diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.pdf b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.pdf index e90fb61..56d316f 100644 Binary files a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.pdf and b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.tex b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.tex index 37bfd6d..18cfa69 100644 --- a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.tex +++ b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.tex @@ -311,6 +311,10 @@ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{k_i} \lambda_i \lambda_{i,j} S_{i,j}$. Inoltre $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{k_i} \lambda_i \lambda_{i,j} = \sum_{i=1}^n \lambda_i (\sum_{j=1}^{k_i} \lambda_{i,j}) = \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$. Pertanto $\sum_{i=1}^n \lambda_i P_i$ è combinazione affine di elementi di $S$, e quindi $\sum_{i=1}^n \lambda_i P_i \in \Aff(S)$. \\ - \li Siano $P_1$, $P_2 \in E$. Allora il sottospazio affine $\Aff(P_1, P_2) = \{ \lambda_1 P_1 + \lambda_2 P_2 \mid \lambda_1 + \lambda_2 = 1, \lambda_1, \lambda_2 \in \KK \} = \{ (1-\lambda) P_1 + \lambda P_2 \mid \lambda \in \KK \} = \{ P_1 + \lambda (P_2 - P_1) \mid \lambda \in \KK \}$ è detto \textit{retta affine passante per $P_1$ e $P_2$}. Analogamente il sottospazio affine generato da tre elementi è detto \textit{piano affine}. + \li Siano $P_1$, $P_2 \in E$. Allora il sottospazio affine $\Aff(P_1, P_2) = \{ \lambda_1 P_1 + \lambda_2 P_2 \mid \lambda_1 + \lambda_2 = 1, \lambda_1, \lambda_2 \in \KK \} = \{ (1-\lambda) P_1 + \lambda P_2 \mid \lambda \in \KK \} = \{ P_1 + \lambda (P_2 - P_1) \mid \lambda \in \KK \}$ è detto \textit{retta affine passante per $P_1$ e $P_2$}. Analogamente il sottospazio affine generato da tre elementi è detto \textit{piano affine}. \\ + + \li Dato un insieme di punti $S \subseteq E$, $\Aff(S)$ è il più piccolo sottospazio affine, per inclusione, + contenente $S$. Infatti, se $T$ è un sottospazio affine contenente $S$, per definizione $T$ deve + contenere tutte le combinazioni affini di $S$, e quindi $\Aff(S)$. \end{remark} \end{document} diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.pdf b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..0c80d6d Binary files /dev/null and b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex new file mode 100644 index 0000000..3c94be8 --- /dev/null +++ b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex @@ -0,0 +1,175 @@ +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage{personal_commands} +\usepackage[italian]{babel} + +\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}} +\author{Gabriel Antonio Videtta} +\date{28 aprile 2023} + +\begin{document} + + \maketitle + + \begin{center} + \Large \textbf{Indipendenza e applicazioni affini} + \end{center} + + Fissato un origine $O$ dello spazio affine, si possono sempre considerare due + bigezioni: + + \begin{itemize} + \item La bigezione $i_O : E \to V$ tale che $i(P) = P - O \in V$, + \item La bigezione $j_O : V \to E$ tale che $j(\v) = O + \v \in E$. + \end{itemize} + + Si osserva inoltre che $i_O$ e $j_O$ sono l'una la funzione inversa dell'altra. + + Dato uno spazio vettoriale $V$ su $\KK$ di dimensione $n$, si può considerare $V$ stesso + come uno spazio affine, denotato con le usuali operazioni: + + \begin{enumerate}[(a)] + \item $\v + \w$, dove $\v \in V$ è inteso come $\mathit{punto}$ di $V$ e $\w \in W$ come + il vettore che viene applicato su $\w$, coincide con la somma tra $\v$ e $\w$ (e analogamente + $\w - \v$ è esattamente $\w - \v$). + + \item Le bigezioni considerate inizialmente sono in particolare due mappe tali che + $i_{\vv 0}(\v) = \v - \vv 0$ e che $j_{\vv 0}(\v) = \vv 0 + \v$. + \end{enumerate} + + \begin{definition} [spazio affine standard] + Si denota con $\AnK$ lo \textbf{spazio affine standard} costruito sullo spazio vettoriale + $\KK^n$. Analogamente si indica con $A_V$ lo spazio affine costruito su uno spazio + vettoriale $V$. + \end{definition} + + \begin{remark}\nl + \li Una combinazione affine di $A_V$ è in particolare una combinazione lineare di $V$. Infatti, + se $\v = \sum_{i=1}^n \lambda_i \vv i$ con $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$, allora, fissato + $\vv 0 \in V$, $\v = \vv 0 + \sum_{i=1}^n \lambda_i (\vv i - \vv 0) = \vv 0 + \sum_{i=1}^n \lambda_i \vv i - \vv 0 = \sum_{i=1}^n \lambda_i \vv i$. + + \li Come vi è una bigezione data dal passaggio alle coordinate da $V$ a $\KK^n$, scelta una base + $\basis$ di $V$ e un punto $O$ di $E$, vi è anche una bigezione $\varphi_{O, \basis}$ da $E$ a $\AnK$ data + dalla seguente costruzione: + + \[ \varphi_{O, \basis}(P) = [P-O]_\basis. \] + \end{remark} + + \begin{proposition} + Sia $D \subseteq E$. Allora $D$ è un sottospazio affine di $E$ $\iff$ fissato $P_0 \in D$, l'insieme + $D_0 = \{ P - P_0 \mid P \in D \} \subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\ + + \rightproof Siano $\vv 1$, ..., $\vv k \in D_0$. Allora, per definizione, esistono $P_1$, ..., + $P_k \in D$ tali che $\vv i = P_i - P_0$ $\forall 1 \leq i \leq k$. Siano $\lambda_1$, ..., + $\lambda_k \in \KK$. Sia inoltre $P = P_0 + \sum_{i=1}^k \lambda_i \vv i \in E$. Sia infine + $O \in D$. Allora $P = O + (P_0 - O) + \sum_{i=1}^k \lambda_i \vv i = O + (P_0 - O) + \sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - O + O - P_0) = O + (P_0 - O) + \sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - O) - \sum_{i=1}^k \lambda_i (P_0 - O) = + O + (1-\sum_{i=1}^k \lambda_i) (P_0 - O) + \sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - O)$. In particolare $P$ + è una combinazione affine di $P_1$, ..., $P_k \in D$, e quindi, per ipotesi, appartiene a $D$. Allora + $P - P_0 = \sum_{i=1}^k \lambda_i \vv i \in D_0$. Poiché allora $D_0$ è chiuso per combinazioni lineari, + $D_0$ è un sottospazio vettoriale di $V$. \\ + + \leftproof Sia $P = \sum_{i=1}^k \lambda_i P_i$ con $\sum_{i=1}^k \lambda_i = 1$, con $P_1$, ..., $P_k \in D$ e + $\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in \KK$. Allora $P - P_0 = \sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - P_0) \in D_0$ per ipotesi, essendo combinazione lineare di elementi di $D_0$. Pertanto, poiché esiste un solo punto $P'$ + tale che $P' = P_0 + \sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - P_0)$, affinché $\sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - P_0)$ + appartenga a $D_0$, deve valere anche che $P \in D$. Si conclude quindi che $D$ è un sottospazio + affine, essendo chiuso per combinazioni affini. + \end{proof} + + \begin{remark}Sia $D$ un sottospazio affine di $E$. \\ + + \li Vale la seguente identità $D_0 = \{ P - Q \mid P, Q \in D \}$. Sia infatti $A = \{ P - Q \mid P, Q \in D \}$. Chiaramente $D_0 \subseteq A$. + Inoltre, se $P-Q \in A$, $P-Q = (P-P_0) - (Q-P_0)$. Pertanto, essendo $P-Q$ combinazione lineari di elementi + di $D_0$, ed essendo $D_0$ spazio vettoriale per la proposizione precedente, $P-Q \in D_0 \implies A \subseteq D_0$, da cui si conclude che $D_0 = A$. \\ + \li Pertanto $D_0$ è unico, a prescindere dalla scelta di $P_0 \in D$. \\ + \li Vale che $D = P_0 + D_0$, ossia $D$ è il traslato di $D$ mediante il punto $P_0$. + \end{remark} + + \begin{definition} [direzione di un sottospazio affine] + Si definisce $D_0$ come la \textbf{direzione} del sottospazio affine $D$. + \end{definition} + + \begin{definition} [dimensione un sottospazio affine] + Dato $D$ sottospazio affine di $E$, si dice dimensione di $D$, + indicata con $\dim D$, la dimensione della sua direzione $D_0$, ossia + $\dim D_0$. In particolare $\dim E = \dim V$. + \end{definition} + + \begin{definition} [sottospazi affini paralleli] + Due sottospazi affini si dicono \textbf{paralleli} se condividono + la stessa direzione. + \end{definition} + + \begin{remark}\nl + \li I sottospazi affini di dimensione zero sono tutti i punti di $E$. \\ + \li I sottospazi affini di dimensione uno sono le \textit{rette affini}, + mentre quelli di dimensione due sono i \textit{piani affini}. \\ + \li Si dice \textit{iperpiano affine} un sottospazio affine di codimensione $1$, + ossia di dimensione $n-1$. + \end{remark} + + \begin{definition} [punti affinemente indipendenti] + I punti $P_1$, ..., $P_n \in E$ si dicono affinemente indipendenti se l'espressione $P = \sum \lambda_i P_i$ con $\sum \lambda_i = 1$ + è unica $\forall P \in \Aff(P_1, \ldots, P_n)$. Analogamente + un sottoinsieme $S \subseteq E$ si dice affinemente indipendente + se ogni suo sottoinsieme finito lo è. + \end{definition} + + \begin{proposition} + $P_1$, ..., $P_n$ sono affinemente indipendenti $\iff$ + $\forall i = 1, \ldots, k$ i vettori $P_j - P_i$ con $j \neq i$ + sono linearmente indipendenti $\iff$ $\exists i = 1, \ldots, k$ i vettori $P_j - P_i$ con $j \neq i$ + sono linearmente indipendenti $\forall i P_i \notin \Aff\{P_1, \ldots, P_n\}$ con $P_i$ escluso. + \end{proposition} + + \begin{proof} + %TODO: considerare il passaggio ai vettori spostamento + \end{proof} + + \begin{remark}\nl + \li Il numero massimo di punti affinemente indipendenti in $E$ è $\dim E + 1$. \\ + + \li Se $E = A_n(\KK)$ e $V = \KK^n$. Allora $\ww 1$, ..., + $\ww k \in E$ sono aff. indip. $\iff$ i vettori $\ww1$, ..., + $\ww k$ immersi in $\KK^{n+1}$ aggiungendo una coordinata $1$ + in fondo sono linearmente indipendenti. + \end{remark} + + \begin{remark} Sia $E$ spazio affine con $V$ di dimensione $n$. Si + scelgano $n+1$ punti affinemente indipendenti $P_0$, ..., $P_n$. + Allora $\Aff(P_0, ..., P_n) = E$. Quindi $P \in E$ si scrive + in modo unico come $P = \sum \lambda_i P_i$ con $\sum \lambda_i = 1$. + Le $\lambda_i$ si diranno allora le coordinate affini di $P$ + nel riferimento $P_0$, ..., $P_n$. + \end{remark} + + Se si impone $\lambda_i \geq 0$, si definisce che la + combinazione è una combinazione convessa. Si definisce + baricentro il punto con $\lambda_i = \frac{1}{n}$. + + \begin{definition} [inviluppo convesso] Si dice $\IC(S)$ di un insieme + $S \subseteq E$ l'insieme delle combinazioni convesse di $S$ (finite). + %TODO: dimostrare che è un insieme convesso + \end{definition} + + % TODO: aggiungere baricentro + + \begin{definition} Sia $E$ uno spazio affine su $V$, $E'$ spazio + affine su $V'$ (sullo stesso $\KK$) un'applicazione $f : E \to E'$ + si dice app. affine se conserva le combinazioni affini + ($f(\sum \lambda_i P_i) = \sum \lambda_i f(P_i)$, $\sum \lambda_i = 1$). + \end{definition} + + \begin{theorem} Sia $f : E \to E'$ affine. Allora $\exists$ unica + app. lineare $g : V \to V'$ lineare tale che valga + $f(O + \v) = f(O) + g(\v)$, per ogni scelta di $O \in E$. + \end{theorem} + + \begin{proof} + Sia $O \in E$. L'applicazione $g_O : V \to V'$ data da + $g_O(\v) = f(O + \v) - f(O)$. Si dimostra che $g_O$ è + lineare. + \end{proof} +\end{document} diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28/main.pdf b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28/main.pdf deleted file mode 100644 index 148da3a..0000000 Binary files a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28/main.pdf and /dev/null differ diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28/main.tex b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28/main.tex deleted file mode 100644 index 08b7e70..0000000 --- a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28/main.tex +++ /dev/null @@ -1,123 +0,0 @@ -\documentclass[11pt]{article} -\usepackage{personal_commands} -\usepackage[italian]{babel} - -\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}} -\author{Gabriel Antonio Videtta} -\date{28 aprile 2023} - -\begin{document} - - \maketitle - - \begin{center} - \Large \textbf{Spazi affini (parte due)} - \end{center} - - %TODO: aggiungere che V spazio vettoriale è anche spazio affine con l'usuale somma e prodotto esterno. - - Se $E$ è affine su $V$ di dimensione $n$ su $\KK$, allora ogni scelta - di un punto $O \in E$ di una base $\basis$ di $V$ dà una bigezione - $\varphi_{O, \basis} : E \to A_n(\KK) : O + \v \mapsto [\v]_{\basis}$. \\ - - %TODO: aggiungere che Aff(S) è il più piccolo sottospazio affine che contiene S. - - \begin{proposition} - Un sottoinsieme $D \subseteq E$ è un sottospazio affine - $\iff$ $\forall P_0 \in D$, l'insieme di vettori $D_0 = \{P - P_0 \mid P \in D\} \subseteq V$ è un sottospazio vettoriale. - \end{proposition} - - \begin{proof} - $P = \sum \lambda_i P_i \in D$ combinazione affine - di $P_i \in D$ $\iff$ $\forall P_0 \in D$, $P-P_0 = \sum \lambda_i (P_i - P_0) \in D_0$. \\ - - \rightproof $P = P_0 + \sum \lambda_i (P_i - P_0) = \sum \lambda_i P_i + (1- \sum \lambda_i) P_0$ %TODO: sistemare - - \leftproof Sia $\sum \lambda_i P_i = P_0 + \sum \lambda_i (P_i - P_0) = P_0 + (P - P_0) = P$ %TODO: sistemare - \end{proof} - - $D$ si dice la direzione del sottospazio affine $D$. In $A_n(\KK)$, - i sottospazi affini corrispondono ai traslati dei sottospazi vettoriali. - - \begin{exercise}\nl - \begin{enumerate}[(i)] - \item $D_0$ è unico - \item $D_0 = \{ Q - P \mid P, Q \in D \}$ - \end{enumerate} - \end{exercise} - - \begin{definition} [dimensione un sottospazio affine] - Dato $D$ sottospazio affine di $E$, si dice dimensione di $D$, - indicata con $\dim D$, la dimensione di $D_0$, ossia - $\dim D_0$. IN particolare $\dim E = \dim V$. - \end{definition} - - \begin{remark}\nl - \li I sottospazi affini di dimensione zero sono tutti i punti di $E$, - quelli di dimensione uno retta, due piano, $n-1$ iperpiano affine - (ossia con codimensione $1$) %TODO: affini - \end{remark} - - \begin{definition} [punti affinemente indipendenti] - I punti $P_1$, ..., $P_n \in E$ si dicono affinemente indipendenti se l'espressione $P = \sum \lambda_i P_i$ con $\sum \lambda_i = 1$ - è unica $\forall P \in \Aff(P_1, \ldots, P_n)$. Analogamente - un sottoinsieme $S \subseteq E$ si dice affinemente indipendente - se ogni suo sottoinsieme finito lo è. - \end{definition} - - \begin{proposition} - $P_1$, ..., $P_n$ sono affinemente indipendenti $\iff$ - $\forall i = 1, \ldots, k$ i vettori $P_j - P_i$ con $j \neq i$ - sono linearmente indipendenti $\iff$ $\exists i = 1, \ldots, k$ i vettori $P_j - P_i$ con $j \neq i$ - sono linearmente indipendenti $\forall i P_i \notin \Aff\{P_1, \ldots, P_n\}$ con $P_i$ escluso. - \end{proposition} - - \begin{proof} - %TODO: considerare il passaggio ai vettori spostamento - \end{proof} - - \begin{remark}\nl - \li Il numero massimo di punti affinemente indipendenti in $E$ è $\dim E + 1$. \\ - - \li Se $E = A_n(\KK)$ e $V = \KK^n$. Allora $\ww 1$, ..., - $\ww k \in E$ sono aff. indip. $\iff$ i vettori $\ww1$, ..., - $\ww k$ immersi in $\KK^{n+1}$ aggiungendo una coordinata $1$ - in fondo sono linearmente indipendenti. - \end{remark} - - \begin{remark} Sia $E$ spazio affine con $V$ di dimensione $n$. Si - scelgano $n+1$ punti affinemente indipendenti $P_0$, ..., $P_n$. - Allora $\Aff(P_0, ..., P_n) = E$. Quindi $P \in E$ si scrive - in modo unico come $P = \sum \lambda_i P_i$ con $\sum \lambda_i = 1$. - Le $\lambda_i$ si diranno allora le coordinate affini di $P$ - nel riferimento $P_0$, ..., $P_n$. - \end{remark} - - Se si impone $\lambda_i \geq 0$, si definisce che la - combinazione è una combinazione convessa. Si definisce - baricentro il punto con $\lambda_i = \frac{1}{n}$. - - \begin{definition} [inviluppo convesso] Si dice $IC(S)$ di un insieme - $S \subseteq E$ l'insieme delle combinazioni convesse di $S$ (finite). - %TODO: dimostrare che è un insieme convesso - \end{definition} - - % TODO: aggiungere baricentro - - \begin{definition} Sia $E$ uno spazio affine su $V$, $E'$ spazio - affine su $V'$ (sullo stesso $\KK$) un'applicazione $f : E \to E'$ - si dice app. affine se conserva le combinazioni affini - ($f(\sum \lambda_i P_i) = \sum \lambda_i f(P_i)$, $\sum \lambda_i = 1$). - \end{definition} - - \begin{theorem} Sia $f : E \to E'$ affine. Allora $\exists$ unica - app. lineare $g : V \to V'$ lineare tale che valga - $f(O + \v) = f(O) + g(\v)$, per ogni scelta di $O \in E$. - \end{theorem} - - \begin{proof} - Sia $O \in E$. L'applicazione $g_O : V \to V'$ data da - $g_O(\v) = f(O + \v) - f(O)$. Si dimostra che $g_O$ è - lineare. - \end{proof} -\end{document} diff --git a/tex/latex/style/personal_commands.sty b/tex/latex/style/personal_commands.sty index b761072..9cbaa9a 100644 --- a/tex/latex/style/personal_commands.sty +++ b/tex/latex/style/personal_commands.sty @@ -95,6 +95,10 @@ \newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}} % Spesso utilizzati al corso di Geometria 1. +\DeclareMathOperator{\An}{\mathcal{A}_n} +\DeclareMathOperator{\AnK}{\mathcal{A}_n(\KK)} + +\DeclareMathOperator{\IC}{IC} \DeclareMathOperator{\Aff}{Aff} \DeclareMathOperator{\Orb}{Orb} \DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}