diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/10. Il gruppo delle permutazioni/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/10. Il gruppo delle permutazioni/main.pdf index 0f978cd..1930845 100644 Binary files a/Secondo anno/Algebra 1/10. Il gruppo delle permutazioni/main.pdf and b/Secondo anno/Algebra 1/10. Il gruppo delle permutazioni/main.pdf differ diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/10. Il gruppo delle permutazioni/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/10. Il gruppo delle permutazioni/main.tex index dd43b6a..0711933 100644 --- a/Secondo anno/Algebra 1/10. Il gruppo delle permutazioni/main.tex +++ b/Secondo anno/Algebra 1/10. Il gruppo delle permutazioni/main.tex @@ -88,14 +88,16 @@ Come corollario di questo risultato, se $m_1$ rappresenta il numero di $1$-cicli di $\sigma$, $m_2$ quello dei suoi $2$-cicli, fino a $m_k$, vale il seguente risultato: \[ \abs{\Cl(\sigma)} = \frac{n!}{m_1! \, 1^{m_1} \, m_2! \, 2^{m_2} \cdots m_k! \, k^{m_k}}, \] - e in particolare esistono tante classi di coniugio quante partizioni di $n$. \medskip - - - Si osserva infine che se $\tau_1 \sigma \tau_1\inv = \tau_2 \sigma \tau_2\inv = \rho$, allora: - \[ \tau_1\inv (\tau_2 \sigma \tau_2\inv) \tau_1 = \tau_1\inv \rho \tau_1 = \sigma, \] - per cui $\tau_1\inv \tau_2 \in Z_{S_n}(\sigma)$ dacché $(\tau_1\inv \tau_2) \sigma = \sigma (\tau_1\inv \tau_2)$. Allora $\tau_1 \in \tau_2 Z_{S_n}(\sigma)$. \medskip - - - Infine, se $H \leq S_n$, $H$ è normale in $S_n$ se e solo se per ogni tipo $H$ contiene - tutte le permutazioni di quel tipo o nessuna. + e in particolare esistono tante classi di coniugio quante partizioni di $n$. + Come conseguenza di questo risultato, per il Teorema orbita-stabilizzatore, + vale che: + \[ \abs{Z_{S_n}(\sigma)} = m_1! \, 1^{m_1} \, m_2! \, 2^{m_2} \cdots m_k! \, k^{m_k}, \] + dove si ricorda\footnote{ + Infatti $Z_{S_n}(\sigma)$ è lo stabilizzatore di $\sigma$ nell'azione di coniugio. + } che due permutazioni coniugano $\sigma$ nella stessa permutazione + $\rho$ se queste due permutazioni fanno parte della stessa classe in $G \quot Z_{S_n}(\sigma)$. Infine, + sempre come corollario dello stesso risultato, + se $H \leq S_n$, $H$ è normale in $S_n$ se e solo se per ogni tipo di + permutazione $H$ contiene + tutte le permutazioni di quel tipo o nessuna. \medskip \end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/2. Azione di un gruppo su un insieme/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/2. Azione di un gruppo su un insieme/main.pdf index f1a28e1..d46a9a8 100644 Binary files a/Secondo anno/Algebra 1/2. Azione di un gruppo su un insieme/main.pdf and b/Secondo anno/Algebra 1/2. Azione di un gruppo su un insieme/main.pdf differ diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/2. Azione di un gruppo su un insieme/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/2. Azione di un gruppo su un insieme/main.tex index 00edadd..48c4853 100644 --- a/Secondo anno/Algebra 1/2. Azione di un gruppo su un insieme/main.tex +++ b/Secondo anno/Algebra 1/2. Azione di un gruppo su un insieme/main.tex @@ -82,7 +82,10 @@ Teorema orbita-stabilizzatore, un ``analogo'' del Primo teorema di isomorfismo per le azioni\footnote{Si lascia al lettore la gioia di dimostrare il Primo teorema di isomorfismo proprio a partire dal Teorema orbita-stabilizzatore (indizio: se $f \in \Hom(G,H)$, si può considerare l'azione $\varphi : G \to S(H)$ tale che $g \xmapsto{\varphi} \left[ h \mapsto g \cdot h = f(g)h \right]$). Si noterà infatti che la dimostrazione del Teorema orbita-stabilizzatore ricalca totalmente la - stessa idea della dimostrazione del Primo teorema di isomorfismo.}. + stessa idea della dimostrazione del Primo teorema di isomorfismo.}\footnote{ + Infatti $g \Stab(x)$ individua ancora tutti gli elementi di $G$ la cui immagine + è $g \cdot x$. + }. \begin{theorem}[orbita-stabilizzatore] Sia $x \in X$. Allora la mappa $\alpha : G \quot \Stab(x) \to \Orb(x)$ tale diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/3. Azione di coniugio e p-gruppi/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/3. Azione di coniugio e p-gruppi/main.pdf index fd3f3a1..b38c59e 100644 Binary files a/Secondo anno/Algebra 1/3. Azione di coniugio e p-gruppi/main.pdf and b/Secondo anno/Algebra 1/3. Azione di coniugio e p-gruppi/main.pdf differ diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/8. Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/8. Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi/main.pdf index 6b20bb3..9292f2b 100644 Binary files a/Secondo anno/Algebra 1/8. Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi/main.pdf and b/Secondo anno/Algebra 1/8. Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi/main.pdf differ