diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/2. Chiusura algebrica di un campo e campi di spezzamento/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/2. Chiusura algebrica di un campo e campi di spezzamento/main.pdf index b6adbd7..67c11a1 100644 Binary files a/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/2. Chiusura algebrica di un campo e campi di spezzamento/main.pdf and b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/2. Chiusura algebrica di un campo e campi di spezzamento/main.pdf differ diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/2. Chiusura algebrica di un campo e campi di spezzamento/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/2. Chiusura algebrica di un campo e campi di spezzamento/main.tex index 4f29d41..7b1ff90 100644 --- a/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/2. Chiusura algebrica di un campo e campi di spezzamento/main.tex +++ b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/2. Chiusura algebrica di un campo e campi di spezzamento/main.tex @@ -186,16 +186,14 @@ \end{definition} \begin{definition}[campo perfetto] - Un campo si dice \textbf{perfetto} se le derivate dei - suoi polinomi irriducibili non sono mai nulle. - Equivalentemente un campo è perfetto se i suoi - polinomi irriducibili hanno sempre radici distinte. + Un campo si dice \textbf{perfetto} se ogni suo + polinomio irriducibile è separabile. \end{definition} \begin{remark} Le estensioni di un campo perfetto sono sempre separabili. Infatti il polinomio minimo su $K$ è in particolare - un irriducibile, e quindi ha radici distinti. + un irriducibile, e quindi ha radici distinte. \end{remark} \begin{note} diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/3. Estensioni normali e gruppo di Galois/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/3. Estensioni normali e gruppo di Galois/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..0cd585c Binary files /dev/null and b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/3. Estensioni normali e gruppo di Galois/main.pdf differ diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/3. Estensioni normali e gruppo di Galois/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/3. Estensioni normali e gruppo di Galois/main.tex new file mode 100644 index 0000000..2984181 --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria dei campi/3. Estensioni normali e gruppo di Galois/main.tex @@ -0,0 +1,258 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{notes_2023} + +\begin{document} + \title{Estensioni normali e gruppo di Galois} + \maketitle + + \begin{note} + Per $K$, $L$ ed $F$ si intenderanno sempre dei campi. + Se non espressamente detto, si sottintenderà anche + che $K \subseteq L$, $F$, e che $L$ ed $F$ sono + estensioni costruite su $K$. Per $[L : K]$ si + intenderà $\dim_K L$, ossia la dimensione di $L$ + come $K$-spazio vettoriale. Per scopi didattici, si + considerano solamente campi perfetti, e dunque estensioni che sono sempre separabili, purché + non esplicitamente detto diversamente. + \end{note} \bigskip + + Si introduce adesso il fondamentale concetto di + \textit{estensione normale}, prerequisito per + introdurre a sua volta la teoria di Galois. + + \begin{definition}[estensione normale] + Un'estensione algebrica + $\faktor{L}{K}$ si dice \textbf{normale} + se per ogni $K$-immersione $\varphi : L \to \overline{K}$ + vale che $\varphi(L) = L$. + \end{definition} + + Questa definizione viene immediatamente caratterizzata + attraverso i coniugati dei suoi elementi, come mostra + la: + + \begin{proposition} + Sono equivalenti i seguenti fatti: + + \begin{enumerate}[(i)] + \item $\faktor{L}{K}$ è un'estensione normale, + \item Per ogni $\alpha \in \faktor{L}{K}$, ogni coniugato + di $\alpha$ appartiene a $L$, + \item $\faktor{L}{K}$ è il campo di spezzamento + di una famiglia di polinomi di $K[x]$. + \end{enumerate} + \end{proposition} + + \begin{proof} + Si mostra l'equivalenza delle proprietà: + + \begin{itemize} + \item[$(i)\implies (ii)\;$] Sia $\varphi : L + \to \overline{K}$ una $K$-immersione di $L$. Allora, + poiché $L$ è normale su $K$, $\varphi(L) = L$. + Sia $\alpha \in L \setminus K$. + Dal momento che $K \subseteq K(\alpha) \subseteq L$, + $\restr{\varphi}{K(\alpha)}$ è in particolare + una $K$-immersione di $K(\alpha)$, e quindi + deve associare ad $\alpha$ un suo coniugato. + Dal momento però che $\varphi(\alpha) \in L$, + questo significa che ogni coniugato di $\alpha$ + appartiene ad $L$. + + \item[$(ii)\implies (iii)\;$] Sia $\mathcal{F}$ + la famiglia dei polinomi minimi degli elementi + di $\faktor{L}{K}$. Si dimostra che + $L$ è il campo di spezzamento di $\mathcal{F}$ su + $K$. Chiaramente $\mathcal{F} \subseteq L$, + dal momento che $L$ contiene una radice per + ipotesi di ogni polinomio minimo, e per + (ii) contiene tutti i suoi coniugati (e dunque + tutte le radici di ogni polinomio della famiglia + $\mathcal{F}$). Inoltre vale anche + che $L \subseteq \mathcal{F}$, dal momento che + ogni elemento di $L$ è radice di un polinomio + di $\mathcal{F}$, per costruzione. Pertanto + $L = \mathcal{F}$. + + \item[$(iii)\implies (i)\;$] Sia $\varphi : L + \to \overline{K}$ una $K$-immersione di $L$. Sia + $\alpha \in L \setminus K$.Dal momento per che $L$ + è campo di spezzamento di una famiglia $\mathcal{F}$ di polinomi, + $L$ è generato dalle radici di $\mathcal{F}$. + Per ogni $\alpha$ generatore di $L$, allora, + $\varphi$ deve mappare $\alpha$ ad un suo + coniugato, ancora appartenente ad $L$ dacché + $\mathcal{F}$ è campo di spezzamento. Pertanto + $\varphi(\alpha) \in L$. Allora, dal momento + che $L$ è generato dalle radici di $\mathcal{F}$, + ogni suo elemento viene ancora mappato ad un + elemento di $L$, e quindi $\faktor{L}{K}$ è + un'estensione normale. + \end{itemize} + \end{proof} + + \begin{remark} + Per esempio, $\faktor{\QQ(\sqrt[3]{2})}{\QQ}$ non + è normale, dal momento che $\sqrt[3]{2} \zeta_3$, + un coniugato di $\sqrt[3]{2}$, non appartiene + a $\QQ(\sqrt[3]{2})$. Al contrario, + $\faktor{\QQ(\zeta_3)}{\QQ}$ è normale, dal + momento che l'unico coniugato di $\zeta_3$ è + $\zeta_3^2$. + \end{remark} + + Dimostriamo inoltre che le estensioni di grado $2$ + sono sempre normali, come mostra la: + + \begin{proposition} + Sia $\faktor{L}{K}$ un'estensione di grado $2$. + Allora $L$ è normale su $K$, se $\Char K \neq 2$. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Chiaramente $L$ è un'estensione algebrica di $K$, + essendo finita. Sia\footnote{ + $L$ è di grado $2$ su $K$, e quindi $K$ deve + essere un suo sottinsieme proprio. + } allora $\alpha \in L \setminus K$. Dal momento che + $\alpha \notin K$, $[K(\alpha) : K] = 2$, e quindi + $L = K(\alpha)$. Inoltre $\deg_K \alpha = 2$, pertanto, + poiché $\Char K \neq 2$, + esiste un polinomio irriducibile + $p(x) = x^2 + bx + c$ con $b$, $c \in K$ + di cui $\alpha$ è radice. In particolare, + $\alpha$, $\overline{\alpha} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}$, dove + $\overline{\alpha}$ il coniugato di $\alpha$. + Allora $\alpha$, $\overline{\alpha} \in K(\sqrt{\Delta})$. Dal momento allora che + $L = K(\alpha) = K(\sqrt{\Delta})$, $L$ è + campo di spezzamento di $p \in K[x]$, e dunque, + per la proposizione precedente, è normale su $K$. + \end{proof} + + Infine, si esplora la normalità su un diagramma di + estensioni. + + \begin{proposition}[normalità nel composto e nell'intersezione] + Siano $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{M}{K}$ estensioni + normali. Allora $\faktor{LM}{K}$ e + $\faktor{L \cap M}{K}$ sono a loro volta normali. + + \[\begin{tikzcd}[column sep=small] + && LM \\ + \\ + L &&&& M \\ + \\ + && {L \cap M} \\ + \\ + && K + \arrow[no head, from=5-3, to=7-3] + \arrow[no head, from=1-3, to=3-5] + \arrow[no head, from=1-3, to=3-1] + \arrow[no head, from=3-1, to=5-3] + \arrow[no head, from=5-3, to=3-5] + \arrow[no head, from=1-3, to=5-3] + \end{tikzcd}\] + \end{proposition} + + \begin{proof} + Chiaramente $LM$ e $L \cap M$ sono estensioni + algebriche di $K$, in quanto sia $L$ che $M$ lo sono. + Sia $\varphi : LM \to \overline{K}$ una $K$-immersione + di $LM$. Allora $\varphi(LM) = \varphi(L(M)) = + L(\varphi(M)) = L(M) = LM$, e quindi $LM$ è normale + su $K$. Analogamente, se $\varphi : L \cap M \to \overline{K}$ è una $K$-immersione di $L \cap M$, + $\varphi(L \cap M) = \varphi(L) \cap \varphi(M) = L \cap M$, e quindi $L \cap M$ è normale su $K$. + \end{proof} + + \begin{proposition} + Sia $K \subseteq F \subseteq L$ una torre di campi. Allora + $\faktor{L}{K}$ normale $\implies$ $\faktor{L}{F}$ + normale. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Poiché $L$ è normale su $K$, $L$ è un campo di + spezzamento di una famiglia $\mathcal{F}$ di polinomi + di $K[x]$. A maggior ragione, allora, + $L$ è campo di spezzamento di $\mathcal{F}$ come + polinomi di $F[x]$, e quindi è normale anche su $F$. + \end{proof} \medskip + + Si può adesso introdurre la teoria di Galois introducendo + prima l'insieme $\Aut_K L$ e poi il gruppo $\Gal(\faktor{L}{K})$. + + \begin{definition} + Si definisce l'insieme $\Aut_K L$ come l'insieme + delle $K$-immersioni di $L$, ossia delle immersioni + $\varphi : L \to \overline{K}$ tali per cui + $\restr{\varphi}{K} = \Id_K$. + \end{definition} + + Se $L$ è normale su $K$, le immersioni di + $\Aut_K L$ possono essere ristrette al codominio su + $L$ (infatti $\varphi(L) = L$ per definizione) e sono + tali per cui mandano gli elementi di $L$ nei loro + coniugati su $K$. Inoltre, se $L$ è un'estensione finita + di $K$, la separabilità di $L$ garantisce che\footnote{ + In generale, se $L$ è un'estensione finita e normale di $K$, + $\abs{\Aut_K L} = [L : K]$ se e solo se $L$ + separabile su $K$. + } + $\abs{\Aut_K L} = [L : K]$. Pertanto, riducendoci a + considerare le estensioni normali e separabili di $K$, + ogni immersione, ristretta opportunamente sul codominio, + ammette un inverso, e quindi si può considerare + $\Aut_K L$ come gruppo sulla composizione, denotato + come $\Gal(\faktor{L}{K})$. Tali estensioni sono + speciali, e vengono pertanto dette \textit{di Galois}. + + \begin{definition}[estensioni di Galois] + Si dice che $\faktor{L}{K}$ è un'\textbf{estensione + di Galois} se $L$ è sia normale che separabile su $K$. + \end{definition} + + \begin{definition}[gruppo di Galois di $\faktor{L}{K}$] + Si definisce il gruppo di Galois di $\faktor{L}{K}$, + denotato come $\Gal(\faktor{L}{K})$, il gruppo + rispetto alla composizione + delle immersioni di $\Aut_K L$ ristrette sul codominio + a $L$. + \end{definition} + + La maggior parte dei teoremi della teoria di Galois si + fondano particolarmente sul fatto che il gruppo di Galois + di un campo di spezzamento di un irriducibile $f$ + agisce sulle radici di $f$, come mostra la: + + \begin{proposition} + Sia $f(x) \in K[x]$ un irriducibile. Allora, + se $L$ è il suo campo di spezzamento, + $\Gal(\faktor{L}{K})$ agisce fedelmente e transitivamente sulle + radici di $L$. Pertanto $\Gal(\faktor{L}{K}) \mono S_n$, + dove $n = [L : K] = \deg f(x)$, e quindi + $n \mid [L : K] \mid n!$. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Si consideri l'azione $\Xi : \Gal(\faktor{L}{K}) \to + S(\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_n \})$ tale per cui + $\varphi \xmapsto{\Xi} [\alpha_i \mapsto \varphi(\alpha_i)]$, dove\footnote{ + Si ricorda l'ipotesi di $K$ campo perfetto; + pertanto $f(x)$ è separabile. + } + le $\alpha_i$ sono le radici distinte di $f(x)$. + Allora chiaramente $n \mid [L : K]$, dal momento + che $[K(\alpha_1) : K] = n$ e $K(\alpha_1) \subseteq L$. \medskip + + + Inoltre $\Xi$ è un'azione fedele dacché $\Ker \Xi$ è banale. Infatti + l'unica $K$-immersione che fissa ogni radice è + necessariamente + l'identità. Allora $\Xi$ è un'immersione di + $\Gal(\faktor{L}{K})$ in $S(\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_n \}) \cong S_n$, e quindi + $[L : K] = \abs{\Gal(\faktor{L}{K})} \mid n!$. Infine, esiste sempre una $K$-immersione di + $L$ che mappa un qualsiasi $\alpha_i$ ad un altro + $\alpha_j$, purché $i \neq j$. Pertanto $\Gal(\faktor{L}{K})$ agisce transitivamente sulle + radici di $f(x)$. + \end{proof} +\end{document} \ No newline at end of file