diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf index 685a68f..2cd6da3 100644 Binary files a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf and b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf differ diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex index c14e97f..6da498c 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex @@ -76,6 +76,8 @@ \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}} +\DeclareMathOperator{\Span}{span} + \newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}} \DeclareMathOperator{\im}{im} diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-prerequisiti.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-prerequisiti.tex index cebfe01..463b086 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-prerequisiti.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-prerequisiti.tex @@ -27,7 +27,7 @@ intorno $A$ di $\vec{x_0}$ in $U$ dentro al quale $\restr{f}{A}$ ha un'inversa $g$, anch'essa di classe $C^k$, per la quale $J g(f(\vec{x})) = J f(\vec{x})\inv$. - \item \textbf{Teorema di esistenza e unicità globale per sistemi lineari} -- + \item \textbf{Teorema di esistenza e unicità globale per sistemi lineari di equazioni differenziali} -- Sia $I \subseteq \RR$ un intervallo aperto e siano date due funzioni continue: \[ A : I \to \RR^{n \times n} \quad \text{e} \quad \vec{b} : I \to \RR^n. \] Fissato $(t_0, \vec{y_0}) \in I \times \RR^n$, esiste un'unica soluzione $\vec{y} : I \to \RR^n$ diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/1-curve.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/1-curve.tex index 4f2c22e..0c25123 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/1-curve.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/1-curve.tex @@ -7,7 +7,7 @@ Qualora non specificato, assumeremo l'utilizzo di funzioni di classe $C^\infty$. \smallskip Se $\vec{x} \in \RR^3$ e $f$ è una funzione relativa a una curva $\alpha$, ammettiamo l'abuso di notazione - $f(\vec{x})$, intendendo $f(\alpha\inv(\vec{x}))$ (e.g., $k(P)$ per intendere $k(\alpha\inv(P)))$). + $f(\vec{x})$, intendendo $f(\alpha\inv(\vec{x}))$ (e.g., $\kappa(P)$ per intendere $\kappa(\alpha\inv(P)))$). \section{Definizioni preliminari} @@ -127,17 +127,17 @@ \begin{definition}[Curvatura] Sia $\beta$ una curva p.l.a., allora si definisce la - \textbf{curvatura} $k_\beta(s)$ di $\beta$ al tempo $s$ come + \textbf{curvatura} $\kappa_\beta(s)$ di $\beta$ al tempo $s$ come $\norm{T_\beta'(s)}$. \smallskip - Laddove è chiaro dal contesto quale sia $\beta$, scriviamo solo $k(s)$. + Laddove è chiaro dal contesto quale sia $\beta$, scriviamo solo $\kappa(s)$. \end{definition} \subsection{Curve di Frenet, versore normale e binormale} - \begin{definition}[Curva di Frenet] + \begin{definition}[Curva di Frenet p.l.a.] Una curva p.l.a.~$\beta$ si dice \textbf{curva di Frenet} se - ad ogni tempo $s$, la curvatura è positiva ($k_\beta(s) > 0$). + ad ogni tempo $s$, la curvatura è positiva ($\kappa_\beta(s) > 0$). \end{definition} \begin{definition}[Versore normale] @@ -164,5 +164,57 @@ $\{T_\beta, N_\beta, B_\beta\}$ formano una base ortonormale a ogni tempo $s$. Tale base è detta \textbf{triedro di Frenet}. \end{remark} - \subsection{Equazioni di Frenet} + + \subsection{Torsione ed equazioni di Frenet} + + Assumiamo in questa sezione di star lavorando con curve di Frenet p.l.a. + + \begin{proposition}[Prima equazione di Frenet] + Sia $\beta$ una curva di Frenet p.l.a. Allora vale la seguente + equazione: + \begin{equation} \label{eq:frenet_1} \tag{F1} + \dot{T_\beta}(s) = \kappa_\beta(s) \cdot N_\beta(s). + \end{equation} + \end{proposition} + + \begin{remark} + Osserviamo che $\dot{N_\beta}$ è ortogonale in ogni tempo + a $N_\beta$, e dunque $\dot{N_\beta}$ sarà contenuto in + $\Span(T_\beta, B_\beta)$. \medskip + + Inoltre, derivando $N_\beta(s) \cdot T_\beta(s) = 0$, otteniamo: + \[ \dot{N_\beta}(s) \cdot T_\beta(s) = -N_\beta(s) \cdot \dot{T_\beta}(s) = -\kappa_\beta(s). \] + \end{remark} + + \begin{definition}[Torsione] + Sia $\beta$ una curva di Frenet p.l.a. Allora definiamo la + \textbf{torsione} $\tau_\beta(s)$ come il coefficiente di $\dot{N_\beta}(s)$ in + $B_\beta(s)$, ovverosia: + \[ \tau_\beta(s) = \dot{N_\beta}(s) \cdot B_\beta(s). \] + \end{definition} + + \begin{proposition}[Seconda equazione di Frenet] + Sia $\beta$ una curva di Frenet p.l.a. Allora vale la seguente + equazione: + \begin{equation} \label{eq:frenet_2} \tag{F2} + \dot{N_\beta}(s) = - \kappa_\beta(s) \, T_\beta(s) + \tau_\beta(s) \, B_\beta(s). + \end{equation} + \end{proposition} + + \begin{remark} + Dal momento che $B_\beta = T_\beta \times N_\beta$, derivando + $B_\beta$ otteniamo: + \[ \dot{B_\beta} = \dot{T_\beta} \times N_\beta + T_\beta \times \dot{N_\beta}, \] + da cui, applicando le prime due equazioni di Frenet: + %TODO + \end{remark} + + \begin{proposition}[Terza equazione di Frenet] + Sia $\beta$ una curva di Frenet p.l.a. Allora vale la seguente + equazione: + \begin{equation} \label{eq:frenet_3} \tag{F3} + \dot{B_\beta}(s) = -\tau_\beta(s) \, N_\beta(s), + \end{equation} + e quindi $\tau_\beta(s) = -\dot{B_\beta}(s) \cdot N_\beta(s)$. + \end{proposition} \end{multicols*}