diff --git a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Decomposizione di Jordan, forma canonica di Jordan reale e prodotto scalare/main.pdf b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Decomposizione di Jordan, forma canonica di Jordan reale e prodotto scalare/main.pdf index 279cb32..c1d26d2 100644 Binary files a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Decomposizione di Jordan, forma canonica di Jordan reale e prodotto scalare/main.pdf and b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Decomposizione di Jordan, forma canonica di Jordan reale e prodotto scalare/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.pdf b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.pdf index b881a60..60aead8 100644 Binary files a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.pdf and b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex index ab48bec..0965aab 100644 --- a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex +++ b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex @@ -10,8 +10,6 @@ \maketitle - \wip - \begin{center} \Large \textbf{Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare} \end{center} @@ -234,7 +232,7 @@ Quando il prodotto scalare $\varphi$ è noto dal contesto, si omette e si scrive solo $\iota_+$, $\iota_-$ e $\iota_0$. In particolare, - la terna $\sigma = (i_+, i_-, i_0)$ è detta \textbf{segnatura} del + la terna $\sigma(\varphi) = \sigma = (i_+, i_-, i_0)$ è detta \textbf{segnatura} del prodotto $\varphi$. \end{definition} @@ -309,7 +307,9 @@ = \sum_{i=1}^k \alpha_i \beta_i q(\ww i) = 0$, e quindi $W \subseteq V^\perp$, da cui si conclude che $W = V^\perp$. \\ \li Vale in particolare che $\rg(\varphi) = \iota_+ + \iota_-$, mentre - $\dim \Ker(\varphi) = \iota_0$, e quindi $n = \iota_+ + \iota_- + \iota_0$. + $\dim \Ker(\varphi) = \iota_0$, e quindi $n = \iota_+ + \iota_- + \iota_0$. \\ + \li Se $V = U \oplusperp W$, allora $\iota_+(\varphi) = \iota_+(\restr{\varphi}{V}) + \iota_+(\restr{\varphi}{W})$, e + analogamente per gli altri indici. \end{remark} \begin{definition} (isometria) @@ -375,46 +375,40 @@ \begin{proof}\nl\nl \rightproof Per la precedente proposizione, esistono due basi $\basis$ e $\basis'$, una di $V$ e una di $V'$, tali che $M_\basis(\varphi) \cong M_{\basis'}(\varphi)$. Allora queste due matrici condividono la stessa - segnatura. \\ - - \leftproof Siano $\basis$, $\basis'$ basi di Sylvester di $V$ - e di $V'$. Si definisce allora l'applicazione $f : V \to V'$ tale - che $f(\vv i) = \ww i$: essa è un isometria. + segnatura, e così quindi anche $\varphi$ e $\varphi'$. \\ + + \leftproof Se $\varphi$ e $\varphi'$ hanno la stessa segnatura, esistono due basi $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ e $\basis' = \{ \ww 1, \ldots, \ww n \}$, una + di $V$ e una di $V'$, tali che $M = M_\basis(\varphi) = M_{\basis'}(\varphi')$ e che $M$ è una matrice di + Sylvester. Allora si costruisce $f : V \to V'$ tale che $f(\vv i) = \ww i$. Esso è un isomorfismo, e per + costruzione $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(\ww i, \ww j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\forall 1 \leq i, j \leq n$, da cui + si conclude che $\varphi(\v, \w) = \varphi'(f(\v), f(\w))$ $\forall \v$, $\w \in V$, e quindi che $V$ e + $V'$ sono isometrici. \end{proof} - \begin{corollary} - Due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno - la stessa segnatura. - \end{corollary} - - \begin{remark}\nl - \li se $V = U \oplusperp W$, allora $\iota_+(\varphi) = \iota_+(\restr{\varphi}{V}) + \iota_+(\restr{\varphi}{W})$, e - analogamente per gli altri indici. - \end{remark} - - \begin{example} - Per $\varphi = x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$. %TODO: guarda dalle slide. - \end{example} + % \begin{example} + % Per $\varphi = x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$. %TODO: guarda dalle slide. + % \end{example} - \begin{definition} - Sia $\KK$ qualunque. $W \subseteq V$ si dice sottospazio isotropo + \begin{definition} (sottospazio isotropo) + Sia $W$ un sottospazio di $V$. Allora $W$ si dice \textbf{sottospazio isotropo} di $V$ se $\restr{\varphi}{W} = 0$. \end{definition} \begin{remark}\nl - \li $V^\perp$ è isotropo, \\ - \li $\vec{v}$ è un vettore isotropo $\iff$ $W = \Span(\vec v)$ è sottospazio isotropo, \\ + \li $V^\perp$ è un sottospazio isotropo di $V$. \\ + \li $\vec{v}$ è un vettore isotropo $\iff$ $W = \Span(\vec v)$ è un sottospazio isotropo di $V$. \\ \li $W \subseteq V$ è isotropo $\iff$ $W \subseteq W^\perp$. \end{remark} \begin{proposition} - Sia $\varphi$ non degenere. $W \subseteq V$ isotropo, allora + Sia $\varphi$ non degenere. Se $W$ è un sottospazio isotropo di $V$, allora $\dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$. \end{proposition} \begin{proof} - $W \subseteq W^\perp \implies \dim W \leq \dim W^\perp \implies - \dim W \leq \dim V - \dim W \implies \dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$. + Poiché $W$ è un sottospazio isotropo di $V$, $W \subseteq W^\perp \implies \dim W \leq \dim W^\perp$. + Allora, poiché $\varphi$ è non degenere, $\dim W + \dim W^\perp = \dim V$, $\dim W \leq \dim V - \dim W$, + da cui $\dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$. \end{proof} \begin{definition} @@ -423,22 +417,29 @@ \end{definition} \begin{remark}\nl - \li Se $\varphi > 0$, $W(\varphi) = 0$. + \li Se $\varphi > 0$ o $\varphi < 0$, $W(\varphi) = 0$. \end{remark} \begin{proposition} - Per $\KK = \RR$ e $\sigma(\varphi) = (\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi), \iota_0(\varphi))$, con $\varphi$ non degenere, + Sia $\KK = \RR$. Sia $\varphi$ non degenere e sia $\sigma(\varphi) = (\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi), 0)$. Allora $W(\varphi) = \min\{\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi)\}$. \end{proposition} \begin{proof} - Sia ad esempio $\iota_-(\varphi) \leq \iota_+(\varphi)$. Se $W$ - è un sottospazio con $\dim W > \iota_-(\phi)$, e $W^+$ è - un sottospazio con $\dim W^+ = \iota_+(\varphi)$ e $\restr{\varphi}{W^+} > 0 \implies \dim (W \cap W^+) > 0$, - e quindi $W$ non è isotropo (quindi $W(\varphi) < \iota_-(\varphi)$). \\ + Senza perdità di generalità si assuma $\iota_-(\varphi) \leq \iota_+(\varphi)$ (il caso $\iota_-(\varphi) > \iota_+(\varphi)$ è analogo). Sia $W$ un sottospazio con $\dim W > \iota_-(\varphi)$. Sia $W^+$ + un sottospazio con $\dim W^+ = \iota_+(\varphi)$ e $\restr{\varphi}{W^+} > 0$. Allora, per la formula + di Grassmann, $\dim W + \dim W^+ > n \implies \dim W + \dim W^+ > \dim W + \dim W^+ - \dim (W \cap W^+) \implies \dim (W \cap W^+) > 0$. Quindi $\exists \w \in W$, $\w \neq \vec 0$ tale che $\varphi(\w, \w) > 0$, da cui + si ricava che $W$ non è isotropo. Pertanto $W(\varphi) \leq \iota_-(\varphi)$. \\ + + Sia $a := \iota_+(\varphi)$ e sia $b := \iota_-(\varphi)$. + Sia ora $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv a, \ww 1, \ldots, \ww b \}$ una base tale per cui $M_\basis(\varphi)$ è la matrice di Sylvester per $\varphi$. Siano $\vv 1$, ..., $\vv a$ tali che $\varphi(\vv i, \vv i) = 1$ + con $1 \leq i \leq a$. Analogamente siano $\ww 1$, ..., $\ww b$ tali che $\varphi(\ww i, \ww i) = -1$ con + $1 \leq i \leq b$. Detta allora $\basis' = \{ \vv 1 ' := \vv 1 + \ww 1, \ldots, \vv b ' := \vv b + \ww b \}$, sia $W = \Span(\basis')$. \\ - Sia $\basis$ una base di Sylvester. Per costruirlo prendi - coppie della base originale facendo la differenza e nota - che ne prendi esattamente quante iota-. + Si osserva che $\basis'$ è linearmente indipendente, e dunque che $\dim W = \iota_-$. Inoltre + $\varphi(\vv i ', \vv j ') = \varphi(\vv i + \ww i, \vv j + \ww j)$. Se $i \neq j$, allora + $\varphi(\vv i ', \vv j ') = 0$, dal momento che i vettori di $\basis$ sono a due a due ortogonali + tra loro. Se invece $i = j$, allora $\varphi(\vv i ', \vv j ') = \varphi(\vv i, \vv i) + \varphi(\ww i, \ww i) = 1-1=0$. Quindi $M_{\basis'}(\restr{\varphi}{W}) = 0$, da cui si conclude che $\restr{\varphi}{W} = 0$. + Pertanto $W(\varphi) \geq i_-(\varphi)$, e quindi $W(\varphi) = i_-(\varphi)$, da cui la tesi. \end{proof} \end{document} \ No newline at end of file diff --git a/tex/latex/style/personal_commands.sty b/tex/latex/style/personal_commands.sty index dbd9ec9..ffe61fd 100644 --- a/tex/latex/style/personal_commands.sty +++ b/tex/latex/style/personal_commands.sty @@ -53,8 +53,8 @@ \newcommand{\basestep}{(\textit{passo base})\;} \newcommand{\inductivestep}{(\textit{passo induttivo})\;} -\newcommand{\rightproof}{($\implies$)\;} -\newcommand{\leftproof}{($\impliedby$)\;} +\newcommand{\rightproof}{\mbox{($\implies$)}\;} +\newcommand{\leftproof}{\mbox{($\impliedby$)}\;} % Spesso utilizzati al corso di Fisica 1. \newcommand{\dx}{\dot{x}}