diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-04-17, 19, 26, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-04-17, 19, 26, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf index 8f0a2cf..b210e21 100644 Binary files a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-04-17, 19, 26, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf and b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-04-17, 19, 26, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-04-17, 19, 26, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-04-17, 19, 26, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex index 007794f..27d8c67 100644 --- a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-04-17, 19, 26, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex +++ b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-04-17, 19, 26, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex @@ -1429,11 +1429,7 @@ \dim V - \rg A_{1, \ldots, k}$, dimostrando (iii). \\ Se $\varphi$ è non degenere, $A$ è invertibile, dacché $\dim V^\perp = \dim \Ker A = 0$. Allora - ogni minore di taglia $k$ di $A$ ha determinante diverso da zero. Dacché ogni minore di taglia $k$ - di $A_{1,\ldots,k}$ è anche un minore di taglia $k$ di $A$, si ricava che anche ogni minore di taglia - $k$ di $A_{1, \ldots, k}$ ha determinante diverso da zero, e quindi che $\rg(A_{1,\ldots,k}) \geq k$. - Dacché deve anche valere $\rg(A_{1,\ldots,k}) \leq \min\{k,n\} = k$, si conclude che $\rg(A_{1,\ldots,k})$ - vale esattamente $k = \dim W$. Allora, dal punto (iii), vale che $\dim W^\perp + \dim W = \dim W^\perp + \rg(A_{1,\ldots,k}) = \dim V$, dimostrando il punto (iv). + $\rg(A_{1,\ldots,k}) = k = \dim W$, dal momento che le prime $k$ righe di $A$ devono essere linearmente indipendenti. Allora, dal punto (iii), vale che $\dim W^\perp + \dim W = \dim W^\perp + \rg(A_{1,\ldots,k}) = \dim V$, dimostrando il punto (iv). \end{proof} \begin{exercise} diff --git a/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.pdf b/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.pdf index 0ba68a7..881a6f2 100644 Binary files a/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.pdf and b/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.tex b/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.tex index b464f66..7129e28 100644 --- a/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.tex +++ b/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.tex @@ -52,14 +52,14 @@ \setlength{\multicolsep}{1pt} \setlength{\columnsep}{2pt} - \subsection{Alcuni accenni alla geometria di $\RR^3$} + \subsection{Alcuni accenni alla geometria di \texorpdfstring{$\RR^3$}{R\^{}3}} Si definisce prodotto scalare la forma - bilineare simmetrica unicamente determinata da $\innprod{\vec{e_i}}{\vec{e_j}} = \delta_{ij}$. Vale la seguente identità: $\innprod{(x, y, z)}{(x', y', z')} = xx' + yy' + zz'$. + bilineare simmetrica unicamente determinata da $\innprod{\vec{e_i}, \vec{e_j}} = \delta_{ij}$. Vale la seguente identità: $\innprod{(x, y, z), (x', y', z')} = xx' + yy' + zz'$. - Inoltre $\innprod{\vec{a}}{\vec{b}} = \card{\vec{a}} \card{\vec{b}} \cos(\theta)$, dove $\theta$ è l'angolo compreso tra i due vettori. + Inoltre $\innprod{\vec{a}, \vec{b}} = \card{\vec{a}} \card{\vec{b}} \cos(\theta)$, dove $\theta$ è l'angolo compreso tra i due vettori. Due vettori $\vec{a}$, $\vec{b}$ si dicono ortogonali - se e solo se $\innprod{\vec{a}}{\vec{b}} = 0$. + se e solo se $\innprod{\vec{a}, \vec{b}} = 0$. Si definisce prodotto vettoriale la forma bilineare alternante da $\RR^3 \times \RR^3$ @@ -81,7 +81,7 @@ Due vettori $\vec{a}$, $\vec{b}$ si dicono paralleli se $\exists k \mid \vec{a} = k \vec{b}$, o equivalentemente se $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$. Altrettanto si può dire - se $\innprod{\vec{a}}{\vec{b}} = \card{\vec{a}} \card{\vec{b}}$ (i.e. + se $\innprod{\vec{a}, \vec{b}} = \card{\vec{a}} \card{\vec{b}}$ (i.e. $\cos(\theta) = 1 \implies \theta = 0$). Una retta in $\RR^3$ è un sottospazio affine della @@ -102,7 +102,7 @@ \begin{itemize} \item $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = - \innprod{\vec{a}}{\vec{c}}\,\vec{b} - \innprod{\vec{a}}{\vec{b}}\,\vec{c}$ (\textit{identità di Lagrange}), + \innprod{\vec{a}, \vec{c}}\,\vec{b} - \innprod{\vec{a}, \vec{b}}\,\vec{c}$ (\textit{identità di Lagrange}), \item $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{0}$ (\textit{identità di Jacobi}). \end{itemize} @@ -111,7 +111,7 @@ del parallelepipedo individuato da questi punti è: \[\card{\det\begin{pmatrix}\vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{c}\end{pmatrix}} = - \card{\innprod{\vec{a}}{\vec{b} \times \vec{c}}}.\] + \card{\innprod{\vec{a}, \vec{b} \times \vec{c}}}.\] Tre punti sono complanari se e solo se il volume di tale parallelpipedo è nullo (infatti questo è equivalente a dire che almeno uno dei tre punti @@ -1202,7 +1202,8 @@ Se $\basis = \{ \vv 1, \ldots ,\vv n \}$ è una base di $V$, si definisce $M_\basis(\varphi) = (\varphi(\vv i, \vv j))_{i,j=1\mbox{--}n}$ come la matrice associata al prodotto scalare $\varphi$. In particolare, se $a_\varphi : V \to V^*$ è la mappa lineare che associa a $\v$ il funzionale $\varphi(\v, \cdot) \in V^*$ - tale che $\varphi(\v, \cdot)(\w) = \varphi(\v, \w)$. + tale che $\varphi(\v, \cdot)(\w) = \varphi(\v, \w)$. Si scrive $(V, \varphi)$ per indicare uno + spazio vettoriale $V$ dotato del prodotto scalare $\varphi$. Si definisce prodotto scalare \textit{standard} il prodotto $\varphi$ tale che $\varphi(\v, \w) = [\v]_\basis^\top [\w]_\basis$. @@ -1349,8 +1350,8 @@ \item Si ripeta il processo considerando come $\basis$ tutti i vettori di $\basis$ con $\vv 1$ escluso, o si termini l'algoritmo una volta che è rimasto un solo vettore. \end{enumerate} + \subsubsection{Metodo di Jacobi per il calcolo della segnatura} - Sia $A = M_\basis(\varphi)$ una matrice associata a $\varphi$ nella base $\basis$. Sia $d_0 := 1$. Se $d_i = \det(A_{1, \ldots, i}^{1, \ldots, i})$ (è possibile anche prendere un'altra sequenza di minori, a patto che essi siano principali e che siano @@ -1386,6 +1387,31 @@ isotropo di tale dimensione). \end{itemize} + \subsubsection{Isometrie tra spazi vettoriali} + + Due spazi vettoriali $(V, \varphi)$ e $(W, \psi)$ su $\KK$ si dicono isometrici tra loro se + esiste un isomorfismo $f : V \to W$ tale che $\varphi(\vv 1, \vv 2) = \psi(f(\vv 1), f(\vv 2))$. + + Se $f$ è un isomorfismo tra $V$ e $W$, sono equivalenti le seguenti affermazioni: + + \begin{enumerate}[(i)] + \item $(V, \varphi)$ e $(W, \psi)$ sono isometrici tra loro tramite $f$, + \item $\forall \basis$ base di $V$, $M_\basis(\varphi) = M_{f(\basis)}(\psi)$, + \item $\exists \basis$ base di $V$, $M_\basis(\varphi) = M_{f(\basis)}(\psi)$. + \end{enumerate} + + Inoltre, $V$ e $W$ sono isometrici se e solo se hanno la stessa dimensione e le matrici associate + a $\varphi$ e $\psi$ in due basi di $V$ e di $W$ sono congruenti (infatti, in tal caso, esistono due + basi di $V$ e di $W$ che condividono la stessa matrice associata, ed è possibile associare ad uno + ad uno gli elementi di queste basi). + + Pertanto, se $\basis_V$ e $\basis_W$ sono due basi di $V$ e di $W$, $\KK = \RR$ e $M_{\basis_V}(\varphi)$ e $M_{\basis_W}(\psi)$ condividono la stessa segnatura, allora $V$ e $W$ sono + isometrici tra loro (come conseguenza del teorema di Sylvester reale). + + Analogamente, se $\KK = \CC$ e $M_{\basis_V}(\varphi)$ e $M_{\basis_W}(\psi)$ condividono lo stesso + rango, allora $V$ e $W$ sono isometrici tra loro (come conseguenza stavolta del teorema di Sylvester + complesso). + \vfill \hrule ~\\