diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.pdf b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.pdf index dddc5ac..3601e2d 100644 Binary files a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.pdf and b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex index 826db3f..90b98ad 100644 --- a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex +++ b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/Appunti originali/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex @@ -20,21 +20,26 @@ per $V'$ e $\varphi'$. \end{note} - \begin{proposition} (formula delle dimensioni del prodotto scalare) + \begin{proposition}[formula delle dimensioni del prodotto scalare] Sia $W \subseteq V$ un sottospazio di $V$. Allora vale la seguente identità: \[ \dim W + \dim W^\perp = \dim V + \dim (W \cap V^\perp). \] \end{proposition} \begin{proof} - Si consideri l'applicazione lineare $f : V \to \dual W$ tale che $f(\vec v)$ è un funzionale di $\dual W$ tale che - $f(\vec v)(\vec w) = \varphi(\vec v, \vec w)$ $\forall \vec w \in W$. Si osserva che $W^\perp = \Ker f$, da cui, - per la formula delle dimensioni, $\dim V = \dim W^\perp + \rg f$. Inoltre, si osserva anche che - $f = i^\top \circ a_\varphi$, dove $i : W \to V$ è tale che $i(\vec w) = \vec w$, infatti $f(\vec v) = a_\varphi(\vec v) \circ i$ è un funzionale di $\dual W$ tale che $f(\vec v)(\vec w) = \varphi(\vec v, \vec w)$. Pertanto - $\rg f = \rg (i^\top \circ a_\varphi)$. \\ + Si consideri l'applicazione lineare $a_\varphi$ introdotta precedentemente. Si osserva che $W^\perp = \Ker (i^\top \circ a_\varphi)$, dove $i : W \to V$ è tale che $i(\vec w) = \vec w$. Allora, + per la formula delle dimensioni, vale la seguente identità: - Si consideri ora l'applicazione $g = a_\varphi \circ i : W \to \dual W$. Sia ora $\basis_W$ una base di $W$ e - $\basis_V$ una base di $V$. Allora le matrice associate di $f$ e di $g$ sono le seguenti: + \begin{equation} + \label{eq:dim_formula_dimensioni_1} + \dim V = \dim W^\perp + \rg (i^\top \circ a_\varphi). + \end{equation} + + \vskip 0.05in + + Sia allora $f = i^\top \circ a_\varphi$. + Si consideri ora l'applicazione $g = a_\varphi \circ i : W \to \dual V$. Sia ora $\basis_W$ una base di $W$ e + $\basis_V$ una base di $V$. Allora le matrici associate di $f$ e di $g$ sono le seguenti: \begin{enumerate}[(i)] \item $M_{\dual \basis_W}^{\basis_V}(f) = M_{\dual \basis_W}^{\basis_V}(i^\top \circ a_\varphi) = @@ -43,11 +48,14 @@ \underbrace{M_{\dual \basis_V}^{\basis_V}(a_\varphi)}_B \underbrace{M_{\basis_V}^{\basis_W}(i)}_{A^\top} = BA^\top \overbrace{=}^{B^\top = B} (AB)^\top$. \end{enumerate} - Poiché $\rg(A) = \rg(A^\top)$, si deduce che $\rg(f) = \rg(g) \implies \rg(i^\top \circ a_\varphi) = \rg(a_\varphi \circ i) = \rg(\restr{a_\varphi}{W}) = \dim W - \dim \Ker \restr{a_\varphi}{W} = \dim W - \dim (W \cap \underbrace{\Ker a_\varphi}_{V^\perp}) = \dim W - \dim (W \cap V^\perp)$. \\ + Poiché $\rg(A) = \rg(A^\top)$, si deduce che $\rg(f) = \rg(g) \implies \rg(i^\top \circ a_\varphi) = \rg(a_\varphi \circ i) = \rg(\restr{a_\varphi}{W}) = \dim W - \dim \Ker \restr{a_\varphi}{W}$, ossia che: - Si conclude allora, sostituendo quest'ultima - identità nell'identità ricavata a inizio dimostrazione che $\dim V = \dim W^\top + \dim W - \dim (W \cap V^\perp)$, - ossia la tesi. + \begin{equation} + \label{eq:dim_formula_dimensioni_2} + \rg(i^\top \circ a_\varphi) = \dim W - \dim (W \cap \underbrace{\Ker a_\varphi}_{V^\perp}) = \dim W - \dim (W \cap V^\perp). + \end{equation} + + Si conclude allora, sostituendo l'equazione \eqref{eq:dim_formula_dimensioni_2} nell'equazione \eqref{eq:dim_formula_dimensioni_1}, che $\dim V = \dim W^\top + \dim W - \dim (W \cap V^\perp)$, ossia la tesi. \end{proof} \begin{remark} Si identifica $\w^\perp$ come il sottospazio di tutti i vettori di $V$ ortogonali a $\w$. @@ -56,28 +64,35 @@ \begin{definition} Si definisce \textbf{base ortogonale} di $V$ una base $\vv 1$, ..., $\vv n$ tale per cui $\varphi(\vv i, \vv j) = 0 - \impliedby i \neq j$, ossia per cui la matrice associata del prodotto scalare è diagonale. + \impliedby i \neq j$, ossia una base per cui la matrice associata del prodotto scalare è diagonale. \end{definition} - \begin{proposition} (formula di polarizzazione) + \begin{proposition}[formula di polarizzazione] Se $\Char \KK \neq 2$, un prodotto scalare è univocamente determinato dalla sua forma quadratica $q$. + In particolare vale la seguente identità: + + \[ \varphi(\v, \w) = \frac{q(\v + \w) - q(\v) - q(\w)}{2}. \] + + \vskip 0.05in \end{proposition} \begin{proof} - Si nota infatti che $q(\vec v + \vec w) - q(\vec v) - q(\vec w) = 2 \varphi(\vec v, \vec w)$, e quindi, - poiché $2$ è invertibile per ipotesi, che $\varphi(\vec v, \vec w) = 2\inv (q(\vec v + \vec w) - q(\vec v) - q(\vec w))$. + Si osserva che $q(\vec v + \vec w) - q(\vec v) - q(\vec w) = 2 \varphi(\vec v, \vec w)$, e quindi, + poiché $2$ è invertibile per ipotesi, si deduce che $\varphi(\vec v, \vec w) = \frac{q(\vec v + \vec w) - q(\vec v) - q(\vec w)}{2}$. \end{proof} - \begin{theorem}(di Lagrange) + \begin{theorem}[di Lagrange] Ogni spazio vettoriale $V$ su $\KK$ tale per cui $\Char \KK \neq 2$ ammette una base ortogonale. \end{theorem} \begin{proof} - Sia dimostra il teorema per induzione su $n := \dim V$. Per $n \leq 1$, la dimostrazione è triviale. Sia - allora il teorema vero per $i \leq n$. Se $V$ ammette un vettore non isotropo $\vec w$, sia $W = \Span(\vec w)$ e si consideri la decomposizione $V = W \oplus W^\perp$. Poiché $W^\perp$ ha dimensione $n-1$, per ipotesi induttiva + Si dimostra il teorema per induzione su $n := \dim V$. Per $n \leq 1$, la tesi è triviale (ogni base è + già una base ortogonale). Sia + allora il teorema vero per $i \leq n$. Se $V$ ammette un vettore non isotropo $\vec w$, sia $W = \Span(\vec w)$, e si consideri la decomposizione $V = W \oplus W^\perp$. Poiché $W^\perp$ ha dimensione $n-1$, per ipotesi induttiva ammette una base ortogonale. Inoltre, tale base è anche ortogonale a $W$, e quindi l'aggiunta di $\vec w$ a questa base ne fa una base ortogonale di $V$. Se invece $V$ non ammette vettori non isotropi, ogni forma quadratica - è nulla, e quindi il prodotto scalare è nullo per la proposizione precedente. + è nulla, e quindi il prodotto scalare è nullo per la proposizione precedente. Allora in questo caso + ogni base è una base ortogonale, completando il passo induttivo, e dunque la dimostrazione. \end{proof} @@ -85,7 +100,7 @@ D'ora in poi, nel corso del documento, si assumerà $\Char \KK \neq 2$. \end{note} - \begin{theorem} (di Sylvester, caso complesso) + \begin{theorem}[di Sylvester, caso complesso] Sia $\KK$ un campo i cui elementi sono tutti quadrati di un altro elemento del campo (e.g.~$\CC$). Allora esiste una base ortogonale $\basis$ tale per cui: @@ -95,11 +110,11 @@ \begin{proof} Per il teorema di Lagrange, esiste una base ortogonale $\basis'$ di $V$. - Si riordini la base in modo tale che la forma quadratica valutata nei primi elementi sia sempre diversa da zero. Allora, poiché ogni + Si riordini allora la base $\basis'$ in modo tale che la forma quadratica valutata nei primi elementi sia sempre diversa da zero. Allora, poiché ogni elemento di $\KK$ è per ipotesi quadrato di un altro elemento di $\KK$, si sostituisca $\basis'$ con una base $\basis$ tale per cui, se $q(\vv i) = 0$, $\vv i \mapsto \vv i$, e altrimenti - $\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{q(\vv i)}}$. Allora $\basis'$ + $\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{q(\vv i)}}$. Allora $\basis$ è una base tale per cui la matrice associata del prodotto scalare in tale base è proprio come desiderata nella tesi, dove $r$ è il numero di elementi tali per cui la forma quadratica valutata @@ -120,21 +135,21 @@ è un invariante della congruenza, si ricava che $r$ nella forma della matrice di Sylvester, rappresentando il rango, è anche il rango di ogni sua matrice congruente. In particolare, se due - matrici simmetriche hanno stesso rango, allora sono congruenti + matrici simmetriche hanno lo stesso rango, allora sono congruenti alla stessa matrice di Sylvester, e quindi, essendo la congruenza - una relazione di congruenza, sono congruenti a loro volta. \\ + una relazione di equivalenza, sono congruenti a loro volta tra di loro. \\ \li Due matrici simmetriche con stesso rango, allora, non solo sono SD-equivalenti, ma sono anche congruenti. \\ \li Ogni base ortogonale deve quindi avere lo stesso numero di elementi nulli. \end{remark} - \begin{definition} (somma diretta ortogonale) + \begin{definition}[somma diretta ortogonale] Siano i sottospazi $U$ e $W \subseteq V$ in somma diretta. Allora si dice che $U$ e $W$ sono in \textbf{somma - diretta ortogonale rispetto al prodotto scalare} $\varphi$ di $V$, ossia che $U \oplus W = U \oplus^\perp W$, se $\varphi(\vec u, \vec w) = 0$ $\forall \vec u \in U$, $\vec w \in W$. + diretta ortogonale} rispetto al prodotto scalare $\varphi$ di $V$, ossia che $U \oplus W = U \oplus^\perp W$, se $\varphi(\vec u, \vec w) = 0$ $\forall \vec u \in U$, $\vec w \in W$. \end{definition} - \begin{definition} (cono isotropo) + \begin{definition}[cono isotropo] Si definisce \textbf{cono isotropo} di $V$ rispetto al prodotto scalare $\varphi$ il seguente insieme: \[ \CI(\varphi) = \{ \v \in V \mid \varphi(\v, \v) = 0 \}, \] @@ -224,7 +239,7 @@ \begin{align*} \iota_+(\varphi) &= \max\{ \dim W \mid W \subseteq V \E \restr{\varphi}{W} > 0 \}, &\text{(}\textbf{indice di positività}\text{)} \\ \iota_-(\varphi) &= \max\{ \dim W \mid W \subseteq V \E \restr{\varphi}{W} < 0 \}, &\text{(}\textbf{indice di negatività}\text{)}\\ - \iota_0(\varphi) &= \dim V^\perp &\text{(}\textbf{indice di nullità}\text{)} + \iota_0(\varphi) &= \dim V^\perp. &\text{(}\textbf{indice di nullità}\text{)} \end{align*} Quando il prodotto scalare $\varphi$ è noto dal contesto, si omette @@ -233,7 +248,7 @@ prodotto $\varphi$. \end{definition} - \begin{theorem} (di Sylvester, caso reale) Sia $\KK$ un campo ordinato + \begin{theorem}[di Sylvester, caso reale] Sia $\KK$ un campo ordinato i cui elementi positivi sono tutti quadrati (e.g.~$\RR$). Allora esiste una base ortogonale $\basis$ tale per cui: @@ -309,7 +324,7 @@ analogamente per gli altri indici. \end{remark} - \begin{definition} (isometria) + \begin{definition}[isometria tra due spazi vettoriali] Dati due spazi vettoriali $(V, \varphi)$ e $(V', \varphi')$ dotati di prodotto scalare sullo stesso campo $\KK$, si dice che $V$ e $V'$ sono \textbf{isometrici} se esiste un isomorfismo @@ -382,11 +397,7 @@ $V'$ sono isometrici. \end{proof} - % \begin{example} - % Per $\varphi = x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$. %TODO: guarda dalle slide. - % \end{example} - - \begin{definition} (sottospazio isotropo) + \begin{definition}[sottospazio isotropo] Sia $W$ un sottospazio di $V$. Allora $W$ si dice \textbf{sottospazio isotropo} di $V$ se $\restr{\varphi}{W} = 0$. \end{definition} @@ -408,7 +419,7 @@ da cui $\dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$. \end{proof} - \begin{definition} + \begin{definition}[indice di Witt] Si definisce \textbf{indice di Witt} $W(\varphi)$ di $(V, \varphi)$ come la massima dimensione di un sottospazio isotropo. \end{definition} diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/1. Introduzione al prodotto scalare.tex b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/1. Introduzione al prodotto scalare.tex index c90b893..573ceea 100644 --- a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/1. Introduzione al prodotto scalare.tex +++ b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/1. Introduzione al prodotto scalare.tex @@ -64,12 +64,12 @@ \begin{definition} Sia\footnote{In realtà, la definizione è facilmente estendibile a qualsiasi campo, purché esso - sia ordinato.} $\KK = \RR$. Allora un prodotto scalare $\varphi$ si dice \textbf{definito positivo} se $\v \in V$, $\vec{v} \neq \vec{0} \implies - \varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$. Analogamente $\varphi$ è \textbf{definito negativo} se $\vec{v} \neq \vec 0 \implies \varphi(\v, \v) < 0$. In generale si dice che $\varphi$ è \textbf{definito} se è definito positivo o + sia ordinato.} $\KK = \RR$. Allora un prodotto scalare $\varphi$ si dice \textbf{definito positivo} ($\varphi > 0$) se $\v \in V$, $\vec{v} \neq \vec{0} \implies + \varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$. Analogamente $\varphi$ è \textbf{definito negativo} ($\varphi < 0$) se $\vec{v} \neq \vec 0 \implies \varphi(\v, \v) < 0$. In generale si dice che $\varphi$ è \textbf{definito} se è definito positivo o definito negativo. \\ - Infine, $\varphi$ è \textbf{semidefinito positivo} se $\varphi(\v, \v) \geq 0$ $\forall \v \in V$ (o - \textbf{semidefinito negativo} se invece $\varphi(\v, \v) \leq 0$ $\forall \v \in V$). Analogamente ai + Infine, $\varphi$ è \textbf{semidefinito positivo} ($\varphi \geq 0$) se $\varphi(\v, \v) \geq 0$ $\forall \v \in V$ (o + \textbf{semidefinito negativo}, e quindi $\varphi \leq 0$, se invece $\varphi(\v, \v) \leq 0$ $\forall \v \in V$). Analogamente ai prodotti definiti, si dice che $\varphi$ è \textbf{semidefinito} se è semidefinito positivo o semidefinito negativo. \end{definition} @@ -96,18 +96,28 @@ $\RR^n$. \end{remark} -\begin{definition} +\begin{definition}[vettore isotropo] Un vettore $\vec{v} \in V$ si dice \textbf{isotropo} rispetto al prodotto scalare $\varphi$ se $q(\vec{v}) = \varphi(\vec{v}, \vec{v}) = 0$. \end{definition} +\begin{definition}[cono isotropo] + Si definisce \textbf{cono isotropo} di $V$ rispetto al prodotto scalare $\varphi$ il seguente insieme: + + \[ \CI(\varphi) = \{ \v \in V \mid \varphi(\v, \v) = 0 \}, \] + + \vskip 0.05in + + ossia l'insieme dei vettori isotropi di $V$. +\end{definition} + \begin{example} Rispetto al prodotto scalare $\varphi : \RR^3 \to \RR$ tale che $\varphi((x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3)) = - x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$, i vettori isotropi sono i vettori della forma $(x, y, z)$ tali che $x^2 + y^2 = z^2$, ossia - i vettori stanti sul cono di equazione $x^2 + y^2 = z^2$. + x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$, i vettori isotropi sono i vettori della forma $(x, y, z)$ tali che $x^2 + y^2 = z^2$, e quindi $\CI(\varphi)$ è l'insieme dei + vettori stanti sul cono di equazione $x^2 + y^2 = z^2$. \end{example} -\subsection{Matrice associata a \texorpdfstring{$\varphi$}{φ} e congruenza} +\subsection{Matrice associata a \texorpdfstring{$\varphi$}{φ} e relazione di congruenza} \begin{remark} Come già osservato in generale per le applicazioni multilineari, il prodotto scalare è univocamente determinato diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/main.pdf b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/main.pdf index 845ef29..99be171 100644 Binary files a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/main.pdf and b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/main.pdf differ