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gtd(scheda): lemma di Hopf e teorema fondamentale dell'algebra

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\newcommand{\TT}{\mathbb{T}}
\DeclareMathOperator{\ind}{ind}
\DeclareMathOperator{\mult}{mult}
\newcommand{\I}{\mathrm{I}}
\newcommand{\II}{\mathrm{II}}
Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/sections/4-varieta-e-teoria-del-grado.tex
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Segue immediatamente dal Lemma \ref{lem:grado_zk}.
\end{proof}
\subsection{Lemma di Hopf}
\subsection{Lemma di Hopf e teorema fondamentale dell'algebra}
\begin{lemma}[di Hopf] \label{lem:hopf}
Sia $X \subseteq \RR^m$ una $m$-varietà compatta con bordo. Sia
$v : X \to \RR^m$ un campo vettoriale con zeri isolati e $\restr{v}{\partial X}$
mai nullo. \smallskip
Allora:
\[
\boxed{\sum_{z \in v\inv(0)} \ind(v, z) = \deg\left(\bigrestr{\frac{v}{\norm{v}}}{\partial X} : \partial X \to S^{m-1} \right).}
\]
\end{lemma}
\begin{proof}
Poiché gli zeri di $v$ sono isolati, possiamo togliere a $X$ una famiglia di dischi disgiunti $\{B_{\eps_i}(z_i)\}$ contenenti tali zeri.
Allora, poiché tali dischi sono interni, l'orientazione indotta su $\partial W$ sarà:
\[
\partial W = \partial X \cup \bigsqcup_i -\partial B_{\eps_i}(z_i).
\]
Quindi, rispettando le orientazioni si ottiene:
\begin{multline*}
\deg\left(\bigrestr{\frac{v}{\norm{v}}}{\partial W} : \partial W \to S^{m-1} \right) = \\
\deg\left(\bigrestr{\frac{v}{\norm{v}}}{\partial X} : \partial X \to S^{m-1} \right) - \sum_{z \in v\inv(0)} \ind(v, z).
\end{multline*}
Tuttavia, poiché $\bigrestr{\frac{v}{\norm{v}}}{\partial W}$ è la restrizione di $\frac{v}{\norm{v}} : W \to S^{m-1}$ sul bordo, per il Lemma
\ref{lem:grado_mappa_estendibile}, si ha anche:
\[
\deg\left(\bigrestr{\frac{v}{\norm{v}}}{\partial W} : \partial W \to S^{m-1} \right) = 0,
\]
da cui segue immediatamente la tesi.
\end{proof}
\begin{theorem}[fondamentale dell'algebra]
Sia $p(z) \in \CC[z]$ con $\deg(p) = n$. Allora:
\[
\boxed{\deg(p) = \sum_{z_0 \in p\inv(0)} \mult(p, z_0),}
\]
dove $\mult$ indica la molteplicità algebrica di uno zero in un polinomio.
\end{theorem}
\begin{proof}
Dal momento che $p(x)$ non può avere più di $n$ zeri, questi sono sicuramente
isolati e possiamo prendere inoltre una palla $B_r(0) \subseteq \CC$ con
$p\inv(0) \subseteq B_r(0)$. Possiamo allora applicare il Lemma \ref{lem:hopf}
su $p : \overline{B_r(0)} \to \CC$ e ottenere:
\[
\deg\left(\frac{p}{\norm{p}} : \partial B_r(0) \to S^1 \right) = \sum_{z_0 \in p\inv(0)} \ind(p, z_0).
\]
Mostriamo che il termine a sinistra coincide con $\deg(p)$ (1), e che $\ind(p, z_0)$ coincide
con $\mult(p, z_0)$ (2), ottenendo infine la tesi.
\begin{enumerate}[(1)]
\item Supponiamo che $\deg(p)$ sia $n$ e che $p(z)$ sia dunque della seguente forma:
\[
p(z) = a_n z^n + \underbrace{a_{n-1} z^{n-1} + \ldots + a_0}_{\mathclap{g(z)}},
\]
dove $g(z) \defeq p(z) - a_n z^n$. \smallskip
Osserviamo che:
\begin{equation} \tag{*}
\lim_{\abs{z} \to \infty} \abs{\frac{g(z)}{z^n}} = 0.
\end{equation}
Una volta posto $p_t(z) = a_n z^n + t g(z)$, si ottiene:
\[
\abs{\frac{p_t(z)}{z^n}} \geq \abs{a_n} - t \abs{\frac{g(z)}{z^n}}.
\]
Allora, per (*), possiamo scegliere $r$ sufficientemente grande in modo tale che si verifichi sempre:
\[
\abs{\frac{p_t(z)}{z^n}} > 0, \quad z \in \partial B_r(0).
\]
In particolare, $p_t(z)$ non si annulla su $\partial B_r(0)$. Possiamo
allora considerare l'omotopia indotta da $\frac{p_t(z)}{\abs{p_t(z)}}$. Osserviamo che
$p_0(z) = a_n z^n$ e che $p_1(z) = p(z)$. Per il Teorema
\ref{thm:fondamentale_grado_intero}, si ha allora:
\[
\begin{split}
\deg\left( \frac{p(z)}{\abs{p(z)}} : \partial B_r(0) \to S^1 \right) = \hspace{2cm} \\
\hspace{2cm} \deg\left( \frac{a_n}{\abs{a_n}} \frac{z^n}{\abs{z^n}} : \partial B_r(0) \to S^1 \right),
\end{split}
\]
a cui, applicando il Lemma \ref{lem:grado_zk} e il fatto secondo cui la moltiplicazione per una costante di
fase è isotopa all'identità (vd. dimostrazione del Lemma \ref{lem:grado_zk}), si ottiene facilmente che:
\[
\deg\left( \frac{p(z)}{\abs{p(z)}} : \partial B_r(0) \to S^1 \right) = n = \deg(p).
\]
\item Sia $z_0$ uno zero di $p(z)$. Allora $p(z)$ si scrive come:
\[
p(z) = (z - z_0)^\ell q(z),
\]
per un qualche polinomio $q(z) \in \CC[z]$, dove $\ell = \mult(p, z_0)$. Entro
una certa palla di raggio $\eps$ centrata in $z_0$, $q(z)$ non ha alcuno zero. Se
consideriamo la mappa $f : S^1 \to \partial B_{z_0}(\eps)$ tale per cui
$f(z) = z_0 + \eps z$, che preserva l'orientazione, allora si ha:
\[
\ind(p, z_0) = \deg\left(\frac{p \circ f}{\norm{p \circ f}} : \partial S^1 \to S^1 \right).
\]
Osserviamo che:
\[
\frac{p \circ f}{\norm{p \circ f}}\big(z\big) = \frac{z^\ell q(z_0 + \eps z)}{\abs{q(z_0 + \eps z)}}.
\]
Possiamo definire un'omotopia $H : S^1 \times [0, 1] \to S^1$ tale per cui:
\[
H_t(z) = \frac{z^\ell q(z_0 + t \eps z)}{\abs{q(z_0 + t \eps z)}},
\]
che porta $z^\ell \frac{q(z_0)}{\abs{q(z_0)}}$ in $\frac{p \circ f}{\norm{p \circ f}}$. Quindi,
per il Teorema \ref{thm:fondamentale_grado_intero}, si ha:
\[
\begin{split}
\deg\left(z^\ell \frac{q(z_0)}{\abs{q(z_0)}} : S^1 \to S^1\right) = \hspace{2cm} \\
\hspace{2cm} \deg\left(\frac{p \circ f}{\norm{p \circ f}} : \partial S^1 \to S^1 \right).
\end{split}
\]
Come visto nella dimostrazione del Lemma \ref{lem:grado_zk}, la moltiplicazione per elemento di $S^1$ è isotopa all'identità, e dunque:
\[
\deg\left(z^\ell \frac{q(z_0)}{\abs{q(z_0)}} : S^1 \to S^1\right) = \deg(z^\ell : S^1 \to S^1) = \ell,
\]
da cui segue, combinando i pezzi, che:
\[
\ind(p, z_0) = \ell.
\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\subsection{Teorema di Poincaré-Hopf}
\end{multicols*}