of useful packages (but allow disabling)
+  \ifevanpkg
+    \ifevanvonenabled
+      \IfFileExists{von.sty}{\usepackage{von}}{}
+    \fi
+    \usepackage{listings}
+    \usepackage{mathrsfs}
+    \usepackage{textcomp}
+    \lstset{basicstyle=\ttfamily\scriptsize,
+      backgroundcolor=\color{green!2!white},
+      breakatwhitespace=true,
+      breaklines=true,
+      commentstyle=\color{green!70!black},
+      frame=shadowbox,
+      frame=single,
+      identifierstyle=\color{green!20!black},
+      keywordstyle=\bfseries,
+      keywordstyle=\bfseries\color{blue},
+      numbers=left,
+      numbersep=5pt,
+      numberstyle=\tiny\sffamily\itshape\color{black!60},
+      rulecolor=\color{blue!70!black},
+      rulesepcolor=\color{blue!30!black},
+      showstringspaces=false,
+      stringstyle=\color{orange},
+      tabsize=4,
+    } % chktex 6
+    \lstdefinelanguage{gitcommit}{
+      alsoletter={:},
+      morecomment=[l]{|},
+      morekeywords={commit,Author:,Date:,chore,doc,edit,feat,fix,polish,style,tests,},
+      sensitive=true,
+    }
+    \lstdefinelanguage{gitlog}{
+      morekeywords={chore,doc,edit,feat,fix,polish,style,tests,},
+      morecomment=[s]{[}{]}, % chktex 9
+      sensitive=true,
+    }
+
+    \usepackage[shortlabels]{enumitem}
+    \usepackage[obeyFinal,textsize=scriptsize,shadow]{todonotes}
+    \usepackage{textcomp}
+    \usepackage{multirow}
+    % Tiny optimizations:
+    \usepackage{mathtools}
+    \usepackage{microtype}
+    \usepackage{xstring}
+    \usepackage{wrapfig}
+    \ifevanbritish
+      % Use day-first date format
+      \usepackage[cleanlook,british]{isodate}
+    \fi
+
+    % a list I like for walkthrough's --- Drew-style parts
+    \newlist{walk}{enumerate}{3}
+    \setlist[walk]{label=\bfseries (\alph*)}
+    % list item for MO style rubrics
+    \newcommand{\worth}[1]{\def\hfill{\hskip 20pt plus 1fill}\dotfill%
+      \IfEq{#1}{0}{\textbf{0~points}}%
+      {\textbf{\color{blue}#1~point\IfEndWith{#1}{1}{}{s}}}%
+      \par}
+    \newcommand{\subworth}[1]{\def\hfill{\hskip 20pt plus 1fill}\dotfill%
+      \IfEq{#1}{0}{{\footnotesize0~points}}%
+      {\textbf{\footnotesize#1~point\IfEndWith{#1}{1}{}{s}}}%
+      \par}
+    \newlist{rubric}{enumerate}{2}
+    \setlist[rubric,1]{label=\Roman*.}
+    \setlist[rubric,2]{label=(\Roman{rubrici}.\alph*)}
+  \fi
+
+  %%fakesection \maketitle configuration
+  \@ifundefined{KOMAClassName}%
+    {} % do nothing outside KOMA class
+    {% If KOMA exists. . .
+    \addtokomafont{subtitle}{\Large}
+    \setkomafont{author}{\Large\scshape}
+    \setkomafont{date}{\Large\normalsize}
+    }
+  \providecommand{\thetitle}{\@title}
+  \providecommand{\theauthor}{\@author}
+  \providecommand{\thedate}{\@date}
+
+  %%fakesection Commutative diagrams support
+  \ifevandiagrams
+    \usepackage{tikz-cd}
+    \usetikzlibrary{decorations.pathmorphing}
+  \fi
+
+  %%fakesection Page Setup
+  \ifevanfancy
+    \@ifundefined{KOMAClassName}
+    {
+      \usepackage{fancyhdr}
+      \setlength{\headheight}{0.75in}
+      \setlength{\oddsidemargin}{0in}
+      \setlength{\evensidemargin}{0in}
+      \setlength{\voffset}{-1.0in}
+      \setlength{\headsep}{10pt}
+      \setlength{\textwidth}{6.5in}
+      \setlength{\headwidth}{6.5in}
+      \setlength{\textheight}{8.75in}
+      \setlength{\parskip}{1ex plus 0.5ex minus 0.2ex}
+      \setlength{\footskip}{0.3in}
+      \ifevanhdr
+        \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}
+        \renewcommand{\footrulewidth}{0.0pt}
+        \pagestyle{fancy}
+        \lhead{Evan Chen}
+        \chead{}
+        \rhead{\nouppercase{\leftmark}}
+        \lfoot{}
+        \cfoot{\thepage}
+        \rfoot{}
+      \fi
+    }
+    {
+      \usepackage[headsepline]{scrlayer-scrpage}
+      \renewcommand{\headfont}{}
+      \addtolength{\textheight}{3.14cm}
+      \setlength{\footskip}{0.5in}
+      \setlength{\headsep}{10pt}
+      \ihead{\footnotesize\textbf{\theauthor} --- \thedate}
+      \automark{section}
+      \chead{}
+      \ohead{\footnotesize\textbf{\thetitle}}
+      \cfoot{\pagemark}
+    }
+  \fi
+
+  %%fakesection Unicode
+  \ifevanpkg
+    \ifluatex
+      \usepackage{fontspec}
+      % https://tex.stackexchange.com/a/572220/76888
+      \directlua{luaotfload.add_fallback
+        ("evans_fallbacks",
+          {
+            "NotoColorEmoji:mode=harf;",
+            "Source Han Sans TW:style=Regular;",
+            "Noto Serif CJK SC:style=Regular;",
+          }
+        )}
+      \setmainfont{lmroman10-regular}[
+        BoldFont=lmroman10-bold,
+        ItalicFont=lmroman10-italic,
+        BoldItalicFont=lmroman10-bolditalic,
+        SlantedFont=lmromanslant10-regular,
+        BoldSlantedFont=lmromanslant10-bold,
+        SmallCapsFont=lmromancaps10-regular,
+        RawFeature={fallback=evans_fallbacks}
+      ]
+      \setsansfont{lmsans10-regular}[
+        BoldFont=lmsans10-bold,
+        ItalicFont=lmsans10-oblique,
+        BoldItalicFont=lmsans10-boldoblique,
+        RawFeature={fallback=evans_fallbacks}
+      ]
+    \else
+      \ifevanchinese
+        \usepackage{babel}
+        \usepackage[encapsulated]{CJK}
+        \usepackage{ucs}
+        \usepackage[utf8x]{inputenc}
+        \newenvironment{bsmi}{\begin{CJK}{UTF8}{bsmi}}{\end{CJK}}
+        \newcommand{\cn}[1]{\begin{bsmi}#1\end{bsmi}}
+        \AtBeginDocument{\begin{CJK}{UTF8}{bsmi}}
+        \AtEndDocument{\end{CJK}}
+      \fi
+    \fi
+  \fi
+
+  %%fakesection Hints
+  \ifevanhints
+    \usepackage{answers}
+    \Newassociation{hint}{hintitem}{hints}
+    \renewcommand{\solutionextension}{out}
+    \Opensolutionfile{hints}
+    \newcommand{\makehints}{\Closesolutionfile{hints}\input{hints.out}} % chktex 27
+  \fi
+%%fakesection END MAIN SETUP
+\fi
\ No newline at end of file
diff --git a/Aritmetica/logo.png b/Aritmetica/logo.png
new file mode 100644
index 0000000..822d40e
Binary files /dev/null and b/Aritmetica/logo.png differ