diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi e semidiretti)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi e semidiretti)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi e semidiretti)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi e semidiretti)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi e semidiretti)/2. Il prodotto semidiretto/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/2. Il prodotto semidiretto/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi e semidiretti)/2. Il prodotto semidiretto/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/2. Il prodotto semidiretto/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi e semidiretti)/2. Il prodotto semidiretto/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/2. Il prodotto semidiretto/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi e semidiretti)/2. Il prodotto semidiretto/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/2. Il prodotto semidiretto/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/3. Gruppi liberi e presentazioni/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/3. Gruppi liberi e presentazioni/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..8018729 Binary files /dev/null and b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/3. Gruppi liberi e presentazioni/main.pdf differ diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/3. Gruppi liberi e presentazioni/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/3. Gruppi liberi e presentazioni/main.tex new file mode 100644 index 0000000..44954d3 --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/3. Gruppi liberi e presentazioni/main.tex @@ -0,0 +1,91 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{notes_2023} + +\begin{document} + \title{Gruppi liberi e presentazioni} + \maketitle + + \begin{note} + Nel corso del documento con $G$ un qualsiasi gruppo. + \end{note} + + Si definisce il \textbf{gruppo libero} su $n$ generatori + il gruppo $F_n$ tale per cui: + \[ F_n = \gen{x_1, \ldots, x_n} = \{ x_{i_1}^{\pm 1} \cdots x_{i_k}^{\pm 1} \mid i_j \in \{1, \ldots, n\} \} \quot \sim, \] + dove\footnote{ + Chiaramente la relazione $\sim$ è di equivalenza. + } $a \sim b$ se e solo se sostituendo i vari $x_i x_i\inv$ + o $x_i\inv x_i$ si ottengono le stesse scritture in + funzione dei simboli $x_1$, ..., $x_n$. L'operazione di + questo gruppo è la concatenazione (ossia il prodotto tra + $x_i$ e $x_j$ è per definizione $x_i x_j$) e la stringa + vuota è per definizione l'identità, indicata con $e$. + Per convenzione si denota $x \cdots x$ ripetuto $k$ volte come $x^k$ e si pone $x^{-k} := (x\inv)^k$, facendo + valere le usuali proprietà delle potenze. \medskip + + + In generale, dato un insieme $S$, si definisce + il gruppo libero $F(S)$ come il gruppo libero ottenuto + dalle scritture finite di $S$ a meno di equivalenza per + $\sim$. Se $S$ è finito e $\abs{S} = n$, allora + $F(S) \cong F_n$, dove l'isomorfismo è costruito mandando + ordinatamente i generatori di $F(S)$ in + $x_1$, \ldots, $x_n$. \medskip + + + Per i gruppi liberi vale la \textbf{proprietà universale}, + ossia $\Hom(F_n, G)$ è in bigezione con $G^n$ tramite + la mappa che associa un omomorfismo $\varphi$ alla $n$-upla + $(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n))$, la cui inversa associa + una $n$-upla $(g_1, \ldots, g_n)$ ad un unico omomorfismo + tale per cui $\varphi(x_i) = g_i$. Questi gruppi, infatti, + non presentano alcuna relazione tra i propri generatori, + e dunque gli omomorfismi presentati sono sempre ben definiti. \medskip + + + Si dice che un gruppo $G$ ammette una \textbf{presentazione} se esiste un insieme $S$ di generatori di $G$ e un sottoinsieme $R$ di $F(S)$ tale per cui: + \[ G \cong F(S) \quot N, \] + dove $N$ è il più piccolo sottogruppo normale di + $F(S)$ contenente $R$ (ossia la \textit{chiusura normale} + di $R$). In particolare $G$ ammette una \textbf{presentazione finita} se $S$ e $R$ sono finiti. \medskip + + + Se $G$ ammette una presentazione, allora esiste un + omomorfismo surgettivo $\varphi : F(S) \to G$ tale + per cui $\varphi$ ristretto a $S$ sia l'identità\footnote{ + A livello astratto $S$ in $F(S)$ è solo una scrittura + simbolica, quello che si intende è che si associa + al simbolo $s \in S$ l'effettivo elemento $s$ in + $G$. + } e per cui $\Ker \varphi = N$. \medskip + + + In tal caso, è decisamente più facile descrivere gli + omomorfismi da $G$ a un qualsiasi altro gruppo $H$. + Infatti, poiché $G \cong F(S) \quot N$, esiste una bigezione, + secondo il Primo teorema di omomorfismo, tra + $\Hom(G, H)$ e gli omomorfismi di $\Hom(F(S), H)$ tali + per cui $N$ sia contenuto nel nucleo; affinché $N$ + sia contenuto nel nucleo è però sufficiente + vi sia contenuto $R$, dacché $N$ è la chiusura normale + di $R$. Pertanto $R$ rappresenta in un certo senso un + insieme di ``relazioni tra i generatori'' che devono + essere rispettate affinché l'omomorfismo sia ben definito. + Si scrive allora la presentazione di $G$ come: + \[ G \cong F(S) \quot N = \gen{S \mid R}. \] + Talvolta per $R$ si scrive un insieme di identità + $a_1 = b_1$, sottintendendo che + $a_1 b_1\inv \in R$. + + \begin{example} + Si illustrano le presentazioni dei gruppi + più importanti: + + \begin{itemize} + \item $\ZZ \cong \gen{x}$, + \item $\ZZmod n \cong \gen{x \mid x^n}$, + \item $\ZZmod 2 \times \ZZmod 2 \cong \gen{x, y \mid x^2, y^2, [x, y]}$, + \item $D_n \cong \gen{r, s \mid r^n, s^2, (sr)^2}$. + \end{itemize} + \end{example} +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.pdf index 2d6a2ac..7ce2240 100644 Binary files a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.pdf and b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.pdf differ diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.tex index 945391e..4d827bf 100644 --- a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.tex +++ b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.tex @@ -149,7 +149,10 @@ \begin{example}[$\Aut(S_3) \cong S_3$] - Si osserva che $Z(S_3)$ deve essere obbligatoriamente + Si\footnote{ + Vale un fatto molto più generale: $\Aut(S_n) \cong S_n$ + per ogni $n \geq 3$ con $n \neq 6$. + } osserva che $Z(S_3)$ deve essere obbligatoriamente banale\footnote{ In generale $Z(S_n)$ è banale per $n \geq 3$. }. Infatti, se non lo fosse, $Z(S_3)$ potrebbe