diff --git a/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.pdf b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..16d3db0 Binary files /dev/null and b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.pdf differ diff --git a/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex similarity index 71% rename from Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex rename to Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex index e912275..768dbf9 100644 --- a/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex +++ b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, 24, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}} \author{Gabriel Antonio Videtta} -\date{21 marzo 2023} +\date{23 e 24 marzo 2023} \begin{document} @@ -206,10 +206,10 @@ \end{proposition} \begin{proof} - Sia $f := f_1 + f_2$. + Si dimostrano i due punti separatamente. \begin{enumerate}[(i)] - \item Poiché $f_1, f_2$ sono continue in $\xbar$, + \item Sia $f := f_1 + f_2$. Poiché $f_1, f_2$ sono continue in $\xbar$, $\forall \eps > 0$, $\exists \delta > 0 \mid \abs{x - \xbar} < \delta \implies \abs{f_1(x) - f_1(\xbar)}, \abs{f_2(x) - f_2(\xbar)} \leq \eps$ (per ogni $\eps > 0$, si prende $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$, ossia il minimo delle semilunghezze degli intorni di $\xbar$). Allora $\abs{f(x) - f(\xbar)} \leq @@ -217,6 +217,18 @@ Si conclude dunque che $\forall \eps > 0$, $\exists \delta > 0 \mid \abs{f(x) - f(\xbar)} \leq 2\eps$, e quindi, poiché $2\eps \tends{\eps \to 0} 0$, che $f$ è continua in $\xbar$. + + \item Dal momento che $f_1, f_2$ sono continue in $\xbar$, + $\forall \eps > 0$, $\exists \delta > 0$ tale che $\abs{x - \xbar} < \delta \implies \abs{f_1(x) - f_1(\xbar)} < \eps, \abs{f_2(x) + - f_2(\xbar)} < \eps$ (vale lo stesso ragionamento del punto + (i)). Allora $f_1(x) = f_1(\xbar) + e_1$ e + $f_2(x) = f_2(\xbar) + e_2$, con $\abs{e_1}, \abs{e_2} < \eps$. + Dunque $f_1(x)f_2(x) = f_1(\xbar)f_2(\xbar) + \underbrace{e_1 f_2(\xbar) + + e_2 f_1(\xbar) + e_1 e_2}_e$. In particolare, per la + disuguaglianza triangolare, $\abs{e} \leq \abs{e_1 f_2(\xbar)} + + \abs{e_2 f_1(\xbar)} + \abs{e_1 e_2} \leq \underbrace{\eps \abs{f_2(\xbar)} + + \eps \abs{f_1(\xbar)} + \eps^2}_{\eps'}$. Poiché $\eps' \tends{\eps \to 0^+} 0$, si conclude che $\abs{f_1(x) f_2(x) - f_1(\xbar) f_2(\xbar)} = \abs{e} \leq \eps' \implies f_1(x)f_2(x)$ continua + in $\xbar$. \end{enumerate} \end{proof} @@ -232,4 +244,79 @@ \end{enumerate} \end{proposition} + \begin{definition} + (intorno destro e sinistro) Se $\xbar \in \RR$, si dicono + \textbf{intorni destri} gli intervalli della forma $[\xbar, \xbar + \eps]$ con + $\eps > 0$. Analogamente, gli \textbf{intorni sinistri} sono gli + intervalli della forma $[\xbar - \eps, \xbar]$. + \end{definition} + + \begin{definition} + (punto di accumulazione destro e sinistro) Sia $\xbar \in X$. + Si dice che $\xbar$ è un \textbf{punto di accumulazione destro} + di $X$ se $\forall I$ intorno destro di $\xbar$, $I \cap X \setminus \{\xbar\} \neq \emptyset$. Analogamente si dice \textbf{punto di + accumulazione sinistro} di $X$ se è tale per gli intorni sinistri. + \end{definition} + + \begin{definition} + (limite destro e sinistro) Sia $\xbar$ un punto di accumulazione + destro di $X$. Allora $\lim_{x \to \xbar^+} f(x) = L \defiff \forall I$ + intorno di $L$, $\exists J$ intorno destro di $\xbar$ tale che + $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$. Analogamente si definisce + il limite sinistro. + \end{definition} + + \begin{definition} + (continuità destra e sinistra) Sia $\xbar \in X$. Allora $f$ è continua + a destra in $\xbar$ se e solo se $\forall I$ intorno di $f(\xbar)$, + $\exists J$ intorno destro di $\xbar$ tale che $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$. Analogamente si definisce la continuità + a sinistra di $f$. + \end{definition} + + %TODO: aggiungere osservazioni sulla continuità destra e sinistra. + + \begin{proposition} + Sia $f : X \to \RRbar$ monotona e sia $\xbar$ un punto di + accumulazione destro di $X$. Allora esiste $\lim_{x \to \xbar^+} f(x)$. + Analogamente esiste da sinistra se $\xbar$ è un punto di + accumulazione sinistro di $X$. + \end{proposition} + + %TODO: aggiungere funzione discontinua in ogni punto di R. + + %TODO: l'insieme dei punti di discontinuità per una funzione monotona è al più numerabile (hint: punto medio). + + \begin{theorem} (della permanenza del segno) + Data $(x_n) \subseteq \RR$ tale che $x_n \tendston L > 0$, allora + $(x_n)$ è positiva definitivamente. Analogamente, se $L < 0$, + $(x_n)$ è negativa definitivamente. + \end{theorem} + + \begin{proof} + \end{proof} + + \begin{theorem} (degli zeri) Dati $I = [a, b]$ e + $f : I \to \RRbar$ continua tale che $f(a) f(b) < 0$ (i.e.~sono discordi), allora $\exists c \in (a, b) \mid f(c) = 0$. + \end{theorem} + + \begin{proof} + Prendo $E$ insieme dei punti in cui la funzione è negativa e + dimostro che il $\sup$ di questo insieme è proprio $0$ (esiste + per la completezza di $\RR$ e mostro che $f(\xbar) = 0$). Mostro + quest'ultimo concetto facendo vedere che è sia positivo che + negativo dalle ipotesi (si può sempre approssimare l'estremo + superiore di $E$ con i suoi elementi). $\xbar$ si può approssimare + anche da destra (essendo il $\sup$ di $E$, deve valere che le + successioni da destra sono positive) + \end{proof} + + \begin{corollary} (dei valori intermedi) Dati $I = (a, b)]$ e + $f : I \to \RRbar$ continua, allora $y_1$, $y_2 \in f(I) \implies + [y_1, y_2] \subseteq f(I)$ (ossia $f$ assume tutti i valori + compresi tra $y_1$ e $y_2$). + \end{corollary} + + \begin{proof} + + \end{proof} \end{document} diff --git a/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.pdf b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.pdf deleted file mode 100644 index de0ac5d..0000000 Binary files a/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.pdf and /dev/null differ diff --git a/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Forma canonica di Jordan reale e prodotto scalare/main.pdf b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Forma canonica di Jordan reale e prodotto scalare/main.pdf index 5785c75..757db67 100644 Binary files a/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Forma canonica di Jordan reale e prodotto scalare/main.pdf and b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Forma canonica di Jordan reale e prodotto scalare/main.pdf differ diff --git a/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24/main.pdf b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..71abf31 Binary files /dev/null and b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24/main.pdf differ diff --git a/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24/main.tex b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24/main.tex new file mode 100644 index 0000000..3c5dedd --- /dev/null +++ b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24/main.tex @@ -0,0 +1,26 @@ +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage{personal_commands} +\usepackage[italian]{babel} + +\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}} +\author{Gabriel Antonio Videtta} +\date{24 marzo 2023} + +\begin{document} + + \maketitle + + \begin{center} + \Large \textbf{Es. 24/03/2023} + \end{center} + + %TODO: aggiungere matrice compagna di q(x) negli scorsi appunti di es. e calcolare polinomio minimo e caratteristico. + + %TODO: recuperare la lezione e approfondirla. + + \begin{remark} + Sia $k$ l'indice della decomposizione di Fitting su $f$. Allora + vale che $k = \mu_a(0)$ in $\varphi_f$. + \end{remark} + +\end{document} diff --git a/tex/latex/style/personal_commands.sty b/tex/latex/style/personal_commands.sty index 5713a60..e10befe 100644 --- a/tex/latex/style/personal_commands.sty +++ b/tex/latex/style/personal_commands.sty @@ -117,7 +117,7 @@ \let\endabstract\undefined \newtheorem*{abstract}{Abstract} -\newtheorem{corollary}{Corollario} +\newtheorem*{corollary}{Corollario} \newtheorem*{definition}{Definizione} \newtheorem*{example}{Esempio} \newtheorem{exercise}{Esercizio}