diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.pdf index b775d26..4eafa56 100644 Binary files a/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.pdf and b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.pdf differ diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.tex index 81839f5..4e4ac36 100644 --- a/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.tex +++ b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.tex @@ -54,7 +54,7 @@ \setlength{\multicolsep}{1pt} \setlength{\columnsep}{2pt} - \section{Definizioni e prerequisiti} + \section{Campi e omomorfismi} Si dice \textbf{campo} un anello commutativo non banale $K$ che è @@ -67,6 +67,8 @@ di campi è un'immersione. \medskip + \section{Caratteristica di un campo} + Dato l'omomorfismo $\zeta : \ZZ \to K$ completamente determinato dalla relazione $1 \xmapsto{\zeta} 1_K$, si definisce \textbf{caratteristica di $K$}, detta @@ -80,7 +82,12 @@ Tuttavia non è detto che $\Char K = p$ implichi che $K$ è finito. In particolare $\ZZ_p(x)$, il campo delle funzioni razionali a coefficienti in $\ZZ_p$, è un campo infinito - a caratteristica $p$. Se $\Char K = p$, per il Primo + a caratteristica $p$. + + + \subsection{Proprietà dei campi a caratteristica $p$} + + Se $\Char K = p$, per il Primo teorema di isomorfismo per anelli, $\ZZmod{p}$ si immerge su $K$ tramite la proiezione di $\zeta$; pertanto $K$ contiene una copia isomorfa di $\ZZmod{p}$. Per @@ -89,10 +96,16 @@ \[ (a + b)^p = a^p + b^p, \] estendibile anche a più addendi. In particolare, per un campo $K$ di caratteristica $p$, - la $\Frob : K \to K$ tale per cui $a \xmapsto{\Frob} a^p$ + la mappa $\Frob : K \to K$ tale per cui $a \xmapsto{\Frob} a^p$ è un omomorfismo di campi, ed in particolare è un'immersione - di $K$ in $K$. Se $K$ è un campo finito, $\Frob$ è dunque - un isomorfismo. + di $K$ in $K$, detta \textbf{endomorfismo di Frobenius}. Se $K$ è un campo finito, $\Frob$ è anche + un isomorfismo. Si osserva che per gli elementi della + copia $K \supseteq \FF_p \cong \ZZmod{p}$ vale + $\restr{\Frob}{\FF_p} = \Id_{\FF_p}$, e quindi + $\Frob$ è un elemento di $\Gal(K / \FF_p)$. + + + \section{Campi finiti} Per ogni $p$ primo e $n \in \NN^+$ esiste un campo finito @@ -100,7 +113,12 @@ ordine $p^n$ sono isomorfi tra loro, possono essere visti come spazi vettoriali di dimensione $n$ sull'immersione di $\ZZmod{p}$ che contengono, e come campi di spezzamento di $x^{p^n}-x$ - su tale immersione. Poiché tali campi sono isomorfi, + su tale immersione. Tali campi hanno obbligatoriamente + caratteristica $p$, dove $\abs{K} = p^n$. Esiste + sempre un isomorfismo tra due campi finiti che manda la copia isomorfa di $\ZZmod{p}$ di uno nell'altra. \medskip + + + Poiché i campi finiti di medesima cardinalità sono isomorfi, si indicano con $\FF_p$ e $\FF_{p^n}$ le strutture algebriche di tali campi. In particolare con $\FF_{p^n} \subseteq \FF_{p^m}$ si intende che @@ -122,6 +140,7 @@ prodotto di tutti gli irriducibili di grado divisore di $n$. + \section{Proprietà dei polinomi di $K[x]$} Per il Teorema di Lagrange sui campi, ogni polinomio di $K[x]$ ammette al più tante radici quante il suo grado. @@ -141,13 +160,13 @@ Se $p$ è irriducibile in $K[x]$, $(p)$ è un ideale - massimale, e $\faktor{K[x]}{(p)}$ è un campo che + massimale, e $K[x] / (p)$ è un campo che ne contiene una radice, ossia $[x]$. In - particolare $K$ si immerge in $\faktor{K[x]}{(p)}$, + particolare $K$ si immerge in $K[x] / (p)$, e quindi tale campo può essere identificato come un'estensione di $K$ che aggiunge una radice di $p$. Se $K$ è finito, detta $\alpha$ la radice aggiunta - all'estensione, $L := \faktor{K[x]}{(p)} \cong K(\alpha)$ contiene + all'estensione, $L := K[x] / (p) \cong K(\alpha)$ contiene tutte le radici di $p$ (ed è dunque il suo campo di spezzamento). Infatti detto $[L : \FF_p] = n$, $[x]$ annulla $x^{p^n}-x$ per il Teorema di Lagrange @@ -157,20 +176,34 @@ In particolare, ogni estensione finita e semplice di un campo finito è normale, e quindi di Galois. \medskip + \section{Estensioni di campo} + Si dice che $L$ è un'estensione di $K$, e si indica - con $\faktor{L}{K}$, se $L$ è un sovracampo di $K$, + con $L / K$, se $L$ è un sovracampo di $K$, ossia se $K \subseteq L$. Si indica con $[L : K] = \dim_K L$ la dimensione di $L$ come $K$-spazio vettoriale. Si dice che $L$ è un'estensione finita di $K$ se $[L : K]$ - è finito, e infinita altrimenti. Un'estensione finita + è finito, e infinita altrimenti. Un'\textbf{estensione finita} di un campo finito è ancora un campo finito. Un'estensione è finita se e solo se è finitamente generata da elementi algebrici. Una $K$-immersione è un omomorfismo di campi - iniettivo da un'estensione di $K$ in un altro campo che + iniettivo da un'estensione di $K$ in un'altra estensione di $K$ che agisce come l'identità su $K$. Un $K$-isomorfismo è una $K$-immersione che è isomorfismo. \medskip + Date estensioni $L$ e $M$ su $K$, si definisce + $LM = L(M) = M(L)$ come il \textbf{composto} di $L$ + ed $M$, ossia come la più piccola estensione di $K$ che + contiene sia $L$ che $M$. In particolare, $LM$ + può essere visto come $L$-spazio vettoriale con + vettori in $M$, o analogamente come $M$-spazio con + vettori in $L$. + + + \subsection{Omomorfismo di valutazioni, elementi algebrici e trascendenti e polinomio minimo} + + Dato $\alpha$, si definisce $K(\alpha)$ il più piccolo sovracampo di $K$ che contiene $\alpha$. Si definisce l'\textbf{omomorfismo di valutazione} $\varphi_{\alpha, K} : K[x] \to K[\alpha]$, detto @@ -183,24 +216,135 @@ è iniettivo, si dice che $\alpha$ è \textbf{algebrico} su $K$. Si definisce $\mu_\alpha$, detto il \textbf{polinomio minimo} di $\alpha$ su $K$, il generatore monico - di $\Ker \varphi_\alpha$. Si definisce + di $\Ker \varphi_\alpha$. IDal momento che $K$ è + in particolare un dominio di integrità, $\mu_\alpha$ è sempre irriducibile. \medskip + + + Si definisce $\deg_K \alpha := \deg \mu_\alpha$. Se $\alpha$ è - algebrico su $K$, $\faktor{K[x]}{(\mu_\alpha)} \cong + algebrico su $K$, $K[x] / (\mu_\alpha) \cong K[\alpha]$, e quindi $K[\alpha]$ è un campo. Dacché $K[\alpha] \subseteq K(\alpha)$, vale allora - $K[\alpha] = K(\alpha)$. Inoltre, poiché $\dim_K \faktor{K[x]}{(\mu_\alpha)} = \deg_K \alpha$, vale + $K[\alpha] = K(\alpha)$. Inoltre, poiché $\dim_K K[x] / (\mu_\alpha) = \deg_K \alpha$, vale anche che $[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$. Infine, si verifica che $\alpha$ è algebrico se e solo se $[K(\alpha) : K]$ è finito. \medskip + + \subsection{Estensioni semplici, algebriche} + Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione semplice} di $K$ se $\exists \alpha \in L$ tale per cui $L = K(\alpha)$. In tal caso si dice che $\alpha$ è un \textbf{elemento primitivo} di $K$. Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione algebrica} di $K$ se ogni suo elemento è algebrico su $K$. Ogni estensione finita è algebrica. Non tutte le - estensioni algebriche sono finite (e.g.~ - $\overline{\QQ}$ su $\QQ$). + estensioni algebriche sono finite (e.g.~$\overline{\QQ}$ su $\QQ$). \medskip + + + L'insieme degli elementi algebrici di un'estensione + di $K$ su $K$ è un estensione algebrica di $K$. + Pertanto se $\alpha$ e $\beta$ sono algebrici, + $\alpha \pm \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha \beta\inv$ + e $\alpha\inv \beta$ (a patto che o $\alpha \neq 0$ o + $\beta \neq 0$) sono algebrici. + + + \subsection{Campi perfetti, estensioni separabili e coniugati} + + + Si dice che un'estensione algebrica $L$ è un'\textbf{estensione separabile} di + $K$ se per ogni elemento $\alpha \in L$, + $\mu_\alpha$ ammette radici distinte. Si dice + che $K$ è un \textbf{campo perfetto} se ogni + polinomio irriducibile ammette radici distinte. + In un campo perfetto, ogni estensione algebrica + è separabile. Si definiscono i coniugati di + $\alpha$ algebrico su $K$ come le radici + di $\mu_\alpha$. Se $K(\alpha)$ è separabile su $K$, + $\alpha$ ha esattamente $\deg_K \alpha$ coniugati, + altrimenti esistono al più $\deg_K \alpha$ coniugati. \medskip + + + Un campo è perfetto se e solo se ha caratteristica + $0$ o altrimenti se l'endomorfismo di + Frobenius è un automorfismo. Equivalentemente, + un campo è perfetto se le derivate dei polinomi + irriducibili sono sempre non nulle. Esempi di + campi perfetti sono allora tutti i campi di + caratteristica $0$ e tutti i campi finiti. + + + \subsection{Campi algebricamente chiusi e chiusura algebrica di $K$} + + Un campo $K$ si dice \textbf{algebricamente chiuso} se + ogni $p \in K[x]$ ammette una radice in $K$. Equivalentemente $K$ è algebricamente chiuso se + ogni $p \in K[x]$ ammette tutte le sue radici in $K$. + Si dice \textbf{chiusura algebrica} di $K$ + una sua estensione algebrica e algebricamente + chiusa. Le chiusure algebriche di $K$ sono + $K$-isomorfe tra loro, e quindi si identifica + con $\overline{K}$ la struttura algebrica della + chiusura algebrica di $K$. \medskip + + + Se $L$ è una sottoestensione di $K$ algebricamente + chiuso, allora $\overline{L}$ è il campo degli + elementi algebrici di $K$ su $L$. Infatti se + $p \in L[x]$, $p$ ammette una radice $\alpha$ in $K$, essendo + algebricamente chiuso. Allora $\alpha$ è un elemento + di $K$ algebrico su $L$, e quindi $\alpha \in \overline{L}$. Per il Teorema fondamentale dell'algebra, + $\overline{\RR} = \CC$. + + + \subsection{Estensioni normali e $K$-immersioni di un'estensione finita di $K$} + + Sia $\alpha$ un elemento algebrico su $K$. Allora + $[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$. Le + $K$-immersioni da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$ + sono esattamente tante quanti sono i coniugati di + $\alpha$ e sono tali da mappare $\alpha$ ad un suo coniugato. Se $K$ è perfetto, esistono esattamente + $\deg_K \alpha$ $K$-immersioni da $K(\alpha)$ + in $\overline{K}$. \medskip + + + Se $L / K$ è un'estensione finita su $K$, allora + esistono esattamente $[L : K]$ $K$-immersioni + da $L$ in $\overline{K}$. Per quanto detto prima, + tali immersioni mappano gli elementi $L$ nei + loro coniugati. \medskip + + + Se $L$ è un'estensione separabile finita, allora per + ogni $\varphi : K \to \overline{K}$ esistono + esattamente $[L : K]$ estensioni $\varphi_i : L \to \overline{K}$ di $\varphi$, ossia omomorfismi + tali per cui $\restr{\varphi_i}{K} = \varphi$. \medskip + + + Si dice che un'estensione algebrica $L / K$ è un'\textbf{estensione normale} + se per ogni $K$-immersione $\varphi$ da $L$ in $\overline{K}$ + vale che $\varphi(L) = L$. Equivalentemente + un'estensione è normale se è il campo di spezzamento + di una famiglia di polinomi (in particolare è il campo + di spezzamento di tutti i polinomi irriducibili che + hanno una radice in $L$). Ancora, un'estensione $L$ + è normale se e solo se per ogni $\alpha \in L$, + i coniugati di $L$ appartengono ancora ad $L$. + Per un'estensione normale, per ogni $K$-immersione + $\varphi : L \to \overline{K}$ si può restringere + il codominio ad un campo isomorfo a $L \subseteq \overline{K}$, e quindi considerare $\varphi$ come + un automorfismo di $L$ che fissa $K$. \medskip + + + Si indica con $\Aut_K(L) = \Aut(L / K)$ l'insieme + degli automorfismi di $L$ che fissano $K$. Se + $L$ è normale e separabile, si dice + \textbf{estensione di Galois}, e si definisce + $\Gal(L / K) := (\Aut_K L, \circ)$, ossia come + il gruppo $\Aut_K L$ con l'operazione di + composizione. + + \vfill \hrule ~\\