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gtd(scheda): differenziale e spazio tangente

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Gabriel Antonio Videtta 5 months ago
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Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex
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@ -108,6 +108,9 @@
\newcommand*\dif{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d}}
\let\oldemptyset\emptyset
\let\emptyset\varnothing
\newcommand{\dA}{\dif{A}}
\newcommand{\dx}{\dif{x}}
\newcommand{\dy}{\dif{y}}

173
Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/4-varieta-e-teoria-del-grado.tex
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@ -34,7 +34,7 @@
con le usuali definizioni date su aperti di $\RR^n$.
\end{remark}
\begin{proposition}
\begin{proposition} \label{prop:comp_liscia}
La composizione di mappe lisce è liscia. La restrizione di una mappa liscia
è liscia.
\end{proposition}
@ -86,35 +86,182 @@
regolari.
\end{remark}
\section{Spazio tangente}
\section{Spazio tangente e differenziale su mappe tra varietà}
\subsection{Differenziale e spazio tangente}
\subsection{Differenziale su aperti di \texorpdfstring{$\RR^n$}{ℝⁿ}}
Ricordiamo la definizione di differenziale per mappe su aperti di spazi reali:
\begin{definition}[Differenziale per $f : U \subseteq \RR^k \to \RR^\ell$]
Sia $U$ un aperto di $\RR^k$ e sia $f : U \to \RR^\ell$ una funzione liscia.
Allora il \textbf{differenziale $df_x : \RR^k \to \RR^\ell$} nel
Allora il \textbf{differenziale $\dif f_x : \RR^k \to \RR^\ell$} nel
punto $x \in U$ è la funzione tale per cui:
\[
df_x(h) \defeq \lim_{t \to 0} \frac{f(x+th) - f(x)}{t}.
\boxed{\dif f_x(h) \defeq \lim_{t \to 0} \frac{f(x+th) - f(x)}{t}.}
\]
Equivalentemente $df_x$ è l'unica funzione lineare tale per cui:
Equivalentemente $\dif f_x$ è l'unica funzione lineare tale per cui:
\[
f(x+h) = f(x) + df_x(h) + o(\norm{h}).
f(x+h) = f(x) + \dif f_x(h) + o(\norm{h}).
\]
\end{definition}
\begin{remark}
Il differenziale $df_x$ rispetta alcune proprietà fondamentali:
Il differenziale $\dif f_x$ rispetta alcune proprietà fondamentali:
\begin{enumerate}[(i.)]
\item La matrice di $df_x$ è data dallo jacobiano $Jf(x) = (\partial_{x_j} f_i(x))_{i, j}$.
\item La matrice di $\dif f_x$ è data dallo jacobiano $Jf(x) = (\partial_{x_j} f_i(x))_{i, j}$.
\item Il differenziale rispetta la \textit{regola della catena} (chain rule):
\[ d(f \circ g)_x = df_{g(x)} \circ dg_x. \]
\item Data $\id_U$ su un aperto $U \subseteq \RR^k$, allora $d(\id_U)_x = \id_{\RR^k}$ per ogni $x \in U$.
\[ \dif(f \circ g)_x = \dif f_{g(x)} \circ \dif g_x. \]
\item Data $\id_U$ su un aperto $U \subseteq \RR^k$, allora $\dif (\id_U)_x = \id_{\RR^k}$ per ogni $x \in U$.
\item Dati $U' \subseteq U \subseteq \RR^k$ con $U'$ aperto, l'inclusione $\iota : U' \to U$ è tale per cui
$d(\iota)_x = \id_{\RR^k}$ per ogni $x \in U'$.
\item Se $L : U \to \RR^\ell$ è lineare, allora $d L_x = L$ per ogni $x \in U$.
$\dif \iota_x = \id_{\RR^k}$ per ogni $x \in U'$.
\item Se $L : U \to \RR^\ell$ è lineare, allora $\dif L_x = L$ per ogni $x \in U$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proposition} \label{prop:diffeomorfismo_iso_diff}
Siano $U \subseteq \RR^k$, $V \subseteq \RR^\ell$ aperti. Sia $f : U \to V$ un diffeomorfismo.
Allora $k = \ell$ e $\dif f_x$ è un isomorfismo di $\RR^k$ per ogni $x \in U$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Sia $g : V \to U$ l'inversa di $f$. Poiché $f$ è un diffeomorfismo, $g$ è liscia. Sia $x \in U$. Allora:
\begin{enumerate}[(i.)]
\item $\id_{\RR^k} = \dif (\id_U)_x = \dif (g \circ f)_x = \dif g_{f(x)} \circ \dif f_x$,
\item $\id_{\RR^\ell} = \dif (\id_V)_{f(x)} = \dif (f \circ g)_{f(x)} = \dif f_x \circ \dif g_{f(x)}$.
\end{enumerate}
Da (i.) si deduce che $\dif f_x$ è iniettiva, mentre da (ii.) si deduce che è surgettiva. Dunque
$\dif f_x$ è un isomorfismo (e quindi vale anche $k = \ell$).
\end{proof}
\subsection{Spazio tangente in un punto di una varietà}
\begin{remark}[Lo spazio tangente è ben definito]
Sia $M$ una varietà di dimensione $m$. Siano $g : U \to W \cap M$ e
$h : U' \to W' \cap M$ due parametrizzazioni locali di $x \in M$
con $g(u) = h(u') = x$. \smallskip
Supponiamo senza perdita di generalità che $W' = W$ (è sufficiente restringere
le immagini). La funzione
$g \circ h\inv$ è un diffeomorfismo in quanto composizione di diffeomorfismi
(vd. Proposizione \ref{prop:comp_liscia}). Allora per la Proposizione \ref{prop:diffeomorfismo_iso_diff}
$\dif (h\inv \circ g)_u$ è un isomorfismo. \smallskip
Osserviamo che:
\[
\dif g_u = \dif (h \circ (h\inv \circ g))_u = \dif h_{u'} \circ \dif (h\inv \circ g)_u.
\]
Dal momento che $\dif (h\inv \circ g)_u$ è in particolare surgettiva, si ha:
\[
\dif g_u(\RR^m) = \dif h_{u'}(\RR^m).
\]
\end{remark}
\begin{definition}[Spazio tangente]
Sia $x$ un punto di una varietà $M$ di dimensione $m$. Presa una
parametrizzazione locale $g : U \subseteq \RR^m \to W \cap M$ di
$x$ con $g(u) = x$, si definisce lo \textbf{spazio tangente di $M$ in $x$} come:
\[
\boxed{T_x M \defeq \dif g_u(\RR^m).}
\]
\end{definition}
\begin{proposition}
Sia $x$ un punto di una varietà $M$ di dimensione $m$. Allora:
\[
\boxed{\dim T_x M = m.}
\]
\end{proposition}
\begin{proof}
Si prenda una parametrizzazione locale
$g : U \subseteq \RR^m \to W \cap M$ di
$x$ con $g(u) = x$. È sufficiente dimostrare
che $\dif g_u$ è una mappa iniettiva. \smallskip
La mappa $g$ è indotta dalla carta locale tramite
un'estensione $F : W \to \RR^m$ con:
\[
\restr{F}{W \cap M} = g\inv.
\]
Osserviamo allora che:
\[
\id_{\RR^m} = \dif (F \circ g)_u = \dif F_{x} \circ \dif g_u,
\]
da cui si deduce che $\dif g_u$ ammette un'inversa sinistra, ed è
dunque iniettiva.
\end{proof}
\subsection{Differenziale per mappe lisce tra varietà}
\begin{remark}[Il differenziale per mappe lisce è ben definito]
Siano $M \subseteq \RR^k$ una varietà di dimensione $m$, $N \subseteq \RR^\ell$
un'altra varietà, e sia
$f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà. \smallskip
Sia $F : W \to \RR^\ell$ un'estensione di $f$ per un intorno aperto di
$x \in M$. Siano $g : U \subseteq \RR^m \to W \cap M$ una parametrizzazione
locale di $x$ e $h : V \to N$ una parametrizzazione locale di $f(x)$ con
$g(u) = x$ e $h(v) = f(x)$.
\[\begin{tikzcd}
M && W && N \\
\\
U &&&& V
\arrow["\iota", from=1-1, to=1-3]
\arrow["F", from=1-3, to=1-5]
\arrow["g", from=3-1, to=1-1]
\arrow["{h\inv \circ F \circ g}"', dashed, from=3-1, to=3-5]
\arrow["h"', from=3-5, to=1-5]
\end{tikzcd}\]
Dal diagramma commutativo si deduce che:
\[
\dif F_x \circ \dif g_u = \dif h_v \circ \dif (h\inv \circ F \circ g)_u.
\]
Pertanto $\dif F_x(T_x M)$ \underline{non} dipende dalla scelta dell'estensione $F$ e vale:
\[ \dif F_x(T_x M) \subseteq T_{f(x)} N. \]
\end{remark}
\begin{definition}[Differenziale su mappe tra varietà]
Sia $f : M \to N$ una mappa tra varietà. Se $F$ è un'estensione di $f$
in $x$, si definisce il \textbf{differenziale di $f$ in $x$}
$\dif f_x : T_x M \to T_{f(x)} N$ come segue:
\[
\boxed{\dif f_x \defeq \restr{\dif F_x}{T_x M}.}
\]
\end{definition}
\begin{remark}
Le proprietà del differenziale su aperti di $\RR^n$ si trasferiscono
facilmente al differenziale su mappe tra varietà:
\begin{enumerate}[(i.)]
\item Il differenziale rispetta la \textit{regola della catena} (chain rule):
\[ \dif(f \circ g)_x = \dif f_{g(x)} \circ \dif g_x. \]
\item Data $\id_M$ per una varietà $M$, allora $\dif (\id_M)_x = \id_{T_x M}$ per ogni $x \in M$.
\item Dati $M'$ e $M$ sono varietà con $M' \subseteq M$, l'inclusione $\iota : M' \to M$ è liscia,
$\dif \iota_x : T_x M' \to T_x M$ è iniettiva e $T_x M'$ è un sottospazio di $T_x M$.
\item Se $f : M \to N$ è un diffeomorfismo, allora $\dif f_x$ è un isomorfismo per ogni $x \in M$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\subsection{Punti e valori regolari o critici}
\begin{definition}[Punti regolari o critici]
Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà, con
$\dim M = m$ e $\dim N = n$. \smallskip
Sia $x \in M$. Si dice che $x$ è un \textbf{punto critico}
se $\rk(\dif f_x) < n$, e altrimenti si dice che è un
\textbf{punto regolare}.
\end{definition}
\begin{definition}[Valori regolari o critici]
Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà, con
$\dim M = m$ e $\dim N = n$. \smallskip
Sia $y \in N$. Si dice che $y$ è un \textbf{valore critico}
se è immagine di almeno un punto critico, e altrimenti si dice che
è un \textbf{valore regolare} (in particolare lo è se
$f\inv(y) = \emptyset$).
\end{definition}
\end{multicols*}

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