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gtd: aggiunge alcuni prerequisiti e alcune notazioni
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\renewcommand{\chaptername}{Parte}
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\addto\captionsitalian{\renewcommand{\chaptername}{Parte}}
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\title{\Huge{Schede riassuntive di \\ \textit{Geometria e topologia differenziale}}}
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\date{A.A. 2025-2026}
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\author{A cura di Gabriel Antonio Videtta\footnote{Basato su un layout di \underline{Luca Lombardo} e di \underline{Francesco Sorce}.} \\ \href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{\texttt{g.videtta1@studenti.unipi.it}} \\[0.3in] Testo basato sul contenuto del corso del prof. Lisca \\ tenutosi presso l'Università di Pisa.}
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\author{A cura di Gabriel Antonio Videtta\footnote{Basato su un layout di \underline{Luca Lombardo} e di \underline{Francesco Sorce}.} \\ \href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{\texttt{g.videtta1@studenti.unipi.it}} \\[0.3in] Testo basato sul contenuto del corso del prof.~Lisca \\ tenutosi presso l'Università di Pisa.}
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\begin{document}
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\maketitle
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@@ -1,26 +1,33 @@
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\usepackage[top=1.5cm,bottom=1.5cm,left=1.5cm,right=1.5cm]{geometry}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[italian]{babel}
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\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,amsthm,stmaryrd}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{stmaryrd}
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\usepackage{mathrsfs} % per mathscr
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\usepackage{graphicx}% ruota freccia per le azioni
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\usepackage{marvosym}% per il \Lightning
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\usepackage{graphicx} % ruota freccia per le azioni
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\usepackage{marvosym} % per il \Lightning
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\usepackage{array}
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\usepackage{faktor} % per gli insiemi quoziente
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\usepackage[colorlinks=false]{hyperref}
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\usepackage{xparse} % Per nuovi comandi con tanti input opzionali
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\usepackage{xparse} % per nuovi comandi con tanti input opzionali
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\usepackage{relsize} % per \mathlarger
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\usepackage{tikz-cd}
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\usepackage{multicol}
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\usepackage{multirow}
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\usepackage{cancel}
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\usepackage{fourier}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{soul}
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\usepackage{nicefrac}
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\usepackage{longtable}
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\usepackage{pdflscape}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{lmodern}
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\usepackage{accents}
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\renewcommand{\vec}[1]{{\underaccent{\bar}{{#1}}}}
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\newtheorem*{warn}{\warning \; Attenzione}
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@@ -36,8 +43,6 @@
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{\topsep}{\topsep}
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{\normalfont}{}{\itshape}{.}{\newline}{}
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\usepackage{fourier}
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\theoremstyle{customth}
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\newtheorem{theorem}{Teorema}[chapter]
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\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
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@@ -52,100 +57,57 @@
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\newtheorem{notation}[theorem]{Notazione}
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\newtheorem{example}[theorem]{Esempio}
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\DeclareMathOperator{\BinNeg}{BinNeg}
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\DeclareMathOperator{\Geom}{Geom}
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\DeclareMathOperator{\Poisson}{Poisson}
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||||
\makeatletter
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\renewenvironment{proof}[1][\proofname]{\par
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||||
\pushQED{\qed}%
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\normalfont \topsep6\p@\@plus6\p@\relax
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||||
\trivlist
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\item[\hskip\labelsep
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\itshape
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#1\@addpunct{.}]\mbox{}\\*
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||||
\itshape
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||||
#1\@addpunct{.}]\mbox{}\\*
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}{%
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\popQED\endtrivlist\@endpefalse
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}
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\makeatother
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||||
%============ Simboli standard =================
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\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
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\newcommand{\PP}{\mathcal{P}}
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\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
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||||
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\pp}{\text{p\hspace{-0.7em}\raisebox{-3.4pt}{--}}\,\,}
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\newcommand{\pbern}{\pp}
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||||
\newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}}
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\newcommand{\deq}{\overset{\mathrm{(d)}}{=}}
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||||
\newcommand{\toprob}{\overset{\mathbb{P}}{\to}}
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||||
\DeclareMathOperator{\VA}{VA}
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||||
\DeclareMathOperator{\im}{im}
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\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
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\DeclareMathOperator{\id}{id}
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\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
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\DeclareMathOperator{\shape}{S}
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\DeclareMathOperator{\Exp}{Exp}
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||||
\DeclareMathOperator{\CI}{CI}
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\newcommand{\eps}{\varepsilon}
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\renewcommand{\phi}{\varphi}
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||||
\newcommand{\der}[2]{\frac{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d} #1}{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d} #2}}
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||||
\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
|
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\newcommand*\dif{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d}}
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\newcommand{\dx}{\dif{x}}
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\newcommand{\dy}{\dif{y}}
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\newcommand{\dz}{\dif{z}}
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||||
\newcommand{\du}{\dif{u}}
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||||
\newcommand{\dv}{\dif{v}}
|
||||
\newcommand{\ds}{\dif{s}}
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||||
\newcommand{\dt}{\dif{t}}
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||||
\newcommand{\dP}{\dif{P}}
|
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\newcommand{\dm}{\dif{\mathrm{\ \!\!m}}}
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||||
%\setcounter{secnumdepth}{1}
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||||
\newcommand{\groupto}{\rightrightarrows}
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||||
\newcommand{\restr}[2]{
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||||
#1\arrowvert_{#2}
|
||||
#1\arrowvert_{#2}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\makeatletter
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||||
\def\moverlay{\mathpalette\mov@rlay}
|
||||
\def\mov@rlay#1#2{\leavevmode\vtop{%
|
||||
\baselineskip\z@skip \lineskiplimit-\maxdimen
|
||||
\ialign{\hfil$\m@th#1##$\hfil\cr#2\crcr}}}
|
||||
\newcommand{\charfusion}[3][\mathord]{
|
||||
#1{\ifx#1\mathop\vphantom{#2}\fi
|
||||
\mathpalette\mov@rlay{#2\cr#3}
|
||||
}
|
||||
\ifx#1\mathop\expandafter\displaylimits\fi}
|
||||
\makeatother
|
||||
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||||
\newcommand{\cupdot}{\charfusion[\mathbin]{\cup}{\cdot}}
|
||||
\newcommand{\bigcupdot}{\charfusion[\mathop]{\bigcup}{\cdot}}
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||||
\newcommand{\goesup}{\nearrow}
|
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\newcommand{\goesdown}{\searrow}
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\newcommand{\qc}{q.c.\ \!}
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\newcommand{\qo}{q.o.\ \!}
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\newcommand{\va}{v.a.\ \!}
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||||
\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
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\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}
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||||
\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
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\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}
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||||
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
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\newcommand{\inv}{^{-1}}
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||||
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
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\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
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\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
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%\ProvidesPackage{quiver}[2021/01/11 quiver]
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@@ -160,12 +122,12 @@
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% A TikZ style for curved arrows of a fixed height, due to AndréC.
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\tikzset{curve/.style={settings={#1},to path={(\tikztostart)
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||||
.. controls ($(\tikztostart)!\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
|
||||
and ($(\tikztostart)!1-\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
|
||||
.. (\tikztotarget)\tikztonodes}},
|
||||
settings/.code={\tikzset{quiver/.cd,#1}
|
||||
\def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/quiver/##1}}},
|
||||
quiver/.cd,pos/.initial=0.35,height/.initial=0}
|
||||
.. controls ($(\tikztostart)!\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
|
||||
and ($(\tikztostart)!1-\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
|
||||
.. (\tikztotarget)\tikztonodes}},
|
||||
settings/.code={\tikzset{quiver/.cd,#1}
|
||||
\def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/quiver/##1}}},
|
||||
quiver/.cd,pos/.initial=0.35,height/.initial=0}
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||||
% TikZ arrowhead/tail styles.
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\tikzset{tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{tikzcd to}}}
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+20
-3
@@ -4,10 +4,27 @@
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\setlength{\parindent}{2pt}
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\begin{multicols*}{2}
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||||
\section*{Analisi o quel che è}
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\addcontentsline{toc}{section}{Analisi o quel che è}
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||||
Impiegheremo caratteri latini ($x$, $y$, $z$) per indicare quantità reali;
|
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caratteri latini sottolineati ($\vec{x}$, $\vec{y}$, $\vec{z}$) per indicare
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||||
vettori o campi vettoriali; caratteri greci minuscoli ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) per indicare
|
||||
curve; e caratteri greci maiuscoli ($\Sigma$) per indicare superfici.
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||||
\section*{Analisi matematica}
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\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}
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\begin{itemize}
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\item uwu.
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\item $f_i$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$, la proiezione di $f$ sulla $i$-esima coordinata, ovverosia
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||||
$\pi_i \circ f : \RR^n \to \RR$.
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||||
\item $\der{f}{t}(x)$, $f'(x)$ -- derivata di una funzione $f : I \subseteq \RR \to \RR^n$. Nel caso $n > 1$, coincide con
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il vettore $({f_i}'(t))_i)$. La notazione può essere iterata per ottenere le derivate successive.
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||||
\item $\partial_{x_i} f(\vec{x})$, $\pd{f}{x_i}(\vec{x})$, $f_{x_i}(\vec{x})$ -- derivata parziale nella $i$-esima coordinata
|
||||
di una funzione $f : \RR^n \to \RR$ nel punto $\vec{x}$. La notazione può essere iterata per ottenere le
|
||||
derivate successive.
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||||
\item $\nabla f(\vec{x})$ -- gradiente di una funzione $f : \RR^n \to \RR$, ovverosia il vettore $(\partial_{x_i} f(\vec{x}))_i^\top$.
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||||
\item $J f(\vec{x})$ -- jacobiano di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$ nel punto $x$, ovverosia la matrice
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$(\partial_{x_j} f_i (\vec{x}))_{i, j} = (\nabla f_i(\vec{x}))_{i}$.
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||||
\item $J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^{m} \times \RR^{n} \to \RR^{n}$,
|
||||
la sottomatrice $n \times n$ quadrata di $J f(\vec{p})$ date dalle ultime $n$ colonne. Coincide
|
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con $J (\pi_{\RR^n} \circ f)(\vec{p})$.
|
||||
\end{itemize}
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||||
\end{multicols*}
|
||||
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||||
+53
-3
@@ -5,11 +5,61 @@
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||||
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||||
\begin{multicols*}{2}
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||||
\section*{Analisi matematica e teoria della misura}
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||||
\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica e teoria della misura}
|
||||
\section*{Analisi matematica}
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||||
\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}
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||||
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||||
\begin{itemize}
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\item $\text{uwu}^2$.
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\item \textbf{Teorema della funzione implicita} -- Sia $U$ un aperto di $\RR^m \times \RR^n$ e sia
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$f : U \to \RR^n$ una funzione di classe $C^k$ con $k \geq 1$. Sia $\vec{p} = (\vec{x_0}, \vec{y_0})$ un punto in $U$ con
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||||
$f(\vec{x_0}, \vec{y_0}) = \vec{a}$ e $J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ invertibile. \smallskip
|
||||
|
||||
Allora esiste un
|
||||
intorno $A = I_{\vec{x}} \times I_{\vec{y}}$ di $\vec{p}$ in $U$ all'interno del quale esiste un'unica
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||||
funzione $g : I_{\vec{x}} \to I_{\vec{y}}$ di classe $C^k$ per cui:
|
||||
\[ \vec{y} = g(\vec{x}) \iff f(\vec{x}, \vec{y}) = \vec{a}, \quad \text{(in $A$)}. \]
|
||||
Inoltre per tale $g$ vale:
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||||
\[ J g(\vec{x_0}) = - J_{\vec{y}} f(\vec{p})\inv J_{\vec{x}} f(\vec{p}). \]
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||||
\item \textbf{Teorema di invertibilità locale} -- Sia $U$ un aperto di $\RR^n$ e sia $f : U \to \RR^n$ una
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||||
funzione di classe $C^k$, con $k \geq 1$. Sia $\vec{x_0}$ un punto in $U$ con $J f(\vec{x_0})$ invertibile. \smallskip
|
||||
|
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Allora esiste un
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||||
intorno $A$ di $\vec{x_0}$ in $U$ dentro al quale $\restr{f}{A}$ ha un'inversa $g$, anch'essa di classe
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$C^k$, per la quale $J g(f(\vec{x})) = J f(\vec{x})\inv$.
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|
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\item \textbf{Teorema di esistenza e unicità globale per sistemi lineari} --
|
||||
Sia $I \subseteq \RR$ un intervallo aperto e siano date due funzioni continue:
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||||
\[ A : I \to \RR^{n \times n} \quad \text{e} \quad \vec{b} : I \to \RR^n. \]
|
||||
Fissato $(t_0, \vec{y_0}) \in I \times \RR^n$, esiste un'unica soluzione $\vec{y} : I \to \RR^n$
|
||||
del problema di Cauchy:
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||||
\[
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||||
\begin{cases}
|
||||
\vec{y}'(t) = A(t)\vec{y}(t) + \vec{b}(t), \\
|
||||
\vec{y}(t_0) = \vec{y_0}.
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item \textbf{Teorema di Cauchy-Lipschitz per l'esistenza e l'unicità locale} --
|
||||
Sia $\Omega$ un aperto di $\RR \times \RR^n$ e sia $\vec{f} : \Omega \to \RR^n$ una funzione continua.
|
||||
Si supponga inoltre che $\vec{f}$ sia \emph{localmente lipschitziana} rispetto alla seconda variabile. \smallskip
|
||||
|
||||
Allora, per ogni $(t_0, \vec{y_0}) \in \Omega$, esistono $\delta > 0$ e un'unica funzione
|
||||
$\vec{y} : (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \to \RR^n$ di classe $C^1$ che risolve il problema di Cauchy:
|
||||
\[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\vec{y}'(t) = \vec{f}(t, \vec{y}(t)) \\
|
||||
\vec{y}(t_0) = \vec{y_0}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item \textbf{Teorema di dipendenza liscia dai dati iniziali} --
|
||||
Sia $\Omega$ un aperto di $\RR \times \RR^n$ e sia $\vec{f} : \Omega \to \RR^n$ una funzione di classe
|
||||
$C^k$ con $k \geq 1$. Indichiamo con $\Phi(t, t_0, \vec{y_0})$ la soluzione massimale del
|
||||
problema di Cauchy con dato iniziale $\vec{y}(t_0) = \vec{y_0}$. \smallskip
|
||||
|
||||
Allora l'insieme di definizione del flusso:
|
||||
\[ \mathcal{D} = \big\{ (t, t_0, \vec{y_0}) \in \RR \times \Omega : \text{la soluzione esiste al tempo } t \big\} \]
|
||||
è un aperto di $\RR \times \Omega$ e l'applicazione $\Phi : \mathcal{D} \to \RR^n$ è di classe $C^k$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\end{multicols*}
|
||||
Reference in New Issue
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