gtd(scheda): D^n è una n-varietà con bordo

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@@ -36,8 +36,8 @@
                   derivate successive.
             \item $\vec{x_i}$ -- derivate parziali nella $i$-esima coordinata di un campo $\vec{x}$ da $\RR^n$ a $\RR^m$, ovverosia
                   $((x_1)_i, \ldots, (x_m)_i)^\top$.
-            \item $\nabla f(\vec{x})$ -- gradiente di una funzione $f : \RR^n \to \RR$, ovverosia il vettore $(\partial_{x_i} f(\vec{x}))_i^\top$.
-            \item $J f(\vec{x})$ -- jacobiano di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$ nel punto $x$, ovverosia la matrice
+            \item $\nabla f(\vec{x})$, $\nabla f_{\vec{x}}$ -- gradiente di una funzione $f : \RR^n \to \RR$, ovverosia il vettore $(\partial_{x_i} f(\vec{x}))_i^\top$.
+            \item $J f(\vec{x})$, $J f_\vec{x}$ -- jacobiano di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$ nel punto $x$, ovverosia la matrice
                   $(\partial_{x_j} f_i (\vec{x}))_{i, j} = (\nabla f_i(\vec{x}))_{i}$.
             \item $J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^{m} \times \RR^{n} \to \RR^{n}$,
                   la sottomatrice $n \times n$ quadrata di $J f(\vec{p})$ date dalle ultime $n$ colonne. Coincide

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@@ -547,7 +547,7 @@
         tra $(T_x P)^\perp$ e $T_y N$ si conclude che è un isomorfismo.
     \end{proof}
 
-    \begin{proposition}
+    \begin{proposition} \label{prop:sn_è_varietà}
         $S^n \subseteq \RR^{n+1}$ è una varietà di dimensione $n$ e $T_x S^n = x^\perp \subseteq \RR^{n+1}$.
     \end{proposition}
 
@@ -558,7 +558,7 @@
         \]
         si ha $S^n = f\inv(1)$. Osserviamo che:
         \[
-            Jf(x) = 2x.
+            Jf_x = 2x^\top.
         \]
         Dunque l'unico valore critico di $f$ è $0$. Pertanto
         $S^n = f\inv(1)$ è una varietà di dimensione $(n+1)-1 = n$. \smallskip
@@ -782,7 +782,8 @@
 
     \begin{remark}
         Chiaramente il Lemma \ref{lem:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R} si generalizza
-        a un valore regolare qualunque.
+        a qualsiasi insieme della forma $\{ f \operatorname{op} a \}$ con $\operatorname{op} \in \{\leq, \geq\}$
+        e $a$ valore regolare di $f$.
     \end{remark}
 
     \begin{proposition}
@@ -790,7 +791,13 @@
     \end{proposition}
 
     \begin{proof}
-        ...
+        Sia $f : \RR^n \to \RR$ tale per cui:
+        \[
+            f(x) \defeq x \cdot x = x_1^2 + \ldots + x_{n}^2.
+        \]
+        Allora, come visto per la Proposizione \ref{prop:sn_è_varietà},
+        $1$ è valore regolare di $f$, e quindi $D^n = \{ f \leq 1 \}$ è
+        una $n$-varietà con bordo $S^{n-1}$.
     \end{proof}
 
     \begin{lemma}