From aac4ad696049022b33fc903906b65c630a8d8c8b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Gabriel Videtta <gabriel@hearot.it>
Date: Mon, 17 Apr 2023 00:13:14 +0200
Subject: [PATCH] feat(geometria): aggiunge una minima parte introduttiva
 all'ultima lezione di geometria

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index ea9b305..ef52c3e 100644
--- a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-04-03, Es. forma canonica di Jordan reale/main.tex	
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 		esattamente $\pm a_1 i$, ..., $\pm a_k i$. Allora la forma
 		canonica di Jordan reale di $M$ è:
 		
-		\[ J = \Matrix{} \]
+		\[ J = \Matrix{1} \]
+		
+		... \\
+	\end{solution}
+
+	\begin{remark}\nl
+		\li $f(\Rad \varphi) = \Rad \psi$.
+		\li $[]$ è un'isometria tra $(V, \varphi)$ e $(\KK^n, M_\basis(\varphi))$.
+		\\ Si dice cono isotropo $CI(\varphi)$ l'insieme dei vettori
+		isotropi di $V$. $CI(\varphi) = V \iff \varphi = 0$ ($\Char \KK\neq 2$).
+	\end{remark}
+
+	\begin{exercise}
+		Sia $V = \RR_2[x]$ e sia $\varphi : V \times V \to \RR$ tale che
+		$\varphi(p, q) = p(1) q(2) + p(2) q(1)$ $\forall p$, $q \in V$.
+		Si mostri che $\varphi$ è un prodotto scalare di $V$.
+	\end{exercise}
+
+	\begin{solution}
+		Si osserva che $\varphi$ è simmetrica. Inoltre, $\varphi(p + p', q) =
+		p(1) q(2) + p'(1) q(2) + p(2) q(1) + p'(2) q(1) = \varphi(p, q) +
+		\varphi(p', q)$, e $\varphi(\alpha p, q) = \alpha \varphi(p, q)$;
+		quindi $\varphi$ è un prodotto scalare. \\
+		
+		Sia $\basis$ la base con $1$, $x$, $x^2$. Allora la matrice
+		associata è:
+		
+		\[ M = \Matrix{ 2 & 3 &  5 \\ 3 & 4 & 6 \\ 5 & 6 & 8 }. \]
+		
+		Vale che $\rg(M) = 2$ e che $\Ker M = \Span\Vector{2 \\ -3 \\ 1}$,
+		ossia che $\Rad \varphi = \Span(x^2-3x+2)$. Si poteva
+		ottenere questo risultato direttamente dalla definizione di $\varphi$.
+		Sia infatti $\varphi(p, q) = 0$ $\forall q \in V$. Sia allora
+		$q = x-2$: allora $\varphi(p, q) = p(2) q(1) = -p(2) = 0 \implies
+		x-2 \mid p$. Con $q = x-1$, invece, $x-1 \mid p$. Quindi $(x-1)(x-2) \mid p \implies p \in \Span((x-1)(x-2)) = \Span(x^2-3x+2)$.
 	\end{solution}
+
+	\begin{exercise}
+		Sia $\KK = \RR$. Sia $V = S(2, \RR)$ e sia $\varphi : V \times V \to \KK$ tale che che $\varphi(A, B) = (1 2) A B \Vector{1 \\ 2}$ $\forall
+		A, B \in V$. Infatti $\varphi(B, A) = (1 2) B A \Vector{1 \\ 2} =
+		(1 2) A^\top B^\top \Vector{1 \\ 2} = \varphi(A, B)$. Chiaramente
+		è lineare. \\
+		
+		Sia $\basis$ $A_1$, $A_2$ (0 0 \\ 0 1) e $A_3$ la base standard di $V$.
+		Allora $\varphi(A_1, A_1) = 1$, $\varphi(A_1, A_2) = 0$, ..., da cui:
+		
+		\[ M = \Matrix{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 5}. \]
+		
+		Si consideri $A_1$: $A_1$ non è isotropo. Si ricerca allora
+		$A_1^\perp$. $0 = \varphi(A, B) = (1 2) A_1 B \Vector{1 \\ 2} =
+		(1 2) \Matrix{ a & c \\ 0 & 0} \Vector{1 \\ 2} = a + 2c \implies
+		a = -2c$, ossia $A_1^\perp = \Span(\Matrix{-2 & 1 \\ 1 & 0},
+		\Matrix{0 & 0 \\ 0 & 1})$. \\
+		
+		Anche $A_2$ non è isotropo, quindi si considera $A_2^\perp$
+	\end{exercise}
 \end{document}