dove si è usato che $g$ è invariante per cambiamento del punto d'origine $O$. Pertanto,
in questo caso, passando alle coordinate, vale che:
@ -128,7 +128,22 @@
\vskip 0.05in
formano un sottogruppo di $(M(n+1, \KK), \cdot)$ canonicamente isomorfo a $A(\AnK)$.
formano un sottogruppo di $(M(n+1, \KK), \cdot)$ canonicamente isomorfo a $A(\AnK)$. In particolare si osserva che un'affinità dipende
da esattamente $n^2+ n$, dove $n^2$ sono i parametri su cui
si basa $A$, e $n$ sono i parametri su cui si basa $\vec b$. \\
Se $D \subseteq E$ è un sottospazio affine di $E$, l'insieme
$T =\{ f \in A(E)\mid f(D)= D \}$ forma un sottogruppo di $(A(E), \circ)$. In particolare, se $\dim D = k$, un'affinità di $T$
dipende da esattamente $(k+1)k +(n-k)n$ parametri. \\
Infatti in tal caso, scegliendo una base opportuna di $D_0$, estesa
poi a base di $E_0$, e riferendosi ad un'origine di $D$,
$A$ conterrà un blocco $k^2$ relativo alle immagini della base
di $D$ ed un blocco $(n-k)n$ relativo alle immagini degli altri
vettori, non appartenenti a $D$. Inoltre dovranno essere scelti
i parametri riguardanti il vettore $\vec b$, che, essendo stato
scelto come riferimento un punto d'origine appartenente a $D$,
richiederà la scelta di $k$ parametri.
\end{remark}
\hr
@ -164,4 +179,54 @@
esistervi obbligatoriamente un vettore non nullo. In particolare, se esiste un'intersezione tra $T_i$
e un elemento di $\PP^n(\KK)$, questa è unica.
\end{remark}
\hr
\begin{theorem}
Sia $E$ uno spazio affine sullo spazio $V$ di dimensione $n$. Allora
valgono i seguenti due risultati.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Se $f \in A(E)$ e i punti $P_1$, ..., $P_k$ sono affinemente
indipendenti, allora anche i punti $f(P_1)$, ..., $f(P_k)$ sono
affinemente indipendenti.
\item Se i punti $P_1$, ..., $P_{n+1}$ sono affinemente indipendenti, e lo sono anche i punti $Q_1$, ..., $Q_{n+1}$,
allora esiste un'unica affinità
$f \in A(E)$ tale che $f(P_i)= Q_i$$\forall1\leq i \leq n+1$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
Si dimostrano i due risultati separatamente.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Poiché $f \in A(E)$, allora $g \in\GL(V)$, ed è
dunque invertibile. Si considerino i vettori $f(P_i)- f(P_1)= g(P_i - P_1)$
con $2\leq i \leq k$. Dal momento che è invertibile,
$g$ mappa vettori linearmente indipendenti a vettori
ancora linearmente indipendenti.
Allora, poiché i punti
$P_1$, ..., $P_k$ sono affinemente indipendenti, i
vettori $P_i - P_1$ sono linearmente indipendenti per
$2\leq i \leq k$. Pertanto anche i vettori $g(P_i - P_1)= f(P_i)- f(P_1)$ con $2\leq i \leq k$ sono linearmente indipendenti, da cui si conclude che i punti $f(P_1)$, ...,
$f(P_k)$ sono affinemente indipendenti.
\item Dal momento che i punti $P_1$, ..., $P_{n+1}$ sono
affinemente indipendenti, allora i vettori $P_i - P_1$ con
$2\leq i \leq n+1$ sono linearmente indipendenti, e formano
dunque una base di $V$, essendo tanti quanti la dimensione
di $V$. Analogamente anche i vettori $Q_i - Q_1$ con $2\leq i \leq n+1$ formano una base di $V$.
In particolare esiste una sola applicazione lineare $g$ che
associa a $P_i - P_1$ il vettore $Q_i - Q_1$, con $2\leq i \leq n+1$. Dacché le immagini formano una base di $V$, $g$ è suriettiva,
e dunque, poiché $g \in\End(V)$, $g$ è anche invertibile.
Un'affinità $f \in A(E)$ tale che $f(P_i)= Q_i$ con $1\leq i \leq n+1$ è per esempio $f(P)= Q_1+ g(P - P_1)$. \\
Si mostra che tale $f$ è anche unica. Se esistesse $f' \in A(E)$
con le stesse proprietà di $f$, varrebbe che $Q_i - Q_1= f'(P_i)- f'(P_1)= g'(P_i - P_1)$$\forall2\leq i \leq n+1$. Tuttavia
una $g'$ tale che mappi $P_i - P_1$ a $Q_i - P_1$$\forall2\leq i \leq n+1$ è unica, e quindi $g' = g$. Allora $f'(P)= Q_1+ g(P - P_1)= f(P)$$\forall P \in E$$\implies f' = f$.
