From b98b4e97b2b8415442480c216c9bc7af708fe108 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Gabriel Antonio Videtta Date: Fri, 23 Jun 2023 11:41:17 +0200 Subject: [PATCH] fix(geometria): elimina un typo --- .../1. Introduzione al prodotto scalare.tex | 4 ++-- 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/Geometria 1/4. Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/1. Introduzione al prodotto scalare.tex b/Geometria 1/4. Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/1. Introduzione al prodotto scalare.tex index a30c38f..74efd1a 100644 --- a/Geometria 1/4. Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/1. Introduzione al prodotto scalare.tex +++ b/Geometria 1/4. Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/1. Introduzione al prodotto scalare.tex @@ -849,13 +849,13 @@ Si osserva infine che, se $V = \RR^3$ e $\basis$ ne è la base canonica, i coni \begin{proof} Sia $\basis$ una base di Sylvester per $V$. In particolare, detto $k := \dim V^\perp$; sia $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv{n-k}, \uu 1, \ldots, \uu k \}$ ordinata in modo tale che $\vv i$ non sia isotropo per $1 \leq i \leq n-k$ e che $\uu i$ sia invece isotropo per - $1 \leq i \leq k$. Si costruisca allora la base $\basis' = \{\vv 1 ' := \vv 1 + i \vv 2, \, \vv 2 ' := \vv 3 + i \vv 4, \ldots, \uu 1, \ldots, \uu k\}$ ottenuta prendendo in ordine quante più coppie distinte possibili di + $1 \leq i \leq k$. Si costruisca allora l'insieme $\basis' = \{\vv 1 ' := \vv 1 + i \vv 2, \, \vv 2 ' := \vv 3 + i \vv 4, \ldots, \uu 1, \ldots, \uu k\}$ ottenuta prendendo in ordine quante più coppie distinte possibili di vettori $\vec i$ e aggiungendo al vettore con indice minore della coppia il vettore con indice maggiore moltiplicato per $i$. In questo modo si è costruita un insieme linearmente indipendente contenente $\floor{\frac{n-k}{2}} + k = \floor{\frac{\dim V - \dim V^\perp}{2}} + \dim V^\perp = \floor{\frac{\dim V + \dim V^\perp}{2}}$. \\ Sia allora $W = \Span(\basis')$. I vettori della forma $\uu i$ con $1 \leq i \leq k$ sono - chiaramente già ortogonali con gli altri vettori della base. Si consideri allora + chiaramente già ortogonali con gli altri vettori della base $\basis'$ di $V$. Si consideri allora il prodotto $\varphi(\vv i', \vv j')$. Se $i \neq j$, il prodotto ha argomenti tra di loro già ortogonali per costruzione di $\basis$; se invece $i = j$, detto $\vv i' = \vv s + i \vv {s+1}$ con $s \in \NN$, $\varphi(\vv i', \vv i') = \varphi(\vv s, \vv s) - \varphi(\vv {s+1}, \vv {s+1}) = 1 - 1 = 0$. Allora $M_{\basis'}(\restr{\varphi}{W}) = 0 \implies \restr{\varphi}{W} = 0$. Pertanto $W$ è un sottospazio isotropo di dimensione $\floor{\frac{\dim V + \dim V^\perp}{2}}$. Poiché per la \textit{Proposizione \ref{prop:disuguaglianza_sottospazio_isotropo}} tale dimensione maggiora tutte le