diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf index a86c86e..bf613e7 100644 Binary files a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf and b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf differ diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex index 9f473e9..622a37c 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex @@ -81,6 +81,9 @@ \newcommand{\CC}{\mathcal{C}} \newcommand{\TT}{\mathbb{T}} +\newcommand{\I}{\mathrm{I}} +\newcommand{\II}{\mathrm{II}} + \DeclareMathOperator{\SO}{SO} \DeclareMathOperator{\rk}{rk} diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex index 68fa75a..b8930a1 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex @@ -242,6 +242,8 @@ ogni punto $P$ di $\Sigma$. \end{proposition} + %TODO: breve dimostrazione + \begin{corollary} Ogni superficie $\Sigma$ di livello $\ell$ rispetto a $f$, per $f$ liscia e $\ell$ regolare, è orientabile. \end{corollary} diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/3-curve_su_superfici.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/3-curve_su_superfici.tex index 65600f5..89ec853 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/3-curve_su_superfici.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/3-curve_su_superfici.tex @@ -25,7 +25,7 @@ \begin{proposition}[Il piano tangente è l'insieme delle velocità delle curve sulla superficie considerata] Sia $\Sigma$ una superficie. Allora vale: \[ - T_P \Sigma = \{ \alpha'(P) \mid \alpha : I \to \Sigma \textnormal{ curva con } P \in \alpha(I) \}. + \boxed{T_P \Sigma \defeq \{ \alpha'(P) \mid \alpha : I \to \Sigma \textnormal{ curva con } P \in \alpha(I) \}.} \] \end{proposition} @@ -80,11 +80,181 @@ $\xi \in T_P \Sigma$. Allora, data una funzione $f : \Sigma \to \RR^n$, la derivata direzionale $D_\xi f(P)$ è definita come: \[ - D_\xi f(P) \defeq (f \circ \alpha)'(0), + \boxed{D_\xi f(P) \defeq (f \circ \alpha)'(0),} \] dove $\alpha$ è una qualsiasi curva su $\Sigma$ passante per $P$ al tempo $0$ con $\alpha'(0) = \xi$. \end{definition} - %\section{Operatore forma, I e II forma fondamentale} + \section{Operatore forma, I e II forma fondamentale} + + \subsection{Operatore forma e prime proprietà} + + \begin{proposition} + Sia $\vec{x}$ una parametrizzazione regolare di un punto + $P$ su $\Sigma$. Allora $D_\xi \vec{n}(P) \in T_P \Sigma$, + dove $\vec{n}$ è la normale indotta da $\vec{x}$ localmente. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Sia $\alpha$ una curva su $\Sigma$ passante per $P$ al tempo $0$ + con $\alpha'(0) = \xi$. + Osserviamo che $\vec{n}(\alpha(t)) \cdot \vec{n}(\alpha(t)) = 1$, + e quindi: + \[ + 2 (D_\xi \, \vec{n}(P) \cdot \vec{n}(P)) = 0, + \] + da cui la tesi. + \end{proof} + + \begin{definition}[Operatore forma] + Data una $\vec{x}$ una parametrizzazione regolare di un + punto $P$ su $\Sigma$, si definisce \textbf{operatore forma} + l'endomorfismo $S_P(\xi) : T_P \Sigma \to T_P \Sigma$ tale per cui: + \[ + \boxed{S_P(\xi) \defeq - D_\xi \, \vec{n}(P).} + \] + \end{definition} + + \begin{remark} + Osserviamo che l'operatore forma è ``essenzialmente unico'', dal momento + che, al variare delle parametrizzazioni, può solo cambiare segno (quello della + normale). Tutte le proprietà che ci interessano sono invarianti per cambio di + segno, e quindi la scrittura $S_P$ è ``ben definita''. + \end{remark} + + \begin{lemma} \label{lem:formula_operatore_forma} + Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$. Sia $\vec{x}$ una + parametrizzazione di $P$. Allora per $\{i, j\} \subseteq \{u, v\}$ vale: + \[ + \boxed{S_P(\vec{x_i}) \cdot \vec{x_j}(P) = \vec{n}(P) \cdot \vec{x_{ij}}(P).} + \] + \end{lemma} + + \begin{proof} + Senza perdita di generalità assumiamo $P = \vec{x}(0, 0)$. + Sia $\vec{n}$ la normale indotta dalla parametrizzazione $\vec{x}$. Allora vale: + \[ + \begin{cases} + \vec{n} \cdot \vec{x_u} = 0, \\ + \vec{n} \cdot \vec{x_v} = 0. + \end{cases} + \] + Derivando le due equazioni del sistema lungo la curva $\alpha(t) = \vec{x}(t, 0)$, + otteniamo: + \[ + \begin{cases} + S_P(\vec{x_u}) \cdot \vec{x_u}(P) = \vec{n}(P) \cdot \vec{x_{uu}}(P), \\ + S_P(\vec{x_u}) \cdot \vec{x_v}(P) = \vec{n}(P) \cdot \vec{x_{uv}}(P), + \end{cases} + \] + dove nell'ultima espressione si è applicato il teorema di Schwarz per sostituire $x_{uv}$ + a $x_{vu}$. Analogamente si ottiene la formula per gli altri due casi. + \end{proof} + + \begin{proposition}[L'operatore forma è autoaggiunto] \label{prop:forma_autoaggiunta} + Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$. Allora l'operatore + forma $S_P$ è autoaggiunto. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Per dimostrare che $S_P$ è autoaggiunto è sufficiente mostrare + che: + \[ S_P(\vec{x_u}) \cdot \vec{x_v} = \vec{x_u} \cdot S_P(\vec{x_v}), \] + dacché $\{\vec{x_u}(P), \vec{x_v}(P)\}$ è una base di $T_P \Sigma$. Questo + però è immediato dal Lemma \ref{lem:formula_operatore_forma} e dal teorema + di Schwarz. + \end{proof} + + \subsection{I e II forma fondamentale} + + \begin{definition}[I forma fondamentale] + Sia $\Sigma$ una superficie. Si definisce \textbf{I forma fondamentale} + di $\Sigma$ in $P$ il prodotto scalare $\I_P : T_P \Sigma \times T_P \Sigma \to \RR$ + definito come: + \[ + \boxed{\I_P(v, w) \defeq v \cdot w,} + \] + ovverosia è il prodotto canonico di $\RR^3$ ristretto + a $T_P \Sigma$. + \end{definition} + + \begin{definition}[II forma fondamentale] + Sia $\Sigma$ una superficie. Si definisce \textbf{II forma fondamentale} + di $\Sigma$ in $P$ il prodotto scalare $\II_P : T_P \Sigma \times T_P \Sigma \to \RR$ + definito come: + \[ + \boxed{\II_P(v, w) \defeq \I_P(S_P(v), w) = S_P(v) \cdot w.} + \] + \end{definition} + + \begin{remark} + Osserviamo che la II forma fondamentale è ben definita dal momento che + $S_P$ è autoaggiunto per la Proposizione \ref{prop:forma_autoaggiunta} + \end{remark} + + \begin{remark} + Scelta una parametrizzazione $\vec{x}$ di $P$, le due forme fondamentali + e l'operatore forma + si rappresentano canonicamente come matrici $2 \times 2$ nella + base $\{\vec{x_u}, \vec{x_v}\}$. + \end{remark} + + \begin{definition}[I forma fondamentale matriciale] + Scelta una parametrizzazione $\vec{x}$ di $P$ e data la rappresentazione + matriciale di $\I_P$ rispetto a $\vec{x}$, definiamo $E$, $F$ e $G$ (relativi + a $P$) di + modo che: + \[ + \begin{pmatrix} + E & F \\ + F & G + \end{pmatrix} = + \begin{pmatrix} + \vec{x_u} \cdot \vec{x_u} & \vec{x_u} \cdot \vec{x_v} \\ + \vec{x_u} \cdot \vec{x_v} & \vec{x_v} \cdot \vec{x_v} + \end{pmatrix}. + \] + \end{definition} + + \begin{definition}[II forma fondamentale matriciale] + Scelta una parametrizzazione $\vec{x}$ di $P$ e data la rappresentazione + matriciale di $\II_P$ rispetto a $\vec{x}$, definiamo $\ell$, $m$, $n$ (relativi + a $P$) di + modo che: + \[ + \begin{pmatrix} + \ell & m \\ + m & n + \end{pmatrix} = + \begin{pmatrix} + S_P(\vec{x_u}) \cdot \vec{x_u} & S_P(\vec{x_u}) \cdot \vec{x_v} \\ + S_P(\vec{x_u}) \cdot \vec{x_v} & S_P(\vec{x_v}) \cdot \vec{x_v} + \end{pmatrix}. + \] + \end{definition} + + \begin{proposition}[Formula per $\ell$, $m$ e $n$] + Gli elementi della rappresentazione matriciale di $\II_P$ rispetto a $\vec{x}$ + si calcolano come segue: + \[ + \boxed{\ell = \vec{n} \cdot \vec{x_{uu}}, \quad m = \vec{n} \cdot \vec{x_{uv}}, \quad n = \vec{n} \cdot \vec{x_{vv}},} + \] + dove $\vec{n}$ è la normale indotta da $\vec{x}$. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Segue immediatamente dal Lemma \ref{lem:formula_operatore_forma}. + \end{proof} + + \begin{proposition} + Scelta una parametrizzazione $\vec{x}$ di $P$, le rappresentazioni + matriciali di $\I_P$, $\II_P$ e $S_P$ rispetto a $\vec{x}$ soddisfano + la seguente relazione: + \[ + \boxed{\II_P = \I_P \cdot S_P.} + \] + In particolare vale: + \[ \boxed{\det(S_P) = \frac{\det(\II_P)}{\det(\I_P)} = \frac{\ell n - m}{EF-G^2}.} \] + \end{proposition} \end{multicols*}