diff --git a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/0. Premessa.tex b/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/0. Premessa.tex deleted file mode 100644 index 3857b11..0000000 --- a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/0. Premessa.tex +++ /dev/null @@ -1,3 +0,0 @@ -\chapter*{Premessa} - -TODO \ No newline at end of file diff --git a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/8. Teorema fondamentale dell'algebra ed estensioni di Q.tex b/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/8. Teorema fondamentale dell'algebra ed estensioni di Q.tex deleted file mode 100644 index a0f78d3..0000000 --- a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/8. Teorema fondamentale dell'algebra ed estensioni di Q.tex +++ /dev/null @@ -1,50 +0,0 @@ -\chapter{Teorema fondamentale dell'Algebra e radici reali in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[x]}} - -Si enuncia adesso il \nameref{th:algebra}, senza tuttavia -fornirne una dimostrazione\footnote{Per la dimostrazione si rimanda - a \cite[pp.~142-143]{di2013algebra}, avvisando della sua - estrema tecnicità. Una dimostrazione a tema strettamente - algebrico è dovuta invece al matematico francese Laplace (1749 -- 1827), per la quale - si rimanda a \cite[pp.~120-122]{Remmert1991}.}. - -\begin{theorem}[\textit{Teorema fondamentale dell'Algebra}] - \label{th:algebra} - Un polinomio non costante $f(x) \in \CCx$ ammette sempre almeno una radice in - $\CC$. -\end{theorem} - -\begin{corollary} - Sia $f(x) \in \CCx$ di grado $n\geq1$. Allora $f(x)$ ammette - esattamente $n$ radici, contate con la giusta molteplicità. -\end{corollary} - -\begin{proof} - Sia $\zeta_1$ una radice complessa di $f(x)$, la cui esistenza - è garantita dal \nameref{th:algebra}. Si divida $f(x)$ per - $(x-\zeta_1)$ e se ne prende il quoziente $q_1(x)$, mentre si - ignori il resto, che - per la \textit{Proposizione \ref{prop:radice_x_meno_alpha}}, - è nullo. \\ - - Si reiteri il procedimento utilizzando $q_1(x)$ al - posto di $f(x)$ fino a quando il grado del quoziente non è nullo, - e si chiami infine questo quoziente di grado nullo $\alpha$. - Infatti, poiché i gradi dei quozienti diminuiscono di $1$ ad - ogni iterazione, è garantito che l'algoritmo termini esattamente - dopo $n$ iterazioni. Pertanto, $f(x)$ a priori ha almeno $n$ radici. \\ - - In questo modo, numerando le radici, si può scrivere $f(x)$ come: - - \begin{equation} - \label{eq:fattorizzazione_fx__reali} - f(x)=\alpha(x-\zeta_1)(x-\zeta_2)\cdots(x-\zeta_n). - \end{equation} - - \vskip 0.1in - - Dal momento che $x-\zeta_i$ è irriducibile $\forall 1 \leq i \leq n$ - e dacché $\KKx$, in quanto anello euclideo, è un UFD, si dimostra - che \eqref{eq:fattorizzazione_fx__reali} è l'unica fattorizzazione di - $f(x)$, a meno di associati. Pertanto $f(x)$ ammette esattamente - $n$ radici. -\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/aritmetica.pdf b/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/aritmetica.pdf deleted file mode 100644 index 05175b9..0000000 Binary files a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/aritmetica.pdf and /dev/null differ diff --git a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/aritmetica.tex b/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/aritmetica.tex deleted file mode 100644 index 55cd735..0000000 --- a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/aritmetica.tex +++ /dev/null @@ -1,116 +0,0 @@ -\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel} -\documentclass[11pt]{scrbook} -\usepackage{evan} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[italian]{babel} -\usepackage{algorithm2e} -\usepackage{amsfonts} -\usepackage{amsthm} -\usepackage{amssymb} -\usepackage{amsopn} -\usepackage{biblatex} -\usepackage{bm} -\usepackage{cancel} -\usepackage{csquotes} -\usepackage{mathtools} -\usepackage{marvosym} -\usepackage{tikz} -\usepackage{wrapfig} -\usepackage{xpatch} - -\addbibresource{bibliography.bib} - -\begin{document} - -\title{L'Algebrario} -\subtitle{dispense del corso di Aritmetica} -\author{Gabriel Antonio Videtta} -\date{A.A. 2022/2023 \\ \vskip 1in \includegraphics[scale=0.3]{logo.png}} -\maketitle - -\newpage -\thispagestyle{empty} -~\newpage - -\include{0. Premessa} - -\newpage -\thispagestyle{empty} -~\newpage - -\tableofcontents - -\newpage -\thispagestyle{empty} -~\newpage - -\include{1. Introduzione alla teoria degli anelli} - -\newpage -\thispagestyle{empty} -~\newpage - -\include{2. Anelli euclidei, PID e UFD} - -\newpage -\thispagestyle{empty} -~\newpage - -\include{3. Esempi notevoli di anelli euclidei} - -\newpage -\thispagestyle{empty} -~\newpage - -\include{4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x]} - -\newpage -\thispagestyle{empty} -~\newpage - -\include{5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x]} - -\newpage -\thispagestyle{empty} -~\newpage - -\include{6. Proprietà dei polinomi di K[x] e delle estensioni algebriche} - -\newpage -\thispagestyle{empty} -~\newpage - -\include{7. Estensioni algebriche di K} - -\newpage -\thispagestyle{empty} -~\newpage - -\include{8. Teorema fondamentale dell'algebra ed estensioni di Q} - -\newpage -\thispagestyle{empty} -~\newpage - -\include{9. Introduzione a teoria dei campi} - -\newpage -\thispagestyle{empty} -~\newpage - -\include{10. Teoremi rilevanti sui campi finiti} - -\newpage -\thispagestyle{empty} -~\newpage - -\include{11. Polinomi simmetrici e Teorema fondamentale dell'Algebra} - -\newpage -\thispagestyle{empty} -~\newpage - -\chapter{Riferimenti bibliografici} -\printbibliography[heading=none] - -\end{document} diff --git a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/bibliography.bib b/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/bibliography.bib deleted file mode 100644 index f5e54ac..0000000 --- a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/bibliography.bib +++ /dev/null @@ -1,41 +0,0 @@ -@book{di2013algebra, - title={Algebra}, - author={Di Martino, P. and Dvornicich, R.}, - isbn={9788867410958}, - series={Didattica e Ricerca. Manuali}, - year={2013}, - publisher={Pisa University Press}, - shorthand={DM} -} -@book{herstein2010algebra, - title={Algebra}, - author={Herstein, I.N.}, - isbn={9788864732107}, - year={2010}, - publisher={Editori Riuniti University Press}, - shorthand={H} -} -@Inbook{Remmert1991, - author="Remmert, R.", - title="The Fundamental Theorem of Algebra", - bookTitle="Numbers", - year="1991", - publisher="Springer New York", - address="New York, NY", - pages="97--122", - isbn="978-1-4612-1005-4", - doi="10.1007/978-1-4612-1005-4_5", - url="https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1005-4_5" -} -@article{10.2307/2315810, - ISSN = {00029890, 19300972}, - URL = {http://www.jstor.org/stable/2315810}, - author = {M. A. Jodeit}, - journal = {The American Mathematical Monthly}, - number = {7}, - pages = {835--836}, - publisher = {Mathematical Association of America}, - title = {Uniqueness in the Division Algorithm}, - volume = {74}, - year = {1967} -} \ No newline at end of file diff --git a/Primo anno/Aritmetica/README.md b/Primo anno/Aritmetica/README.md index 6e20c3d..bc70e5c 100644 --- a/Primo anno/Aritmetica/README.md +++ b/Primo anno/Aritmetica/README.md @@ -4,11 +4,7 @@ - [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=7085531::::&ri=11138) - [Appunti di Diego Monaco 📓](https://github.com/diego-unipi/Appunti-Aritmetica) -Tutti i PDF sotto la cartella omonima sono il risultato degli appunti presi in presenza durante le lezioni dei proff. Gaiffi -e D'Adderio, di cui sopra il programma. Seppur manchi una parte preliminare (la quasi totalità di teoria dei gruppi), il resto delle lezioni -è quasi del tutto coperto. - -La cartella dell'*Algebrario* contiene un prototipo di quelle che sarebbero dovute essere delle dispense completamente sostitutive del corso. +Le varie cartelle contengono alcuni estratti di quelle che sarebbero dovute essere delle dispense completamente sostitutive del corso. Accorgendomi tuttavia della precarietà di alcuni capitoli, e influenzato anche dall'esistenza di dispense che seguono la stessa filosofia (come quelle di [Diego Monaco](https://github.com/diego-unipi/Appunti-Aritmetica)), ho deciso di procedere all'abbandono del progetto. Gli -appunti già creati -- spesso e volentieri tratti interamente da alcuni [miei scritti](https://scritti.hearot.it) -- verranno tuttavia revisionati e integrati in una cartella unica assieme ai PDF. \ No newline at end of file +appunti già creati -- spesso e volentieri tratti interamente da alcuni [miei scritti](https://scritti.hearot.it) -- sono stati tuttavia revisionati e integrati in una cartella unica assieme ai PDF degli appunti che ho preso durante le lezioni con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it). \ No newline at end of file diff --git a/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/1. Introduzione alla teoria degli anelli/1. Introduzione alla teoria degli anelli.pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/1. Introduzione alla teoria degli anelli/1. Introduzione alla teoria degli anelli.pdf new file mode 100644 index 0000000..81b93ac Binary files /dev/null and b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/1. Introduzione alla teoria degli anelli/1. Introduzione alla teoria degli anelli.pdf differ diff --git a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/1. Introduzione alla teoria degli anelli.tex b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/1. Introduzione alla teoria degli anelli/1. Introduzione alla teoria degli anelli.tex similarity index 96% rename from Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/1. Introduzione alla teoria degli anelli.tex rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/1. Introduzione alla teoria degli anelli/1. Introduzione alla teoria degli anelli.tex index 3ef963c..47bd37d 100644 --- a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/1. Introduzione alla teoria degli anelli.tex +++ b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/1. Introduzione alla teoria degli anelli/1. Introduzione alla teoria degli anelli.tex @@ -1,3 +1,20 @@ +\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel} +\documentclass[11pt]{scrbook} +\usepackage{evan_notes} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[italian]{babel} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsopn} +\usepackage{biblatex} +\usepackage{bm} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{marvosym} + +\begin{document} + \chapter{Introduzione alla teoria degli anelli} \section{Definizione e prime proprietà} @@ -255,7 +272,7 @@ così come si introdotto il concetto di \textit{sottogruppo normale} per i grupp monogenerato\footnote{Non è un caso: $\RR[x]$, in quanto anello euclideo, si dimostra essere un PID (\textit{principal ideal domain}), ossia un dominio che ammette \textit{solo} ideali monogenerati.}. In particolare, $I=(x-2)$. \end{example} -\section{Quoziente per un ideale e primo teorema d'isomorfismo} +\section{Quoziente per ideale e primo teorema d'isomorfismo} Si definisce invece adesso il concetto di \textbf{anello quoziente}, in modo completamente analogo a quello di \textit{gruppo quoziente}: @@ -316,4 +333,6 @@ Adesso è possibile enunciare il seguente fondamentale teorema: \begin{proof} Poiché $\phi$ è un monomorfismo, $\Ker \phi = \{0\}$. Allora, per il \textit{Primo teorema di isomorfismo}, $A/\{0\} \cong \Imm \phi$. Dalla \textit{Proposizione \ref{prop:quoziente_pieno}}, si desume che $A \cong A/\{0\}$. Allora, per la proprietà transitiva degli isomorfismi, $A \cong \Imm \phi$. -\end{proof} \ No newline at end of file +\end{proof} + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/2. Anelli euclidei, PID e UFD/2. Anelli euclidei, PID e UFD.pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/2. Anelli euclidei, PID e UFD/2. Anelli euclidei, PID e UFD.pdf new file mode 100644 index 0000000..13b071d Binary files /dev/null and b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/2. Anelli euclidei, PID e UFD/2. Anelli euclidei, PID e UFD.pdf differ diff --git a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/2. Anelli euclidei, PID e UFD.tex b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/2. Anelli euclidei, PID e UFD/2. Anelli euclidei, PID e UFD.tex similarity index 98% rename from Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/2. Anelli euclidei, PID e UFD.tex rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/2. Anelli euclidei, PID e UFD/2. Anelli euclidei, PID e UFD.tex index b44cfcb..12dbef1 100644 --- a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/2. Anelli euclidei, PID e UFD.tex +++ b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/2. Anelli euclidei, PID e UFD/2. Anelli euclidei, PID e UFD.tex @@ -1,3 +1,25 @@ +% !BIB TS-program = biber + +\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel} +\documentclass[11pt]{scrbook} +\usepackage{evan_notes} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[italian]{babel} +\usepackage{algorithm2e} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsopn} +\usepackage[backend=biber]{biblatex} +\usepackage{cancel} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{marvosym} + +\addbibresource{bibliography.bib} + +\begin{document} + \chapter{Anelli euclidei, PID e UFD} \section{Prime proprietà} @@ -794,3 +816,8 @@ Si definisce innanzitutto $\ZZ[\sqrt{n}]$ nel seguente modo: fattorizzazioni in irriducibili completamente distinte. Quindi $\ZZsqrt{10}$ non può essere un UFD. \end{proof} + +\chapter{Riferimenti bibliografici} +\printbibliography[heading=none] + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/2. Anelli euclidei, PID e UFD/bibliography.bib b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/2. Anelli euclidei, PID e UFD/bibliography.bib new file mode 100644 index 0000000..965464e --- /dev/null +++ b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/2. Anelli euclidei, PID e UFD/bibliography.bib @@ -0,0 +1,9 @@ +@book{di2013algebra, + title={Algebra}, + author={Di Martino, P. and Dvornicich, R.}, + isbn={9788867410958}, + series={Didattica e Ricerca. Manuali}, + year={2013}, + publisher={Pisa University Press}, + shorthand={DM} +} \ No newline at end of file diff --git a/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/3. Esempi notevoli di anelli euclidei/3. Esempi notevoli di anelli euclidei.pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/3. Esempi notevoli di anelli euclidei/3. Esempi notevoli di anelli euclidei.pdf new file mode 100644 index 0000000..420c221 Binary files /dev/null and b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/3. Esempi notevoli di anelli euclidei/3. Esempi notevoli di anelli euclidei.pdf differ diff --git a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/3. Esempi notevoli di anelli euclidei.tex b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/3. Esempi notevoli di anelli euclidei/3. Esempi notevoli di anelli euclidei.tex similarity index 69% rename from Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/3. Esempi notevoli di anelli euclidei.tex rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/3. Esempi notevoli di anelli euclidei/3. Esempi notevoli di anelli euclidei.tex index 7922a81..aa51b9b 100644 --- a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/3. Esempi notevoli di anelli euclidei.tex +++ b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/3. Esempi notevoli di anelli euclidei/3. Esempi notevoli di anelli euclidei.tex @@ -1,3 +1,25 @@ +% !BIB TS-program = biber + +\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel} +\documentclass[11pt]{scrbook} +\usepackage{evan_notes} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[italian]{babel} +\usepackage{algorithm2e} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsopn} +\usepackage[backend=biber]{biblatex} +\usepackage{cancel} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{marvosym} + +\addbibresource{bibliography.bib} + +\begin{document} + \chapter{Esempi notevoli di anelli euclidei} \section{I numeri interi: \texorpdfstring{$\ZZ$}{Z}} @@ -17,8 +39,8 @@ esistono -- e sono anche unici, a meno di segno -- $q$, $r \in \ZZ \mid a = bq + \left|r\right| < \left|q\right|$. \\ Dal momento che così si verifica che $\ZZ$ è un anello euclideo, il \textit{Teorema - fondamentale dell'aritmetica} è una conseguenza del -\textit{Teorema \ref{th:euclidei_ufd}}. + fondamentale dell'aritmetica} è un corollario del teorema per cui ogni anello + euclideo è un UFD. \section{I campi: \texorpdfstring{$\KK$}{K}} @@ -58,7 +80,7 @@ euclideo\footnote{Curiosamente i polinomi di $\KK[x]$ e i campi $\KK$ sono gli u la sua valutazione polinomiale in $\KK[x]$. $\varphi_\alpha$ è un omomorfismo, il cui nucleo è rappresentato dai polinomi in $\KK[x]$ che hanno $\alpha$ come radice. Poiché $\KK[x]$ è un PID, $\Ker \varphi$ deve essere monogenerato. $x-\alpha \in \Ker \varphi$ - è irriducibile, e quindi è il generatore dell'ideale. Si desume così che + è irriducibile, e quindi è il generatore dell'ideale. Si deduce così che $\Ker \varphi = (x-\alpha)$. \end{example} @@ -70,37 +92,6 @@ Un importante esempio di anello euclideo è il dominio degli interi di Gauss $\Z \vskip 0.1in -\begin{wrapfigure}{l}{0pt} - \begin{tikzpicture} - \begin{scope} - \clip (-2, -0.5) rectangle (3, 3); - \draw[step=0.25cm, gray!20!white, very thin] (-7, -3) grid (7, 3); - - \foreach \x in {-4,...,4} { - \draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-3 + \x, -3) -- (3 + \x, 3); - } - \foreach \y in {-4,...,5} { - \draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-7, 7 + \y) -- (7, -7 + \y); - } - - \draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (0.5, 0.5) node[align=center, below=3pt]{$b$}; - \draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (-0.5, 0.5) node[align=center, below=2pt]{$ib$}; - - \draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (0.5, 2.5) node[above=0.5pt]{$bq$}; - - \draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (1, 2.5) node[below, right]{$a$}; - - \draw[densely dotted] (0.5, 2.5) -- (1, 2.5) node[below=4pt, left=2.5pt]{$r$}; - - \draw[line width=0.2pt, ->] (0, -1) -- (0, 3); - \draw[line width=0.2pt, ->] (-3, 0) -- (3, 0); - - \end{scope} - \end{tikzpicture} - \caption{Visualizzazione della divisione euclidea nel piano degli interi di Gauss.} - \label{fig:z_i} -\end{wrapfigure} - La funzione grado coincide in particolare con il quadrato del modulo di un numero complesso, ossia: \[g(z) : \ZZ[i] \setminus \{0\} \to \NN, \, a+bi \mapsto \left| a+bi \right|^2.\] @@ -121,8 +112,7 @@ di $\ZZ$ proprio in modo tale da farlo coincidere con quello di $\ZZ[i]$. \\ Si verifica infine che esiste una divisione euclidea, ossia che $\forall a \in \ZZ[i]$, $\forall b \in \ZZ[i] \setminus \{0\}$, $\exists q$, $r \in \ZZ[i] \mid a = bq + r$ e $r=0 \,\lor\, g(r) < g(b)$. - Come si visualizza facilmente nella \textit{Figura \ref{fig:z_i}}, - tutti i multipli di $b$ formano un piano con basi $b$ e $ib$, dove + Tutti i multipli di $b$ formano un piano con basi $b$ e $ib$, dove sicuramente esiste un certo $q$ tale che la distanza $\left|r\right| = \left|a-bq\right|$ sia minima. \\ Se $a$ è un multiplo di $b$, vale sicuramente che $a = bq$. Altrimenti dal momento che $r$ è sicuramente inquadrato in uno dei tasselli del piano, vale @@ -148,42 +138,6 @@ In particolare, $\omega$ è una delle due radici dell'equazione $z^2 + z + 1 = 0$, dove invece l'altra radice altro non è che $\omega^2 = \overline{\omega}$. -\begin{wrapfigure}{l}{0pt} - \begin{tikzpicture} - \begin{scope} - \clip (-2, -0.5) rectangle (3, 3); - \draw[step=0.25cm, gray!20!white, very thin] (-7, -3) grid (7, 3); - - \foreach \x in {-4,...,4} { - \draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-3 + 0.87*\x, -3) -- (3 + 0.87*\x, 3); - } - - \foreach \y in {-4,...,5} { - \draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-7, 1.8756443470179 + 0.65*\y) -- (7, -1.8756443470179 + 0.65*\y); - } - - \foreach \x in {-4,...,5} { - \draw[ultra thin, loosely dashed] (-7 + 0.6289*\x, 28.5025773880714) -- (7+ 0.65*\x, -28.5025773880714); - } - - \draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (0.5, 0.5) node[align=center, below=3pt]{$b$}; - \draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (-0.6830127018922, 0.1830127018922) node[align=center, below=2pt]{$\omega b$}; - - \draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (0.71494, 2.41094) node[below=2pt, left=4pt]{$bq$}; - - \draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (1.1, 2.7) node[below, right]{$a$}; - - \draw[densely dotted] (0.71494, 2.41094) -- (1.1, 2.7) node[above=3pt, left=2.5pt]{$r$}; - - \draw[line width=0.2pt, ->] (0, -1) -- (0, 3); - \draw[line width=0.2pt, ->] (-3, 0) -- (3, 0); - - \end{scope} - \end{tikzpicture} - \caption{Visualizzazione della divisione euclidea nel piano degli interi di Eisenstein.} - \label{fig:z_omega} -\end{wrapfigure} - \vskip 0.1in La funzione grado in $\ZZ[\omega]$ deriva da quella di $\ZZ[i]$ e coincide ancora @@ -210,7 +164,7 @@ Sviluppando il modulo è possibile ottenere una formula più concreta: Si verifica infine la seconda e ultima proprietà della funzione grado. Come per $\ZZ[i]$, i multipli di $b \in \ZZ[\omega]$ sono visualizzati su un piano che - ha per basi $b$ e $\omega b$ (come in $\textit{Figura \ref{fig:z_omega}}$), pertanto + ha per basi $b$ e $\omega b$, pertanto esiste sicuramente un $q$ tale che la distanza $\left|a-bq\right|$ sia minima. \\ Se $a$ è multiplo di $b$, allora chiaramente $a = bq$. Altrimenti, $a$ è certamente @@ -222,3 +176,8 @@ Sviluppando il modulo è possibile ottenere una formula più concreta: \[\left|r\right| \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \left|b\right| < \left|b\right| \implies \left|r\right|^2 < \left|b\right|^2 \implies g(r) < g(b). \] \end{proof} + +\chapter{Riferimenti bibliografici} +\printbibliography[heading=none] + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/3. Esempi notevoli di anelli euclidei/bibliography.bib b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/3. Esempi notevoli di anelli euclidei/bibliography.bib new file mode 100644 index 0000000..c05efd0 --- /dev/null +++ b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/3. Esempi notevoli di anelli euclidei/bibliography.bib @@ -0,0 +1,12 @@ +@article{10.2307/2315810, + ISSN = {00029890, 19300972}, + URL = {http://www.jstor.org/stable/2315810}, + author = {M. A. Jodeit}, + journal = {The American Mathematical Monthly}, + number = {7}, + pages = {835--836}, + publisher = {Mathematical Association of America}, + title = {Uniqueness in the Division Algorithm}, + volume = {74}, + year = {1967} +} \ No newline at end of file diff --git a/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x]/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x].pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x]/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x].pdf new file mode 100644 index 0000000..9478c4d Binary files /dev/null and b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x]/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x].pdf differ diff --git a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x].tex b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x]/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x].tex similarity index 92% rename from Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x].tex rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x]/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x].tex index fbbfbbf..fa1334d 100644 --- a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x].tex +++ b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x]/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x].tex @@ -1,3 +1,25 @@ +% !BIB TS-program = biber + +\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel} +\documentclass[11pt]{scrbook} +\usepackage{evan_notes} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[italian]{babel} +\usepackage{algorithm2e} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsopn} +\usepackage[backend=biber]{biblatex} +\usepackage{cancel} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{marvosym} + +\addbibresource{bibliography.bib} + +\begin{document} + \chapter{Irriducibili e corollari di aritmetica in \texorpdfstring{$\ZZi$}{Z[i]}} Come già dimostrato, $\ZZi$ è un anello euclideo con la seguente @@ -132,7 +154,7 @@ generale riguardante $\ZZi$. \end{proof} \begin{theorem} - $z \in \ZZi$ è irriducibile se e solo se $z$ è un associato di un $k \in \ZZ$ tale che $k \equiv -1 \pmod 4$, o se $\norm{z}^2$ è primo. + $z \in \ZZi$ è irriducibile se e solo se $z$ è un associato di un primo $p \in \ZZ$ tale che $p \equiv -1 \pmod 4$, o se $\norm{z}^2$ è primo. \end{theorem} \begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\ @@ -163,8 +185,8 @@ generale riguardante $\ZZi$. attraverso cui si verifica l'implicazione. \\ - ($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Se $k \in \ZZ$ e $k \equiv -1 \pmod4$, per - il \textit{Teorema \ref{th:primo_-1_mod_4_irriducibile}}, $k$ è + ($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Se $p \in \ZZ$ e $p \equiv -1 \pmod4$, per + il \textit{Teorema \ref{th:primo_-1_mod_4_irriducibile}}, $p$ è irriducibile. Allora in quanto suo associato, anche $z$ è irriducibile. \\ Altrimenti, se $\norm{z}^2$ è un primo $p$, si ponga @@ -234,3 +256,4 @@ strettamente collegata a $\ZZi$. $65=5\cdot 13=(2\cdot3-1\cdot2)^2 + (2\cdot2+1\cdot3)^2=4^2+7^2$. \end{example} +\end{document} diff --git a/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x]/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x].pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x]/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x].pdf new file mode 100644 index 0000000..dbdd8b8 Binary files /dev/null and b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x]/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x].pdf differ diff --git a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x].tex b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x]/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x].tex similarity index 96% rename from Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x].tex rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x]/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x].tex index 682a19c..a17c544 100644 --- a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x].tex +++ b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x]/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x].tex @@ -1,3 +1,23 @@ +% !BIB TS-program = biber + +\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel} +\documentclass[11pt]{scrbook} +\usepackage{evan_notes} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[italian]{babel} +\usepackage{algorithm2e} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsopn} +\usepackage[backend=biber]{biblatex} +\usepackage{cancel} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{marvosym} + +\begin{document} + \chapter{Irriducibilità in \texorpdfstring{$\ZZx$}{Z[x]} e in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[x]}} \section{Criterio di Eisenstein e proiezione in \texorpdfstring{$\ZZpx$}{Z\_p[x]}} @@ -354,4 +374,6 @@ quella in $\QQx$. irriducibili in $\ZZx$, essa non include alcuna costante moltiplicativa dal momento che $f(x)$ è primitivo, e quindi esisterebbe una fattorizzazione in irriducibili anche in $\QQx$. -\end{proof} \ No newline at end of file +\end{proof} + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/6. Proprietà dei polinomi di K[x]/6. Proprietà dei polinomi di K[x].pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/6. Proprietà dei polinomi di K[x]/6. Proprietà dei polinomi di K[x].pdf new file mode 100644 index 0000000..5563752 Binary files /dev/null and b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/6. Proprietà dei polinomi di K[x]/6. Proprietà dei polinomi di K[x].pdf differ diff --git a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/6. Proprietà dei polinomi di K[x] e delle estensioni algebriche.tex b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/6. Proprietà dei polinomi di K[x]/6. Proprietà dei polinomi di K[x].tex similarity index 95% rename from Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/6. Proprietà dei polinomi di K[x] e delle estensioni algebriche.tex rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/6. Proprietà dei polinomi di K[x]/6. Proprietà dei polinomi di K[x].tex index c066b1b..329ec46 100644 --- a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/6. Proprietà dei polinomi di K[x] e delle estensioni algebriche.tex +++ b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/6. Proprietà dei polinomi di K[x]/6. Proprietà dei polinomi di K[x].tex @@ -1,3 +1,25 @@ +% !BIB TS-program = biber + +\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel} +\documentclass[11pt]{scrbook} +\usepackage{evan_notes} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[italian]{babel} +\usepackage{algorithm2e} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsopn} +\usepackage[backend=biber]{biblatex} +\usepackage{cancel} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{marvosym} + +\addbibresource{bibliography.bib} + +\begin{document} + \chapter{I polinomi di un campo: \texorpdfstring{$\KKx$}{K[x]}} \section{Elementi preliminari} @@ -296,4 +318,6 @@ $\ZZ/p\ZZ$. Quindi $\overline{x}$ è una radice di $f(x)$, da cui la tesi. -\end{proof} \ No newline at end of file +\end{proof} + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Primo anno/Aritmetica/PDF/Teoria degli anelli/Anelli euclidei e polinomi in K[x].pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/Anelli euclidei e polinomi in K[x].pdf similarity index 100% rename from Primo anno/Aritmetica/PDF/Teoria degli anelli/Anelli euclidei e polinomi in K[x].pdf rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/Anelli euclidei e polinomi in K[x].pdf diff --git a/Primo anno/Aritmetica/PDF/Teoria degli anelli/Anelli quoziente.pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/Anelli quoziente.pdf similarity index 100% rename from Primo anno/Aritmetica/PDF/Teoria degli anelli/Anelli quoziente.pdf rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/Anelli quoziente.pdf diff --git a/Primo anno/Aritmetica/PDF/Teoria degli anelli/Introduzione agli anelli.pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/Introduzione agli anelli.pdf similarity index 100% rename from Primo anno/Aritmetica/PDF/Teoria degli anelli/Introduzione agli anelli.pdf rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/Introduzione agli anelli.pdf diff --git a/Primo anno/Aritmetica/PDF/Teoria degli anelli/Polinomi irriducibili e criteri di irriducibilità.pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/Polinomi irriducibili e criteri di irriducibilità.pdf similarity index 100% rename from Primo anno/Aritmetica/PDF/Teoria degli anelli/Polinomi irriducibili e criteri di irriducibilità.pdf rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria degli anelli/Polinomi irriducibili e criteri di irriducibilità.pdf diff --git a/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/1. Estensioni algebriche di K/1. Estensioni algebriche di K.pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/1. Estensioni algebriche di K/1. Estensioni algebriche di K.pdf new file mode 100644 index 0000000..752b5cc Binary files /dev/null and b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/1. Estensioni algebriche di K/1. Estensioni algebriche di K.pdf differ diff --git a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/7. Estensioni algebriche di K.tex b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/1. Estensioni algebriche di K/1. Estensioni algebriche di K.tex similarity index 97% rename from Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/7. Estensioni algebriche di K.tex rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/1. Estensioni algebriche di K/1. Estensioni algebriche di K.tex index ef968f9..21a90cd 100644 --- a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/7. Estensioni algebriche di K.tex +++ b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/1. Estensioni algebriche di K/1. Estensioni algebriche di K.tex @@ -1,3 +1,25 @@ +% !BIB TS-program = biber + +\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel} +\documentclass[11pt]{scrbook} +\usepackage{evan_notes} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[italian]{babel} +\usepackage{algorithm2e} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsopn} +\usepackage[backend=biber]{biblatex} +\usepackage{cancel} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{marvosym} + +\addbibresource{bibliography.bib} + +\begin{document} + \chapter{Estensioni algebriche di \texorpdfstring{$\KK$}{K}} \section{Morfismi di valutazione, elementi algebrici e trascendenti} @@ -186,9 +208,7 @@ seguente teorema. \begin{proof} Se $\alpha$ è algebrico, allora $\Ker \valalpha = (f(x)) \neq (0)$, - dove $f(x) \in A[x]$ è irriducibile. Pertanto, per - il \textit{Teorema \ref{th:campo_quoziente_irriducibile}}, - $A[x]/(f(x))$ è un campo. \\ + dove $f(x) \in A[x]$ è irriducibile. Pertanto $A[x]/(f(x))$ è un campo. \\ Dunque dal \textit{Teorema \ref{th:isomorfismo_algebrico}} si ricava che: @@ -537,8 +557,7 @@ seguente teorema. \ (\textit{passo induttivo}) \,Sia $\deg f(x) = n$. Sia $f_1(x)$ un irriducibile di $f(x)$ e sia $\gamma(x) \in A[x]$ tale che - $f(x)=f_1(x)\gamma(x)$. Allora, per il \thref{th:campo_quoziente_irriducibile} - $A[x]/(f_1(x))$ è un campo, in cui, per la \propref{prop:radice_quoziente}, + $f(x)=f_1(x)\gamma(x)$. Allora $A[x]/(f_1(x))$ è un campo in cui $f_1(x)$ ammette radice. \\ Poiché $\deg \gamma(x) < n$, per il passo induttivo @@ -595,3 +614,8 @@ Pertanto ora è possibile enunciare la definizione di \textit{campo di spezzamen da cui la tesi. \end{proof} + +\chapter{Riferimenti bibliografici} +\printbibliography[heading=none] + +\end{document} diff --git a/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/1. Estensioni algebriche di K/bibliography.bib b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/1. Estensioni algebriche di K/bibliography.bib new file mode 100644 index 0000000..5e59a0e --- /dev/null +++ b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/1. Estensioni algebriche di K/bibliography.bib @@ -0,0 +1,8 @@ +@book{herstein2010algebra, + title={Algebra}, + author={Herstein, I.N.}, + isbn={9788864732107}, + year={2010}, + publisher={Editori Riuniti University Press}, + shorthand={H} +} \ No newline at end of file diff --git a/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/2. Introduzione a teoria dei campi/2. Introduzione a teoria dei campi.pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/2. Introduzione a teoria dei campi/2. Introduzione a teoria dei campi.pdf new file mode 100644 index 0000000..c6567f3 Binary files /dev/null and b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/2. Introduzione a teoria dei campi/2. Introduzione a teoria dei campi.pdf differ diff --git a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/9. Introduzione a teoria dei campi.tex b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/2. Introduzione a teoria dei campi/2. Introduzione a teoria dei campi.tex similarity index 94% rename from Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/9. Introduzione a teoria dei campi.tex rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/2. Introduzione a teoria dei campi/2. Introduzione a teoria dei campi.tex index 991a291..f7e6e0d 100644 --- a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/9. Introduzione a teoria dei campi.tex +++ b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/2. Introduzione a teoria dei campi/2. Introduzione a teoria dei campi.tex @@ -1,3 +1,25 @@ +% !BIB TS-program = biber + +\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel} +\documentclass[11pt]{scrbook} +\usepackage{evan_notes} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[italian]{babel} +\usepackage{algorithm2e} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsopn} +\usepackage[backend=biber]{biblatex} +\usepackage{cancel} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{marvosym} + +\addbibresource{bibliography.bib} + +\begin{document} + \chapter{Introduzione alla teoria dei campi} \section{La caratteristica di un campo} @@ -10,8 +32,8 @@ Si consideri il seguente omomorfismo: completamente determinato dalla condizione $\psi(1) = 1$, dacché $\ZZ$ è generato da $1$. Si studia innanzitutto il caso in cui -$\Ker \psi = (0)$. In questo caso, $\psi$ è un monomorfismo, e per -il \corref{cor:primo_isomorfismo_iniettivo}, $\ZZ \cong \Imm \psi$. \\ +$\Ker \psi = (0)$. In questo caso, $\psi$ è un monomorfismo, e dunque +$\ZZ \cong \Imm \psi$. \\ Pertanto, $\KK$ ammetterebbe come sottoanello una copia isomorfa di $\ZZ$. Inoltre, poiché $\KK$ è un campo, deve anche ammetterne gli inversi, e quindi @@ -38,8 +60,7 @@ Se $n$ fosse generatore di $\Ker \psi$ si ricaverebbe allora che: \vskip 0.1in che è assurdo, dal momento che $\KK$, in quanto campo, è anche un dominio. -Quindi $n$ deve essere un numero primo. In particolare, allora, per -il \nameref{th:primo_isomorfismo}, $\ZZp = \ZZ/(p) \cong \Imm \psi$, +Quindi $n$ deve essere un numero primo. In particolare, allora $\ZZp = \ZZ/(p) \cong \Imm \psi$, ossia $\KK$ contiene una copia isomorfa di $\ZZp$, a cui ci riferiremo semplicemente con $\FFpp$. \\ @@ -283,3 +304,5 @@ seguente teorema. ossia tutte le radici di $x^{p^n}-x$ (e coincide quindi con il campo di spezzamento $A$), da cui la tesi. \end{proof} + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/3. Teoremi rilevanti sui campi finiti/3. Teoremi rilevanti sui campi finiti.pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/3. Teoremi rilevanti sui campi finiti/3. Teoremi rilevanti sui campi finiti.pdf new file mode 100644 index 0000000..08dc689 Binary files /dev/null and b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/3. Teoremi rilevanti sui campi finiti/3. Teoremi rilevanti sui campi finiti.pdf differ diff --git a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/10. Teoremi rilevanti sui campi finiti.tex b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/3. Teoremi rilevanti sui campi finiti/3. Teoremi rilevanti sui campi finiti.tex similarity index 94% rename from Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/10. Teoremi rilevanti sui campi finiti.tex rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/3. Teoremi rilevanti sui campi finiti/3. Teoremi rilevanti sui campi finiti.tex index e38f9f9..11644e4 100644 --- a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/10. Teoremi rilevanti sui campi finiti.tex +++ b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/3. Teoremi rilevanti sui campi finiti/3. Teoremi rilevanti sui campi finiti.tex @@ -1,3 +1,25 @@ +% !BIB TS-program = biber + +\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel} +\documentclass[11pt]{scrbook} +\usepackage{evan_notes} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[italian]{babel} +\usepackage{algorithm2e} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsopn} +\usepackage[backend=biber]{biblatex} +\usepackage{cancel} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{marvosym} + +\addbibresource{bibliography.bib} + +\begin{document} + \chapter{Teoremi rilevanti sui campi finiti} \section{Campo di spezzamento di un irriducibile in \texorpdfstring{$\FFpp$}{F\_p}} @@ -200,4 +222,6 @@ di $x^{p^n}-x$, e quindi che $\alpha \in \FFpn$. Dal momento che chiaramente anche $\FFpp \subseteq \FFpn$, si deduce che $\FFpd \cong \FFpp(\alpha) \subseteq \FFpn$. Allora, per il \thref{th:inclusione}, $d$ divide $n$. -\end{proof} \ No newline at end of file +\end{proof} + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/4. Polinomi simmetrici/4. Polinomi simmetrici.pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/4. Polinomi simmetrici/4. Polinomi simmetrici.pdf new file mode 100644 index 0000000..20b0ec3 Binary files /dev/null and b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/4. Polinomi simmetrici/4. Polinomi simmetrici.pdf differ diff --git a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/11. Polinomi simmetrici e Teorema fondamentale dell'Algebra.tex b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/4. Polinomi simmetrici/4. Polinomi simmetrici.tex similarity index 94% rename from Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/11. Polinomi simmetrici e Teorema fondamentale dell'Algebra.tex rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/4. Polinomi simmetrici/4. Polinomi simmetrici.tex index 84ca862..d2e2862 100644 --- a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/11. Polinomi simmetrici e Teorema fondamentale dell'Algebra.tex +++ b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/4. Polinomi simmetrici/4. Polinomi simmetrici.tex @@ -1,3 +1,25 @@ +% !BIB TS-program = biber + +\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel} +\documentclass[11pt]{scrbook} +\usepackage{evan_notes} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[italian]{babel} +\usepackage{algorithm2e} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsopn} +\usepackage[backend=biber]{biblatex} +\usepackage{cancel} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{marvosym} + +\addbibresource{bibliography.bib} + +\begin{document} + \chapter{Polinomi simmetrici} \section{Definizione e prime proprietà} @@ -67,13 +89,9 @@ ossia il polinomio ottenuto permutando le variabili $x_i$ secondo $\sigma$. dove con LO si indica il \textit{lexicographic order}. \end{definition} -\begin{proposition} +\begin{remark} Il \textit{deglex} è una relazione di ordine totale. -\end{proposition} - -\begin{proof} - [TODO] -\end{proof} +\end{remark} \begin{proposition} \label{prop:moltiplicazione_disuguaglianza_deglex} @@ -245,6 +263,4 @@ ossia il polinomio ottenuto permutando le variabili $x_i$ secondo $\sigma$. e surgettivo, è un isomorfismo, da cui la tesi. \end{proof} -\section{Teorema fondamentale dell'Algebra} - - +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Primo anno/Aritmetica/PDF/Teoria dei campi/Caratteristica di un campo e campi finiti.pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/Caratteristica di un campo e campi finiti.pdf similarity index 100% rename from Primo anno/Aritmetica/PDF/Teoria dei campi/Caratteristica di un campo e campi finiti.pdf rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/Caratteristica di un campo e campi finiti.pdf diff --git a/Primo anno/Aritmetica/PDF/Teoria dei campi/Criterio della derivata.pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/Criterio della derivata.pdf similarity index 100% rename from Primo anno/Aritmetica/PDF/Teoria dei campi/Criterio della derivata.pdf rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/Criterio della derivata.pdf diff --git a/Primo anno/Aritmetica/PDF/Teoria dei campi/Elementi algebrici e trascendenti.pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/Elementi algebrici e trascendenti.pdf similarity index 100% rename from Primo anno/Aritmetica/PDF/Teoria dei campi/Elementi algebrici e trascendenti.pdf rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria dei campi/Elementi algebrici e trascendenti.pdf diff --git a/Primo anno/Aritmetica/PDF/Teoria dei gruppi/Classi laterali e primo teorema d'omomorfismo.pdf b/Primo anno/Aritmetica/Teoria dei gruppi/Classi laterali e primo teorema d'omomorfismo.pdf similarity index 100% rename from Primo anno/Aritmetica/PDF/Teoria dei gruppi/Classi laterali e primo teorema d'omomorfismo.pdf rename to Primo anno/Aritmetica/Teoria dei gruppi/Classi laterali e primo teorema d'omomorfismo.pdf diff --git a/Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. I)/evan.sty b/tex/latex/style/evan.sty similarity index 100% rename from Primo anno/Aritmetica/L'Algebrario (vol. 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Any SOURCE VERSIONS must cite evan.sty and the Boost license below. +% 2. For COMPILED PDF OUTPUT, attribution of evan.sty is OPTIONAL (but nice). +% 3. NO OTHER REQUIREMENTS; you may modify, redistribute, sell freely. + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +% +% BOOST SOFTWARE LICENSE - VERSION 1.0 - 17 AUGUST 2003 +% +% Copyright (c) 2022 Evan Chen [evan at evanchen.cc] +% https://web.evanchen.cc/ || github.com/vEnhance +% +% Available for download at: +% https://github.com/vEnhance/dotfiles/blob/main/texmf/tex/latex/evan/evan.sty +% +% Permission is hereby granted, free of charge, to any person or organization +% obtaining a copy of the software and accompanying documentation covered by +% this license (the "Software") to use, reproduce, display, distribute, +% execute, and transmit the Software, and to prepare derivative works of the +% Software, and to permit third-parties to whom the Software is furnished to +% do so, all subject to the following: +% +% The copyright notices in the Software and this entire statement, including +% the above license grant, this restriction and the following disclaimer, +% must be included in all copies of the Software, in whole or in part, and +% all derivative works of the Software, unless such copies or derivative +% works are solely in the form of machine-executable object code generated by +% a source language processor. +% +% THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR +% IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY, +% FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE, TITLE AND NON-INFRINGEMENT. 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+\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor} + +\title{} +\author{Gabriel Antonio Videtta} +\date{\today} + +\PassOptionsToPackage{usenames,svgnames,dvipsnames,table}{xcolor} +\usepackage{xcolor} +\usepackage[colorlinks=true]{hyperref} +\hypersetup{urlcolor=RubineRed,linkcolor=RoyalBlue,citecolor=ForestGreen} +\usepackage[nameinlink]{cleveref} + +\usepackage{amsthm} +\usepackage{thmtools} +\usepackage[framemethod=TikZ]{mdframed} + +\mdfdefinestyle{mdbluebox}{% + roundcorner=10pt, + linewidth=1pt, + skipabove=12pt, + innerbottommargin=9pt, + skipbelow=2pt, + linecolor=blue, + nobreak=true, + backgroundcolor=TealBlue!5, +} +\declaretheoremstyle[ + headfont=\sffamily\bfseries\color{MidnightBlue}, + mdframed={style=mdbluebox}, + headpunct={\\[3pt]}, + postheadspace={0pt} +]{thmbluebox} + +\mdfdefinestyle{mdbluebox2}{% + roundcorner=10pt, + linewidth=1pt, + skipabove=12pt, + innerbottommargin=9pt, + skipbelow=2pt, + linecolor=blue, + nobreak=true, + backgroundcolor=BlueViolet!9, +} 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