feat(aritmetica): aggiunge primi teoremi importanti

Aritmetica/1. Gruppi.tex

@@ -56,7 +56,7 @@ esse condividono la natura di gruppo.
 
 \begin{example}[Gruppo simmetrico]
     L'insieme $S_n$ delle funzioni bigettive da $X_n = \{1, 2, \ldots, n\}$ in sé stesso è un
-    gruppo rispetto all'operazione di composizione. Infatti:
+    gruppo rispetto all'operazione di composizione, detto \vocab{gruppo simmetrico}. Infatti:
 
     \begin{itemize}
         \item $\forall f, g \in S_n, \, f \circ g \in S_n$ (\textit{chiusura rispetto all'operazione})
@@ -70,6 +70,7 @@ Le proprietà date dalla definizione di un gruppo ci permettono immediatamente d
 altre proprietà fondamentali, e che sulle quali faremo affidamento d'ora in poi.
 
 \begin{theorem}
+    \label{th:gruppo:inverso_unico}
     L'inverso $a^{-1}$ di un elemento $a$ di un gruppo $G$ è unico.
 \end{theorem}
 
@@ -77,3 +78,44 @@ altre proprietà fondamentali, e che sulle quali faremo affidamento d'ora in poi
     Supponiamo che $b$ e $c$ siano due elementi inversi distinti di $a$. Allora
     $b=b\cdot e=b\cdot \underbrace{(a \cdot c)}_{=e}=\underbrace{(b \cdot a)}_{=e} \cdot c=c$, \Lightning. Pertanto l'inverso è unico.
 \end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    L'inverso dell'inverso $\left(a^{-1}\right)^{-1}$ è pari a $a$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Dal momento che l'inverso è unico (per il \vocab{Teorema~\ref{th:gruppo:inverso_unico}}),
+    $\left(a^{-1}\right)^{-1} a^{-1} = e \implies \left(a^{-1}\right)^{-1} = a$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    L'inverso di $ab$ è $b^{-1}a^{-1}$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si verifica facilmente che $ab b^{-1}a^{-1}= a e a^{-1} = a a^{-1} = e$. Poiché
+    l'inverso è unico (per il \vocab{Teorema~\ref{th:gruppo:inverso_unico}}), allora
+    $\left(ab\right)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$.
+\end{proof}
+
+\begin{remark}
+    In realtà, sebbene a prima vista potrebbe sembrare inusuale l'inversione dei due
+    fattori nell'ultima identità, essa è una conseguenza del modo in cui operiamo
+    naturalmente. Si prenda per esempio la composizione $f \circ g$, per ottenere
+    l'identità è necessario prima decomporre $f$, l'ultima funzione aggiunta, ed infine
+    $g$, ossia seguendo l'ordine da sinistra a destra.
+
+    Nel corso di Geometria vi sarà spiegato come anche la matrici si comportano in
+    questo modo (non è un caso, dal momento che anch'esse, sotto talune condizioni,
+    formano un gruppo, il cosiddetto \vocab{gruppo lineare} $\GL_n(\KK)$).
+\end{remark}
+
+\begin{theorem}
+    Un'equazione della forma $ax=bx$ è vera se e solo se $a=b$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Infatti, moltiplicando per l'inverso di $x$, $ax=bx \iff axx^{-1}=bxx^{-1} \iff a=b$.
+\end{proof}
+
+

Aritmetica/aritmetica.tex

@@ -17,6 +17,8 @@
 \let\forall\undefined
 \DeclareMathOperator{\forall}{\oldforall}
 
+\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
+
 \let\oldexists\exists
 \let\exists\undefined
 \DeclareMathOperator{\exists}{\oldexists}