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@ -2194,6 +2194,129 @@
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Segue immediatamente dal Lemma \ref{lem:grado_zk}.
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\end{proof}
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\subsection{Lemma di Hopf}
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\subsection{Lemma di Hopf e teorema fondamentale dell'algebra}
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\begin{lemma}[di Hopf] \label{lem:hopf}
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Sia $X \subseteq \RR^m$ una $m$-varietà compatta con bordo. Sia
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$v : X \to \RR^m$ un campo vettoriale con zeri isolati e $\restr{v}{\partial X}$
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mai nullo. \smallskip
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Allora:
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\[
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\boxed{\sum_{z \in v\inv(0)} \ind(v, z) = \deg\left(\bigrestr{\frac{v}{\norm{v}}}{\partial X} : \partial X \to S^{m-1} \right).}
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\]
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Poiché gli zeri di $v$ sono isolati, possiamo togliere a $X$ una famiglia di dischi disgiunti $\{B_{\eps_i}(z_i)\}$ contenenti tali zeri.
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Allora, poiché tali dischi sono interni, l'orientazione indotta su $\partial W$ sarà:
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\[
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\partial W = \partial X \cup \bigsqcup_i -\partial B_{\eps_i}(z_i).
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\]
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Quindi, rispettando le orientazioni si ottiene:
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\begin{multline*}
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\deg\left(\bigrestr{\frac{v}{\norm{v}}}{\partial W} : \partial W \to S^{m-1} \right) = \\
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\deg\left(\bigrestr{\frac{v}{\norm{v}}}{\partial X} : \partial X \to S^{m-1} \right) - \sum_{z \in v\inv(0)} \ind(v, z).
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\end{multline*}
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Tuttavia, poiché $\bigrestr{\frac{v}{\norm{v}}}{\partial W}$ è la restrizione di $\frac{v}{\norm{v}} : W \to S^{m-1}$ sul bordo, per il Lemma
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\ref{lem:grado_mappa_estendibile}, si ha anche:
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\[
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\deg\left(\bigrestr{\frac{v}{\norm{v}}}{\partial W} : \partial W \to S^{m-1} \right) = 0,
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\]
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da cui segue immediatamente la tesi.
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\end{proof}
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\begin{theorem}[fondamentale dell'algebra]
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Sia $p(z) \in \CC[z]$ con $\deg(p) = n$. Allora:
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\[
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\boxed{\deg(p) = \sum_{z_0 \in p\inv(0)} \mult(p, z_0),}
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\]
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dove $\mult$ indica la molteplicità algebrica di uno zero in un polinomio.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Dal momento che $p(x)$ non può avere più di $n$ zeri, questi sono sicuramente
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isolati e possiamo prendere inoltre una palla $B_r(0) \subseteq \CC$ con
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$p\inv(0) \subseteq B_r(0)$. Possiamo allora applicare il Lemma \ref{lem:hopf}
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su $p : \overline{B_r(0)} \to \CC$ e ottenere:
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\[
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\deg\left(\frac{p}{\norm{p}} : \partial B_r(0) \to S^1 \right) = \sum_{z_0 \in p\inv(0)} \ind(p, z_0).
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\]
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Mostriamo che il termine a sinistra coincide con $\deg(p)$ (1), e che $\ind(p, z_0)$ coincide
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con $\mult(p, z_0)$ (2), ottenendo infine la tesi.
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\begin{enumerate}[(1)]
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\item Supponiamo che $\deg(p)$ sia $n$ e che $p(z)$ sia dunque della seguente forma:
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\[
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p(z) = a_n z^n + \underbrace{a_{n-1} z^{n-1} + \ldots + a_0}_{\mathclap{g(z)}},
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\]
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dove $g(z) \defeq p(z) - a_n z^n$. \smallskip
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Osserviamo che:
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\begin{equation} \tag{*}
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\lim_{\abs{z} \to \infty} \abs{\frac{g(z)}{z^n}} = 0.
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\end{equation}
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Una volta posto $p_t(z) = a_n z^n + t g(z)$, si ottiene:
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\[
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\abs{\frac{p_t(z)}{z^n}} \geq \abs{a_n} - t \abs{\frac{g(z)}{z^n}}.
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\]
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Allora, per (*), possiamo scegliere $r$ sufficientemente grande in modo tale che si verifichi sempre:
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\[
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\abs{\frac{p_t(z)}{z^n}} > 0, \quad z \in \partial B_r(0).
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\]
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In particolare, $p_t(z)$ non si annulla su $\partial B_r(0)$. Possiamo
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allora considerare l'omotopia indotta da $\frac{p_t(z)}{\abs{p_t(z)}}$. Osserviamo che
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$p_0(z) = a_n z^n$ e che $p_1(z) = p(z)$. Per il Teorema
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\ref{thm:fondamentale_grado_intero}, si ha allora:
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\[
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\begin{split}
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\deg\left( \frac{p(z)}{\abs{p(z)}} : \partial B_r(0) \to S^1 \right) = \hspace{2cm} \\
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\hspace{2cm} \deg\left( \frac{a_n}{\abs{a_n}} \frac{z^n}{\abs{z^n}} : \partial B_r(0) \to S^1 \right),
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\end{split}
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\]
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a cui, applicando il Lemma \ref{lem:grado_zk} e il fatto secondo cui la moltiplicazione per una costante di
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fase è isotopa all'identità (vd. dimostrazione del Lemma \ref{lem:grado_zk}), si ottiene facilmente che:
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\[
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\deg\left( \frac{p(z)}{\abs{p(z)}} : \partial B_r(0) \to S^1 \right) = n = \deg(p).
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\]
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\item Sia $z_0$ uno zero di $p(z)$. Allora $p(z)$ si scrive come:
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\[
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p(z) = (z - z_0)^\ell q(z),
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\]
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per un qualche polinomio $q(z) \in \CC[z]$, dove $\ell = \mult(p, z_0)$. Entro
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una certa palla di raggio $\eps$ centrata in $z_0$, $q(z)$ non ha alcuno zero. Se
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consideriamo la mappa $f : S^1 \to \partial B_{z_0}(\eps)$ tale per cui
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$f(z) = z_0 + \eps z$, che preserva l'orientazione, allora si ha:
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\[
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\ind(p, z_0) = \deg\left(\frac{p \circ f}{\norm{p \circ f}} : \partial S^1 \to S^1 \right).
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\]
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Osserviamo che:
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\[
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\frac{p \circ f}{\norm{p \circ f}}\big(z\big) = \frac{z^\ell q(z_0 + \eps z)}{\abs{q(z_0 + \eps z)}}.
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\]
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Possiamo definire un'omotopia $H : S^1 \times [0, 1] \to S^1$ tale per cui:
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\[
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H_t(z) = \frac{z^\ell q(z_0 + t \eps z)}{\abs{q(z_0 + t \eps z)}},
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\]
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che porta $z^\ell \frac{q(z_0)}{\abs{q(z_0)}}$ in $\frac{p \circ f}{\norm{p \circ f}}$. Quindi,
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per il Teorema \ref{thm:fondamentale_grado_intero}, si ha:
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\[
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\begin{split}
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\deg\left(z^\ell \frac{q(z_0)}{\abs{q(z_0)}} : S^1 \to S^1\right) = \hspace{2cm} \\
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\hspace{2cm} \deg\left(\frac{p \circ f}{\norm{p \circ f}} : \partial S^1 \to S^1 \right).
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\end{split}
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\]
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Come visto nella dimostrazione del Lemma \ref{lem:grado_zk}, la moltiplicazione per elemento di $S^1$ è isotopa all'identità, e dunque:
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\[
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\deg\left(z^\ell \frac{q(z_0)}{\abs{q(z_0)}} : S^1 \to S^1\right) = \deg(z^\ell : S^1 \to S^1) = \ell,
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\]
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da cui segue, combinando i pezzi, che:
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\[
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\ind(p, z_0) = \ell.
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\]
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\subsection{Teorema di Poincaré-Hopf}
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\end{multicols*}
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