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@ -996,4 +996,247 @@
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$N_\alpha(P)$ perpendicolare a $T_P \Sigma$, ossia parallelo
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a $\vec{n}$. Il viceversa è analogo.
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\end{proof}
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\section{Integrazione e teorema di Gauss-Bonnet}
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\subsection{Prime definizioni}
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\begin{definition}[Curva chiusa]
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Una curva (non necessariamente liscia) $\alpha : [a, b] \to \Sigma$ si dice
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\textbf{chiusa} se $\alpha(a) = \alpha(b)$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Curva semplice]
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Una curva (non necessariamente liscia) $\alpha : [a, b] \to \Sigma$ si dice
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\textbf{semplice} se $\alpha(t) = \alpha(t')$ può avvenire solo
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sugli estremi $a$, $b$, ovverosia non è autointersecante.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Curva regolare a tratti]
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Una curva (non necessariamente liscia) $\alpha : [a, b] \to \Sigma$ si dice
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\textbf{regolare a tratti} se esiste una partizione $a = t_0 < t_1 < \cdots < t_\ell = b$
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di $[a, b]$ tale per cui $\restr{\alpha}{[t_i, t_{i+1}]}$ è regolare per ogni
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$i < \ell$.
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\end{definition}
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\subsection{Regione di una superficie e area}
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\begin{definition}[Regione]
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Un sottinsieme $R$ di una superficie $\Sigma$ si dice \textbf{regione} se
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è un chiuso nella topologia di $\Sigma$, il cui bordo è traccia di una
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curva semplice, chiusa e regolare a tratti.
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\end{definition}
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\begin{remark} \label{rmk:invarianza_area}
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Dal sistema trovato nella dimostrazione della Proposizione \ref{prop:stesso_piano_tangente_param_regolari}
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segue $\vec{x_s} \times \vec{x_t} = \det(J f_{\vec{x}, \vec{y}}) (\vec{y_u} \times \vec{y_v})$.
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Da ciò segue facilmente tramite un cambio di variabili che:
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\[
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\iint_{\vec{x}\inv(R)} \norm{\vec{x_s} \times \vec{x_t}} \ds \dt = \iint_{\vec{y}\inv(R)} \norm{\vec{y_u} \times \vec{y_v}} \du \dv.
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\]
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\end{remark}
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\begin{definition}[Area di una regione]
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Sia $R$ una regione di $\Sigma$ contenuta dentro l'immagine
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di una parametrizzazione $\vec{x}$. Si definisce allora la sua \textbf{area}
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come:
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\[
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\boxed{A(R) \defeq \iint_{\vec{x}\inv(R)} \norm{\vec{x_u} \times \vec{x_v}} \du \dv,}
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\]
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che, per l'Osservazione \ref{rmk:invarianza_area}, è invariante al cambio
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di parametrizzazione.
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\end{definition}
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\begin{proposition}[Formula per $\norm{\vec{x_u} \times \vec{x_v}}$]
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Per ogni coppia di vettori $v$, $w$ vale la seguente relazione:
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\[
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\norm{v \times w}^2 + \norm{v \cdot w}^2 = \norm{v}^2 \norm{w}^2.
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\]
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Applicando questa identità a $\vec{x_u}$ e $\vec{x_v}$, si ottiene
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la seguente formula (relativa a $\vec{x}$):
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\[
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\boxed{\norm{\vec{x_u} \times \vec{x_v}} = \sqrt{EG - F^2}.}
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\]
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\end{proposition}
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\subsection{Integrazione rispetto a una regione}
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\begin{definition}[Integrazione rispetto all'area]
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Se $\varphi : \Sigma \to \RR$ è una funzione liscia, si
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definisce il suo integrale rispetto a una regione $R$ di $\Sigma$
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come segue:
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\[
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\boxed{\int_R \varphi \dA \defeq \iint_{\vec{x}\inv(R)} (\varphi \circ \vec{x}) \, \norm{\vec{x_u} \times \vec{x_v}} \du \dv.}
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\]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Ponendo $\varphi \equiv 1$, si ottiene:
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\[
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\int_R \dA = A(R).
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\]
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\end{remark}
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\subsection{Angoli esterni, teorema di Gauss-Bonnet locale e corollario}
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\begin{definition}[Angoli esterni]
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|
Sia $R$ una regione di una superficie $\Sigma$. Se $\alpha$ ne
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|
parametrizza il bordo, ed è regolare a tratti con tempi
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di non regolarità $t_1$, $t_2$, ..., $t_n$ si definiscono
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|
gli \textbf{angoli esterni} di $R$ come:
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\[
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\boxed{\eps_i \defeq \theta(\alpha_+'(t_i), \alpha_-'(t_{i+1})),}
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|
|
\]
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|
|
dove $\alpha_+$ e $\alpha_-$ indicano rispettivamente la
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|
derivata sinistra e quella destra.
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\end{definition}
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\begin{theorem}[Gauss-Bonnet locale] \label{thm:GBL}
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Sia $R \subseteq \vec{x}(U) \subseteq \Sigma$ una regione
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\underline{semplicemente connessa} con angoli esterni
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$\eps_1$, ..., $\eps_n$. Allora vale la seguente identità:
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\begin{equation*} \tag{GBL} \label{eq:GBL}
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\boxed{\int_{\partial R} \kappa_g \ds + \int_R \kappa \dA + \sum_{i=1}^n \eps_i = 2\pi.}
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\end{equation*}
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\end{theorem}
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\begin{definition}[Angoli interni]
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|
Sia $R$ una regione di una superficie $\Sigma$. Se $\alpha$ ne
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|
parametrizza il bordo, ed è regolare a tratti con tempi
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|
di non regolarità $t_1$, $t_2$, ..., $t_n$ si definiscono
|
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|
|
gli \textbf{angoli interni} di $R$ come:
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\[
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|
\boxed{\iota_i \defeq \pi - \eps_i,}
|
|
|
|
|
\]
|
|
|
|
|
dove $\alpha_+$ e $\alpha_-$ indicano rispettivamente la
|
|
|
|
|
derivata sinistra e quella destra.
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|
\end{definition}
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\begin{corollary} \label{cor:angoli_triangolo}
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Sia $T \subseteq \vec{x}(U) \subseteq \Sigma$ una triangolo
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su $\Sigma$, ovverosia una regione con tre punti non regolari sul
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bordo, collegati tramite geodetiche. Allora vale:
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\[
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\boxed{\int_R \kappa \dA = \iota_1 + \iota_2 + \iota_3 - \pi.}
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\]
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|
\end{corollary}
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\begin{proof}
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Segue immediatamente dalla definizione di angolo interno e dal Teorema di Gauss-Bonnet locale (\ref{thm:GBL}), dacché
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$\kappa_g \equiv 0$ lungo le geodetiche.
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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In un piano, la somma degli angoli interni di un triangolo
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è esattamente $\pi$. Sulla sfera, invece è strettamente maggiore
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di $\pi$. Su una sella è invece strettamente minore.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Segue immediatamente dal Corollario \ref{cor:angoli_triangolo}, visto
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che su un piano si ha $\kappa \equiv 0$, su una sfera $\kappa > 0$ e
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su una sella $\kappa < 0$.
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\end{proof}
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\subsection{Superfici orientate con bordo e triangolarizzazione}
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\begin{definition}[Superficie orientata con bordo]
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Si dice che $\Sigma$ è una \textbf{superficie orientata con bordo} (eventualmente
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sconnesso) se:
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\[
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\Sigma = \overline{\hat{\Sigma} \setminus \left( \bigcup_{i=1}^n R_i \right)},
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\]
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|
dove $\hat{\Sigma}$ è una superficie orientata, compatta con $\partial \hat{\Sigma} = \emptyset$,
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|
e le $R_i$ sono regioni di $\hat{\Sigma}$. \smallskip
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In tal caso si pone:
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\[
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\boxed{\partial \Sigma \defeq \bigcup_{i=1}^n \partial R_i,}
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\]
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|
mentre i suoi angoli interni/esterni diventano quelli delle singoli regioni.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Triangolarizzazione]
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Una \textbf{triangolarizzazione} di una superficie $\Sigma$ è una famiglia
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$\{ \Delta_\lambda \}_{\lambda=1}^n$ di insiemi tali per cui valgono
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le seguenti proprietà:
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\begin{itemize}
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\item $\Sigma = \bigcup_{\lambda=1}^n \Delta_\lambda$,
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\item $\Delta_\lambda$ è l'immagine di un triangolo euclideo tramite una
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parametrizzazione regolare compatibile con l'orientazione
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di $\Sigma$.
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\item Se $\lambda \neq \mu$, allora $\Delta_\lambda \cap \Delta_\mu$ può essere
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vuoto, un lato comune e un singolo vertice.
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|
\item Se $\Delta_\lambda$ e $\Delta_\mu$ hanno in comune un lato, allora lo percorrono con
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orientazioni opposte.
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\item $\Delta_\lambda \cap \partial \Sigma$ può essere vuoto, un lato o un vertice.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\subsection{Teorema di Radó e caratteristica di Eulero}
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\begin{theorem}[Radó] \label{thm:rado}
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Ogni superficie orientata con bordo ammette una triangolarizzazione.
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\end{theorem}
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\begin{definition}[Caratteristica di Eulero]
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Sia $\tau = \{ \Delta_\lambda \}_{\lambda=1}^n$ una triangolarizzazione di
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una superficie orientata con bordo. Allora si definisce la sua
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\textbf{caratteristica di Eulero} come:
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\[
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\boxed{\chi(\Sigma) \defeq V - L + T,}
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\]
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dove $V$ è il numero di vertici di $\tau$, $L$ è il numero di lati e
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$T$ è il numero di triangoli.
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\end{definition}
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\begin{fact}
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La caratteristica di Eulero \underline{non} dipende dalla
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triangolarizzazione scelta.
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\end{fact}
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\subsection{Teorema di Gauss-Bonnet globale e classificazione delle superfici chiuse, orientabili e connesse}
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\begin{theorem}[Gauss-Bonnet globale] \label{thm:GBG}
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Sia $\Sigma$ una superficie orientata con bordo con angoli esterni $\{\eps_i\}_i$. Allora vale
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la seguente identità:
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\begin{equation} \label{eq:GBG} \tag{GBG}
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\boxed{\int_{\partial \Sigma} \kappa_g \ds + \int_\Sigma \kappa \dA + \sum_i \eps_i = 2\pi \chi(\Sigma).}
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\end{equation}
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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|
La dimostrazione segue i prossimi due punti:
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|
\begin{enumerate}
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\item Si sceglie una triangolarizzazione di $\Sigma$ grazie al Teorema di Radó (\ref{thm:rado}) e si applica il Teorema di Gauss-Bonnet locale
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(\ref{thm:GBL}) ad ogni triangolo.
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|
\item Si sommano le varie identità date da \eqref{eq:GBL}. In questo modo i bordi interni si semplificano
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(sono lati in comune tra due triangoli, quindi percorsi in sensi opposti), ottenendo
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$\int_{\partial \Sigma} \kappa_g \ds$. Allora stesso modo gli angoli interni della triangolarizzazione si sommano
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a $2\pi (L - V)$, mentre i $2\pi$ si sommano a $T$.
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|
\end{enumerate}
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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Se $\Sigma$ è una superficie orientata compatta con $\partial \Sigma = \emptyset$, allora:
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\[
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\boxed{\int_\Sigma \kappa \dA = 2\pi \chi(\Sigma).}
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\]
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|
\end{corollary}
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\begin{definition}[Superficie chiusa]
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Una superficie $\Sigma$ si dice \textbf{chiusa} se è
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compatta e $\partial \Sigma = \emptyset$.
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|
\end{definition}
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|
\begin{theorem}[classificazione delle superfici chiuse, orientabili e connesse]
|
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A meno di omeomorfismo, le superfici chiuse, orientabili e connesse
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sono le \underline{superfici di genere}, tali per cui $\chi(\Sigma_g) = 2-2g$.
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|
\end{theorem}
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\begin{corollary}
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Sia $\Sigma$ una superficie chiusa e orientabile \underline{non}
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omeomorfa alla sfera. Allora su $\Sigma$ esistono sia punti ellittici,
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che iperbolici, che parabolici.
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|
\end{corollary}
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|
\end{multicols*}
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