tale che $C_A(B)= AB - BA$. Allora $\Ker C_A = M(n, \KK)
\iff A \in\Span(I_n)$. Siano $I$ un insieme di $n^2$ indici
distinti, allora l'insieme
\[ T =\left\{ A^i \mid i \in I \right\}\]
è linearmente dipendente (è sufficiente notare che
@ -1431,7 +1430,7 @@
è mai iniettiva, ed esiste dunque sempre un polinomio $p$
tale per cui $\sigma_f(p)=0$, l'applicazione nulla (è
sufficiente prendere $n^2+1$ potenze di $f$ e osservare
che devono essere linearmente indipendenti). Poiché
che devono essere linearmente dipendenti). Poiché
$\KK[x]$ è un PID, $\Ker\sigma_f$ è un ideale principale,
e quindi esiste un polinomio monico $\varphi_f$, detto
polinomio minimo di $f$, tale per cui
@ -1697,7 +1696,7 @@
\begin{enumerate}[a.]
\item Si prenda la base $\basis_z =\{\vv1, \ldots, \vv k, \conj{\vv1}, \ldots, \conj{\vv k}\}$ che
genera i blocchi di $z$ e $\conj z$ e si consideri la nuova
base $\basis_z' =\{\Re(\vv1), \imm(\vv1), \ldots, \Re(\vv k), \imm(\vv1k)\}$,
base $\basis_z' =\{\Re(\vv1), \imm(\vv1), \ldots, \Re(\vv k), \imm(\vvk)\}$,
\item In tale base la forma canonica di Jordan varia eliminando i blocchi
di $\conj z$, sostituendo all'autovalore $z = a + bi$ il seguente blocco:
\[\Matrix{
@ -2476,6 +2475,9 @@
$\abs{\Fix(f)}=0\iff f$ è una traslazione, dove $\Fix(f)=\{x\in\mathcal{A}_1(\KK)\mid f(x)=x\}$,
\item$A(\mathcal{A}_1(\KK))$ agisce in maniera semplicemente transitiva sulle coppie di punti $(P_1,P_2)\in\AA_1(\KK)\times\AA_1(\KK)$ con $P_1\neq P_2$.
\end{itemize}
Sia $f(\x)= M\x+\vec t$ un'affinità di $A(\AnK)$. Allora, se $1$ non è un autovalore
di $M$, $f$ ha un unico punto fisso (in tal caso, infatti $(M-I)$ è invertibile, e quindi $(M-I)\x=-\vec t$ ammette un'unica soluzione).
\subsection{Spazio proiettivo}
Si definisce \textit{spazio proiettivo} relativo a $\KK^{n+1}$ l'insieme delle rette di $\KK^{n+1}$. Tale spazio viene denotato come $\PP(\KK^{n+1})=\PP^n(\KK)$ (intuitivamente lo spazio proiettivo perde una dimensione rispetto allo spazio di partenza perché è la proiezione di tutte le rette in un unico punto, eccetto per i punti all'infinito).
@ -2490,6 +2492,8 @@
Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con gli iperpiani $H_i=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{i}=1\}$ dal momento che ogni retta deve intersecare almeno uno di questi iperpiani in un punto.
\subsection{Coniche e quadriche}
\setlength{\extrarowheight}{4pt}
Si definisce \textit{quadrica} il luogo di zeri in $\AA_n(\KK)$ di un polinomio
di secondo grado $p(x_1, \ldots, x_n)\in\KK[x_1, \ldots, x_n]$ in $n$ variabili, dove si identifica con
\[\MM(p)=\Matrix{\AA(p)&\rvline&\Ll(p)\,\\\hline\Ll(p)&\rvline& c(p)}\in\Sym(n+1, \KK),\] la quale viene detta \textit{matrice associata alla quadrica} in $p$. Allora, tramite l'identificazione di $\Aa_n(\KK)$ in $H_{n+1}\subset\KK^{n+1}$ mediante $\iota$, vale che:
\[\MM(p)=\Matrix{\AA(p)&\rvline&\Ll(p)\,\\\hline\Ll(p)&\rvline& c(p)}\in\Sym(n+1, \KK),\] la quale viene detta \textit{matrice associata alla quadrica} in $p$. Si dice che la quadrica relativa a $p$ è \textit{non degenere} se $\rg(\MM(p))= n+1$. Allora, tramite l'identificazione di $\Aa_n(\KK)$ in $H_{n+1}\subset\KK^{n+1}$ mediante $\iota$, vale che:
Si deduce allora che una quadrica altro non è che la controimmagine tramite $\iota$
@ -2530,40 +2534,47 @@
\[\MM(p)=\Matrix{\NMatrix{a &\nicefrac{c}{2}\\\nicefrac{c}{2}& b}&\rvline&\NMatrix{\nicefrac{d}{2}\\\nicefrac{e}{2}}\,\\\hline\NMatrix{\nicefrac{d}{2}&\nicefrac{e}{2}}&\rvline& f }. \]
Sia $f\in A_n(\KK)$, $f(\x')=M\x'+\Vec{t}$, $M\in GL_n(\KK), t\in\KK^n$.
ponendo $\x=M\x'+\Vec{t}$ troviamo:
\[p'(\x')=\x'^{\top} A'\x'+2\Vec{b'}^\top\x'+c'\]
con $\AA'=M^\top\AA M$, $\Vec{b}'=M^\top(\AA\Vec{t}+\Vec{b})$, $c'=p(\Vec{t})$.
La matrice $\MM(p \circ f)$, varia nel seguente
modo:
\begin{gather*}
\tiny
\MM(p \circ f) = {\hat M}^\top\MM(p) \hat M = \\\Matrix{M^\top\AA(p) M &\rvline& M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p)) \,\\\hline\,\left(M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p))\right)^\top&\rvline& p(\vec t)},
\end{gather*}
Sia $C=\{\x\in\mathcal{A}_n(\KK)\mid p(\x)=0\}$.
$C$ si dice \textit{a centro} se $\exists\x_0\in\mathcal{A}_n(\KK)$ t.c. $p(\x_0+\x)=p(x_0-\x)\forall\x\in\KK^n$
Si dirà che $\x_0$ è un centro di simmetria.
Alternativamente $C$ è a centro $\x_0\iff\MM(p \circ f)=\begin{pmatrix}
\AA& 0 \\
0 & c
\end{pmatrix}$
Oppure ancora una conica è a centro se e solo se è risolvibile il sistema $\AA(p)\vec t +\Ll(p)=\vec0$.
Sia $f\in A(\AnK)$ tale per cui $f(\x)=M\x+\vec t$, con $M\in\GL(n, \KK), \vec t \in\KK^n$. Si definisce allora un'azione destra di $A(\AnK)$ sulle quadriche di
$n$ variabili, dove $p \cdot f$ è indicato come $p \circ f$, che a sua volta
indica il polinomio $p(f(\x))= p(M\x+\vec t)$. Il luogo di zeri $Z(p)$ di una quadrica
su cui agisce $A(\AnK)$ varia a sua volta secondo l'affinità; in particolare vale che:
\[ Z(p)= f(Z(p \circ f)). \]
Si definisce allora una relazione di equivalenza detta \textit{equivalenza affine},
dove:
\[ p \sim q \defiff\exists\lambda\in\KK^*, f \in A(\AnK)\mid p =\lambda(q \circ f). \]
Vale inoltre la seguente identità:
\[p(f(\x))=\x^{\top} A' \x+2\vec{b'}^\top\x+c',\]
I centri della quadriche (quando ci sono) formano un sottospazio affine di dimensione $n-rg(\AA)$
dove $\AA'=M^\top\AA M$, $\vec{b'}= M^\top(\AA\Vec{t}+\Vec{b})$ e $c'=p(\vec{t})$. Pertanto la matrice $\MM(p \circ f)$ può essere scritta come:
Diremo che la conica $C$ è \textit{non degenere} quando $rg(\MM(p))=3$
\begin{gather*}
\MM(p \circ f) = {\hat M}^\top\MM(p) \hat M = \\
\Matrix{M^\top\AA(p) M &\rvline& M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p)) \,\\\hline\,\left(M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p))\right)^\top&\rvline& p(\vec t)}.
\end{gather*}
Se $f$ è solo una traslazione (i.e.~$M = I_n$), la formula si semplifica:
\begin{gather*}
\MM(p \circ f) = {\hat M}^\top\MM(p) \hat M = \\
\Matrix{\AA(p) &\rvline&\AA(p) \vec t + \Ll(p) \,\\\hline\,\left(\AA(p) \vec t + \Ll(p)\right)^\top&\rvline& p(\vec t)}.
\end{gather*}
\subsection{Classificazione delle coniche}
Classificazione \textit{affine}: si trova una forma canonica nelle orbite del gruppo affine $A_n(\KK)$.
Una quadrica relativa al polinomio $p$ si dice \textit{a centro} se
dove $\vec t \in\AnK$; in particolare tale $\vec{x_0}$ è detto \textit{centro di simmetria}. Vale in particolare che $\vec0$ è un centro di simmetria di $p$ se
e solo se $\Ll(p)=\vec0$. \\\vskip 0.05in
Inoltre vale che $\vec{x_0}$ è un centro di simmetria di $p$ se e solo se $p \circ f$ ha centro di simmetria
$\vec0$ tramite
la traslazione $f(\x)=\x+\vec{x_0}$; pertanto $p$ è a centro se e solo se è risolvibile in $\vec{x_0}$ il sistema:
\[\Ll(p \circ f)=\AA(p)\vec{x_0}+\Ll(p)=\vec0.\]
Poiché allora i centri della quadriche sono soluzione di un sistema lineare, se esistono, essi formano un sottospazio affine di dimensione $n-\rg(\AA)$; in particolare, se $\vec{x_0}$ è un particolare centro, tale sottospazio affine $C$ è
esattamente dato da:
\[ C =\vec{x_0}+\Ker\AA(p). \]
Se $V$ è euclideo su $\RR$, si può introdurre la distanza $d(P,Q)=\norm{Q-P}$.
Le isometrie di $E$ sono quelle affinità che preservano la distanza e formano il gruppo $ISO(E)$.
Classificazione \textit{isometrica}: Si trovano forme canoniche nelle orbite rispetto a $ISO(E)$%???
\subsubsection{Classificazione delle coniche in $\CC$ ed $\RR$}
Esistono due tipi di classificazioni: una \textit{affine}, dove per ogni quadrica si trova una forma canonica per equivalenza affine tramite la moltiplicazione per scalare $\lambda$ e per applicazione delle affinità di $A(\AnK)$, e una \textit{isometrica}, dove si classificano le quadriche rispetto alle isometrie del gruppo delle isometrie $\Iso(\AnK)$ (e.g.~le ellissi in generale sono affinemente equivalenti, ma non sono isometricamente equivalenti), dove $\Iso(\AnK)$ è composto dalla affinità di $A(\AnK)$
che preservano la distanza tra punti, qualora definibile.
Sia $\KK=\CC$. Allora ogni conica è affinemente equivalente ad
un'equazione canonica della seguente tabella, unicamente
