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\begin{remark}
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È immediato verificare che ``avere la stessa orientazione'' è
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una relazione d'equivalenza sulle basi dello spazio in esame.
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una relazione d'equivalenza sulle basi dello spazio in esame. \smallskip
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È sempre immediato verificare che esistono solo due classi di equivalenza
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per le orientazioni.
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\end{remark}
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\begin{definition}[Orientazione]
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Definiamo \textbf{orientazione} una classe di equivalenza per la relazione
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``avere la stessa orientazione''. \smallskip
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Data un'orientazione $\Theta$ indichiamo con $-\Theta$ l'altra
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classe di equivalenza.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Orientazione canonica]
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Si definisce l'\textbf{orientazione canonica} $\Theta_0$ di $\RR^n$
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come la classe di equivalenza indotta dall'orientazione della base
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canonica.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Un isomorfismo $L : V \to V'$ induce una mappa dalle orientazioni
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di $V$ a quelle di $V'$.
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\end{remark}
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\subsection{Orientazione su varietà}
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\begin{definition}[$m$-varietà orientata, $m > 1$ o $\partial M = \emptyset$]
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Una \textbf{varietà orientata di dimensione $m$} (con $\underline{m>1}$ o $\underline{\partial M = \emptyset}$)
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è una coppia $(M, \Theta)$, dove $M$ è una $m$-varietà, eventualmente con bordo, e $\Theta = \{\Theta_x\}_{x \in M}$
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è una famiglia di orientazioni degli spazi tangenti dei punti di $M$ tale per cui:
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\begin{quote}
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Per ogni $x \in M$ esiste una parametrizzazione locale $g : U \subseteq \RR^m \to g(U) \subseteq M$ con
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$\dif g_u (\Theta_0) = \Theta_{g(U)}$ per ogni $u \in U$ (\textbf{condizione di compatibilità di $g$ con $\Theta$}).
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\end{quote}
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Una varietà $M$ per cui esiste una famiglia di orientazioni tali per cui $(M, \Theta)$ è orientata si
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dice \textbf{orientabile}.
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\end{definition}
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\begin{definition}[$1$-varietà compatta orientata bordata]
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Un'orientazione su una $1$-varietà connessa compatta con bordo è per definizione una famiglia
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$\Theta = \{\dif \varphi_t(\Theta_0)\}_{t \in [0, 1]}$ dove
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$\varphi : [0, 1] \to M$ è un diffeomorfismo. \smallskip
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Se $M$ è sconnessa, un'orientazione è un'orientazione su ciascuna componente connessa.
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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Una varietà connessa, eventualmente con bordo, ammette al più due orientazioni.
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\end{proposition}
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\begin{proof} Si fissi un'orientazione $\Theta$ per la varietà $M$. Sia $\Theta'$ un'altra orientazione.
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Dividiamo la dimostrazione in due casi:
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\begin{itemize}
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\item $\boxed{\dim M > 1}$ Si definiscano i seguenti due insiemi:
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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A & \defeq \{ x \in M \mid \Theta_x = \Theta'_x \}, \\[1ex]
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B & \defeq \{ x \in M \mid \Theta_x = -\Theta'_x \}.
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\end{aligned}
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\end{equation*}
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Osserviamo che $A$ e $B$ sono disgiunti, e che la loro unione è la varietà $M$. Poiché
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$M$ è connessa, mostrando che $A$ e $B$ sono aperti, uno dei due sarebbe vuoto, da cui la tesi. \smallskip
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Dimostriamo dunque la tesi. Senza perdita di generalità, mostriamo solo che $A$ è aperto. Sia
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$g : U \to g(U)$ una parametrizzazione locale di $x$ compatibile con $\Theta$ e $g(u) = x$, e sia $h : V \to h(V)$
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una parametrizzazione compatibile con $\Theta'$ e $h(v) = x$. Assumiamo senza perdita di generalità che $g(U) = h(V)$. \smallskip
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Poiché $g$ è compatibile con $\Theta$, si ha $\dif g(\Theta_0) = \Theta_x$, e così
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per $h$ si ha $\dif h_x(\Theta_0) = \Theta'_x$. Quindi:
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\[
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\dif g_u(\Theta_0) = \dif h_v(\Theta_0) \implies \dif (g\inv \circ h)_v (\Theta_0) = \Theta_0.
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\]
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Pertanto $\det(J(g\inv \circ h)_v) > 0$. Per continuità esiste allora un intorno $J$ di $v$ in cui:
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\[
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\det(J(g\inv \circ h)_{v'}) > 0, \quad \forall v' \in J.
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\]
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Questo si traduce nell'avere $\Theta_{h(v')} = \Theta'_{h(v')}$ su tutto $J$, e quindi
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$h(J)$ è un aperto di $M$ contenente $x$ e contenuto in $A$; dunque $A$ è aperto.
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\item $\boxed{\dim M = 1}$ Se $\varphi$ e $\psi$ sono due diffeomorfismi da $[0, 1]$ in $M$ che inducono
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$\Theta$ e $\Theta'$, allora $\varphi\inv \circ \psi$ è un diffeomorfismo da $[0, 1]$ in sé. In quanto
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tale, la sua derivata è ovunque non nulla, e il suo segno determina se $\Theta'$ è $\Theta$ o $-\Theta$.
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\begin{definition}[Varietà di orientazione opposta]
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Data $(M, \Theta)$ una varietà orientata, indichiamo con $-M$ la varietà
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$(M, -\Theta)$, dove $-\Theta$ è l'unica altra orientazione possibile.
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\end{definition}
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\subsection{Orientazione sul bordo della varietà}
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\begin{remark}
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L'orientazione di una $m$-varietà $M$ con bordo determina la scelta di uno dei semispazi di
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$T_x M \setminus T_x \partial M$ per ogni $x$. \smallskip
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Se infatti $g : U \to g(U)$ è una parametrizzazione di un punto $x$ sul bordo $\partial M$ con $g(u) = x$,
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il semispazio scelto è proprio $\dif g_u (H^n \setminus \partial H^n)$. \smallskip
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Questo semispazio non dipende dalla parametrizzazione scelta.
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...
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Data una varietà orientata $M$, i vettori appartenenti al semispazio
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scelto di $T_x M \setminus T_x \partial M$ si dicono \textbf{interni},
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mentre quelli del semispazio complementare sono detti \textbf{esterni}.
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\end{definition}
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\begin{lemma}[L'orientazione indotta sul bordo è ben definita]
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...
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\end{lemma}
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\begin{definition}
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Data una varietà orientata $M$ con bordo e $\dim M > 1$, la famiglia $\{ \Theta_x^{\partial M} \}_{x \in \partial m}$
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di orientazioni di $T_x \partial M$ indotte dall'orientazione di $M$ è un'orientazione su $\partial M$
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detta \textbf{orientazione indotta sul bordo} (o \textit{orientazione di bordo}). \smallskip
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Per $M$ orientata tramite un diffeomorfismo $\varphi : [0, 1] \to M$, si associa
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$-1$ a $\varphi(0)$ e $+1$ a $\varphi(1)$.
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\end{definition}
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\end{multicols*}
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