diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.pdf index b38c59e..3914f56 100644 Binary files a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.pdf and b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.pdf differ diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.tex index 2c86a0e..4cdf4ea 100644 --- a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.tex +++ b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.tex @@ -123,4 +123,43 @@ $\abs{\gen{g} \gen{h}} = p^2$, vale anche che $G = \gen{g} \gen{h}$, da cui la tesi. \end{example} + + + Si mostra infine una proposizione riguardante il normalizzatore + di un sottogruppo proprio di un $p$-gruppo: + + \begin{proposition} + Sia $G$ un $p$-gruppo. Allora $H \lneq G \implies + H \lneq N_G(H)$. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Sia $\abs{G} = p^n$. Si dimostra la tesi per induzione + su $n$. Se $n = 1$, la tesi è banale. Sia ora $n > 1$. + Si distinguono due casi, in base a se $Z(G) \leq H$ o + meno. \medskip + + + Se $Z(G) \nleq H$, allora esiste sicuramente un elemento + $x \in Z(G) \setminus H$, e quindi un elemento $x$ + appartenente a $N_G(H)$, ma non ad $H$. In tal caso, + si deduce facilmente che $H \lneq N_G(H)$. \medskip + + + Se invece $Z(G) \leq H$, si può applicare il Teorema + di corrispondenza. Poiché $G \quot Z(G)$ è un $p$-gruppo + di ordine strettamente minore di $p^n$ (infatti il + centro di un $p$-gruppo è sempre non banale), per + induzione $H \quot Z(G) \lneq N_{G \quot Z(G)}(H \quot Z(G))$. + Allora, per il Teorema di corrispondenza, + $H = \pi_{Z(G)}\inv(H \quot Z(G)) \lneq \pi_{Z(G)}\inv( + N_{G \quot Z(G)}(H \quot Z(G)))$. È sufficiente mostrare + che $\pi_{Z(G)}\inv( + N_{G \quot Z(G)}(H \quot Z(G))) \subseteq N_G(H)$ per + dedurre la tesi. Sia allora $g \in \pi_{Z(G)}\inv( + N_{G \quot Z(G)}(H \quot Z(G)))$. Allora, per ipotesi, + vale che: + \[ \pi_{Z(G)}(gHg\inv) = g Z(G) \pi_{Z(G)}(H) g\inv Z(G) \subseteq \pi_{Z(G)}(H), \] + per cui $gHg\inv \subseteq H$. + \end{proof} \end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/5. I teoremi di Sylow/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/5. I teoremi di Sylow/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..3c772fb Binary files /dev/null and b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/5. I teoremi di Sylow/main.pdf differ diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/5. I teoremi di Sylow/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/5. I teoremi di Sylow/main.tex new file mode 100644 index 0000000..b5a3e74 --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/5. I teoremi di Sylow/main.tex @@ -0,0 +1,213 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{notes_2023} + +\begin{document} + \title{I teoremi di Sylow} + \maketitle + + \begin{note} + Nel corso del documento con $p$ si indicherà un numero + primo, con $G$ si indicherà un qualsiasi gruppo finito di ordine $p^n m$ tale per cui $\MCD(p, m) = 1$ + (ossia $n$ è la valutazione $p$-adica di $\abs{G}$). + \end{note} + + I teoremi di Sylow rappresentano, insieme al teorema di + struttura per gruppi abeliani finiti, lo strumento più + importante e applicabile dell'algebra elementare. Attraverso + questi teoremi, lo studio e la classificazione dei gruppi + finiti viene enormemente facilitata e ridotta ai suoi + $p$-sottogruppi. \medskip + + + Prima di illustrare gli enunciati e le dimostrazioni di questi + teoremi, si definisce preliminarmente cos'è un $p$-sottogruppo + di Sylow, detto poi semplicemente $p$-Sylow: + + \begin{definition}[$p$-Sylow] + Sia $H \leq G$. Si dice che $H$ è un \textbf{$p$-Sylow} + di $G$ se $\abs{H} = p^n$, ossia se $H$ è un $p$-sottogruppo + di $H$ con valutazione $p$-adica massima. + \end{definition} + + Si illustra adesso il Primo teorema di Sylow, che riguarda + l'esistenza di $p$-sottogruppi di tutte le cardinalità + possibili\footnote{ + A dire la verità il Primo teorema di Sylow si deduce + anche solo mostrando l'esistenza di un $p$-Sylow. Infatti, + per una proposizione nota sui $p$-gruppi, che discende + direttamente dal Teorema di corrispondenza, in un + $p$-gruppo esiste sempre + una catena di $p$-sottogruppi normali che comprende + $p$-sottogruppi di tutte le cardinalità. Dal momento + però che la dimostrazione è molto istruttiva (e anche + molto generale), si è preferito lasciare la generalizzazione. + }\footnote{ + Si osserva che il Primo teorema di Sylow generalizza il + Teorema di Cauchy alla sua massima estensione. + } in $G$: + + \begin{theorem}[Primo teorema di Sylow, esistenza] + Per ogni $i \in \NN$ tale per cui $0 \leq i \leq n$, esiste + un sottogruppo $H \leq G$ tale per cui $\abs{H} = p^i$. + \end{theorem} + + \begin{proof} + Si consideri il sottoinsieme $\MM$ + di $\pset(G)$ dato da: + \[ \MM = \{ X \subseteq G \mid \abs{X} = p^i \}. \] + + + Allora vale che: + \[ \abs{\MM} = \binom{p^n m}{p^i} = \frac{(p^n m)!}{(p^i)! (p^n m - p^i)!} = \frac{p^n m (p^n m - 1) \cdots (p^n m - p^i + 1)}{p^i (p^i - 1) \cdots 1}, \] + ossia, equivalentemente, che: + \[ \abs{\MM} = p^{n-i} m \prod_{j=1}^{p^i - 1} \frac{p^n m - j}{p^i - j}. \] + + + Si osserva che $p^{n-i} \exactdiv \abs{M}$. Infatti, + $p \nmid m$ perché $\MCD(p, m) = 1$ per ipotesi; inoltre, + considerando il termine generico $a_j$ della produttoria, + vale che\footnote{ + Infatti $j$ può valere al più $p^i - 1$. + } $\nu_p(p^n m - j) = \nu_p(j) = \nu_p(p^i - j)$, + e quindi che $\nu_p(a_j) = 0$. \medskip + + + Dal momento che, dato $X \in \MM$, $g X$ appartiene ancora + ad $\MM$ e $g X = h X \iff g = h$, $\forall$ $g$, $h \in G$, + si può considerare l'azione $\phi : G \to S(\MM)$ + tale per cui $g \xmapsto{\phi} [X \mapsto gX]$. + Dacché le orbite forniscono una partizione di $\MM$, + vale che: + \[ \abs{\MM} = \sum_{X \in \rotations} \frac{\abs{G}}{\abs{\Stab(X)}}, \] + dove $\rotations$ è un insieme di rappresentanti delle + orbite e dove si è applicato il Teorema orbita-stabilizzatore. + Dal momento che $p^{n-i} \exactdiv \abs{M}$, esiste + sicuramente un $X \in \rotations$ tale per cui + $p^{n-i+1} \nmid \abs{\Orb(X)}$, da cui si deduce che + $p^i \mid \abs{\Stab(X)}$. \medskip + + + Sia $x \in X$ e si consideri ora la mappa $\tau : \Stab(X) \to X$ tale per cui $g \xmapsto{\tau} gx$. Tale mappa è + sicuramente iniettiva (infatti $gx = hx \implies g = h$), + e quindi $\abs{\Stab(X)} \leq \abs{X} = p^i$. Si deduce + dunque che $\abs{\Stab(X)} = p^i$, da cui la tesi. + \end{proof} \bigskip + + + Si dimostra adesso il Secondo teorema di Sylow, che mostra + che i $p$-Sylow sono tra loro coniugati e che dimostra l'esistenza + di un'inclusione più generale tra i $p$-sottogruppi con + i $p$-sottogruppi di cardinalità maggiore. Da questo + teorema discenderà in particolare uno dei due risultati + del Terzo teorema di Sylow sul numero di $p$-Sylow di + un gruppo $G$. + + \begin{theorem}[Secondo teorema di Sylow, coniugio e inclusione] + Tutti i $p$-Sylow di $G$ sono coniugati (e quindi isomorfi) + tra loro. Inoltre, ogni $p$-sottogruppo di ordine + $p^i$, se $i \neq n$, è contenuto + in un $p$-sottogruppo di ordine $p^{i+1}$ (in particolare + questi sottogruppi sono sottogruppi di un $p$-Sylow)\footnote{ + Il Secondo teorema di Sylow implica in particolare + che se $H$ è un $p$-sottogruppo di ordine $p^i$, + esiste sempre un $p$-sottogruppo $K$ di $G$ di + ordine $p^j$ con $j \geq i$ tale per cui + $H \leq K$. + }. + \end{theorem} + + \begin{proof} + Sia\footnote{ + Tale $S$ esiste per il Primo teorema di Sylow. + } $S$ un $p$-Sylow di $G$. Sia $H$ un $p$-sottogruppo + di ordine $p^i$ e si consideri l'azione + $\varphi : H \to S(X)$ su $X = G \quot S$ tale per + cui $h \xmapsto{\varphi} [gS \mapsto hgS]$. Dal momento + che $\abs{X} = [G : S] = m$, per + il Teorema orbita-stabilizzatore vale allora che: + \[ m = \sum_{gS \in \rotations} \frac{p^i}{\abs{\Stab(gS)}}, \] + dove $\rotations$ è un insieme di rappresentanti delle + orbite tramite $\varphi$. \medskip + + + Dal momento che $p \nmid m$ per ipotesi, deve esistere + $gS \in \rotations$ tale per cui $\abs{\Stab(gS)} = p^i$, + da cui si deduce che $\Stab(gS) = H$. Pertanto vale che + $hgS = gS$ $\forall h \in H$, e quindi + $hg \in gS$, da cui si ricava infine che $h \in gSg\inv$. + Allora $H \subseteq gSg\inv$. Se allora $H$ è un $p$-Sylow, + $H = gSg\inv$ per cardinalità, e quindi tutti i + $p$-Sylow sono coniugati tra loro, dimostrando la prima + parte dell'enunciato. \medskip + + + Sia ora $i \neq n$. Allora $H$ è un $p$-sottogruppo proprio + di $P = gSg\inv$, che è un $p$-Sylow di $G$. Allora + vale che $H \lneq N_P(H)$ dal momento che $P$ è un $p$-gruppo. + Dacché $H \nsg N_P(H)$, $N_P(H) \quot H$ è un $p$-gruppo + non banale. Allora, per il Teorema di Cauchy, esiste + $x \in N_P(H)$ tale per cui $\ord(xH) = p$. Allora + $\pi_H\inv(\gen{xH})$ è un sottogruppo di $N_P(H)$ di ordine + $p \cdot p^i = p^{i+1}$ che contiene $H$, da cui + la tesi. + \end{proof} \bigskip + + + Si dimostra infine il Terzo teorema di Sylow, che riguarda + il numero di $p$-Sylow in $G$, indicato con $n_p$. Questo + teorema, al di là del lato meramente computazionale, risulta + spesso utile quando si cerca di dimostrare che un $p$-Sylow + è caratteristico. Infatti è sufficiente verificare che + $n_p$ sia esattamente $1$; in questo modo esiste un solo + $p$-Sylow, e tale $p$-Sylow deve essere caratteristico, e + quindi normale. + + \begin{theorem}[Terzo teorema di Sylow, numero] + Sia $n_p$ il numero di $p$-Sylow di $G$. Allora vale + che: + + \begin{itemize} + \item $n_p = [G : N_G(S_p)]$, e dunque $n_p$ divide $\abs{G}$, dove + $S_p$ è un $p$-Sylow, + \item $n_p \equiv 1 \pod p$, e quindi\footnote{ + Poiché $n_p \mid \abs{G} = p^n m$, ma $n_p \equiv 1 \pod p$, $n_p$ è coprimo con $p^n$, e quindi + $n_p$ deve dividere $m$. + } $n_p \mid m$. + \end{itemize} + \end{theorem} + + \begin{proof} + Poiché i coniugati di un $p$-Sylow $S$ hanno la stessa cardinalità di $S$, tali coniugati sono ancora + $p$-Sylow. Similmente, per il Secondo teorema di Sylow, tutti + i $p$-Sylow sono a loro volta coniugati di $S$. Pertanto, + se $X$ è l'insieme dei $p$-Sylow di $G$, vale che + $X$ è esattamente l'insieme dei coniugati di $S$. Allora, + per il Teorema orbita-stabilizzatore, vale che: + \[ n_p = \abs{X} = [G : N_G(S)], \] + che chiaramente divide $\abs{G}$. \medskip + + + Sia $\varphi : S \to S(X)$ l'azione su $X$ tale per cui + $s \xmapsto{\varphi} [H \mapsto sHs\inv]$. Si mostra + che $\Orb(S) = \{S\}$ è l'unica orbita banale. Se + $\Orb(H)$ fosse banale, varebbe $sHs\inv = H$ $\forall s \in S$, + e quindi varebbe $S \leq N_G(H)$. In tal caso esisterebbe + il sottogruppo $HS$, che ha cardinalità: + \[ \abs{HS} = \frac{p^n p^n}{p^i} = p^{2n-i}, \] + dove $p^i$ è la cardinalità di $H \cap S$. Poiché + $n$ è il massimo esponente di un $p$-sottogruppo di + $G$, deve valere $2n-i \leq n \implies n \leq i$. Allo + stesso tempo, anche il massimo esponente di $p$ in + $H \cap S$, in quanto $p$-sottogruppo, deve essere + minore o uguale a $n$, e quindi $n = i$. Pertanto + $H = S$. \medskip + + + Allora, se $\rotations$ è un insieme di rappresentanti + delle orbite di $X$ tramite $\varphi$, vale che: + \[ n_p = \abs{X} = \sum_{H \in \rotations} \frac{p^n}{\abs{\Stab(H)}} = 1 + \sum_{H \in \rotations \setminus \{S\}} \frac{p^n}{\abs{\Stab(H)}}. \] + Poiché $p$ divide la somma del membro a destra (infatti + le orbite sono non banali, e quindi $\abs{\Stab(H)} \neq p^n$), + deve dunque valere $n_p \equiv 1 \pod 1$, da cui la tesi. + \end{proof} +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/tex/latex/style/notes_2023.sty b/tex/latex/style/notes_2023.sty index 3350567..147ca6a 100644 --- a/tex/latex/style/notes_2023.sty +++ b/tex/latex/style/notes_2023.sty @@ -220,8 +220,15 @@ \newcommand{\mapstoby}[1]{\xmapsto{#1}} \newcommand{\oplusperp}{\oplus^\perp} +\newcommand{\tauindis}{\tau_{\text{indis}}} +\newcommand{\taudis}{\tau_{\text{dis}}} + % Spesso utilizzati durante il corso di Algebra 1 +\newcommand{\pev}{\nu_p} +\newcommand{\exactdiv}{\mathrel\Vert} +\newcommand{\pset}{\mathcal{P}} + \newcommand{\Dn}{D_n} \newcommand{\Sn}{S_n}